2024-2025学年甘肃省张掖市高二上册9月月考数学学情检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年甘肃省张掖市高二上册9月月考数学学情检测试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1. 数列满足，若，，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
2. 等差数列中，若，则等于（ ）
A. B. 0C. D. 1
3. 已知、、成等比数列，则的值为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知数列满足，则（ ）
A. B. C. D.
5. 若如图中的直线的斜率分别为，则（ ）
B.
C. D.
6. 若直线l经过点则直线l的一个法向量（ ）
A. B. C. D.
7. 已知点，，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8. 若数列的前项和为，且，则（ ）
A B. C. D.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题列出的四个选项中至少有一项是符合题目要求的，多选或错选不得分）
9. 记为等差数列前项和，则（ ）
A. B.
C. ，，成等差数列D. ，，成等差数列
10. 已知直线，直线，则（ ）
A. 直线与均恒过定点B. 直线与可能重合
C. 当时，直线与平行D. 当时，直线与垂直
11. 已知数列满足，，则（ ）
A. 为等比数列B. 的通项公式为
C. 为递增数列D. 的前n项和
三、填空题（每小题5分，共计15分）
12. 已知三点A，B，C在同一直线上，则实数的值是________.
13. 设等比数列的前项和为，则_______.
14. 已知数列首项，且满足.若对于任意的正整数，存在，使得恒成立，则的最小值是___________.
三、解答题（需写出必要的解题过程或文字说明，共77分）
15. 解决下列问题：
（1）已知等差数列an中，，，求及通项公式；
（2）已知等比数列an中，，，求及通项公式.
16. 等比数列的公比为2，且成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
17. 在下列三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.①垂直于直线；②平行于直线；③截距相等问题：直线l经过两条直线和的交点，且________.
（1）求直线l的方程；
（2）直线l不过坐标原点O，且与x轴和y轴分别交于两点，求的面积.
18. 已知的顶点，线段的中点为，且.
（1）求的值；
（2）求边上的中线所在直线的方程；
（3）求边上的高所在直线方程.
19. 数列的前项和为，且，在等差数列中，，．
（1）求数列和通项公式；
（2）若，求数列前项和；
（3）若，求数列的前项和
2024-2025学年甘肃省张掖市高二上学期9月月考数学学情检测试卷
一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分.每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）
1. 数列满足，若，，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【正确答案】C
【分析】由递推公式可得答案.
【详解】因为，，，
则，，
，，
故选：C.
2. 等差数列中，若，则等于（ ）
A. B. 0C. D. 1
【正确答案】B
【分析】根据等差数列下标和性质计算可得；
【详解】解：因为，
所以，所以，所以；
故选：B
3. 已知、、成等比数列，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据等比中项的性质计算可得；
【详解】解：因为、、成等比数列，
所以，解得；
故选：C
4. 已知数列满足，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】当,两式做差整理求解即可.
【详解】因为，
当，两式做差得：
，
故，当，，符合；故.
故选：D
5. 若如图中的直线的斜率分别为，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据图象结合斜率及倾斜角的关系分别判断即可.
【详解】设直线的倾斜角分别为，
则由图知，
所以，即．
故选：D.
6. 若直线l经过点则直线l的一个法向量（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】先求得，再一一代入，检验否为0即可判断各选项.
【详解】因为，所以，
对于A，当，则，不满足，A错；
对于B，当，则，不满足，B错；
对于C，当，则，不满足，C错；
对于D，当，则，满足，D对.
故选：D
7. 已知点，，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（ ）
A B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】首先求出直线、的斜率，然后结合图象即可写出答案．
【详解】解：记为点，直线的斜率，直线的斜率，
因为直线l过点，且与线段相交，
结合图象，可得直线的斜率的取值范围是．
故选：B．
8. 若数列的前项和为，且，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】令可求得的值，当时， 由可得，两式作差推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，求出的值，即可得解.
【详解】当时，，可得，
当时， 由可得，
上述两个等式作差可得，可得，
所以，数列是首项为，公比也为的等比数列，则，
因此，.
故选：D.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题列出的四个选项中至少有一项是符合题目要求的，多选或错选不得分）
9. 记为等差数列的前项和，则（ ）
A. B.
C. ，，成等差数列D. ，，成等差数列
【正确答案】BCD
【分析】利用等差数列求和公式分别判断.
【详解】由已知得，
A选项，，，，所以，A选项错误；
B选项，，B选项正确；
C选项，，，，，，则，C选项正确；
D选项，，，，则，D选项正确；
故选：BCD.
10. 已知直线，直线，则（ ）
A. 直线与均恒过定点B. 直线与可能重合
C. 当时，直线与平行D. 当时，直线与垂直
【正确答案】ACD
【分析】消去参数，求出定点判断A，化简直线得到方程组，利用方程组无解判断B，利用直线平行的条件判断C，利用直线垂直的条件判断D即可.
【详解】若直线必过定点，则一定要使参数对点不产生影响，
令，解得，所以直线恒过定点，
令，解得，所以直线恒过定点，故A正确，
直线可化为，若直线与重合，但无解，
故直线与不可能重合，故B错误；
当时，直线，直线，
因为，，
所以两直线平行，故C正确；
当时，直线，直线，
由题意得，，所以，故两直线垂直，故D正确．
故选：ACD
11. 已知数列满足，，则（ ）
A. 为等比数列B. 的通项公式为
C. 为递增数列D. 的前n项和
【正确答案】AD
【分析】根据已知证明为定值即可判断A；由A选项结合等比数列的通项即可判断B；作差判断的符号即可判断C；利用分组求和法即可判断D.
【详解】因为，
所以+3，所以，
又因为，
所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，故A正确；
，即，故B不正确；
因为，
因为，所以，
所以，所以为递减数列，故C错误；
，
则，故D正确.
故选：AD.
三、填空题（每小题5分，共计15分）
12. 已知三点A，B，C在同一直线上，则实数的值是________.
【正确答案】3
【分析】利用三点共线与斜率的关系，斜率的计算公式.
【详解】三点A，B，C在同一直线上，
，，解得.
故3.
13. 设等比数列的前项和为，则_______.
【正确答案】1
【分析】利用等比数列的通项公式和性质可知为等比数列，由此列式求解即可.
【详解】设等比数列an的公比为，
由可知，
因为，，
所以，且，解得，
故1
14. 已知数列的首项，且满足.若对于任意的正整数，存在，使得恒成立，则的最小值是___________.
【正确答案】3
【分析】根据数列的递推公式，运用累加法求出数列的通项公式，经分析得到，若对于任意的正整数，存在，使得恒成立，则有，进而求出的最小值.
【详解】数列满足，且，即，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
以上各式相加，得
又，，
，，
若对于任意的正整数，存在，使得恒成立，则有，
的最小值是3.
故答案为.
三、解答题（需写出必要的解题过程或文字说明，共77分）
15. 解决下列问题：
（1）已知等差数列an中，，，求及通项公式；
（2）已知等比数列an中，，，求及通项公式.
【正确答案】（1）；；
（2）；或.
【分析】（1）由等差数列通项，求和公式结合题意可得答案；
（2）由等比数列求和公式可得答案.
【小问1详解】
设等差数列公差为，首项为，
则，
则；
；
【小问2详解】
设等比数列公比为，首项为，显然.
则
,则.
得.
因，则或
若，则；
若，则.
综上，或.
16. 等比数列的公比为2，且成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】(1)运用等差中项求出 ，再根据等比数列的通项公式求出 ；
(2)根据条件求出 的通项公式，再分组求和.
【小问1详解】
已知等比数列的公比为2，且成等差数列，
， ， 解得，
；
【小问2详解】
，
.
；
综上，
17. 在下列三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.①垂直于直线；②平行于直线；③截距相等问题：直线l经过两条直线和的交点，且________.
（1）求直线l的方程；
（2）直线l不过坐标原点O，且与x轴和y轴分别交于两点，求的面积.
【正确答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析
【分析】（1）设出直线方程，利用直线平行，垂直的性质求解参数即可.
（2）求出直线与坐标轴的交点，再利用三角形面积公式求解即可.
【小问1详解】
由，解得，所以交点坐标为.
选①，垂直于直线，设直线l的方程为：，
其过点，则，即，故直线l的方程为.
选②，平行于直线，设直线l的方程为：，
其过点，则，即，故直线l的方程为.
选③，截距相等，当直线l经过原点时，，符合题意；当直线l不过原点时，
设为，其经过点，故，即.得直线l：，
化简得，故直线l的方程为或；
【小问2详解】
由（1）知选①时，直线l的方程为，
可知其在x轴和y轴的交点分别为，，故.
选②时，直线l的方程为，
可知其在x轴和y轴的交点分别为，，故.
选③时，直线l的方程为，可知其
在x轴和y轴的交点分别为，故.
18. 已知的顶点，线段的中点为，且.
（1）求的值；
（2）求边上的中线所在直线的方程；
（3）求边上的高所在直线方程.
【正确答案】（1）；
（2）；
（3）.
【分析】（1）根据中点坐标公式以及垂直的直线之间满足的斜率关系即可求得；
（2）根据中点坐标公式及斜率公式即可求得方程；
（3）根据题意可得：所求方程即为直线的方程，根据斜率公式和点斜式方程即可求得.
【小问1详解】
因为，所以点，
因，且直线斜率存在，
则，即，则.
【小问2详解】
设线段的中点为，则点，则，
则直线的方程为，整理得：，
即边上的中线所在直线的方程为.
【小问3详解】
根据题意可知，，
则直线的方程为，整理得：，
即边上的高所在直线方程为.
19. 数列的前项和为，且，在等差数列中，，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，求数列的前项和；
（3）若，求数列的前项和．
【正确答案】（1），
（2）
（3）
【分析】（1）利用与之间的关系可得数列的通项公式；利用等差数列的通项公式列方程组可得数列的通项公式.
（2）利用裂项相消法求和可得答案.
（3）利用错位相减法可求得答案.
【小问1详解】
当时，，即，
当时，由得，
则两式相减得，即，整理得，
所以，是首项，公比的等差数列，
则，即，
设等差数列的公差为，则，
即，解得，所以，即，
故，.
【小问2详解】
，，
，
解得.
【小问3详解】
，
，
，
故，
即
解得