广东省深圳市南山区深圳市南山实验教育集团麒麟中学2024-2025学年下学期九年级开学考 数学试卷（含解析）

这是一份广东省深圳市南山区深圳市南山实验教育集团麒麟中学2024-2025学年下学期九年级开学考 数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．南湖公园是长春市著名旅游景点之一，图①是公园中“四角亭”景观的照片，图②是其航拍照片，则图③是“四角亭”景观的（ ）．
A．主视图B．俯视图C．左视图D．右视图
2．如图，的对角线，相交于点，，，若，，则四边形的周长为（ ）

A．4B．6C．8D．16
3．一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，正方形由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成，连接．若，则（ ）
A．5B．C．D．4
5．2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（ ）

A．千米B．千米C．千米D．千米
6．把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（ ）
A．当时， B．Q随I的增大而增大
C．I每增加1A，Q的增加量相同D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越多
7．如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点D是的中点，连接，．以点D为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
8．已知二次函数的图象经过，两点，则下列判断正确的是（ ）
A．可以找到一个实数，使得B．无论实数取什么值，都有
C．可以找到一个实数，使得D．无论实数取什么值，都有
二、填空题（本大题共5小题）
9．不透明的袋中装有大小质地完全相同的个球，其中个黄球、个白球和个红球．从袋中任取个球，恰为个红球的概率是 ．
10．如图，已知，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与、相交于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线．分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别与，相交于点，．若，，则到的距离为 ．
11．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度）是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ．
12．将图所示的七巧板，拼成图所示的四边形，连接，则 ．
13．对于反比函数，称，为反比例函数图象的两个“焦点”，若点为反比例函数图象上的任意一点，则恒有．如图，已知点为反比例函数在第三象限的图象上的一个动点，点为反比例函数的两个焦点，若平分，过点作的垂线，垂足为，连接，则的长为 ．
三、解答题（本大题共7小题）
14．计算：
(1)解方程：；
(2)
15．物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在延时课上制作了，，，四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀．
(1)小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中卡片的概率是______；
(2)小夏从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率．
16．京哈高速公路辽宁绥中至盘锦改扩建工程已经施工，计划2026年10月底建成通车．在施工中，某路段为了避免冬季低温对沥青黏度带来的不利影响，原计划30天的摊铺任务，仅用了12天就全部完成．实际每天摊铺的长度比原计划多120米．
(1)求原计划每天摊铺沥青多少米．
(2)如图是京哈高速公路辽宁段某服务区的一幅旅游广告图，整幅图是在两张风景区图片的基础上，四周及两张图中间镶以宽度相等的木质框架而成．若两张风景区图片的长都为3米，宽都为2米，镶上木质框架后整幅旅游广告图的面积是两张风景区图片总面积的．求镶上的木质框架的宽为多少米．
17．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣1）．
(1)若△ABO与△A1B1O关于y轴的对称，则A1、B1的坐标分别是_____________；
(2)请仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法．
①在图1中，找一格点P，使得∠APO＝45°；
②在图2中，作出△ABO的高AQ．
18．如图，在中，是直径，是弦，且，垂足为，，，在的延长线上取一点，连接，使．

(1)求证：是的切线；
(2)求的长．
19．综合与实践
问题情境：如图1，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点A，B在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案．
方案设计：如图2，米，的垂直平分线与抛物线交于点P，与交于点O，点P是抛物线的顶点，且米．欣欣设计的方案如下：
第一步：在线段上确定点C，使，用篱笆沿线段分隔出区域，种植串串红；
第二步：在线段上取点F（不与C，P重合），过点F作的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季．
方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定与的长．为此，欣欣在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题：
(1)在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式；
(2)求6米材料恰好用完时与的长．
20．综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动．
【特例探究】
（1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积．
等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表
请补全表格中数据，并完成以下猜想．
已知的角平分线，，，用含的等式写出两腰之和与两腰之积之间的数量关系：______．
【变式思考】
（2）已知的角平分线，，用等式写出两边之和与两边之积之间的数量关系，并证明．
【拓展运用】
（3）如图④，中，，点D在边上，．以点C为圆心，长为半径作弧与线段相交于点E，过点E作任意直线与边，分别交于M，N两点．请补全图形，并分析的值是否变化？
参考答案
1．【答案】B
【分析】根据三视图主视图、俯视图、左视图的定义即可解答．
【详解】解：由题意可知图③是从“四角亭”上方看到的，即为俯视图．
故此题答案为B．
2．【答案】C
【分析】由四边形是平行四边形得到，，再证明四边形是平行四边形，则，即可求解周长．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴周长为：，
故此题答案为C．
3．【答案】C
【分析】根据题意结合图形可知是重力与斜面形成的三角形的外角，从而可求得的度数．
【详解】解：重力的方向竖直向下，
重力与水平方向夹角为，
摩擦力的方向与斜面平行，，
，
故此题答案为C．
4．【答案】C
【详解】解：是四个全等的直角三角形，
，，，
四边形为正方形，，，
故此题答案为C．
5．【答案】A
【分析】根据锐角的正弦函数的定义即可求解
【详解】解：由题意得，
∴千米，
故此题答案为A．
6．【答案】C
【分析】准确从图中获取信息，并逐项判定即可．
【详解】解∶根据图1知：当时，，故选项A正确，但不符合题意；
根据图2知：Q随I的增大而增大，故选项B正确，但不符合题意；
根据图2知：Q随I的增大而增大，但前小半段增加的幅度小，后面增加的幅度大，故选项C错误，符合题意；
根据图1知：I随P的增大而增大，又Q随I的增大而增大，则P越大，插线板电源线产生的热量Q越多，故选项D正确，但不符合题意；
故此题答案为C．
7．【答案】C
【分析】过D作于E，利用圆内接四边形的性质，等边三角形的性质求出，利用弧、弦的关系证明，利用三线合一性质求出，，在中，利用正弦定义求出，最后利用扇形面积公式求解即可．
【详解】解∶过D作于E，
∵是边长为的等边三角形的外接圆，
∴，，，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故此题答案为C．
8．【答案】C
【分析】根据题意得到二次函数开口向上，且对称轴为，顶点坐标为，再分情况讨论，当时，当时，， 的大小情况，即可解题．
【详解】解：二次函数解析式为，
二次函数开口向上，且对称轴为，顶点坐标为，
当时，，
当时，，
，
当时，，
，
故A、B错误，不符合题意；
当时，，
由二次函数对称性可知，，
当时，，由二次函数对称性可知，，不一定大于，
故C正确符合题意；D错误，不符合题意；
故此题答案为C．
9．【答案】
【详解】解：画树状图如下：
由树状图可得，共有种等结果，其中恰为个红球的结果有种，
∴恰为个红球的概率为
10．【答案】
【分析】如图，过作于，证明，，，再证明，再结合勾股定理可得答案.
【详解】解：如图，过作于，
由作图可得：，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴到的距离为
11．【答案】
【详解】解：设反比例函数解析式为，
∵机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度，
∴，
∴反比例函数解析式为，
当时，
12．【答案】/
【详解】解：如图，设等腰直角的直角边为，则，小正方形的边长为，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图，过点作的延长线于点，则，，
由图（）可得，，，
∴，，
∴，
∴
13．【答案】
【详解】解：如图，延长相交于点，如图所示：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵点，关于原点对称，
∴，
∴为的中位线，
∴，
∵ ，
∴
14．【答案】(1)，
(2)
【分析】（）利用公式法解答即可；
（）利用绝对值的性质、二次根式的性质、特殊角的三角函数值及负整数指数幂分别运算，再合并即可
【详解】（1）解：，，，
∵，
∴，
∴，；
（2）解：原式
．
15．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接利用概率公式计算即可；
（2）根据题意列出表格或画出树状图表示出所有等可能的结果，再找出抽取两张卡片内容均为化学变化的结果，最后根据概率公式计算即可．
【详解】（1）解：小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中卡片的概率是．
（2）解：根据题意可列表格如下，
根据表格可知共有12种等可能的结果，其中抽取两张卡片内容均为化学变化的结果有2种，
∴抽取两张卡片内容均为化学变化的概率为．
16．【答案】(1)原计划每天铺设轨道80米
(2)镶上的木质框架的宽为0.2米
【分析】（1）设原计划每天铺设轨道x米，根据原计划30天的摊铺任务，仅用了12天就全部完成，列出一元一次方程，即可求解；
（2）设镶上的木质框架的宽为y米，根据“镶上木质框架后整幅旅游广告图的面积是两张风景区图片总面积的”列出一元二次方程，即可求解．
【详解】（1）设原计划每天铺设轨道x米，
根据题意得：，
解得：，
答：原计划每天铺设轨道80米；
（2）设镶上的木质框架的宽为y米，
由题意得：，
解得：，（不合题意，舍去），
答：镶上的木质框架的宽为0.2米．
17．【答案】(1)（3，2），（4，﹣1）
(2)①见解析；②见解析
【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B的对应点A1，B1即可；
（2）①构造等腰直角三角形解决问题即可；
②取格点M，N，连接MN交网格线于J，连接AJ延长AJ交OB于点Q，线段AQ即为所求．
【详解】（1）解：如图，△A1B1O即为所求，则A1、B1的坐标分别（3，2），（4，﹣1）；
（2）①如图1中，点P即为所求；
②如图2中，线段AQ即为所求．
18．【答案】(1)见详解；(2).
【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到，得到，根据切线的判定定理得到结论；
（2）根据垂径定理得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接，

，，，
，，，
，，，，
是的半径，是的切线；
（2）解：是直径，是弦，且，，
，，，
，，，，
，，．
19．【答案】(1)见解析，
(2)的长为4米，的长为2米
【分析】（1）根据题意以点O为原点建立坐标系，根据垂直平分，得出，根据设抛物线的函数表达式为，将代入求出a的值即可；
（2）设点E的坐标为，可得，，，根据求出m的值即可．
【详解】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系，
∵所在直线是的垂直平分线，且，
∴．
∴点B的坐标为，
∵，
∴点P的坐标为，
∵点P是抛物线的顶点，
∴设抛物线的函数表达式为，
∵点在抛物线上，
∴，
解得：．
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：∵点D，E在抛物线 上，
∴设点E的坐标为，
∵，交y轴于点F，
∴，，
∴．
∵在中，，
∴．
∴，
根据题息，得，
∴，
解得：（不符合题意，舍去），
∴．
∴，
答：的长为4米，的长为2米．
20．【答案】（1）见解析； ，（2），证明见解析；（3）是定值
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值分别计算，再填表即可；再由可得结论；
（2）如图，延长至使，连接，过作于，延长交于，证明为等边三角形，，，设，，利用相似三角形的性质求解，再进一步可得；
（3）根据题目要求画图，设，运用等腰三角形性质和三角形内角和定理可求得，过点作于，于，过点作于，利用，即可求得答案．
【详解】解：（1）∵，是的角平分线，，
∴，
∴；
∴，；
如图，由（1）可得：，
∴，
∴，，
∴；
（2）猜想：，理由如下：
如图，延长至使，连接，过作于，延长交于，
∵，平分，
∴为等边三角形，，，
设，，
∴，，而，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，即，
解得：，
∴；
，
∴；
（3）补全图形如图所示：
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
如图，过点作于，于，过点作于，
，
，
，，，
，
在中，，
，
，
，
，
，
由是确定的，由作图可得为定长，而和为定值，
为定值，
即为定值．图序
角平分线的长
的度数
腰长
两腰之和
两腰之积
图①
1
2
4
4
图②
1
2
图③
1
______
______
______
A
B
C
D
A
A，B
A，C
A，D
B
B，A
B，C
B，D
C
C，A
C，B
C，D
D
D，A
D，B
D，C
图序
角平分线的长
的度数
腰长
两腰之和
两腰之积
图①
1
2
4
4
图②
1
2
图③
1