2024-2025学年青海省西宁市高二上册第一次月考数学学情检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年青海省西宁市高二上册第一次月考数学学情检测试题（含解析），共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（本题5分）已知，则点A关于平面的对称点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
2．（本题5分）直线的倾斜角是（ ）
A．0B．C．πD．不存在
3．（本题5分）已知三棱锥O—ABC，点M，N分别为线段AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（ ）
A．B．
C．D．
4．（本题5分）已知向量，，且，那么实数等于（ ）
A．3B．-3C．9D．-9
5．（本题5分）已知点，，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．（本题5分）在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是（其中O为坐标原点）（ ）
A．B．
C．D．
7．（本题5分）设O为坐标原点，向量，，，点Q在直线上运动，当取最小值时，（ ）
A．B．C．D．
8．（本题5分）如图，在正四棱锥中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（共18分）
9．（本题6分）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ）
A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则
B．两个不同的平面，的法向量分别是，，则
C．直线的方向向量，平面的法向量是，则
D．直线的方向向量，平面的法向量是，则
10．（本题6分）如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，若一点P在底面内（包括边界）移动，且满足，则（ ）
A．与平面的夹角的正弦值为B．点到的距离为
C．线段的长度的最大值为D．与的数量积的范围是
11．（本题6分）给出下列命题，其中不正确的为（ ）
A．若，则必有A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段
B．若，则是钝角
C．若，则与一定共线
D．非零向量满足与，与，与都是共面向量，则必共面
三、填空题（共15分）
12．（本题5分）如图，已知平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱长为3，且，则 .
13．（本题5分）如图，在多面体中，平面，平面，，且，M是AB的中点，则平面与平面夹角的余弦值为 .
14．（本题5分）过,两点的直线与过、两点的直线垂直，则 .
四、解答题（共77分）
15．（本题13分）已知点，，，设，，．
(1)若实数使与垂直，求值．
(2)求在上的投影向量．
16．（本题15分）已知四边形的四个顶点坐标分别为，，，．
试判断四边形的形状，并给出证明.
17．（本题15分）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且与、的夹角都等于，在棱上，，设，，．

(1)试用，，表示出向量；
(2)求与所成的角的余弦值．
18．（本题17分）如图，在四棱锥中，，底面为正方形，分别为的中点．
(1)求证：∥平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求点到平面的距离．
19．（本题17分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面内过作，交于，连.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的正弦值；
(3)在线段上存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，求的长.
2024-2025学年青海省西宁市高二上学期第一次月考数学学情检测试题
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题（共40分）
1．（本题5分）已知，则点A关于平面的对称点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】B
【分析】根据坐标平面的对称性求解．
【详解】点A关于平面的对称点的坐标是，
故选：B．
2．（本题5分）直线的倾斜角是（ ）
A．0B．C．πD．不存在
【正确答案】B
【分析】由给定直线的位置求出倾斜角即得.
【详解】直线垂直于x轴，所以直线的倾斜角是.
故选：B
3．（本题5分）已知三棱锥O—ABC，点M，N分别为线段AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【正确答案】D
【分析】利用向量的线性运算，用，，表示出.
【详解】点M，N分别为线段AB，OC的中点，
则
故选：D
4．（本题5分）已知向量，，且，那么实数等于（ ）
A．3B．-3C．9D．-9
【正确答案】D
【分析】运用空间向量共线列式计算即可.
【详解】∵，，且，
∴，
解得，，
∴．
故选：D．
5．（本题5分）已知点，，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【正确答案】B
【分析】首先求出直线、的斜率，然后结合图象即可写出答案．
【详解】解：记为点，直线的斜率，直线的斜率，
因为直线l过点，且与线段相交，
结合图象，可得直线的斜率的取值范围是．
故选：B．
6．（本题5分）在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是（其中O为坐标原点）（ ）
A．B．
C．D．
【正确答案】D
【分析】根据四点共面的条件逐项判断即可求得结论.
【详解】空间向量共面定理：，若不共线，且共面，其充要条件是.
对A，因为，所以四点不共面；
对B，因为，所以四点不共面；
对C，由可得，
因为，所以四点不共面；
对D，由可得，
即，因为，所以四点共面.
故选：D
7．（本题5分）设O为坐标原点，向量，，，点Q在直线上运动，当取最小值时，（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】B
【分析】设，从而可得,的坐标，再利用空间向量的数量积运算求解的最小值，即可得的值．
【详解】，，，点在直线上运动，
可设，
，，
，
当时，取得最小值，
.
故选：B．
8．（本题5分）如图，在正四棱锥中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】B
【分析】建立空间直角坐标系，先利用向量法求，则得线线角.
【详解】连接交于，连接，
由四棱锥是正四棱锥，则平面，且.
以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由，不妨设，则，
在中，，
则，则，
，
则，
由异面直线与所成角为锐角，所求余弦值为.
故选：B.
二、多选题（共18分）
9．（本题6分）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ）
A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则
B．两个不同的平面，的法向量分别是，，则
C．直线的方向向量，平面的法向量是，则
D．直线的方向向量，平面的法向量是，则
【正确答案】AB
【分析】运用空间线线平行，线面平行，线面垂直，面面垂直的向量证明方法,结合向量平行垂直的坐标结论，逐个判断即可.
【详解】两条不重合直线，的方向向量分别是，，则，所以，A正确；
两个不同的平面，的法向量分别是，，则，所以，B正确；
直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以或，C错误；
直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以，D错误．
故选：AB
10．（本题6分）如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，若一点P在底面内（包括边界）移动，且满足，则（ ）
A．与平面的夹角的正弦值为B．点到的距离为
C．线段的长度的最大值为D．与的数量积的范围是
【正确答案】ABD
【分析】建系，标点，设，根据向量垂直可得.对于A：利用空间向量求线面夹角；对于B：利用空间向量求点到线的距离；对于C：根据空间向量的模长公式分析求解；对于D：根据空间向量的数量积分析求解.
【详解】如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，设，
可得，，
若，则，可得，
则，解得，即.
对于选项A：可知平面的法向量，
则，
所以与平面的夹角的正弦值为，故A正确；
对于选项B：因为，
所以点到的距离为，故B正确；
对于选项C：因为，
则，
且，可得当且仅当时，取到最大值，
所以线段的长度的最大值为3，故C错误；
对于选项D：因为，，
则，
且，可知当时，取到最小值；
当时，取到最大值；
所以与的数量积的范围是，故D正确；
故选：ABD.
11．（本题6分）给出下列命题，其中不正确的为（ ）
A．若，则必有A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段
B．若，则是钝角
C．若，则与一定共线
D．非零向量满足与，与，与都是共面向量，则必共面
【正确答案】ABD
【分析】对于选项ABD，可直接举反例说明，C选项根据共线向量性质可得结论.
【详解】对于A，考虑平行四边形中，满足，但不满足A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段，即A错误；
对于B，当两个非零向量的夹角为时，满足，但不是钝角，即B错误；
对于C，当时，可得，则与一定共线，可知C正确；
对于D，考虑三棱柱，令，
满足与，与，与都是共面向量，但不共面，可得D错误.
故选：ABD
三、填空题（共15分）
12．（本题5分）如图，已知平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱长为3，且，则 .
【正确答案】
【分析】由空间向量的加法法则有，然后平方，转化为数量积运算可得．
【详解】平行六面体中，，
..
故．
13．（本题5分）如图，在多面体中，平面，平面，，且，M是AB的中点，则平面与平面夹角的余弦值为 .
【正确答案】23
【分析】根据条件建立空间直角坐标系，先求得平面与平面的法向量，再求出向量夹角的余弦值.
【详解】因为平面，平面，平面，所以，，
又，故以为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，

因为，
所以，
则，
设平面法向量，
则，取，可得，
易知平面的一个法向量，
设平面与平面夹角为，
则.
故答案为.
14．（本题5分）过,两点的直线与过、两点的直线垂直，则 .
【正确答案】0或5
【分析】先分别求出两条直线的方向向量，进而用向量的垂直关系即可求解.
【详解】两直线的方向向量分别为、，
故，解得或，
当时，,，、符合题意；
当时，,，、符合题意.
综上可知，或.
故或.
四、解答题（共77分）
15．（本题13分）已知点，，，设，，．
(1)若实数使与垂直，求值．
(2)求在上的投影向量．
【正确答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，求出空间向量的坐标，再结合向量垂直的坐标表示列式计算即得.
（2）利用投影向量的定义求解即得.
【详解】（1）依题意，，，
由与垂直，得，解得，
所以.
（2）由（1）知，，，
所以在上的投影向量为.
16．（本题15分）已知四边形的四个顶点坐标分别为，，，．
试判断四边形的形状，并给出证明.
【正确答案】直角梯形；证明见解析．
【分析】由各点坐标可求得四边的斜率，再由平行和垂直的斜率表示即可得出结论.
【详解】由已知可判断四边形是直角梯形，
证明如下：因为，，，．
由斜率公式得，，，，
所以，，即且不平行，
所以四边形是梯形，
又因为，所以，
综上，四边形是直角梯形；
17．（本题15分）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且与、的夹角都等于，在棱上，，设，，．

(1)试用，，表示出向量；
(2)求与所成的角的余弦值．
【正确答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量线性运算，化简即得用，，表示向量的式子；
（2）利用空间的数量积和向量夹角公式进行求解即可．
【详解】（1）因为，则，
因为ABCD是边长为1的正方形，则，
且，可得，
又因为，，，所以.
（2）由题意可知：，，与、的夹角均为60°，与的夹角为90°，
则
，
可得，
又因为
，
设与所成的角为，所以．
18．（本题17分）如图，在四棱锥中，，底面为正方形，分别为的中点．
(1)求证：∥平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求点到平面的距离．
【正确答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用中位线定理证明，然后由线面平行的判定定理证明即可；
（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式求解即可；
（3）求出的坐标，然后利用点到平面距离的向量公式求解即可．
【详解】（1）证明：因为，分别为，的中点，
所以，
又平面，平面，
故平面；
（2）由于平面，
所以平面，
以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则,1,，,1,，,0,，,0,，,0,，
所以，
设平面的法向量为，
则，令，则，，
故，
设直线与平面所成角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为；
（3）因为，
又平面的法向量为，
所以点到平面的距离为．
19．（本题17分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面内过作，交于，连.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的正弦值；
(3)在线段上存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，求的长.
【正确答案】(1)证明见解析
(2).
(3).
【分析】（1）由已知四边形为矩形，证明，由条件根据面面垂直性质定理证明平面；
（2）建立空间直角坐标系，求平面，平面的法向量，利用向量法求出二面角的余弦值，再求其正弦值；
（3）设，求，利用向量方法求直线与平面所成的角的正弦值，列方程求.
【详解】（1）因为，因为，，
所以四边形为矩形，
在中，，，，
则，
，，
且平面平面，平面
平面平面，
平面；
（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，，可得，
则，，，，C−1,3,0，
设平面的法向量为，，，
由，取.
设平面的法向量为，，
由，取，
.
二面角是钝角，
二面角的正弦值为.
（3）设，则，
又平面的法向量为，
直线与平面所成的角的正弦值为，
解得，.