湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校2024-2025学年八年级下学期开学 数学试题（含解析）

这是一份湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校2024-2025学年八年级下学期开学 数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列实数中，是无理数的是（ ）
A．B．C．3.14D．
2．在平面直角坐标系中，点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．在代数式，，，，中整式的个数，是（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．如图，，，，则图中等腰三角形有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
6．如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．不变B．缩小3倍C．扩大3倍D．扩大9倍
7．如图，在中，，，垂直平分.如果，那么的长为（ ）
A．3B．4C．6D．8
8．我国已经成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在环保、节能等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油汽车对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油汽车平均每公里的加油费少0.4元．若充电费和燃油费均为300元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的3倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费用是多少？若设这款电动汽车平均每公里的充电费用是x元，则下列正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，在平面直角坐标系中，，，连接，以点为圆心为半径作弧，交轴于点，则点的横坐标为（ ）

A．3B．C．D．
10．如图，点在等边的边上，，射线，垂足为，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（ ）
A．B．7C．8D．9
二、填空题（本大题共6小题）
11．若，，则 ．
12．分解因式： ．
13．若分式的值等于0，则 ．
14．一个多边形的内角和是外角和的2倍，它是 边形．
15．如图所示，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为 ．
16．若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围为 ．
三、解答题（本大题共9小题）
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中．
19．已知，求与的值．
20．随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．为了了解同学们的支付习惯，某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，随机抽取了部分同学进行调查，其中要求每人选且只能选一种最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
(1)共调查了______人；在扇形统计图中，表示“支付宝”的扇形圆心角度数为______°；
(2)请将条形统计图补充完整；
(3)如果该校共有1200名学生，请你估计喜欢支付宝支付和微信支付的学生一共有多少名？
21．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝4，CD＝13，CB＝12．
①求BD的长度；
②求四边形ABCD的面积．
22．某商店第一次用 6300 元购进某款球鞋，很快卖完，第二次又用 4200 元购 进该款球鞋，但这次每双球鞋的进价是第一次进价的 1.2 倍，数量比第一次少了 40 双．
(1)求第一次每双球鞋的进价是多少元？
(2)若第二次进货后按 160 元/双的价格销售，恰好销售完一半时，根据市场情况，商店 决定对剩余的球鞋按同一标准一次性打折销售，但要求这次的利润不少于 2200 元，问最低可 打几折？
23．如图，在中，，，在的右侧作锐角三角形，使，连接交于点，过点作于点，连接．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
24．春晚已经成为中国现代化发展的文化符号：成为国家交流和对外传播的品牌和名片，成为彰显中国文化软实力的代表，从而构筑中国精神，中国价值，中国力量．在2025年中央广播电视台联欢晚会中：“巳巳如意”被用作主题，与“生生不息”相结合；表达了对未来的美好期望和祝福．我们定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的3倍的三角形叫做“巳巳如意三角形”．
(1)根据“巳巳如意三角形”的定义，可知等腰直角三角形 “巳巳如意三角形”（填“是”或“不是”）；
(2)若某三角形的三边长分别为6，，8，问该三角形是不是“巳巳如意三角形”？请作出判断并写出判断依据；
(3)在中，三边长分别为，，，且，，若这个三角形是“巳巳如意三角形”，请你求出的值，并说明理由．
25．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，点分别是轴负半轴，轴正半轴上的两个动点，点为第一象限的一个动点，其中，，连接，，，．
(1)如图2，若，满足，，，以为边在上侧作等边，连接，，
①求证：；
②求的长；
(2)如图3，若，，，，连接，求的长．
参考答案
1．【答案】A
【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数称为无理数，对选项一一进行分析，即可得出答案．
【详解】解：A、是无理数，故符合题意；
B、是有理数，故不符合题意；
C、3.14是有理数，故不符合题意；
D、是有理数，故不符合题意．
故此题答案为A
2．【答案】D
【详解】解：，，
在第四象限，
故此题答案为D．
3．【答案】D
【详解】解：A.，结论错误，故不符合题意；
B.，结论错误，故不符合题意；
C.，结论错误，故不符合题意；
D.，结论正确，故符合题意；
故此题答案为D．
4．【答案】C
【详解】解：整式有：，，，，共个，
故此题答案为C．
5．【答案】D
【分析】首先根据已知角度分别求出其他角度，然后根据等腰三角形的性质等角对等边，即可判定.
【详解】∵，
∴∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-36°-72°=72°
∴AB=AC
∴△ABC是等腰三角形
∵
∴∠BDC=180°-∠C-∠DBC=180°-72°-36°=72°
∴BC=BD
∴△BCD是等腰三角形
∵∠ABD=∠ABC-∠DBC=72°-36°=36°=∠A
∴AD=BD
∴△ABD是等腰三角形
故此题答案为D.
6．【答案】A
【分析】利用分式的基本性质变形化简得出答案．
【详解】如果把分式中的x和y都扩大3倍，
得，．
∴分式的值不变．
故此题答案为A．
7．【答案】C
【分析】由线段垂直平分线的性质得，进而有，则有；
进一步由含30度角直角三角形的性质求得，最后可求得结果．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
∴；
∴；
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故此题答案为C．
8．【答案】B
【分析】原来的燃油汽车行驶1千米所需的油费元，根据题意可得等量关系：燃油汽车所需油费300元所行驶的路程电动汽车所需电费300元所行驶的路程，根据等量关系列出方程即可．
【详解】解：根据题意，得，
故此题答案为B．
9．【答案】B
【分析】先由A、B的坐标得到，进而利用勾股定理求出的长，则可得到的长，再求出的长即可得到答案.
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点的横坐标为，
故此题答案为B.
10．【答案】A
【详解】解：作关于的对称点，过点作交于，交于，过作交于，
此时的值最小，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
；
故此题答案为A．
11．【答案】30
【分析】利用同底数幂的乘法的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
【详解】解：当3a=5，3b=6时，
3a+b=3a×3b=5×6=30．
12．【答案】
【分析】先提公因式3a，然后再利用平方差公式进行分解即可．
【详解】解：
13．【答案】
【分析】根据“分式的值为0的条件为分子等于0，分母不等于0”，即可求解．
【详解】解：∵分式的值等于，
∴且．
∴．
14．【答案】六/
【分析】设多边形边数为，根据题意列出方程，解方程，即可求解．
【详解】解：设多边形边数为，
根据多边形的内角和公式可得，
解得．
15．【答案】
【分析】根据图形和三角形的面积公式求出△ABC的面积，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】
解：△ABC的面积=×BC×AE=2，
由勾股定理得，
则，
解得
16．【答案】且
【分析】解分式方程得，由分式方程的最简公分母不为零得，即可求解．
【详解】解：方程两边同时乘以得，
，
解得：，
解为负数，
，
解得：，
，
，
，
解得：，
的取值范围为且
17．【答案】11
【分析】先计算负整数指数幂、算术平方根、零指数幂，再进行加减计算即可．
【详解】解：
．
18．【答案】，
【详解】解：原式
；
当时，
原式
．
19．【答案】
【分析】根据完全平方公式的变形进而求解即可
【详解】，
,
，
,
．
20．【答案】(1)；81
(2)见解析
(3)名学生中估计喜欢支付宝支付和微信支付的学生一共有名
【分析】（1）根据使用现金的人数和所占的百分比可以求得本次调查的人数，并求出示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数；
（2）根据（1）中的结果可以求得使用微信和银行卡的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）用乘以喜欢支付宝支付和微信支付的百分比，即可求解．
【详解】（1）解：本次调查的人数为：（人），
表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为： ，
故答案为：，81；
（2）解：使用微信的人数为：（人），
使用银行卡的人数为：，
补充完整的条形统计图如图所示：
（3）解：．
答：名学生中估计喜欢支付宝支付和微信支付的学生一共有名．
21．【答案】①5；②36
【分析】①根据勾股定理求解即可；
②先根据勾股定理的逆定理判断∠DBC=90°，再根据S四边形ABCD=S△ABD+S△DBC解答即可．
【详解】解：①在△ABC中，∵∠A＝90°，AB＝3，AD＝4，
∴；
②在△BDC中，∵，，
∴，
∴∠DBC=90°，
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△DBC=．
22．【答案】（1）70元（2）最低打6折
【分析】（1）设第一次每双球鞋的进价是x元，根据某商店第一次用6300 元购进某款球鞋，很快卖完，第二次又用4200 元购 进该款球鞋，但这次每双球鞋的进价是第一次进价的1.2倍，数量比第一次少了40个可列方程求解．
（2）设应打y折，根据若第二次进货后按160 元/双的价格销售，恰好销售完一半时，根据市场情况，商店决定对剩余的球鞋全部按同一标准一次性打折销售，但要求这次的利润不少于2200元，可列出不等式求解．
【详解】解：（1）设第一次每双球鞋的进价是x元，
，
x=70．
经检验得出x=70是原方程的解，且符合题意，
答：第一次每双球鞋的进价是70元．
（2）设设应打y折．
4200÷（70×1.2）=50双，
160×25+160×0.1y×25-4200≥2200，
y≥6，
故最低打6折．
23．【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)
【分析】（1）由直角三角形的特征得，，结合对顶角相等，即可得证；
（2）连接，由即可得证；
（3）延长交于，由全等三角形的性质得，由线段垂直平分线定理得 ，由勾股定理得，，即可求解；
掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定定理，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键．
【详解】（1）证明：，，
，
，
，
；
（2）证明：连接，
，
，
，
，
在和中
，
（）；
（3）解：延长交于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
故的长．
24．【答案】(1)是
(2)是，理由见详解
(3)或，理由见详解
【分析】（1）由勾股定理得，由新定义即可求解；
（2），，由新定义即可求解；
（3）由新定义分类讨论：①当时， ②当时， ③当时，即可求解
【详解】（1）解：如图，在中，，，
，
，
等腰直角三角形是“巳巳如意三角形”，
故答案为：是；
（2）解：是；
理由如下：
，
，
，
该三角形是“巳巳如意三角形”；
（3）解：是；理由如下：
①当时，
，
解得：，（舍去），
；
②当时，
，
解得：，（舍去），
；
③当时，
，
解得：，（舍去），
；
故的值为或．
25．【答案】(1)①见详解；②
(2)
【分析】（1）①由等边三角形的判定及性质得，是等边三角形，由可判定，由全等三角形的性质即可得证；
②取的中为，连接，由勾股定理得；由等边三角形的判定方法得是等边三角形，是等边三角形，由勾股定理得，由全等三角形的性质，即可求解；
（2）过作轴交于，作轴交于，过作交于，由平行线的性质得 ，，由勾股定理得，由三角形的面积得，求出，由勾股定理得，即可求解．
【详解】（1）①证明：，，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，，
，
，
在和中
，
（）；
②解：如图，取的中为，连接，
，
，，
解得：，，
，，
；
，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
；
（2）解：过作轴交于，作轴交于，过作交于，
轴，轴，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，，
，
，
．