四川省内江市第一中学2024-2025学年八年级下学期开学考试 数学试题（含解析）

这是一份四川省内江市第一中学2024-2025学年八年级下学期开学考试 数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了测评结束后，监测员将答题卡收回等内容，欢迎下载使用。
考试范围：八年级上册；考试时间：120分钟；
本测评卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．全卷满分120分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答第Ⅰ卷时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；答第Ⅱ卷时，用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡规定的区域内作答，字体工整，笔迹清楚；不能答在测评卷上．
2．测评结束后，监测员将答题卡收回．
第Ⅰ卷（选择题 共48分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的A、B、C、D四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 9的算术平方根是（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根的定义，根据算术平方根的定义计算即可，熟练掌握算术平方根的定义是解此题的关键．
【详解】解：，
9的算术平方根是，
故选：C．
2. 下列各数：，，﹣π，，，0.737737773 …（相邻两个3之间7的个数逐次加1），其中无理数的个数有（ ）
A 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据无理数的定义进行判断即可．
【详解】解：，，
在，，，，， …（相邻两个3之间7的个数逐次加1），其中无理数是， …，共2个，
故选：B
【点睛】此题考查了无理数，无限不循环小数叫做无理数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．
3. 如图，已知，那么添加下列条件后，仍无法判定的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、，熟练掌握三角形全等的判定方法是解答的关键．按照选项逐一分析即可．
【详解】解：A、添加，根据，能判定，故不符合题意；
B、添加，根据，能判定，故不符合题意；
C、添加，根据，能判定，故不符合题意；
D、添加时不能判定，故符合题意．
故选：D．
4. 如图四个三角形中，能构成全等三角形的是（ ）
A. ①②B. ②③C. ①③D. ③④
【答案】C
【解析】
【分析】先根据三角形内角和定理得到一个内角的度数，再根据ASA可证2个三角形全等，依此即可求解．
【详解】解：①中未知角的度数为：180°﹣70°﹣50°＝60°；②中未知角的度数为180°﹣70°﹣60°＝50°；
③中未知角的度数为180°﹣70°﹣60°＝50°；④中未知角的度数为180°﹣60°﹣50°＝70°；
又三角形中边长为25所相邻的角分别为：
①70°、50°；②60°、50°；③70°、50°；④60°、50°；
根据ASA可证2个三角形全等是③和①、②和④；
故选：C
【点睛】本题考查三角形全等，利用ASA定理进行证明去，重点在寻找对应角和对应边相等；
5. 下列计算正确的是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别根据去括号法则、合并同类项逐一判断即可．
【详解】解：A、，该项计算错误，不符合题意；
B、，该项计算错误，不符合题意；
C、与不是同类项，不能进行合并，不符合题意；
D、，该项计算正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查整式的加减，掌握去括号法则和合并同类项法则是解题的关键．
6. 计算的结果等于（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了幂的乘方逆用与积的乘方的逆用．先利用乘方的意义化简符号，再逆用同底数幂乘法将转化成，再逆用积的乘方公式即可．
【详解】解：
，
故选：D．
7. 下列命题中是真命题的是（ ）
A. 相等的角是对顶角B. 全等三角形对应边上的中线相等
C. 两条直线被第三条直线所截，同位角互补D. 不相交的两条直线是平行线
【答案】B
【解析】
【分析】题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的性质、全等三角形的性质、平行线的性质及定义．
根据对顶角的性质对A进行判断；根据全等三角形的性质对B进行判断；根据平行线的性质对C进行判断；根据平行线的定义对D进行判断．
【详解】解：A．相等的角是不一定为对顶角，是假命题，所以A选项不符合题意；
B．全等三角形对应边上的中线相等，是真命题，所以B选项符合题意；
C．两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，是假命题，所以C选项不符合题意；
D．在同一平面内，不相交的两直线是平行线，也可能重合，故是假命题，所以D选项不符合题意．
故选：B．
8. 已知的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A. B. ，，
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，逐一计算判断即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴是直角三角形，故A不符合题意；
∵，，
∴，
∴是直角三角形，故B不符合题意；
∵，，
∴，
∴，
∴是直角三角形，故C不符合题意；
∵，，
∴，
∴不是直角三角形，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，三角形内角和定理．熟练掌握勾股定理的逆定理和三角形内角和定理是解题的关键．
9. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若∠B＝15°，则∠EAC等于（ ）
A. 22.5°B. 30°C. 45°D. 60°
【答案】D
【解析】
【分析】由作图知DE为AB的垂直平分线，即可得∠BAE＝∠B＝15°，根据三角形外角的性质得∠AEC＝30°，由∠C＝90°可解答．
【详解】由作图可知DE为AB垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B＝15°，
∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝15°+15°＝30°，
∵∠C＝90°，
∴∠EAC＝90°﹣30°＝60°，
故选：D．
【点睛】考核知识点：线段垂直平分线.理解线段垂直平分线性质是关键.
10. 如图，地面上有一立方体物块宽AB=4cm，长BC=8cm，CD上的点G距地面的高CG=5cm，地面上一只蚂蚁从A处爬到G处，要爬行的最短路程是（ ）
A. 6cmB. C. 13cmD. 17cm
【答案】C
【解析】
【分析】要求不在同一平面内的两点间的最短距离，首先要把两点所在的两个平面展开到一个平面内，然后根据题意确定数据，再根据勾股定理即可求解．
【详解】如图所示，连接AG，则AG的长即为A处到G处的最短路程．
在Rt△ACG中，
∵AC=AB+BC=12cm，CG=5cm，
∴AG===13cm．
∴需要爬行的最短路径是13cm．
故选C．
【点睛】本题的是平面展开-最短路径问题，解答此类问题时要先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
11. 如图，折叠长方形纸片，使得点D落在边上的点F处，折痕为，已知，，则的长为（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，正确地求出CF的长是解题的关键．由折叠得，，由勾股定理得，求得，由即可求解．
【详解】解：由折叠得，，
，，
，，
，
，
，
，
，
解得，
故选：
12. 如图，在中，分别延长边上的中线到．使，则下列说法：①；②；③；④四边形的面积是面积的3倍．其中正确的有（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查三角形中线的定义，全等三角形的判定和性质，平行线的判定；由，，，根据“”证明，得，，所以，可判断②正确；同理，，所以，，，则，，可判断①正确；由，，证明、、三点在同一条直线上，则，设两条平行线与之间的距离为，则，可证明，可判断④正确，无法判断，于是得到问题的答案．
【详解】解：是的中线，
，
在和中，
，
，
，，
∴，故②正确；
同理，
，，
，，故①正确；
，，
、、三点在同一条直线上，
，
设两条平行线与之间的距离为，
，
∴，
，
，故④正确；
无法判断，故③错误；
综上分析可知：正确的有①②④，故B正确．
故选：B．
第Ⅱ卷（非选择题 共72分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）
13. 将多项式因式分解的结果是_______．
【答案】m（m+n）（m﹣n）
【解析】
【分析】先提取公因式，再用平方差公式进行分解即可．
【详解】解：
=
=m（m+n）（m﹣n）．
故答案为m（m+n）（m﹣n）．
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
14. 若是一个关于x，y完全平方式，则n的值是_______．
【答案】或##或
【解析】
【分析】此题考查了完全平方式，利用完全平方公式的结构特征判断即得到n的值是解本题的关键．
【详解】解：解：∵是一个关于x，y完全平方式，
∴，
则或．
故答案为：或．
15. 如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，若，则____________________．

【答案】
【解析】
【分析】根据角平分线的定义可得，，再根据三角形外角的性质可得，化简可得，进一步找出其中的规律，即可求出的度数．
【详解】解：和分别是的内角平分线和外角平分线，
，，
又，，
，
，
同理可得：，
，
则，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等，找出，，与的规律是解题的关键．
16. 已知，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有_________．（请填写序号）
【答案】①②③
【解析】
【分析】本题主要考查了代数式的恒等变形及整体代入法求代数式的值，熟练掌握整体代入法是解题的关键．将两边同时除以x可得，由此可得①正确；将①式两边平方再化简可得②正确；由，将①代入其中可得③正确；给①式两边同乘以得，再将①式变形得，然后代入上式即可判断④错误．
【详解】由，得
，
∴，
故①正确；
∵，
，
，
，
故②正确；
∵，
∴，
故③正确；
由，得，
两边同乘以，得，
又由，得，
，
，
，
，
故④错误．
综上，正确的有①②③，
故答案为：①②③．
三、解答题（本大题共6小题，共56分．解答时应写出必要的文字说明或演算步骤．）
17. （1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中，
【答案】（1）；（2），．
【解析】
【分析】（1）根据有理数的运算法则进行计算即可，
（2）利用完全平方公式和多项式乘多项式的运算法则先计算括号内的乘方和乘法，然后去括号，合并同类项进行化简，最后算括号外面的除法，再代入求值．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式

，
当，时，
原式．
【点睛】本题考查实数的混合运算，整式的混合运算，掌握算术平方根、立方根、取绝对值符号、完全平方公式是解题关键．
18. 已知：如图，等边中，点E在边BC上，，且．
（1）求证：；
（2）判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）等边三角形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形的性质得，，再根据“两直线平行，内错角相等”得，然后根据可得答案；
（2）根据全等三角形的性质得，，再说明，即可得出是等边三角形．
【小问1详解】
∵等边三角形，
∴，.
∵，
∴.
∵，
∴≌；
【小问2详解】
是等边三角形．理解如下：
∵≌，
∴，，
∴，
即，
∴等边三角形．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等边三角形的判定，灵活选择判定定理是解题的关键．
19. 某校数学课外小组为了解全校学生对第二课堂的喜欢程度，抽取了部分学生进行调查，被调查的每个学生按A（非常喜欢），B（比较喜欢），C（一般），D（不喜欢）四个等级对第二课堂进行评价，该小组采集数据后绘制了如下的两幅统计图，其中扇形统计图是正确的，而条形统计图尚有两处错误且不完整．
根据统计图提供的信息解答下列问题：
（1）此次被调查的学生人数为______人．
（2）你认为此条形统计图存在的错误一容易使人产生的错觉是什么？请把图中的错误二纠正过来并将条形统计图补充完整．
（3）如果该校有2000名学生，那么请估计对第二课堂“非常喜欢”和“比较喜欢”的学生共有多少人．
【答案】（1）200 （2）条形统计图存在的错误：
一是纵轴坐标不是从零开始的，容易使人产生的错觉是B的人数是A的3倍；
二是C的人数不是60而是50；
图见解析 （3）估计对第二课堂“非常喜欢”和“比较喜欢”的学生共有1200人
【解析】
【分析】本题考查的是条形统计图和条形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
（1）根据、的人数和所占的百分比求出抽取的学生人数；
（2）根据（1）的计算判断出的条形高度错误，用调查的学生人数乘以所占的百分比计算和学生人数乘以所占的百分比计算，求出的人数和的人数，然后补全统计图即可；
（3）用总人数乘以、所占的百分比计算即可得解．
【小问1详解】
解：∵，
，
∴此次调查学生人数为200人；
【小问2详解】
解：由题可知，条形高度应为：，
即的条形高度改为50；
故条形统计图存在的错误是：
一是纵轴坐标不是从零开始的，容易使人产生的错觉是B的人数是A的3倍；
二是C的人数不是60而是50；
条形高度应为：人，
条形统计图补充如图：
【小问3详解】
解：(人)．
答：该校对此活动“非常喜欢”和“比较喜欢”的学生有1200人．
20. 完全平方公式：，适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若，，求的值．
解：因为
所以，即：，又因为，所以．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：

（1）若，，求的值；
（2）若，求的值；
（3）如图，点是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据完全平方公式得出，整体代入求值即可；
（2）根据完全平方公式将转化为，再整体代入求值即可；
（3）设， ，可得，，求出即可．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴
；
【小问3详解】
解：设， ，
∵，
∴，
又∵，
∴，
由完全平方公式可得，，
∴，
∴，
∴，
答：阴影部分的面积为．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．
21. 学习了公式法后，老师向同学们提出了如下问题：
将多项因式分解：
．
求多项式的最小值．
由，得，因为，所以．所以当时，的值最小，且最小值为．
请你运用上述方法解决下列问题：
（1）将多项式因式分解；
（2）求多项式的最小值．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解的应用、平方的非负性、阅读理解的能力．解决本题的关键是读懂材料中所给的解题思路，根据材料所提供的思路解决问题．
根据阅读材料中所提供的解题思路，把多项式中含有的项凑成完全平方式，得到原式，然后再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可；
根据阅读材料中所提供的解题思路，把多项式中含有的项凑成完全平方公式，得到原式，分解因式可得原式，根据平方的非负性求出代数式的最小值即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
，
，
，
当时，多项式取得最小值为．
22. 如图，在中，，，D是BC边上的一个动点（其中），以AD为直角边作，其中，且，DE交AC于点F，过点A作于点G并延长交BC于点H．
（1）求证：；
（2）探索BD、CH、DH的数量关系，并说明理由；
（3）求证：当时，．
【答案】（1）见解析 （2），理由见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据“”可证；
（2）连接，由线段垂直平分线的性质可得，由勾股定理可得；
（3）过点F作于N，由角平分线的性质可得，由等腰直角三角形的性质可得，由三角形的面积公式可得．
【小问1详解】
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
【小问2详解】
如图，连接，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
如图，过点F作于N，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．