广东省深圳市深圳高级中学（集团）东校区2024-2025学年下学期九年级开学考 数学试卷（含解析）

这是一份广东省深圳市深圳高级中学（集团）东校区2024-2025学年下学期九年级开学考 数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．如图1，古代叫“斗”，官仓、粮栈、米行、家里等都是必备的粮食度量用具．如图2，是它的几何示意图，下列图形是“斗”的俯视图的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，垂直平分于点E，则的长为（ ）
A．5B．C．D．10
3．将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
4．关于x的方程，下列解法完全正确的是（ ）
①两边同时除以得；
②整理得，，，，，；
③整理得，配方得，，，，；
④移项得：，或，，．
A．①B．②C．④D．③④
5．在《九章算术》“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门二十步有木，出南门十回步，折而西行一千七百七十五步见木，问邑方几何．”大意是：如图，是一座正方形小城，北门H位于的中点，南门K位于的中点，出北门20步到A处有一树木，出南门14步到C，向西行1775步到B处正好看到A处的树木（即点D在直线上），小城的边长为多少步，若设小城的边长为x步，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．函数y＝ax2﹣a与y＝ax+a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
7．某光敏电阻因光电效应使其阻值与所受光照的强弱（即光强，国际单位）之间成反比例关系，其函数图象如图1所示，小明用它设计了一个简易烟雾报警控制器，工作电路如图2所示，激光发生器发出的激光强度恒定不变，当烟雾浓度增大时，光敏电阻上的光照强度减小，已知电源电压．当闭合开关时，下列说法错误的是（ ）
A．当时，B．光照强度越大，电路中的电流越大
C．当报警器报警时，光照强度为D．烟雾浓度越大，光敏电阻的阻值越大
8．已知：菱形中，，，与交于点，点为上一点，以为对称轴，折叠，使点的对应点恰好落在边上，则的长为（ ）

A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5小题）
9．若，是一元二次方程的两个根，则 ．
10．一个不透明的箱子里装有4个红球和若干个白球，每个球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的球摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定于，估计箱子里白球的个数为 个．
11．如图，将的边与刻度尺的边缘重合，点A，D，B分别对应刻度尺上的整数刻度．已知，，，则 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点C，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B，连接，若，，则m的值是 ．
13．如图，为等腰三角形，，，以为斜边作Rt△ADB，，，连接，交于点E，则 ．
三、解答题（本大题共7小题）
14．计算：2cs45°tan30°cs30°+sin260°．
15．甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉．小明在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母表示，正面文字依次是文､明､自､由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．
(1)小明从中随机抽取一张卡片，抽取的卡片上的文字是“文”的概率为 ；
(2)小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法，求两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率．
16．综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔前有一座高为的观景台，已知，的坡度为，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为．
(1)求的长；
(2)求塔的高度．（结果保留个位）
（参考数据：，）
17．如图，在中，是对角线．
(1)请你用无刻度的直尺和圆规，作线段的垂直平分线，分别交于点M、N，交于点O（不写作法、保留作图痕迹）；
(2)判断四边形的形状，并说明理由；
(3)若，，则四边形的周长为______．
18．根据以下素材，完成探索任务．
19．请阅读信息，并解决问题：
20．【教材呈现】（1）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，点A为公共顶点，，若固定不动，将绕点A旋转，边，与边分别交于点D，E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），则结论是否成立 （填“成立”或“不成立”）；
【类比引申】（2）如图2，在正方形中，为内的一个动角，两边分别与，交于点E，F，且满足，求证：；
【拓展延伸】（3）如图3，菱形的边长为，，的两边分别与，相交于点E，F，且满足，若，则线段的长为 ．
参考答案
1．【答案】C
【分析】根据简单几何体的俯视图解答即可．
【详解】解：该几何体的俯视图如图所示：
故此题答案为C．
2．【答案】C
【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质可证是等边三角形，可得，进而得到，求出，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
，
∴，
；
故此题答案为C．
3．【答案】D
【分析】根据“上加下减，左加右减”的平移规律先求出平移后的解析式，再根据平移后的解析式求出平移后的顶点坐标即可．
【详解】解：将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后的抛物线解析式为，即，
∴移后抛物线的顶点坐标是，
故此题答案为D．
4．【答案】C
【分析】①不能两边同时除以，会漏根；②化为一般式，利用公式法解答；③利用配方法解答；④利用因式分解法解答．
【详解】解：①不能两边同时除以，会漏根，故错误；
②化为一般式，，，，故错误；
③利用配方法解答，整理得，配方得，，故错误；
④利用因式分解法解答，完全正确，
故此题答案为C．
5．【答案】B
【分析】设小城的边长为x步，利用可得比例关系，代入相关数据即可计算．
【详解】解：设小城的边长为x步，根据题意，，
则，
，
，
，
，
故此题答案为B．
6．【答案】C
【分析】根据题目中的函数解析式、二次函数的性质和一次函数的性质，利用分类讨论的方法可以得到函数y＝ax2﹣a与y＝ax+a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是哪个选项中的图象．
【详解】解：当a＞0时，函数y＝ax2﹣a的图象开口向上，顶点坐标为（0，﹣a），y＝ax+a（a≠0）的图象经过第一、二、三象限，故选项A、D错误；
当a＜0时，函数y＝ax2﹣a的图象开口向下，顶点坐标为（0，﹣a），y＝ax+a（a≠0）的图象经过第二、三、四象限，故选项B错误，选项C正确；
故此题答案为C．
7．【答案】C
【分析】根据图示，运用待定系数法可得反比例函数解析式，由此可判定A，B选项，根据阻值与所受光照的强弱（即光强，国际单位）之间成反比例关系，当电路中的电流达到时，报警控制器控制的报警器报警，运用电路中电压、电流、电阻的关系可判定C选项；根据题意判定D选项即可求解．
【详解】解：设，点在反比例函数图象上，
∴，
解得，，
∴，
∴当时，，故A正确，不符合题意；
根据反比例函数图象可得，当光照强度越大，电路中电阻的值越小，
∵导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比，
∴光照强度越大，电路中电流越大，故B正确，不符合题意；
当电路中的电流达到时，报警控制器控制的报警器报警，
∴，
∴，
∴，故C选项错误，符合题意；
烟雾浓度越大，越小，则越大，即光敏电阻的阻值越大，故D选项正确，不符合题意；
故此题答案为C ．
8．【答案】A
【分析】欲求的长，需要找出与相关联的（或转化为求）．经过观察发现．则，只需求出长即可进一步解出的长度．
【详解】是菱形，
，
，
，
由拆叠可知，
，，
，
，
，
，
故此题答案为A．
9．【答案】
【分析】对于一元二次方程，两根和有这样的关系：，，按题意代入即可．
【详解】解： 对于，系数为1，为3，
，是一元二次方程的两个根，
．
10．【答案】
【分析】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．设白球有x个，利用概率公式列出关于x的分式方程，解分式方程即可求解．
【详解】解：∵通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在，
∴估计摸到白球的概率为，
设白球有x个，根据题意，
得：，
解得，
经检验是分式方程的解，
∴估计箱子里白色小球的个数为．
11．【答案】
【分析】先读数得到，，再证明四边形是平行四边形，得到，，证明，利用相似三角形的性质得到，解方程即可得到答案．
【详解】解：由题意得，，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴
12．【答案】
【分析】作辅助线构造直角三角形．先根据直线求得点C的坐标，然后根据求得，然后利用正切的定义求得，从而求得点B的坐标，求得结论即可．
【详解】解：∵直线与y轴交于点C，当时，，
∴点C的坐标为，
∴，
过B作轴于D，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点B的坐标为，
∵反比例函数，在第一象限内的图象经过点B，
∴．
13．【答案】
【分析】先求解，，如图，过作于，过作于，过作于，求解，，，证明，求解，，进一步求解，证明，再利用相似三角形的性质解答即可.
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，，
如图，过作于，过作于，过作于，
∴，，，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
14．【答案】
【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．
【详解】解：原式
=﹣+
=．
15．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据概率计算公式求解即可；
（2）先列表或画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】（1）解：∵一共有4张卡片，卡片上的文字是“文”的卡片有1张，且每张卡片被抽到的概率相同，
∴小明从中随机抽取一张卡片，抽取的卡片上的文字是“文”的概率为，
故答案为：
（2）解：解法一：画树状图下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果有2种，
两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词．
解法二：列表如下：
由表可知，共有12种等可能的结果，两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果有2种，两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词．
16．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质求解即可；
（2）设，分别在和中，利用锐角三角函数定义求得，，过点作，垂足为．可证明四边形是矩形，得到，．在中，利用锐角三角函数定义得到，然后求解即可．
【详解】（1）解：在中，的坡度为，，
∴，
∴．
即的长为．
（2）解：设，
在中，，
∴．
在中，由，，，
则．
∴．
即的长为．
如图，过点作，垂足为．
根据题意，，
∴四边形是矩形．
∴，．
可得．
在中，，，
∴．即．
∴．
答：塔的高度约为．
17．【答案】(1)见解析
(2)四边形是菱形，理由见解析
(3)
【分析】（1）分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，在线段两侧分别得到一个交点，连接两个交点，交于点M、N，交于点O即可；
（2）四边形是菱形，连接，根据平行四边形的性质结合，是的垂直平分线，证明，得到，即可证明；
（3）证明，求出，再根据四边形是菱形，即可解答．
【详解】（1）解：如图所示，直线即为的垂直平分线；
（2）证明：四边形是菱形，理由如下：
连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是菱形；
（3）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴四边形的周长为．
18．【答案】（1）；（2）符合要求；（3）40元
【分析】（1）由“道路宽度x不超过12米，且不小于5米”，可得出x的取值范围；
（2）根据中间种植的面积是，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，结合（1）的结论，即可得出路面设置的宽度符合要求；
（3）设每平方米草莓平均利润下调y元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，再根据总利润销售利润承包费列出方程求解即可．
【详解】解：（1）根据题意得：；
（2）根据题意得： ，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
∵，
∴路面设置的宽度符合要求；
（3）设每平方米草莓平均利润下调y元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，
又∵要让利于顾客，
∴．
答：每平方米草莓平均利润下调40元．
19．【答案】任务1：；任务2：琴弦与拱端的水平距离为8米，的值为4米；任务3：该艺术品顶部应该安装在第5根和第6根琴弦之间
【分析】任务1：以桥所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，则点为原点，令抛物线的解析式为，将点代入中即可得出答案；
任务2：将代入即可得出的长度，再根据线段的和差即可得出的长度，进而求出的值；
任务3：将代入出的值，再进行判断该艺术品顶部应该安装在哪两根琴弦之间．
【详解】解：任务
如图，以桥所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立直角坐标系，
则点为原点，
由题意得，，，
则点的坐标为，
令抛物线的解析式为，
将点代入中得，
，
解得：，
则抛物线的解析式为．

任务（米），
将代入得，
，（舍），
（米，
（米），（米），
琴弦与拱端的水平距离为8米，的值为4米．
任务3：将代入得，
，（舍），
，
该艺术品顶部应该安装在第5根和第6根琴弦之间．
20．【答案】（1）成立；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据等腰三角形性质得出，再证即可；
（2）根据正方形性质得出即可；
（3）如图3，在上取一点M,使，过M作于N，，根据四边形为菱形，且，证出，，再证，求出，利用菱形的边长为，求出即可．
【详解】解：（1）结论成立
理由：如图1，∵和都是等腰直角三角形，
∴
∵，，
∴，
又∵，
∴,
∴
∵,
∴,
故结论成立；
（2）证明：如图2，
∵四边形是正方形，
∴,
∵，
∴,
∴，
∴，
又∵，
∴；
（3）线段的长为cm
理由：如图3，在上取一点M,使，过M作于N，
又∵四边形为菱形,且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴,
∵，，
∴
∵,
∴，
∴
∴,
∵菱形的边长为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴cm，
∴，
∴线段的长为．信息框
1．欧姆定律：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比．
2．串联电路中，电路的总电阻等于各电阻的阻值之和．
3．当电路中的电流达到时，报警控制器控制的报警器（图中没有画出）报警．
探索果园土地规划和销售利润问题
素材1
某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果．
出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米．
素材2
该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元．
问题解决
任务1
解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响．
（1）请直接写出纵向道路宽度x的取值范围．
（2）若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求．
任务2
解决果园种植的预期利润问题．
（总利润销售利润承包费）
（3）若农户预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？
问题
芙蓉大桥检修后需要更换吊杆及相关装饰品
查询信息
深圳有许多桥，有一座坐落于罗湖区的桥—芙蓉大桥，如图，是芙蓉大桥的一个拱，其外形酷似竖琴．桥拱固定在桥面上，拱的两侧安装了17对吊杆（俗称“琴弦”）此段桥长120米，拱高25米．

处理信息
如图是芙蓉大桥其中一拱的主视图，，分别表示是桥的起点和终点，桥拱可看成抛物线，拱的两端，位于线段上，且．一根琴弦固定在拱的对称轴处，其余16根琴弦对称固定在两侧，每侧各8根．记离拱端最近的一根为第1根，从左往右，依次记为第2根，第3根，为第9根，
测量数据
测得上桥起点与拱端水平距离为20米，最靠近拱端的“琴弦” 高9米，与之间设置7根“琴弦”，各琴弦的水平距离相等，记为米．
解决问题
任务1：建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
任务2：求琴弦与拱端的水平距离及的值．
任务3：若需要在琴弦与之间垂直安装一个如图所示高为的高音谱号艺术品，艺术品底部在桥面上，顶部恰好扣在拱桥上边缘，问该艺术品顶部应该安装在哪两根琴弦之间？
文
明
自
由
文
（文，明）
（文，自）
（文，由）
明
（明，文）
（明，自）
（明，由）
自
（自，文）
（自，明）
（自，由）
由
（由，文）
（由，明）
（由，自）