大题仿真卷04（题型必刷，ABC三组）-高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（上海专用）

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大题仿真卷04（A组+B组+C组）
（模式：5道解答题 满分：78分 限时：70分钟）
一、解答题
1．如图，四棱锥中，平面，，，，，E，F分别为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求点B到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设是的中点，连接，，证明四边形是平行四边形，可得，再根据线面平行的判定定理即可得证；
（2）先证明，再利用等体积法求解即可.
【解析】（1）证明：取中点，连接、，
由于是的中点，则，，
由于，，所以，，
所以四边形是平行四边形，所以，
由于上，平面，
所以平面.
（2）设点到平面的距离为，
因为平面，平面，所以，
由于，，所以四边形是平行四边形，
由于，所以，
由于平面，
所以平面，
又平面，所以，
在中，，所以，又.
由得，
即，
所以，即点B到平面的距离为.
2．已知数列满足，且．
(1)求的值；
(2)若数列为严格增数列，其中是常数，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据对数运算性质可得，即可判断为等比数列，即可根据等比数列的通项求解，
（2）利用作差法可得对正整数恒成立，即可求解.
【解析】（1）由，得，故，即.
又，故数列是以为首项，为公比的等比数列.
从而，.所以.
（2）设数列满足，
因为数列为严格增数列，
故对正整数恒成立，
即对正整数恒成立，
当时，取到最小值.所以.
3．我国风云系列卫星可以监测气象和国土资源情况.某地区水文研究人员为了了解汛期人工测雨量（单位：dm）与遥测雨量（单位：dm）的关系，统计得到该地区10组雨量数据如下：
并计算得，，，，，.
(1)求该地区汛期遥测雨量y与人工测雨量x的样本相关系数（精确到0.01），并判断它们是否具有线性相关关系；
(2)规定：数组满足为“I类误差”；满足为“II类误差”；满足为“III类误差”.为进一步研究，该地区水文研究人员从“I类误差”、“II类误差”中随机抽取3组数据与“III类误差”数据进行对比，记抽到“I类误差”的数据的组数为X，求X的概率分布与数学期望.
附：相关系数，.
【答案】(1)0.98，汛期遥测雨量y与人工测雨量x有很强的线性相关关系；
(2)分布列见解析， .
【分析】（1）根据参考公式和数据，代入求相关系数，即可判断相关性强或弱；
（2）根据条件可知X的所有可能取值为0，1，2，3，再根据超几何分别求分布列和数学期望.
【解析】（1）因为，
代入已知数据，
得.
（2）依题意，“I类误差”有5组，“II类误差”有3组，“III类误差”有2组.
若从“I类误差”和“II类误差”数据中抽取3组，
抽到“I类误差”的组数X的所有可能取值为0，1，2，3.
则，，
，.
所以X的概率分布为
所以的数学期望.
另解：因为，所以 .
4．已知双曲线，，分别为其左、右焦点．
(1)求，的坐标和双曲线的渐近线方程；
(2)如图，是双曲线右支在第一象限内一点，圆是△的内切圆，设圆与，，分别切于点，，，当圆的面积为时，求直线的斜率；
(3)是否存在过点的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点，且使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)；
(3)存在，．
【分析】（1） 直接根据题干给的双曲线的标准方程求得答案；
（2）由双曲线的定义以及切线的性质可得圆的半径，再借助于点到直线的距离公式求直线的斜率；
（3）假设存在直线l，由得，取的中点，则，进而得；又利用得，于是联立方程组可得的坐标，从而得到直线的斜率并得出直线的方程.
【解析】（1）因为双曲线，所以，所以，
即，，
所以双曲线的渐近线方程是 ；
（2）由题意可知，，，
所以，
，即是椭圆右顶点
设圆的半径为，因为圆的面积为，则，即，
，
设直线的斜率为，则直线的方程为，即，
由圆心到直线的距离等于圆的半径，
可得，
解得直线的斜率为
（3）假设存在过点的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点，且使得，
设,，,，中点为,，又，，
由，可知△为等腰三角形，，且直线不与轴重合，
于是，即，
因此，， (I)，点，在双曲线上，
所以，
①②化简整理得：，，
则，可得，(II)，
联立（Ⅰ）（Ⅱ）得，，得或（舍），所以 ，
由，得，所以直线的方程为．
【点睛】关键点点睛：针对类似于的角度问题，一般情况下会转化垂直问题，再结合垂直时的斜率之积为-1即可解决问题.
5．已知，记，，．
(1)试将、、中的一个函数表示为另外两个函数复合而成的复合函数；
(2)借助（1）的结果，求函数的导函数和最小值；
(3)记，a是实常数，函数的导函数是．已知函数有三个不相同的零点．求证：．
【答案】(1)
(2)，最小值为
(3)见解析.
【分析】（1）直接计算即可；
（2）利用复合函数求导法则得，再结合导数和函数最值的关系即可得到答案；
（3）首先求出，求出其单调性，假设，再利用函数的单调性即可证明.
【解析】（1）
（2）利用复合函数的求导法则可求得,
令,可求得:
令，，，所以，
解得，当时，，此时单调递减，
当时，，此时单调递增，
所以函数的最小值为.
（3）
由，
，
令，解得，此时单调递增，
令，解得，此时单调递减，
因为函数有三个不相同的零点.
而的零点为1,不妨设,则的零点为.
不妨设,则.
令，
则.
令,则,
所以当时,，所以当时,是严格单调递增的,
所以当时,,
所以当时,,
则在上单调递增，
所以在上，,所以.
又,所以,
即.
又函数在上单调递增,所以，
即.
综上,.
【点睛】关键点睛：本题第三问的关键需要求出函数的单调性，再得到其导函数的零点，从而得到三个零点中的一个具体值，再假设，则题目转化为证明，再次构造函数，利用导函数得到其单调性，从而证明不等式成立.
一、解答题
1．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，已知四面体中，平面，．
(1)若，求证：四面体是鳖臑，并求该四面体的体积；
(2)若四面体是鳖臑，当时，求二面角的平面角的大小．
【答案】(1)证明见解析，
(2)或
【分析】（1）借助线面垂直证明面面垂直，结合题目所给长度，运用勾股定理证明四面全为直角三角形即可，体积借助体积公式计算即可得；
（2）根据题意，会出现两种情况，即或，分类讨论计算即可得.
【解析】（1）平面，、平面，
、，
、为直角三角形，
在直角中，，
在直角中，，
在中，有，
，故为直角三角形，
在中，有，
故，故为直角三角形，
故四面体四个面都是直角三角形，即四面体是鳖臑，
；
（2）平面，平面，
，
由，
故不可能是直角，
若，则有，
又，、平面，，
故平面，又平面，
故，
是二面角的平面角，
，，，，
所以二面角的平面角的大小为．
若，
同理可得是二面角的平面角，
所以，
所以二面角的平面角的大小为，
综上所述，二面角的平面角的大小为或.
2．已知是公差为的等差数列，前项和为的平均值为4，的平均值为12.
(1)求证：；
(2)是否存在实数，使得对任意恒成立，若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明过程见解析；
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）由等差数列通项公式基本量计算得到公差为2，首项为1，从而得到前n项和；
（2）假设存在，使对任意恒成立，变形为对任意恒成立，结合当时，，求出且，因此符合题意得不存在.
【解析】（1）由题意得：，解得：，
由，解得：，
所以；
（2）假设存在，使对任意恒成立，
则对任意恒成立，
即对任意恒成立，
当时，，
所以且，因此符合题意得不存在，证毕.
3．烧烤是某地的特色美食，今年春季一场始于烟火、归于真诚的邂逅，让无数人前往“赶烤”.当地某烧烤店推出150元的烧烤套餐，调研发现，烧烤店成本y（单位：千元，包含人工成本、原料成本、场地成本、设备损耗等各类成本）与每天卖出套餐数x（单位：份）的关系如下：
与可用回归方程（其中为常数）进行模拟.
参考数据与公式：设，则
线性回归直线中，.

(1)填写表格中的三个数据，并预测该烧烤店一天卖出100份的利润是多少元.（利润=售价-成本，结果精确到1元）
(2)据统计，由于烧烤的火爆，饮料需求也激增.4月份的连续16天中某品牌饮料每天为该地配送的箱数的频率分布直方图如图，用这16天的情况来估计相应的概率.供货商拟购置n辆小货车专门运输该品牌饮料，一辆货车每天只能运营一趟，每辆车每趟最多只能装载40箱该饮料，满载发车，否则不发车.若发车，则每辆车每趟可获利500元；若未发车，则每辆车每天平均亏损200元.若或4，请从每天的利润期望角度给出你的建议.
【答案】(1)表格见解析，（元）
(2)建议购买3辆车
【分析】（1）根据表格与参考公式计算数据补全空并求出回归方程、估计成本即可；
（2）由频率分布直方图得出送货箱数的概率，再由离散型随机变量的分布列与期望公式得出购3辆车和购4辆车时每天的利润的分布列，比较期望大小即可.
【解析】（1）由表格及公式通过计算器可计算得
补全填空如下：
根据题意，，
所以
所以，
又，所以，
所以时，（千元），
即卖出100份的成本为11764元，
故利润（元）.
（2）根据频率分布直方图，可知送货箱数的概率分布表为：
设该运输户购3辆车和购4辆车时每天的利润分别为元，
则的可能取值为，其分布列为：
故，
的可能取值为，其分布列为：
故，
即购置3辆小货车的利润更高，建议购买3辆车.
4．已知椭圆:，，．椭圆内部的一点，过点作直线交椭圆于，作直线交椭圆于．、是不同的两点．
(1)若椭圆的离心率是，求的值；
(2)设的面积是，的面积是，若，时，求的值；
(3)若点，满足且，则称点在点的左上方．求证：当时，点在点的左上方．
【答案】(1)的值为或
(2)1
(3)证明见解析
【分析】（1）分，两种情况结合离心率计算式可得答案；
（2）联立直线的方程与椭圆方程可得，联立直线的方程与椭圆方程可得.结合图形可得，后结合，及弦长公式可得，即可得答案；
（3）联立直线与椭圆方程可得，，后结合在椭圆内部可得大小，又由题意可得大小，即可证明结论.
【解析】（1）因为椭圆的离心率是.
当时，，得；
当时，，得；
所以的值为或；
（2）由题意，直线的斜率存在，直线的斜率存在，
，直线的方程，设．
则.
，直线的方程，设．
则.
由图，，
注意到，则.
又，同理可得
.则
（3）由题意，直线的斜率存在，直线的斜率存在，
，直线的方程，设．
则 .
，直线的方程，设．
则 .
则 .又在椭圆内部，则，故.
又根据题意知，所以.所以当时，点在点的左上方．
【点睛】关键点睛：本题涉及由离心率求参数，椭圆中的面积问题，及椭圆新定义，难度极大.（1）因不知焦点位置，故需分情况讨论；（2）问关键是用得到关于的表达式；（3）类似于（2），可得，，后利用作差法即可比较大小.
5．定义：若曲线和曲线有公共点P，且曲线在点P处的切线与曲线在点P处的切线重合，则称与在点P处“一线切”.
(1)已知圆与曲线在点处“一线切”，求实数a的值；
(2)设，，若曲线与曲线在点P处“一线切”，求实数a的值；
(3)定义在上的函数的图象为连续曲线，函数的导函数为，对任意的，都有成立.是否存在点使得曲线和曲线在点处“一线切”？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)不存在点满足条件，理由见解析
【分析】（1）利用导数求出曲线在点处的切线方程，再根据圆心到切线的距离为半径可求的值；
（2）设出公切点，则可得关于切点横坐标与的方程组，解方程组可求得的值；
（3）假设存在满足题意，则根据“一线切”可得且，化简整理后得到，从而得到矛盾.
【解析】（1），所以曲线在点处的切线方程为，
即，
因为圆与曲线在点处“一线切”，
所以直线与圆在点处相切，
所以，所以.
（2）设，，
由题意，，所以，
解得.
（3）假设存在满足题意，
则有，对函数求导得：，
于是，即，
平方得，
即有，因此，
整理得，而恒有成立，
则有，从而，显然，
于是，即与恒成立矛盾，
所以假设不成立，即不存在点满足条件
【点睛】思路点睛：新定义中的“一线切”问题，本质上就是不同曲线的共切点的切线问题，其解决问题的方法是构建关切切点横坐标的方程或方程组.
一、解答题
1．如图，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线，E是AC与BD的交点，，．
(1)记圆柱的体积为，四棱锥的体积为，求；
(2)设点F在线段AP上，，求二面角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用平面几何的知识推得，进而得到与，从而利用柱体与锥体的体积公式求得关于的表达式，由此得解；
（2）根据题意建立空间直角坐标系，设，结合（1）中结论与（2）中所给条件得到所需向量的坐标表示，从而求得平面与平面的法向量与，由此利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.
【解析】（1）因为与是底面圆弧所对的圆周角，
所以，
因为，所以在等腰中，，
所以，
因为是圆柱的底面直径，所以，则，
所以，则，即，
所以在等腰，，平分，则，
所以，则，
故在中，，，则，
在中，，
因为是圆柱的母线，所以面，
所以，
，
所以．
（2）以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设，则，，，
则，
所以，，，
因为，所以，
则，
设平面的法向量，则，即，
令，则，故，
设平面的法向量，则，即，
令，则，故，
设二面角的平面角为，易知，
所以，
因此二面角的余弦值为．
2．已知向量.
(1)若，求；
(2)记，若对于任意恒成立，求的最小值.
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）计算出，利用数量积公式求出答案；
（2）利用三角恒等变换化简得到，整体法求出时，的最值，从而得到，求出的取值范围，得到答案.
【解析】（1）因为，所以，
所以.
（2）
.
因为，所以，所以.
当，即时，取得最小值；
当，即时，取得最大值1.
因为恒成立，
且
所以，故的最小值为.
3．为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按，，，，分组，绘制频率分布直方图如图所示.实验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，这160只小白鼠中的该项指标值不小于60的有110只，假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.

(1)填写上面的列联表，并根据表中数据及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关；（单位：只）
(2)为检验疫苗两次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.用频率估计概率，记一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率是，并以作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记100个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量.求的值，并求随机变量的方差.
参考公式：（其中为样本容量）
【答案】(1)列联表见详解，认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关
(2)，随机变量的方差为9
【分析】（1）根据题意完善列联表，求，并与临界值对比分析；
（2）根据古典概型求，结合二项分布求随机变量的方差.
【解析】（1）由题意可得：该项指标值不小于60的有只，
所以列联表为：
零假设：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关，
根据表中数据可得，
依据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.
（2）由题意可得：，
因为随机变量，则，
即随机变量的方差为9.
4．设A，B是双曲线H：上的两点．直线l与双曲线H的交点为P，Q两点．
(1)若双曲线H的离心率是，且点在双曲线H上，求双曲线H的方程；
(2)设A、B分别是双曲线H：的左、右顶点，直线l平行于y轴．求直线AP与BQ斜率的乘积，并求直线AP与BQ的交点M的轨迹方程；
(3)设双曲线H：，其中，，点M是抛物线C：上不同于点A、B的动点，且直线MA与双曲线H相交于另一点P，直线MB与双曲线H相交于另一点Q，问：直线PQ是否恒过某一定点？若是，求该定点的坐标；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，，
(3)直线PQ恒过定点为．
【分析】（1）根据所给条件得到关于、的方程组，解得即可；
（2）设（或），，则，表示出，，利用点在双曲线上得到，再由三点共线得到，，代入双曲线方程，整理可得；
（3）设，，则，即可得到、的方程，表示出、，根据对称性定点在轴上，利用特殊值求出定点坐标，再证明即可.
【解析】（1）依题意，解得，所以双曲线方程为；
（2）设（或），则，，，，
则，，所以，
又，即，
所以，
则，，
由，，三点共线得：；
又，，
由，，三点共线得：，
，，
，
，即，则，，
直线与直线的交点的轨迹的方程为，；
（3）设，，则，
直线：，即；
直线：，即．
由得，
所以，即，则，
同理，，
由对称性知，若过定点，则定点在轴上．
取，可得，，则直线PQ：，过点．
下证明直线恒过定点为．
由且得，
所以直线恒过定点为．
【点睛】方法点睛：处理定点问题的三个常用策略：
（1）引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，通过等量关系代入化简变形，分析研究出变化的量与参数无关，从而找到定点；
（2）特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明存在着动态变化中不受变量影响的该定点；
（3）定位分析法：先根据几何性质（如：图形对称性、点线相对性、动态趋势等）探索出定点大致位置，从而确定证明方向再加以证明.
5．已知数列满足.
(1)若数列的前4项分别为4，2，，1，求的取值范围；
(2)已知数列中各项互不相同.令，求证：数列是等差数列的充要条件是数列是常数列；
(3)已知数列是m（且）个连续正整数1，2，…，m的一个排列.若，求m的所有取值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)4或5
【分析】（1）根据题意，找到关于的不等关系，即可求解.
（2）分别从充分性、必要性两个角度证明即可.
（3）对取不同的值进行判断，再对分情况讨论即可.
【解析】（1）由题意，，令，得，即，则或，此时解得或；令，得，即，两边同时平方解得.则求交集可得，，即
（2）必要性：若数列是等差数列，设公差为d，
则，所以数列是常数列.
充分性：若数列是常数列，
则，即.
所以或.
因为数列的各项互不相同，所以.
所以数列是等差数列.
（3）当时，因为，所以，不符合题意；
当时，数列为3，2，4，1，此时，符合题意；
当时，数列为2，3，4，5，1，此时，符合题意；
下证当时，不存在m满足题意.
令，
则，且，
所以有以下三种可能：
①；
②；
③.
当时，因为，
由（2）知：，，…，是公差为1（或－1）的等差数列.
当公差为1时，由得或，
所以或，与已知矛盾.
当公差为－1时，同理得出与已知矛盾.
所以当时，不存在m满足题意.
其它情况同理可得.
综上可知，m的所有取值为4或5.
样本号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
人工测雨量
5.38
7.99
6.37
6.71
7.53
5.53
4.18
4.04
6.02
4.23
遥测雨量
5.43
8.07
6.57
6.14
7.95
5.56
4.27
4.15
6.04
4.49
0.05
0.08
0.2
0.57
0.42
0.03
0.09
0.11
0.02
0.26
0
1
2
3
1
3
4
6
7
5
6.5
7
7.5
8
6.8
0.54
6.8
1.53
0.45
箱数
1500
800
100
P
2000
1300
600
-100
P
抗体
指标值
合计
小于60
不小于60
有抗体
没有抗体
合计
0.50
0.40
0.25
0.15
0.100
0.050
0.025
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
抗体
指标值
合计
小于60
不小于60
有抗体
50
110
160
没有抗体
20
20
40
合计
70
130
200