2024-2025学年河北省衡水市高二上册9月月考数学学情检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年河北省衡水市高二上册9月月考数学学情检测试题（含解析），共23页。试卷主要包含了 已知两直线和，若，则， 过椭圆C等内容，欢迎下载使用。
1. 已知两直线和，若，则（ ）
A. B. 8C. D. 2
2. 若方程表示一个圆，则实数的取值范围为（ ）
A. ，，B.
C. D.
3. 阿基米德是古希腊著名的数学家､物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知在平面直角坐标系中，椭圆的面积为，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆的标准方程是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知直线斜率的范围为，则直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A. 或
B.
C.
D. 或
5. 已知圆，若圆刚好被直线平分，则的最小值为（ ）
A. 8B. 10C. 16D.
6. 过椭圆C：右焦点F直线l：交C于A、B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为，则椭圆C的方程为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知是圆的一条弦，且，是的中点，当弦在圆上运动时，直线上存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆的右焦点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若椭圆的焦距为2，则实数的值可为（ ）
A. 1B. 4C. 6D. 7
10. 已知直线，，，以下结论正确的是（ ）
A. 不论为何值时，与都互相垂直；
B 当变化时，与分别经过定点和
C. 不论为何值时，与都关于直线对称
D. 如果与交于点M，则的最大值是
11. 已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，直线与交于、两点，轴，垂足为，直线与椭圆的另一个交点为，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则的面积为
B. 四边形可能为矩形
C. 直线的斜率为
D. 若与、两点不重合，则直线和斜率之积为
三､填空题：本题3个小题，每小题5分，共15分.
12. 已知圆内有点，则以点为中点的圆的弦所在的直线方程为______.
13. 已知，，则代数式的最小值为__________；
14. 已知为椭圆上的一点，过作直线交圆于两点，则的取值范围为______.
四､解答题：共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知圆，直线．
（1）求证：直线l恒过定点；
（2）判断直线l与圆C的位置关系；
（3）当时，求直线l被圆C截得的弦长．
16. 已知直线经过点.
（1）若原点到直线l的距离为2，求直线l的方程；
（2）若直线被两条相交直线和所截得的线段恰被点P平分，求直线的方程.
17. 已知椭圆C：经过点，、是椭圆C的左、右两个焦点，，P是椭圆C上的一个动点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若点P在第一象限，且，求点P的横坐标的取值范围．
18. 已知圆，点P是直线上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．
（1）当切线PA的长度为时，求点P的坐标；
（2）若的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）求线段AB长度的最小值．
19. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，圆：与轴正半轴的交点是，过点的直线与圆交于不同的两点.
（1）若直线与轴交于，且，求直线方程；
（2）设直线，的斜率分别是，，求的值；
（3）设的中点为，点，若，求的面积.
2024-2025学年河北省衡水市高二上学期9月月考数学学情检测试题
一､单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知两直线和，若，则（ ）
A. B. 8C. D. 2
【正确答案】A
【分析】依据当两直线平行时有计算出的值即可得解.
【详解】由题可知，
.
故选：A.
2. 若方程表示一个圆，则实数的取值范围为（ ）
A. ，，B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】
根据题意，由二元二次方程表示圆的条件可得，解可得的取值范围，即可得答案．
【详解】根据题意，若方程表示一个圆，则，
解可得或，
即实数的取值范围为，，，
故选：A
3. 阿基米德是古希腊著名的数学家､物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知在平面直角坐标系中，椭圆的面积为，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆的标准方程是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】由椭圆的面积为和两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，得到求解.
【详解】由题意得，解得，
所以椭圆的标准方程是.
故选：A
4. 已知直线的斜率的范围为，则直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A. 或
B.
C.
D. 或
【正确答案】D
【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系计算即可.
【详解】由题意可知，
由正切函数的单调性可知：或.
故选：D
5. 已知圆，若圆刚好被直线平分，则的最小值为（ ）
A. 8B. 10C. 16D.
【正确答案】C
【分析】利用给定条件得到，再进行基本不等式中‘1’的代换求解即可.
【详解】因为圆，所以圆心为，
因为圆刚好被直线平分，
所以直线必过点，代入直线中得到，
所以，
当且仅当时取等，此时解得，故C正确.
故选：C
6. 过椭圆C：右焦点F的直线l：交C于A、B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为，则椭圆C的方程为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】由题意，可得右焦点的坐标，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理，求出的中点的坐标，由直线的斜率可得，的关系，再由椭圆中，，的关系求出，的值，进而可得椭圆的方程．
【详解】解：直线中，令，可得，所以右焦点，，
设，，，，则，的中点，
联立，整理得，
所以，，
所以，
所以，又，，
所以，，
所以椭圆的方程为，
故选：A．
关键点点睛：本题解题的关键是联立直线和椭圆的方程，然后利用韦达定理求出，，进而根据由两点间的斜率公式得，的关系.
7. 已知是圆的一条弦，且，是的中点，当弦在圆上运动时，直线上存在两点，使得恒成立，则线段长度的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据已知条件先确定出点的轨迹方程，然后将问题转化为“以为直径的圆要包括圆”，由此利用圆心到直线的距离结合点的轨迹所表示圆的半径可求解出的最小值.
【详解】由题可知：，圆心，半径，
又，是的中点，所以，
所以点的轨迹方程，圆心为点，半径为，
若直线上存在两点，使得恒成立，
则以为直径的圆要包括圆，
点到直线的距离为，
所以长度的最小值为，
故选：B．
关键点点睛：解答本题的关键在于点轨迹方程的求解以及转化思想的运用，根据弦中点以及线段长度可求点轨迹方程，其次“恒成立”转化为“以为直径的圆包括的轨迹”，结合圆心到直线的距离加上半径可分析的最小值.
8. 已知是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆的右焦点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】利用椭圆的对称性以及定义可得，即可得，利用二次函数的性质即可求解.
【详解】由对称性和椭圆定义可知，其中，
故，
又因，设点，则，
所以，
当时，取得最小值，最小值为4，当时，取得最大值，最大值为64，所以，
故当时，取得最小值，最小值为51，
当时，取得最大值，最大值为，
故的取值范围是.
故选：C.

二､多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若椭圆的焦距为2，则实数的值可为（ ）
A. 1B. 4C. 6D. 7
【正确答案】BC
【分析】分别考虑焦点在轴、轴上的两种情况，然后根据求解出的值.
【详解】若焦点在轴上，则，故；若
焦点在轴上，则，故．
故选：BC．
10. 已知直线，，，以下结论正确的是（ ）
A. 不论为何值时，与都互相垂直；
B. 当变化时，与分别经过定点和
C. 不论为何值时，与都关于直线对称
D. 如果与交于点M，则的最大值是
【正确答案】ABD
【分析】对于每个选项要逐个分析才能判断.
【详解】对于A，如果 ，则 ，分别平行于x轴和y轴，显然 ；
如果 ，则 ， 恒成立，A正确；
对于B，对于直线，当时，恒成立，则过定点；对于直线，当时，恒成立，则恒过定点，B正确；
对于C，在上任取点，关于直线对称的点的坐标为，
代入方程知：不在上，C错误；
对于D，联立，解得：，即，
，即最大值是，D正确；
故选：ABD.
11. 已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，直线与交于、两点，轴，垂足为，直线与椭圆的另一个交点为，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则的面积为
B. 四边形可能为矩形
C. 直线斜率为
D. 若与、两点不重合，则直线和斜率之积为
【正确答案】BC
【分析】
利用余弦定理、椭圆的定义以及三角形的面积公式可判断A选项的正误；根据四边形可能为矩形求出点的横坐标，可判断B选项的正误；利用斜率公式可判断C选项的正误；利用点差法可判断D选项的正误.
【详解】在椭圆中，，，，设点、，则，如下图所示：
对于A选项，由椭圆的定义可得，
在中，由余弦定理可得，可得，
因此，的面积为，A选项错误；
对于B选项，由于直线与椭圆都关于原点对称，则点、也关于原点对称，
又、关于原点对称，所以，四边形为平行四边形，
若四边形为矩形，则，而，，
，
解得，B选项正确；
对于C选项，，可知点，则，C选项正确；
对于D选项，由于点、在椭圆上，则，
上述两个等式相减得，可得，
直线的斜率为，直线的斜率为，
所以，，D选项错误.
故选：BC.
结论点睛：有关点差法的结论如下：
①设是椭圆的任意一条不与坐标轴垂直的弦，点为弦的中点，则直线和直线（其中为坐标原点）的斜率之积；
②设是椭圆的任意一条过原点的弦，点是该椭圆上与点、不关于坐标轴对称的一点，则直线和的斜率之积为.
三､填空题：本题3个小题，每小题5分，共15分.
12. 已知圆内有点，则以点为中点的圆的弦所在的直线方程为______.
【正确答案】
【分析】
由圆的一般方程求得圆的圆心，求得直线的斜率，再由两直线垂直的条件求得所求直线的斜率，由直线的点斜式方程可求得答案．
【详解】由，得圆心为（1,0），故直线的斜率为 ，
所以以点为中点的圆的弦所在的直线的斜率为，
所以所求的直线方程为，即，
故．
13. 已知，，则代数式的最小值为__________；
【正确答案】
【分析】由题意可得式子表示正方形内部的点到四个顶点的距离之和，由距离公式可得答案
【详解】解：由题意可得四个式子分别表示点到的距离和，
因为，，
所以点在4条直线所围成的正方形内部，
，
当为正方形的对角线的交点，即为正方形的中心时，三点共线且三点共线，即和同时取得最小值，此时取得最小值
即当点为该正方形的中心时，原式取得最小值，
把代入计算可得最小值为，
故
关键点点睛：此题考查两点间的距离公式的应用，解题的关键是把代数式转化为点到的距离和，从而可求得答案，考查转化思想，属于中档题
14. 已知为椭圆上的一点，过作直线交圆于两点，则的取值范围为______.
【正确答案】
【分析】如图，过作，垂足为，可知是中点，则可得，再由勾股定理可得出，由椭圆的有界性即可求出最值.
【详解】如图，过作，垂足为，可知是中点，
可得，
中，，
在中，，
联立可得，
设，则（），
，
，则，
即，故的取值范围为.
故答案为.
四､解答题：共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知圆，直线．
（1）求证：直线l恒过定点；
（2）判断直线l与圆C的位置关系；
（3）当时，求直线l被圆C截得的弦长．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）点A在圆C内，从而直线l与圆C相交（无论m为何实数）；（3）.
【分析】（1）将直线方程整理为关于参数m的方程，可令求解，即可证结论.
（2）由（1）所得定点，根据定点到圆心距离与半径的关系，即可判断直线l与圆C的位置关系；
（3）由圆的弦长与半径、弦心距的关系，求直线l被圆C截得的弦长．
【详解】（1）证明：直线l的方程可化为，又，
∴，解得，
∴直线l恒过定点．
（2）圆心，，
∴点A在圆C内，从而直线l与圆C相交（无论m为何实数）．
（3）当时，直线l的方程为，圆心到直线l的距离．
∴此时直线l被圆C截得的弦长为．
16. 已知直线经过点.
（1）若原点到直线l的距离为2，求直线l的方程；
（2）若直线被两条相交直线和所截得的线段恰被点P平分，求直线的方程.
【正确答案】（1）或
（2）
【分析】（1）通过讨论直线的斜率存在和不存在的情况，求出直线方程即可；
（2）、的坐标分别设为、，根据题意得到，，从而得到方程组，解出的坐标是，再利用点斜式求解方程即可.
【小问1详解】
（1）当直线的斜率不存在时，显然成立，直线方程为，
当直线斜率存在时，设直线方程为，
由原点到直线的距离为得，解得，
故直线的方程为，即，
综上，所求直线方程为或.
【小问2详解】
设直线夹在直线，之间的线段为（在上，在上），
、的坐标分别设为、，
因为被点平分，所以，，
于是，，
由于在上，在上，即，解得，，
即的坐标是，故直线的斜率是，
故直线的方程为：，
即.
17. 已知椭圆C：经过点，、是椭圆C的左、右两个焦点，，P是椭圆C上的一个动点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若点P在第一象限，且，求点P的横坐标的取值范围．
【正确答案】（1）
（2）．
【分析】（1）依题意得焦点坐标，再利用椭圆的定义求得，进而求得即可；
（2）设，从而可求得，再把代入求解即可.
【小问1详解】
由已知得，，
，，，
同理，
，
，，
椭圆的标准方程为．
【小问2详解】
设，且，则，，

．
由椭圆方程可得，
整理得，所以，
即点的横坐标的取值范围是．
18. 已知圆，点P是直线上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．
（1）当切线PA长度为时，求点P的坐标；
（2）若的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）求线段AB长度的最小值．
【正确答案】（1）或；（2）圆过定点，；（3）当时，AB有最小值．
【分析】（1）设，由，计算即可求得，得出结果；
（2）因为A、P、M三点的圆N以MP为直径，所以圆的方程为，化简为，由方程恒成立可知，即可求得动圆所过的定点；
（3）由圆和圆方程作差可得直线方程，设点到直线AB的距离，则，计算化简可得结果.
【详解】（1）由题可知，圆M的半径，设，
因为PA是圆M的一条切线，所以，
所以，
解得或，
所以点P的坐标为或．
（2）设，因为，
所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径，
其方程为，
即，
由，
解得或，
所以圆过定点，．
（3）因为圆N方程为，
即①
又圆②
①-②得圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为
．
点到直线AB的距离，
所以相交弦长
，
所以当时，AB有最小值．
本题考查直线和圆的位置关系，考查定点问题和距离的最值问题，难度较难.
19. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，圆：与轴的正半轴的交点是，过点的直线与圆交于不同的两点.
（1）若直线与轴交于，且，求直线的方程；
（2）设直线，斜率分别是，，求的值；
（3）设的中点为，点，若，求的面积.
【正确答案】（1）（2）-1（3）
【分析】（1）可设点，表示出，可求出参数或6，结合题意可舍去，再由两点已知求出直线的方程；
（2）可设，设直线方程为，联立直线和圆的方程求出关于的一元二次方程，表示出韦达定理，再分别求出，结合前式即可求解；
（3）设，由建立方程，化简可得，由（2）可得，联立求解得，再结合圆的几何性质和点到直线距离公式及三角形面积公式即可求解；
【详解】（1）设，求出，，
则或6，结合直线圆的位置关系可知，一定满足，，此时直线的方程为：；
当时，，，直线的方程为：，圆心到直线距离（舍去）；
（2）设直线的方程为：，联立
可得：，
设，则，①
，
则，②
将①代入②化简可得，
即；
（3）设点，由点，，
可得，化简得，③
又，④
④式代入③式解得或，由圆心到直线的距离，故，此时，圆心到直线距离，
则，直线方程为：，，到直线的距离，则
本题考查圆中，由向量关系反求直线方程，由韦达定理求解圆锥曲线中的定值问题，由弦的中点问题求三角形面积，圆的几何性质，点到直线距离公式等，计算能力，综合性强，属于