2024-2025学年河北省秦皇岛市高二上册开学摸底考试数学检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年河北省秦皇岛市高二上册开学摸底考试数学检测试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了 已知，则在上的投影向量为， 已知事件A，B满足，，则等内容，欢迎下载使用。
说明：
1.考试时间120分钟，满分150分.
2.将卷I答案用2B铅笔涂在答题卡上，卷Ⅱ用黑色字迹的签字笔答在试卷上.
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1. 若复数是纯虚数，则实数a=（ ）
A. B. C. D. 6
2. 已知p： q：，则p是q的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 为了解中学生课外阅读情况，现从某中学随机抽取100名学生，收集了他们一周内的课外阅读时间：
这100名学生的一周内课外阅读时间的分位数是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知角的始边与轴非负半轴重合，终边过点，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，则在上的投影向量为（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知某个正四棱台的上、下底面边长和高的比为，若侧棱长为，则该棱台的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知正三棱锥的四个顶点都在半径为R的球面上，且，若三棱锥的体积为，则该球的表面积为（ ）
A B. C. D.
8. 在中，，是的中点，，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分）
9. 已知事件A，B满足，，则（ ）
A. 事件A与B可能为对立事件
B. 若A与B相互独立，则
C 若A与B互斥，则
D. 若A与B互斥，则
10. 已知函数的图象关于直线对称，则（ ）
A. 函数为奇函数
B. 函数在上单调递增
C. 若，则最小值为
D. 函数的图象关于中心对称
11. 已知正方体的棱长为2，点P是的中点，点M是正方体内（含表面）的动点，且满足，下列选项正确的是（ ）
A. 动点M在侧面内轨迹的长度是
B. 三角形在正方体内运动形成几何体的体积是2
C. 直线与所成角为，则的最小值是
D. 存在某个位置M，使得直线与平面所成的角为
三、填空题（共3小题，每题5分，共15分）
12. 已知函数，若，则______.
13. 在中，，，点O是的外心，则________．
14. 如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别是直角三角形的斜边，直角边，，点在以为直径的半圆上，延长，交于点.若，，，则的面积是______.

四、解答题（共5题，共77分）
15. 的内角的对边分别为，已知.
（1）求角；
（2）若，且的面积为，求的周长.
16. 已知向量，且与的夹角为，
（1）求证：
（2）若，求的值；
（3）若与的夹角为，求的值．
17. 某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.
（1）根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄；
现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者.
（2）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
（3）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这人中35～45岁所有人的年龄的方差.
18. 甲、乙两人各射击一次，击中目标概率分别是和.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响.
（1）求甲、乙各射击一次均击中目标的概率；
（2）求甲射击4次，恰有3次连续击中目标的概率；
（3）若乙在射击中出现连续2次未击中目标就会被终止射击，求乙恰好射击4次后被终止射击的概率.
19. 已知平面四边形，，，，现将沿边折起，使得平面平面，此时，点为线段的中点．
（1）求证：平面；
（2）若为的中点
①求与平面所成角的正弦值；
②求二面角的平面角的余弦值.
2024-2025学年河北省秦皇岛市高二上学期开学摸底考试数学
检测试卷
说明：
1.考试时间120分钟，满分150分.
2.将卷I答案用2B铅笔涂在答题卡上，卷Ⅱ用黑色字迹的签字笔答在试卷上.
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1. 若复数是纯虚数，则实数a=（ ）
A. B. C. D. 6
【正确答案】A
【分析】利用复数的除法运算法则，再结合纯虚数概念的理解就可以得解.
【详解】因为，且为纯虚数，
所以，，解得.
故选：A.
2. 已知p： q：，则p是q的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】A
【分析】根据与的互相推出情况判断出属于何种条件.
【详解】当时，，所以，所以充分性满足，
当时，取，此时不满足，所以必要性不满足，
所以是的充分不必要条件，
故选：A.
3. 为了解中学生课外阅读情况，现从某中学随机抽取100名学生，收集了他们一周内的课外阅读时间：
这100名学生的一周内课外阅读时间的分位数是（ ）
A B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据百分位计算规则计算可得.
【详解】因为，又，
所以这名学生的一周内阅读时间的分位数为从小到大排列的第与第两数的平均数，
即为.
故选：A
4. 已知角的始边与轴非负半轴重合，终边过点，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据三角函数的定义结合二倍角的余弦公式求解即可.
【详解】因为角的始边与轴非负半轴重合，终边过点，
所以，
所以.
故选：D.
5. 已知，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】设与夹角为，由已知得出，再根据投影向量的计算公式求解即可．
【详解】由得，，设与夹角为，
则，解得，
所以在上的投影向量为，
故选：C．
6. 已知某个正四棱台的上、下底面边长和高的比为，若侧棱长为，则该棱台的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】设上底面边长为，则下底面边长为，高为，根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出侧面等腰梯形的高为，最后根据梯形的面积公式可求出结果.
【详解】设上底面边长为，则下底面边长为，高为，
上底面正方形对角线长为，下底面正方形对角线长为，
又侧棱长为，所以，解得，
所以侧面等腰梯形的高为，
所以该棱台的侧面积为.
故选：A.
7. 已知正三棱锥的四个顶点都在半径为R的球面上，且，若三棱锥的体积为，则该球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】取的中心，设球心为，先由三棱锥的体积求出棱锥的高为，再由勾股定理求出球的半径，最后求表面积即可.
【详解】
由题意得，为等边三角形，取的中心，设球心为，易得共线，设三棱锥的高为，
，则，则，又，
由正弦定理得，，在中，，即，
解得，则球的表面积为.
故选：D.
8. 在中，，是的中点，，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据题意，由正弦定理可得，即可得到，再由正弦型函数的值域，代入计算，即可求解.
【详解】
因为，，在中，
由正弦定理可得，
则，
且是的中点，则，
又，则，
则
，
又，则，
所以，则，
即的取值范围为.
故选：C
二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分）
9. 已知事件A，B满足，，则（ ）
A. 事件A与B可能为对立事件
B. 若A与B相互独立，则
C. 若A与B互斥，则
D. 若A与B互斥，则
【正确答案】BC
【分析】根据对立事件的定义判断选项A；若相互独立，则相互独立，可以判断选项B;互斥，判断选项C和D.
【详解】对于A，由,则,故A错误；
对于B，与相互独立，则与相互独立，
故,故B正确；
对于CD，互斥，则,,故C正确，D错误.
故选：BC
10. 已知函数的图象关于直线对称，则（ ）
A. 函数为奇函数
B. 函数在上单调递增
C. 若，则的最小值为
D. 函数的图象关于中心对称
【正确答案】ACD
【分析】首先求出的值，即可得到函数解析式，再利用正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【详解】解：函数的图象关于直线对称，
，，因为，所以，所以．函数为奇函数，故正确；
当，，函数没有单调性，故错误；
若，因为，所以或，则的最小值，故正确；
，所以函数的图象关于中心对称，故正确
故选：．
11. 已知正方体的棱长为2，点P是的中点，点M是正方体内（含表面）的动点，且满足，下列选项正确的是（ ）
A. 动点M在侧面内轨迹的长度是
B. 三角形在正方体内运动形成几何体的体积是2
C. 直线与所成的角为，则的最小值是
D. 存在某个位置M，使得直线与平面所成的角为
【正确答案】ABC
【分析】根据空间中的线面垂直关系分析可得动点的轨迹为截面，对于A，动点在侧面的轨迹为线段；对于B，三角形在正方体内运动形成几何体为四棱锥，计算四棱锥即可；对于C， 直线与直线所成角即为直线与直线所成角，当时，所成角正切值最小；对于D，当与或重合时，直线与平面所成角最大，并与比较即可.
【详解】如图所示，取中点，连接，
取中点，连接.
在立方体中，因为，为中点，所以，
所以，，，四点共面.
又因为平面，
且平面，所以，
又因为，
且平面,，
所以平面，
又因为平面,
所以.
因为，
且，且均为锐角，
所以，
又因为平面，
且平面，
所以，
又因为平面，且，
所以平面,
又因为平面，所以.
又因为平面，且，
所以平面.又因为，
则平面，所以的轨迹为截面.
对于A，因为平面，
且平面平面，
所以动点在平面内的轨迹长度为的长，且，故A正确；
对于B，三角形在正方体内运动形成几何体为四棱锥.
且.
又因为，
所以，
，
所以四棱锥的体积为，故B正确；
对于C，因为，
所以直线与直线所成角为，
在直角三角形中，
当时，，
所以，故C正确；
对于D，易知与或重合时，直线与平面所成角最大，
且为或，
因为，
所以，
所以不存在某个位置，使得直线与平面所成角为，故D错误.
故选：ABC.
思路点睛：本题可从以下方面解题.
（1）计算出动点的运动轨迹为截面；
（2）四棱锥的体积计算，注意拆分；
（3）线线角、线面角要结合勾股定理.
三、填空题（共3小题，每题5分，共15分）
12. 已知函数，若，则______.
【正确答案】−2
【分析】由题意，即可求得答案.
【详解】因为，，
所以，所以.
故答案：−2 .
13. 在中，，，点O是的外心，则________．
【正确答案】##
【分析】利用外心的性质及平面向量数量积的几何意义计算即可.
【详解】
如图所示，分别为边中点，则
易知，
由平面向量数量积的几何意义可知，
所以.
故
14. 如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别是直角三角形的斜边，直角边，，点在以为直径的半圆上，延长，交于点.若，，，则的面积是______.

【正确答案】
【分析】根据题意得到，再用正弦的和角公式求解，再求出，由三角形的面积公式即可得出答案.
【详解】由题意得：，
所以，故，所以，
因为，所以
故
，
因为，，，所以，
又因为，，所以，
所以的面积是.
故选：A.
四、解答题（共5题，共77分）
15. 的内角的对边分别为，已知.
（1）求角；
（2）若，且的面积为，求的周长.
【正确答案】（1）或；
（2）当时，周长为；当时，周长为；
【分析】（1）利用正弦定理和三角变换求出角；（2）利用余弦定理求出，即可求出周长.
【小问1详解】
在中，由正弦定理得：，所以可化为.
因为，所以，所以.
因为，所以或.
【小问2详解】
因为的面积为，所以,即，解得.
由余弦定理得.
当时， 有，所以，解得：符合题意，
所以的周长为.
当时， 有，所以，解得：符合题意，
所以的周长为.
16. 已知向量，且与的夹角为，
（1）求证：
（2）若，求的值；
（3）若与的夹角为，求的值．
【正确答案】（1）证明见解
（2）或
（3）
【分析】（1）利用向量的数量积的定义及向量数量积的运算律，结合向量垂直的条件即可求解；
（2）根据（1）的结论及向量的模公式，结合向量数量积的运算律及一元二次方程的解法即可求解；
（3）根据（1）的结论及向量的模公式，利用向量的数量积的运算律及向量的夹角公式即可求解.
【小问1详解】
因为与的夹角为，
所以，
所以，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，，
因为，
所以，即，
于是有，即
，解得或,
所以的值为或.
小问3详解】
由（1）知，，
因为
所以，
，
，
因为与的夹角为，
所以，即，且，
于是有，解得或（舍）,
所以的值为.
17. 某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.
（1）根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄；
现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者.
（2）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
（3）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这人中35～45岁所有人的年龄的方差.
【正确答案】（1）岁
（2）
（3）10
【分析】（1）由频率分布直方图的平均数算法可得；
（2）根据古典型概念公式可得；
（3）根据分层抽样平均数和方差公式可得.
【小问1详解】
设这人的平均年龄为，则
【小问2详解】
由题意得，第四组应抽取人，记为（甲），，，，
第五组抽取人，记为（乙），，
对应的样本空间的样本点为：
设事件为“甲、乙两人至少一人被选上”，则
，
所以
【小问3详解】
设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，
则，，，，
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为，
则，
，
因此第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10.
据此估计这人中35～45岁所有人的年龄的方差为10.
18. 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响.
（1）求甲、乙各射击一次均击中目标的概率；
（2）求甲射击4次，恰有3次连续击中目标的概率；
（3）若乙在射击中出现连续2次未击中目标就会被终止射击，求乙恰好射击4次后被终止射击的概率.
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）由于两人射击是否击中目标相互之间没有影响，所以由相互独立事件的概率公式求解即可；
（2）记事件表示“甲第次射击击中目标”，并记“甲射击4次，恰有3次连续击中目标”为事件C，则，且与是互斥事件，再由独立事件和互斥事件的概率求解即可；
（3）记事件表示“乙第次射击击中目标”，事件D表示“乙在第4次射击后被终止射击”，则，且与是互斥事件，再利用由独立事件和互斥事件的概率求解即可.
【小问1详解】
用事件A表示“甲击中目标”，事件B表示“乙击中目标”.
依题意知，事件A和事件B相互独立，
因此甲、乙各射击一次均击中目标的概率为.
【小问2详解】
用事件表示“甲第次射击击中目标”，并记“甲射击4次，恰有3次连续击中目标”为事件C，则，且与是互斥事件.
由于，，，之间相互独立，
所以与（i，，且）之间也相互独立.
由于，
所以，
故
.
所以甲射击4次，恰有3次连续击中目标的概率为.
【小问3详解】
用事件表示“乙第次射击击中目标”，事件D表示“乙在第4次射击后被终止射击”，
则，且与互斥事件.
由于，，，之间相互独立，
所以与（i，，且）之间也相互独立.
因为，
所以，
故
.
所以乙恰好射击4次后被终止射击的概率为.
19. 已知平面四边形，，，，现将沿边折起，使得平面平面，此时，点为线段的中点．
（1）求证：平面；
（2）若为的中点
①求与平面所成角的正弦值；
②求二面角的平面角的余弦值．
【正确答案】（1）证明见解析
（2）①；②．
【分析】（1）利用面面垂直证明线面垂直，再证明线线垂直，从而可证明线面垂直；
（2）因为线面垂直可证明更多的空间垂直关系，所以本题的线面角和二面角都可以通过作图，得到它们的平面角，从而解三角形即可得到平面角的三角函数值.
【小问1详解】
因为，，所以为等边三角形，
因为为的中点，所以．
取的中点，连接，，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以．
因为，，，平面，所以平面，
因为平面，所以，
又因为,，，平面，所以平面．
【小问2详解】
①过点作，垂足为．如图所示，
由（1）知，平面．因为平面，所以．
，所以平面，
所以就是与平面所成角的平面角．
由（1）知，平面，平面，所以．
在中，，，，
因为为的中点，所以．
在中，，
在中，，
在中，，
所以由同角三角函数的基本关系得．
所以与平面所成角的正弦值为．
②取的中点为，连接，因为为线段的中点，
所以，
由（1）知，平面，所以平面，平面．
所以．
过点作，垂足为，连接，，，平面，
所以平面．平面，所以，
所以为二面角的平面角．
在中，，
由（1）知，为等边三角形，为线段的中点，
所以
由（1）知，平面，平面．所以，
中，，由（2）知，，
即，解得．
因为平面，平面，所以．
在中，．
，
所以二面角的平面角的余弦值为．
关键点点睛：本题第二问的关键是根据二面角的定义找出二面角，再利用勾股定理定义求出相关线段，最后根据三角函数的定义即可得到答案.
一周内课外阅读时间/小时
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