初中北师大版（2024）1 圆复习ppt课件

这是一份初中北师大版（2024）1 圆复习ppt课件，共51页。PPT课件主要包含了有关概念，点与圆的位置关系，d＞r，d＜r，圆的对称性，③AMBM，②CD⊥AB，垂径定理及推论，切线的判定与性质，类比学习等内容，欢迎下载使用。
一、圆的基本概念及性质
1. 定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点 组成的图形叫做圆.
(1) 弦、直径(圆中最长的弦)
(2) 弧、优弧、劣弧、等弧
3. 不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
1. 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是 它的对称轴.圆有无数条对称轴.
2. 圆是中心对称图形，并且绕圆心旋转任何一 个角度都能与自身重合，即圆具有旋转不变性.
3.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等．
4.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、 两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余 各组量都分别相等．
若 ① CD 是直径
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
拓展：垂径定理的逆定理
定义：顶点在圆周上，两边和圆相交的角，叫做圆周角.
圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的 一半.
五、圆周角和圆心角的关系
推论：同弧或等弧所对的圆周角相等.
∵∠ABC 与∠ADC 、∠AEC 是同弧所对的圆周角
∴∠ABC = ∠ADC = ∠AEC
推论：直径所对的圆周角是直角；
90° 的圆周角所对的弦是圆的直径.
推论：圆的内接四边形的对角互补.
六、直线和圆的位置关系
1. 切线的判定一般有三种方法：a. 定义法：和圆有唯一的一个公共点b. 距离法： d = rc. 判定定理：过半径的外端且垂直于半径
2. 切线的性质圆的切线垂直于过切点的半径.
切线长定理： 过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长相等. 拓展：这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
切线长： 过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.
3.切线长及切线长定理
八、三角形的内切圆及内心
1. 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
2. 三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.
3. 三角形的内心就是三角形的三条角平分线的交点.
三角形的内心到三角形的三边的距离相等.
1.正 n 边形的中心角=
3. 正 n 边形的边长 a，半径 R，边心距 r 之间的关系：
4. 边长 a，边心距 r 的正 n 边形面积的计算：
(1) 弧长公式：(2) 扇形面积公式：
例1 如图，在 ⊙O 中，∠ABC = 50°，则 ∠CAO 等于（　　）
A．30° B．40°C．50° D．60°
考点一 圆的有关概念及性质
例2 在图中，BC 是 ☉O 的直径，AD⊥BC,若∠D=36°,则 ∠BAD 的度数是（ ） A. 72° B. 54° C. 45° D. 36 °
例3 ☉O 的半径为 r，圆心到点 A 的距离为 d，且 r、d 分别是方程 x2－6x＋8＝0 的两根，则点 A 与 ☉O 的位置关系是（ ）A．点 A 在 ☉O 内部 B．点 A 在 ☉O 上C．点 A 在 ☉O 外部 D．点 A 不在 ☉O 上
解析：此题需先计算出一元二次方程 x2－6x＋8＝0 的两个根，然后再根据R与d的之间的关系判断出点 A 与 ☉O 的关系.
1. 如图所示，在圆 O 中弦 AB∥CD，若 ∠ABC=50°，则 ∠BOD 等于（　　）A．50°B．40°C．100°D．80°
2.如图所示，四边形 ABCD 为 ☉O 的内接正方形，点 P 为劣弧 BC 上的任意一点（不与 B，C 重合），则∠BPC 的度数是 .
考点二 垂径定理
例4 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是 10 mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为 8 mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口 AB 的长度 为 mm.
解析：设圆心为 O，连接 AO，作出过点 O 的弓形高 CD，垂足为 D,可知AO=5 mm，OD=3 mm，利用勾股定理进行计算，AD=4 mm，所以 AB=8 mm.
3. 如图 a，点 C 是扇形 OAB 上的 的任意一点，OA=2，连接 AC，BC，过点 O 作 OE ⊥AC，OF ⊥BC，垂足分别为E，F，连接 EF，则 EF 的长度等于 .
4. 如图 b，AB 是 ⊙O 的直径，且 AB=2，C，D 是同一半圆上的两点，并且 与 的度数分别是 96° 和 36°，动点 P 是 AB 上的任意一点，则 PC+PD 的最小值是 .
例5 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，以 AB 为直径的 ☉O 交 AC 于点 D，连接 BD.
考点三 切线的判定与性质
解：(1) ∵AB 是直径，∴∠ADB = 90°.
∵AD = 3，BD = 4，∴AB = 5.
∵∠CDB = ∠ABC，∠A = ∠A，∴△ADB∽△ABC，
(1) 若 AD = 3，BD = 4，求边 BC 的长.
又∵∠OBD +∠DBC=90°，∠C +∠DBC = 90°，
∴∠C =∠OBD. ∴∠BDO =∠CDE.
∵AB 是直径，∴∠ADB = 90°.
∴∠BDC = 90°.即∠BDE +∠CDE= 90°.
∴∠BDE+∠BDO= 90°，即∠ODE=90°. ∴ED 与☉O 相切.
(2) 证明：连接 OD，在 Rt△BDC 中，
∵E 是 BC 的中点，∴CE = DE.∴∠C =∠CDE.
又OD = OB，∴∠ODB =∠OBD.
(2) 取 BC 的中点 E，连接 ED，试证明 ED 与 ☉O 相切.
例6 （多解题）如图，直线 AB，CD 相交于点 O， ∠AOD=30°，半径为 1 cm的 ☉P 的圆心在射线 OA 上，且与点 O 的距离为 6 cm,如果 ☉P 以 1 cm/s 的速度沿由 A 向 B 的方向移动，那么 秒钟后 ☉P 与直线 CD 相切.
解析： 本题应分为两种情况：(1) ☉P 在直线 CD 下面与直线 CD 相切；(2) ☉P 在直线 CD 上面与直线 CD 相切.
解析： 连接 BD，则在Rt△BCD 中，BE＝DE，利用角的互余证明 ∠C＝∠EDC.
例7 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，以 AB 为直径的 ☉O 交 AC 于点 D，过点 D 的切线交 BC 于 E.(1) 求证：BC = 2DE.
解：(1) 证明：连接 BD，
∵AB 为直径，∠ABC = 90°，∴BE 切 ☉O 于点 B.
又∵DE 切 ☉O 于点 D，∴DE=BE，∴∠EBD =∠EDB.
∵∠ADB = 90°，∴∠EBD +∠C = 90°，∠BDE +∠CDE = 90°.∴∠C =∠CDE，DE = CE.∴BC = BE + CE = 2DE.
(2)∵ DE = 2，∴ BC = 2DE = 4.
在 Rt△ABC 中，
又∵△ABD∽△ACB，
解析：灯塔 A 的周围 7 海里都是暗礁，即表示以 A 为圆心，7 海里为半径的圆中，都是暗礁.渔轮是否会触礁，关键是看渔轮与圆心 A 之间的距离 d 的大小关系.
解：如图，作 AD 垂直于 BC 于 D，根据题意，得 BC=8.设 AD 为 x.∵∠ABC=30°，∴AB = 2x.BD= x.∵∠ACD = 90° - 30°= 60°，∴ AD=CD×tan60°，CD = .BC=BD-CD= = 8.解得 x=
即渔船继续往东行驶，有触礁的危险.
5. 如图 b，线段 AB 是直径，点 D 是 ☉O 上一点， ∠CDB=20°，过点 C 作☉O 的切线交 AB 的延长线于点 E，则 ∠E = .
6. 如图，以 △ABC 的边 AB 为直径的 ⊙O 交边 AC 于点D，且过点 D 的切线 DE 平分边 BC. 问：BC 与 ⊙O 是否相切？
解：BC 与 ⊙O 相切．理由：连接 OD，BD，∵DE 切 ⊙O 于 D，AB 为直径，∴∠EDO＝∠ADB＝90°.又 DE 平分 CB，∴DE＝ BC＝BE.∴∠EDB＝∠EBD.又∠ODB＝∠OBD，∠ODB＋∠EDB＝90°，∴∠OBD＋∠DBE＝90°，即∠ABC＝90°. ∴BC 与 ⊙O 相切．
例9 如图，四边形 OABC 为菱形，点 B、C 在以点 O 为圆心的圆上， OA = 1，∠AOC = 120°，∠1=∠2，求扇形 OEF 的面积？
解：∵四边形 OABC 为菱形 ∴OC = OA = 1 ∵ ∠AOC = 120°，∠1 =∠2 ∴ ∠FOE = 120° 又∵点 C 在以点 O 为圆心的圆上
考点四 弧长与扇形面积
8. 一条弧所对的圆心角为 135°，弧长等于半径为 5 cm的圆的周长的 3 倍，则这条弧的半径为 .
9. 如图，在正方形 ABCD 内有一条折线段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，已知 AE=6，EF=8，FC=10，求图中阴影部分的面积.
解：将线段 FC 平移到直线 AE 上，此时点 F 与点 E 重合， 点 C 到达点 C' 的位置.连接 AC，如图所示.
根据平移的方法可知，四边形 EFCC' 是矩形.
∴ AC'=AE+EC'=AE+FC=16，CC'=EF=8.
在 Rt△AC'C 中，得
∴正方形 ABCD 外接圆的半径为 .
∴正方形 ABCD 的边长为 .
例10 若一个正六边形的周长为 24，则该正六边形的面积为______.
考点五 圆内接正多边形的有关计算
10. 如图，正六边形 ABCDEF 内接于半径为 5 的 ⊙O，四边形 EFGH 是正方形．(1) 求正方形EFGH的面积；
解：(1) ∵正六边形的边长与其半径相等， ∴EF = OF = 5. ∵四边形 EFGH 是正方形， ∴FG = EF = 5， ∴正方形EFGH的面积是 25.
(2) ∵正六边形的边长与其半径相等， ∴∠OFE = 60°. ∵正方形的内角是 90°, ∴∠OFG =∠OFE +∠EFG = 60°+90° = 150°. 由 (1) 得 OF = FG， ∴∠OGF= （180°-∠OFG） = （180°-150°）=15°.
(2) 连接 OF、OG，求 ∠OGF 的度数．
例11 如图，在平面直角坐标系中，⊙P 经过 x 轴上一点 C，与 y 轴分别交于 A，B 两点，连接 AP 并延长分别交 ⊙P，x 轴于点 D，E，连接 DC 并延长交 y 轴于点 F，若点 F 的坐标为(0，1)，点 D 的坐标为(6，﹣1).(1) 求证：CD = CF；(2) 判断⊙P 与 x 轴的位置关系， 并说明理由；(3) 求直线 AD 的函数表达式.
考点七 有关圆的综合性题目
解：(1) 证明：过点 D 作 DH⊥x 轴于H，则∠CHD =∠COF =90°，如图所示.∵点 F（0，1），点 D（6，-1），∴ DH = OF = 1.∵∠FCO =∠DCH，∴△FOC≌△DHC.∴CD = CF.(2) ⊙P与 x 轴相切.理由如下：连接 CP，如图所示.∵AP = PD，CD = CF，∴CP∥AF.∴∠PCE = ∠AOC = 90°.∴⊙P 与 x 轴相切.
(3) 由 (2) 可知 CP 是 △ADF 的中位线. ∴AF = 2CP. ∵AD = 2CP， ∴AD = AF. 连接 BD，如图所示. ∵AD为 ⊙P 的直径， ∴∠ABD = 90°.
∴BD = OH = 6，OB = DH = OF = 1. 设 AD = x，则 AB = AF－BF = AD－BF = AD－(OB + OF) = x－2.
Rt△ABD 中，由勾股定理，得AD2=AB2+BD2，即 x2 = (x－2)2 + 62， 解得 x = 10.∴OA = AB + OB = 8 + 1 = 9. ∴点 A(0，－9).设直线 AD 的函数表达式为 y=kx+b，把点 A(0，－9)，D(6，－1) 代入，得 解得 ∴直线AD的函数表达式为 .
连半径，作弦心距(圆心到弦的距离)，构造直角三角形
作弦，构造直径所对的圆周角
点在圆内： r ＜ d ＜ R
有公共点，连半径，证垂直；无公共点，作垂直，证半径；见切点，连半径，得垂直.