2025年高考数学第一轮复习考点讲与练第01讲分类加法原理与分步乘法原理(学生版+解析)

这是一份2025年高考数学第一轮复习考点讲与练第01讲分类加法原理与分步乘法原理(学生版+解析)，共23页。试卷主要包含了 5年真题考点分布， 命题规律及备考策略等内容，欢迎下载使用。

1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等，分值为5分
【备考策略】1.理解、掌握分类加法原理与分步乘法原理的定义
2.会分类加法原理与分步乘法原理在实际问题中的应用及计算
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般会和排列组合结合在小题中考查，需重点复习
知识讲解
1．分类加法计数原理
做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．
2．分步乘法计数原理
做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的方法……做第n个步骤有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．
3．分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别
分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．
使用分类加法计数原理时两个注意点
(1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏.
(2)分类时，注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，不能重复.
利用分步乘法计数原理解题时三个注意点
(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的．
(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这件事．
(3)对完成每一步的不同方法数要根据条件准确确定．
应用两个计数原理的难点在于明确分类和分步．分类要做到“不重不漏”，正确把握分类标准是关键；分步要做到“步骤完整”，步步相连能将事件完成，较复杂的问题可借助图表完成．
考点一、分类加法原理
1．（2023·北京东城·二模）某社区计划在端午节前夕按如下规则设计香囊：在基础配方以外，从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选择一味添加到香囊，则不同的添加方案有（ ）
A．种B．种C．种D．种
2．（2023·全国·高三专题练习）将编号1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3的盒子中，要求不允许有空盒子，且球与盒子的号不能相同，则不同的放球方法有（ ）
A．16种B．12种C．9种D．6种
1．（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）有3名同学同时被邀请参加一项活动，必须有人去，去几人自行决定，共有 种不同的去法.（用数字回答）
2．（2023·全国·高三专题练习）如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1，2，3，4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有 个.
考点二、分步乘法原理
1．（2023·全国·高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A．30种B．60种C．120种D．240种
2．（全国·高考真题）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
A．24B．18C．12D．9
1．（2023秋·山东·高三校联考阶段练习）某商店共有，，三个品牌的水杯，若甲、乙、丙每人买了一个水杯，且甲买的不是品牌，乙买的不是品牌，则这三人买水杯的情况共有（ ）
A．3种B．7种C．12种D．24种
2．（2024·山东菏泽·二模）在2024年高校自主招生考试中，高三某班的四名同学决定报考三所高校，则恰有两人报考同一高校的方法共有（ ）
A．9种B．36种C．38种D．45种
3．（2024·江苏南通·模拟预测）某志愿者小组有5人，从中选3人到A、B两个社区开展活动，其中1人到社区，则不同的选法有（ ）
A．12种B．24种C．30种D．60种
考点三、两个计数原理的综合应用
1．（2024·上海·高考真题）设集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两个不同元素之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值 ．
2．（2024·河南信阳·模拟预测）从0，1，2，5中取三个不同的数字，组成能被5整除的三位数，则不同三位数有（ ）
A．12个B．10个C．8个D．7个
3．（2024·安徽合肥·模拟预测）2024届高三某次联考中对尖端生采用屏蔽措施，某校历史方向有五名屏蔽生总分在前9名，现在确定第一、二、五名是三位同学，但不是第一名，两名同学只知道在6至9名，且的成绩比好，则这5位同学总分名次有多少种可能（ ）
A．6B．12C．24D．48
1．（2024·河北·模拟预测）用能组成没有重复数字且比32000小的数字（ ）个.
A．212B．213C．224D．225
2．（23-24高二下·广东中山·期末）用数字，，，，，组成的有重复数字的三位数且是偶数的个数为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·江苏扬州·仪征中学校考模拟预测）某人从上一层到二层需跨10级台阶，他一步可能跨1级台阶，称为一阶步，也可能跨2级台阶，称为二阶步，最多能跨3级台阶，称为三阶步，从一层上到二层他总共跨了6步，而且任何相邻两步均不同阶，则他从一层到二层可能的不同走法共有（ ）种.
A．10B．9C．8D．12
1．（2024·云南大理·模拟预测）现有4个同学站成一排，将甲、乙2个同学加入排列，保持原来4个同学顺序不变，不同的方法共有（ ）种
A．10B．20C．30D．60
2．（2024·河南·二模）将甲，乙等5人全部安排到四个工厂实习，每人只去一个工厂，每个工厂至少安排1人，且甲，乙都不能去工厂，则不同的安排方法有（ ）
A．72种B．108种C．126种D．144种
3．（2024·陕西商洛·三模）甲、乙、丙、丁、戊5名大学生实习时，有A，B，C三家企业可供选择，若去C企业最多一人，则不同分配种数是（ ）
A．112B．80C．64D．32
4．（2024·河南濮阳·模拟预测）某班派遣五位同学到甲、乙、丙三个街道打扫卫生．每个街道至少有一位同学去，至多有两位同学去，且两位同学去同一个街道，则不同的派遣方法有（ ）
A．18B．24C．36D．48
5．（23-24高二下·天津北辰·期中）从0，2，4中选一个数字．从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为（ ）
A．48B．30C．24D．6
6．（23-24高二下·广西桂林·期末）从1，3，5，7中任取2个数字，从2，4中任取1个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是（ ）
A．8B．12C．18D．72
7．（24-25高三上·北京·阶段练习）某外商计划在5个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有（ ）
A．36种B．60种C．120种D．180种
8．（24-25高三上·广东·阶段练习）小明去超市从4种功能性提神饮料和5种电解质饮料中选3瓶进行购买，若每种饮料至多买一瓶，则功能性提神饮料和电解质饮料都至少买1瓶的买法种数为 ．（用数字作答）
9．（24-25高三上·上海黄浦·阶段练习）若甲、乙两人从门课程中各选修门，则甲、乙所选修的课程中至少有门相同的选法种数为 .
10．（24-25高三上·上海·开学考试）若从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取2个偶数和2个奇数，组成一个无重复数字的四位数，则不同的四位数的个数是 .
1．（2024·河北·模拟预测）用能组成没有重复数字且比32000小的数字（ ）个.
A．212B．213C．224D．225
2．（2024·广东深圳·模拟预测）已知6件不同的产品中有2件次品，现对它们一一测试，直至找到所有2件次品为止，若至多测试4次就能找到这2件次品，则共有（ ）种不同的测试方法．
A．114B．90C．106D．128
3．（2024·陕西铜川·模拟预测）小张同学喜欢吃4种不同品种的奶糖，她有5个不同颜色的塑料袋，每个袋子中至少装1种奶糖．小张同学希望任意两个袋子所包含奶糖种类不完全相同，且每一种奶糖均要在两个袋子中出现，那么不同的方案数为（ ）
A．3000B．3360C．1440D．1560
4．（23-24高二下·浙江杭州·期中）将5名医生分配到三个社区协助开展社区老年人体检活动，每个社区至少1人，则不同的分配方法有（ ）
A．50B．150C．240D．300
5．（24-25高三上·浙江·阶段练习）将6棵高度不同的景观树种植在道路两侧，要求每一侧种植3棵，且每一侧中间的景观树都要比两边的高，则不同的种植方法共有（ ）
A．20种B．40种C．80种D．160种
6．（23-24高三上·江苏·阶段练习）若一个五位数的各个数位上的数字之和为3，则这样的五位数共有 个．
7．（2024·浙江杭州·模拟预测）袋子中有数字“7”的卡片3张和数字“2”，“3”，“5”的卡片各1张，从中任意取出4张卡片，最多能组成 个不同的四位数（用数字回答）．
8．（23-24高二下·吉林长春·期末）有4人到甲、乙、丙三所学校去应聘，若每人至多被一所学校录用，每所学校至少录用其中1人，则所有不同的录用情况种数为 .（用数字作答）
9．（2024高三·全国·专题练习）用，，，，，这六个数字组成没有重复的四位偶数，将这些数字从小到大排列起来，第个数是 ．
10．（23-24高三上·山东泰安·阶段练习）现有名志愿者报名参加某项暑期公益活动，此项公益活动为期两天，每天从这人中安排人参加，则恰有人在这两天都参加的不同安排方式有 种.
1．（2023·全国·统考高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A．30种B．60种C．120种D．240种
2．（2023·全国·统考高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ）
A．120B．60C．30D．20
3．（2023·全国·统考高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）．
4．（北京·高考真题）从0，2中选一个数字．从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为
A．24B．18C．12D．6
5．（全国·高考真题）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（ ）
A．10种B．20种C．25种D．32种
6．（全国·高考真题）甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有
A．36种B．48种C．96种D．192种
7．（四川·高考真题）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是
A．72B．96C．108D．144
8．（全国·统考高考真题）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有 种.
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2024年新Ⅱ卷，第14题,6分
分步乘法计数原理
全排列问题解读
写出基本事件
2023年新I卷，第13题,5分
分类加法计数原理
实际问题中的组合计数问题
2023年新Ⅱ卷，第3题,5分
分步乘法计数原理及简单应用
抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算
实际问题中的组合计数问题
2023年全国甲卷（理），
第9题,5分
分类加法计数原理
排列数的计算
2023年全国乙卷（理），
第7题,5分
分步乘法计数原理及简单应用
排列数的计算
实际问题中的组合计数问题
2020年全国乙卷（理），
第14题,5分
分步乘法计数原理及简单应用
相邻问题的排列问题
第01讲 分类加法原理与分步乘法原理
（3类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等，分值为5分
【备考策略】1.理解、掌握分类加法原理与分步乘法原理的定义
2.会分类加法原理与分步乘法原理在实际问题中的应用及计算
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般会和排列组合结合在小题中考查，需重点复习
知识讲解
1．分类加法计数原理
做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．
2．分步乘法计数原理
做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的方法……做第n个步骤有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．
3．分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别
分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．
使用分类加法计数原理时两个注意点
(1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏.
(2)分类时，注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，不能重复.
利用分步乘法计数原理解题时三个注意点
(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的．
(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这件事．
(3)对完成每一步的不同方法数要根据条件准确确定．
应用两个计数原理的难点在于明确分类和分步．分类要做到“不重不漏”，正确把握分类标准是关键；分步要做到“步骤完整”，步步相连能将事件完成，较复杂的问题可借助图表完成．
考点一、分类加法原理
1．（2023·北京东城·二模）某社区计划在端午节前夕按如下规则设计香囊：在基础配方以外，从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选择一味添加到香囊，则不同的添加方案有（ ）
A．种B．种C．种D．种
【答案】C
【分析】分四种情况，利用分类计数原理即可求出结果.
【详解】从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中选一种，有种，
从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中选二种，有种，
从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中选三种，有种，
从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药全选，有种，
所以从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选一种，共有种，
故选：C.
2．（2023·全国·高三专题练习）将编号1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3的盒子中，要求不允许有空盒子，且球与盒子的号不能相同，则不同的放球方法有（ ）
A．16种B．12种C．9种D．6种
【答案】B
【分析】分六种情况讨论，求解每一种类型的放球方法数，然后利用分类计数加法原理求解即可．
【详解】由题意可知，这四个小球有两个小球放在一个盒子中，当四个小球分组为如下情况时，放球方法有：
当1与2号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；
当1与3号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法； ^
当1与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；
当2与3号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；
当2与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；
当3与4号球放在同一盒子中时，有2种不同的放法；
因此，不同的放球方法有12种，故选B．
点睛：本题主要考查分类计数加法原理的应用，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件．解题过程中要首先分清“是分类还是分步”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率．
1．（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）有3名同学同时被邀请参加一项活动，必须有人去，去几人自行决定，共有 种不同的去法.（用数字回答）
【答案】7
【分析】按去1，2，3个人分类，利用组合数求解即可.
【详解】由题意，去1人有种去法，去2人有种去法，去3人有种去法，
所以共有种不同的去法，
故答案为：7
2．（2023·全国·高三专题练习）如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1，2，3，4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有 个.
【答案】12
【分析】分析可得，共有三个1，三个2，三个3，三个4， 4种情况，分别求得满足题意“好数”个数，根据分类加法计数原理，即可得答案.
【详解】当组成的数字有三个1，三个2，三个3，三个4时共有4种情况.
当有三个1时：2111，3111，4111，1211，1311，1411，1121，1131，1141，有9种，
当有三个2，3，4时：2221，3331，4441，有3种，
根据分类加法计数原理可知，共有12种结果.
故答案为：12
考点二、分步乘法原理
1．（2023·全国·高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A．30种B．60种C．120种D．240种
【答案】C
【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.
【详解】首先确定相同得读物，共有种情况，
然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种，
根据分步乘法公式则共有种，
故选：C.
2．（全国·高考真题）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
A．24B．18C．12D．9
【答案】B
【详解】解：从E到F，每条东西向的街道被分成2段，每条南北向的街道被分成2段，
从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，
每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，故共有C42C22＝6种走法．
同理从F到G，最短的走法，有C31C22＝3种走法．
∴小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6×3＝18种走法．
故选B．
【考点】计数原理、组合
【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易忽视每类中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是相互独立的；分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相互关联的．
1．（2023秋·山东·高三校联考阶段练习）某商店共有，，三个品牌的水杯，若甲、乙、丙每人买了一个水杯，且甲买的不是品牌，乙买的不是品牌，则这三人买水杯的情况共有（ ）
A．3种B．7种C．12种D．24种
【答案】C
【分析】根据分步乘法计数原理即可求解.
【详解】由分步乘法计数原理可得这三人买水杯的情况共有（种）．
故选：C
2．（2024·山东菏泽·二模）在2024年高校自主招生考试中，高三某班的四名同学决定报考三所高校，则恰有两人报考同一高校的方法共有（ ）
A．9种B．36种C．38种D．45种
【答案】B
【分析】利用排列、组合数即可求解．
【详解】由题意，恰有两人报考同一高校的方法共有种.
故选：B.
3．（2024·江苏南通·模拟预测）某志愿者小组有5人，从中选3人到A、B两个社区开展活动，其中1人到社区，则不同的选法有（ ）
A．12种B．24种C．30种D．60种
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理及组合数计算即得.
【详解】求不同选法种数需2步，先从5人中选1人去社区，再从余下4人中选2人去社区，
所以不同的选法有（种）.
故选：C
考点三、两个计数原理的综合应用
1．（2024·上海·高考真题）设集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两个不同元素之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值 ．
【答案】329
【分析】三位数中的偶数分个位是0和个位不是0讨论即可.
【详解】由题意知集合中且至多只有一个奇数，其余均是偶数．
首先讨论三位数中的偶数，
①当个位为0时，则百位和十位在剩余的9个数字中选择两个进行排列，则这样的偶数有个；
②当个位不为0时，则个位有个数字可选，百位有个数字可选，十位有个数字可选，
根据分步乘法这样的偶数共有，
最后再加上单独的奇数，所以集合中元素个数的最大值为个．
故答案为：329．
2．（2024·河南信阳·模拟预测）从0，1，2，5中取三个不同的数字，组成能被5整除的三位数，则不同三位数有（ ）
A．12个B．10个C．8个D．7个
【答案】B
【分析】根据能被5整除的数的特征，分类讨论，结合排列组合即可求解.
【详解】能被5整除的三位数末位数字得是0或5，
当末位数字为0时，此时有个符合条件的三位数，
当末位数字为5时，此时有个符合条件的三位数，
因此一共有个，
故选：B
3．（2024·安徽合肥·模拟预测）2024届高三某次联考中对尖端生采用屏蔽措施，某校历史方向有五名屏蔽生总分在前9名，现在确定第一、二、五名是三位同学，但不是第一名，两名同学只知道在6至9名，且的成绩比好，则这5位同学总分名次有多少种可能（ ）
A．6B．12C．24D．48
【答案】C
【分析】先排，再排和，对进行分类，可排6，7，8位，最后根据的情况再排。
【详解】第一步排有两种可能：第2名或第5名；
第二步排和有两种可能；
第三步排和，有6，7，8位三种可能；
当为第6名时，有7，8，9名三种可能，
当为第7名时，有8，9名两种可能，
当为第8名时，只有第9名一种可能，
所以第三步的总数为种；
根据分类计数原理，所有名次排位的总数种。
故选：C
1．（2024·河北·模拟预测）用能组成没有重复数字且比32000小的数字（ ）个.
A．212B．213C．224D．225
【答案】D
【分析】先对数字位数分类讨论，在对五位数的首位数字进行分类讨论：①首位为1，2；②首位为3.然后分析千位数的选取，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.
【详解】分数字位数讨论：
一位数5个；
两位数有个；
三位数有个；
四位数有个；
五位数分以下两种情况讨论：
①首位数字为1或2，此时共有个；
②首位数字为3，则千位数从0或1中选择一个，其余三个数位任意排列，
此时共有个.
综上所述，共有个比小的数.
故选：D.
2．（23-24高二下·广东中山·期末）用数字，，，，，组成的有重复数字的三位数且是偶数的个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】组成有重复数字的三位数，且是偶数,按个位是和不是进行分类; 个位不是时要注意选中的数有和不是情况求解.
【详解】由题意可知，这三位数是偶数，则说明其个位数为偶数，即0，2，4，有3种选择，
而由于这是一个三位数，所以百位数不能是0，有5种选择，因为存在重复数字，由此分类讨论:
①当个位数为0时，则百位数有5种选择，十位数有两种情况，
与百位数一样，只有一种选择，
与个位数一样，也只有一种选择;
②当个位数为2时，
如果百位数为2，则十位数有6种选择，
如果百位数不为2，则百位数有4种选择，此时十位数可以与百位数或个位数相同，有2种选择:
当个位数为4时，
如果百位数为4，则十位数有6种选择，
如果百位数不为4，则百位数有4种选择，十位数可以与百位数或个位数相同，有2种选择
综上所述，.
故选：B.
3．（2023·江苏扬州·仪征中学校考模拟预测）某人从上一层到二层需跨10级台阶，他一步可能跨1级台阶，称为一阶步，也可能跨2级台阶，称为二阶步，最多能跨3级台阶，称为三阶步，从一层上到二层他总共跨了6步，而且任何相邻两步均不同阶，则他从一层到二层可能的不同走法共有（ ）种.
A．10B．9C．8D．12
【答案】A
【分析】利用计数原理直接计算即可.
【详解】按题意要求，不难验证这6步中不可能没有三阶步，也不可能有多于1个的三阶步.
因此，只能是1个三阶步，2个二阶步，3个一阶步.
为形象起见，以白、黑、红三种颜色的球来记录从一层到二层跨越10级台阶的过程：
白球表示一阶步，黑球表示二阶步，红球表示三阶步，
每一过程可表为3个白球、2个黑球、1个红球的一种同色球不相邻的排列.
下面分三种情形讨论.
（1）第1、第6球均为白球，则两黑球必分别位于中间白球的两侧，
此时，共有4个黑白球之间的空位放置红球，所以此种情况共有4种可能的不同排列；
（2）第1球不是白球.
（i）第1球为红球，则余下5球只有一种可能的排列；
（ii）若第1球为黑球，则余下5球因红、黑球的位置不同有两种不同的排列，
此种情形共有3种不同排列；
（3）第6球不是白球，同（2），共有3种不同排列.
总之，按题意要求从一层到二层共有种可能的不同过程.
故选：A
1．（2024·云南大理·模拟预测）现有4个同学站成一排，将甲、乙2个同学加入排列，保持原来4个同学顺序不变，不同的方法共有（ ）种
A．10B．20C．30D．60
【答案】C
【分析】应用分步乘法原理计算即可.
【详解】4个同学站成一排有5个空，甲加入排列有5种情况，队列变成5个人有6个空，乙加入排列有6种情况，
由分步计数原理得，共有种不同的方法.
故选：C
2．（2024·河南·二模）将甲，乙等5人全部安排到四个工厂实习，每人只去一个工厂，每个工厂至少安排1人，且甲，乙都不能去工厂，则不同的安排方法有（ ）
A．72种B．108种C．126种D．144种
【答案】C
【分析】利用分类加法计数原理，结合分组分配问题和排列组合知识求解．
【详解】由题意可知，分两种情况讨论，
①工厂安排1人，有种，
②工厂安排2人，有种，
所以不同的安排方法有种．
故选：C．
3．（2024·陕西商洛·三模）甲、乙、丙、丁、戊5名大学生实习时，有A，B，C三家企业可供选择，若去C企业最多一人，则不同分配种数是（ ）
A．112B．80C．64D．32
【答案】A
【分析】根据已知条件及分类分步计数原理即可求解.
【详解】分两类情况，第一类情况，去C企业仅有一人，有种情况；
第二类情况，没有一个去C企业，有种情况，
所以根据分类加法计数原理共有种.
故选：A.
4．（2024·河南濮阳·模拟预测）某班派遣五位同学到甲、乙、丙三个街道打扫卫生．每个街道至少有一位同学去，至多有两位同学去，且两位同学去同一个街道，则不同的派遣方法有（ ）
A．18B．24C．36D．48
【答案】A
【分析】先安排，再将剩余3人分别两组，和两个街道进行全排列，求出答案.
【详解】由题意得，学生的分配人数分别为2，2，1，
由于两位同学去同一个街道，故先从3个街道中选择1个安排，有种，
再将剩余3人分别两组，和两个街道进行全排列，有
故不同的派遣方法有种.
故选：A.
5．（23-24高二下·天津北辰·期中）从0，2，4中选一个数字．从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为（ ）
A．48B．30C．24D．6
【答案】B
【分析】考虑到百位数字非零的限制，将三位奇数分成三类，分别用排列组合数表示方法数，最后运用分类加法计数原理计算即得.
【详解】依题意，这样的三位奇数分为三类：
①元素0被选中，则应放在十位，从1，3，5中选两个数字排在个位与百位，共有种方法；
②元素2被选中，则可放在百位或十位，再从1，3，5中选两个数字排在余下的两个数位，有种方法；
③元素4被选中，与②情况相同，有种方法.
由分类加法计数原理可得，奇数的个数为个.
故选：B.
6．（23-24高二下·广西桂林·期末）从1，3，5，7中任取2个数字，从2，4中任取1个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是（ ）
A．8B．12C．18D．72
【答案】D
【分析】利用分步计数原理，结合组合数与排列数，即可计算结果.
【详解】从1，3，5，7中任取2个数的方法数有；
从2，4中任取1个数的方法数有；
选出的3个数的排列有；
再利用分步计数乘法原理得：
可以组成没有重复数字的三位数的个数有.
故选：D.
7．（24-25高三上·北京·阶段练习）某外商计划在5个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有（ ）
A．36种B．60种C．120种D．180种
【答案】C
【分析】根据题意，分两种情况讨论，一是在两个城市分别投资1个项目、2个项目，二是在三个城市各投资1个项目，分别计算其情况数目，进而由加法原理，计算可得答案．
【详解】该外商不同的投资方案分为两类：若1个城市投资2个项目，另外1个城市投资1个项目，有种投资方案；
若3个城市各投资1个项目，共有种投资方案，
由分类计数原理知，共有120种不同的投资方案．
故选：C．
8．（24-25高三上·广东·阶段练习）小明去超市从4种功能性提神饮料和5种电解质饮料中选3瓶进行购买，若每种饮料至多买一瓶，则功能性提神饮料和电解质饮料都至少买1瓶的买法种数为 ．（用数字作答）
【答案】70
【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理及组合计数问题列式计算即得.
【详解】依题意，两种饮料都至少买1种的买法种数为.
故答案为：70
9．（24-25高三上·上海黄浦·阶段练习）若甲、乙两人从门课程中各选修门，则甲、乙所选修的课程中至少有门相同的选法种数为 .
【答案】
【分析】分有门相同、门相同、门相同三种情况讨论，利用分步乘法计数原理与分类加法计数原理计算可得.
【详解】若甲、乙所选的课程有门相同，则有种情况；
若甲、乙所选的课程有门相同，则有种情况；
若甲、乙所选的课程有门相同，则有种情况；
综上可得甲、乙所选修的课程中至少有门相同的选法种数为.
故答案为：
10．（24-25高三上·上海·开学考试）若从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取2个偶数和2个奇数，组成一个无重复数字的四位数，则不同的四位数的个数是 .
【答案】180
【分析】根据特殊元素优先法，按照0是否被取到，先分类再分步即可解决.
【详解】根据题意，可将四位数分成两类：
第一类，数字0被取到，则可从2，4中任选一个，再从1，3，5中任选两个，
接着从除0外的另外三个数中取一个排在首位，剩下的在三个数位上全排，
此时共有个四位数；
第二类，数字0没被取到，故2，4全被取到，只需从1，3，5中任选两个，
再与2，4共4个数字在四个数位上全排，此时共有个四位数.
根据分类加法计数原理，不同的四位数的个数是.
故答案为：180.
1．（2024·河北·模拟预测）用能组成没有重复数字且比32000小的数字（ ）个.
A．212B．213C．224D．225
【答案】D
【分析】先对数字位数分类讨论，在对五位数的首位数字进行分类讨论：①首位为1，2；②首位为3.然后分析千位数的选取，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.
【详解】分数字位数讨论：
一位数5个；
两位数有个；
三位数有个；
四位数有个；
五位数分以下两种情况讨论：
①首位数字为1或2，此时共有个；
②首位数字为3，则千位数从0或1中选择一个，其余三个数位任意排列，
此时共有个.
综上所述，共有个比小的数.
故选：D.
2．（2024·广东深圳·模拟预测）已知6件不同的产品中有2件次品，现对它们一一测试，直至找到所有2件次品为止，若至多测试4次就能找到这2件次品，则共有（ ）种不同的测试方法．
A．114B．90C．106D．128
【答案】A
【分析】利用分类加法计数原理可求得测试方法的种数.
【详解】解：检测2次可测出2件次品，不同的测试方法有种；
检测3次可测出2件次品，不同的测试方法有种；
检测4次测出2件次品；不同的测试方法有种；
检测4次测出4件正品，不同的测试方法共有种，
由分类计数原理，满足条件的不同的测试方法的种数为：
种．
故选：A．
3．（2024·陕西铜川·模拟预测）小张同学喜欢吃4种不同品种的奶糖，她有5个不同颜色的塑料袋，每个袋子中至少装1种奶糖．小张同学希望任意两个袋子所包含奶糖种类不完全相同，且每一种奶糖均要在两个袋子中出现，那么不同的方案数为（ ）
A．3000B．3360C．1440D．1560
【答案】A
【分析】根据已知先分类讨论再排列得出结果.
【详解】依次记四种奶糖为，则每个字母出现2次，先分堆．
若是“”，则其中的“4”必须是，故有1种可能；
若是“”，则考虑，故有种可能；
若是“”，则考虑，故有种可能，
所以不同的方案数为种．
故选:A．
4．（23-24高二下·浙江杭州·期中）将5名医生分配到三个社区协助开展社区老年人体检活动，每个社区至少1人，则不同的分配方法有（ ）
A．50B．150C．240D．300
【答案】B
【分析】考虑分组为1、1、3和1、2、2两种情况，分别讨论即可得到答案.
【详解】可以分组为1、1、3，或1、2、2两种情况，
若分组为1、1、3，则有；
若分组为1、2、2，则有；
则不同分法为种.
故选：B
5．（24-25高三上·浙江·阶段练习）将6棵高度不同的景观树种植在道路两侧，要求每一侧种植3棵，且每一侧中间的景观树都要比两边的高，则不同的种植方法共有（ ）
A．20种B．40种C．80种D．160种
【答案】C
【分析】先分步计算两侧的排法，再结合分步计数原理计算即可.
【详解】一侧的种植方法有种排法，
另一侧的种植方法有种排法
再由分步计数原理得不同的种植方法共有种排法，
故选:C.
6．（23-24高三上·江苏·阶段练习）若一个五位数的各个数位上的数字之和为3，则这样的五位数共有 个．
【答案】
【分析】先分类，再分步，结合排列组合知识，利用计数原理求解即得.
【详解】若一个五位数的各个数位上的数字之和为3，则这样的五位数可分为类：
第一类，五位数的各个数位上的数字是个，个组成，
则由首位不为可知，在首位，其余各位为，即，仅有种方法；
第二类，五位数的各个数位上的数字是个，个，个组成，
则由首位不为可知，或在首位，选个放在首位，另个则从其它个位选个位放上，其余各位为，
共有种方法；
第三类，五位数的各个数位上的数字是个，个组成，
则由首位不为可知，在首位，在其它个位中选个位为，其余各位为，共有种方法；
所以由分类计数原理可得共有个这样的五位数.
故答案为：.
7．（2024·浙江杭州·模拟预测）袋子中有数字“7”的卡片3张和数字“2”，“3”，“5”的卡片各1张，从中任意取出4张卡片，最多能组成 个不同的四位数（用数字回答）．
【答案】
【分析】分取一张、两张、三张数字7的卡片进行讨论，即可得到答案.
【详解】如果取一张数字7的卡片，则数字2、3、5的卡片都要取出，则组成个不同的四位数；
如果取两张数字7的卡片，则数字2、3、5的卡片要取出两张，则组成个不同的四位数；
如果取三张数字7的卡片，则数字2、3、5的卡片要取出一张，则组成个不同的四位数；
所以最多能组成个不同的四位数.
故答案为：.
8．（23-24高二下·吉林长春·期末）有4人到甲、乙、丙三所学校去应聘，若每人至多被一所学校录用，每所学校至少录用其中1人，则所有不同的录用情况种数为 .（用数字作答）
【答案】60
【分析】分类讨论录取的人数，结合排列数、组合数运算求解.
【详解】当人中有三人被录取，则不同的录取情况数为，
当4人全部被录取，则不同的录取情况数为，
综上不同的录取情况数共有种.
故答案为：60
9．（2024高三·全国·专题练习）用，，，，，这六个数字组成没有重复的四位偶数，将这些数字从小到大排列起来，第个数是 ．
【答案】
【分析】根据四位数偶数，分千位数字是1，2，3，分别计算得出第71个数.
【详解】
①千位为，个位为，有个；
②千位为，个位为，有个；
③千位为，个位为，有个；
④千位为，个位为，有个；
⑤千位为，个位为，有个；
⑥千位为，百位为，个位为（或），各有个．共个．
接下来有,,,,，，第个数是．
故答案为：3140.
10．（23-24高三上·山东泰安·阶段练习）现有名志愿者报名参加某项暑期公益活动，此项公益活动为期两天，每天从这人中安排人参加，则恰有人在这两天都参加的不同安排方式有 种.
【答案】
【分析】根据分步乘法计数原理求解即可；
【详解】根据分步计数乘法法则，第一天：，第二天：，
则恰有人在这两天都参加的不同安排方式有：种，
故答案为：180.
1．（2023·全国·统考高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A．30种B．60种C．120种D．240种
【答案】C
【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.
【详解】首先确定相同得读物，共有种情况，
然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种，
根据分步乘法公式则共有种，
故选：C.
2．（2023·全国·统考高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ）
A．120B．60C．30D．20
【答案】B
【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可得解.
【详解】不妨记五名志愿者为，
假设连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有种方法，
同理：连续参加了两天公益活动，也各有种方法，
所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有种.
故选：B.
3．（2023·全国·统考高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）．
【答案】64
【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解.
【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种；
（2）当从8门课中选修3门，
①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种；
②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种；
综上所述：不同的选课方案共有种.
故答案为：64.
4．（北京·高考真题）从0，2中选一个数字．从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为
A．24B．18C．12D．6
【答案】B
【详解】由于题目要求的是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇；偶奇奇．如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种选择)，之后十位(2种选择)，最后百位(2种选择)，共12种；如果是第二种情况偶奇奇，分析同理：个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0，一种情况)，共6种，因此总共12+6=18种情况．
5．（全国·高考真题）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（ ）
A．10种B．20种C．25种D．32种
【答案】D
【分析】由分步乘法原理计算．
【详解】由题意，每个同学有2种选择，故不同报名方式为.
故选：D
6．（全国·高考真题）甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有
A．36种B．48种C．96种D．192种
【答案】C
【详解】试题分析：设4门课程分别为1，2，3，4，甲选修2门，可有1，2；1，3；1，4；2，3；2，4；3，4共6种情况，同理乙，丙均可有1，2，3；1，2，4；2，3，4；1，3，4共4种情况，∴不同的选修方案共有6×4×4=96种，故选C．
考点：分步计数原理
点评：本题需注意方案不分次序，即a，b和b，a是同一种方案，用列举法找到相应的组合即可．
7．（四川·高考真题）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是
A．72B．96C．108D．144
【答案】C
【详解】试题分析：依题意可知个位的选择有2,4,6三种选法，
第一种情况，5在十位上，此时有种排法；
第二种情况，5在百位上，此时有种排法；
第三种情况，5在千位上，此时有种排法；
第四种情况，5在万位上，此时有种排法；
第五种情况，5在十万位上，此时组合数有种排法；
所以由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是36+12+12+12+36=108个．
8．（全国·统考高考真题）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有 种.
【答案】
【分析】根据题意，有且只有2名同学在同一个小区，利用先选后排的思想，结合排列组合和乘法计数原理得解.
【详解】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学
先取2名同学看作一组，选法有：
现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：
根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2024年新Ⅱ卷，第14题,6分
分步乘法计数原理
全排列问题解读
写出基本事件
2023年新I卷，第13题,5分
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2023年新Ⅱ卷，第3题,5分
分步乘法计数原理及简单应用
抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算
实际问题中的组合计数问题
2023年全国甲卷（理），
第9题,5分
分类加法计数原理
排列数的计算
2023年全国乙卷（理），
第7题,5分
分步乘法计数原理及简单应用
排列数的计算
实际问题中的组合计数问题
2020年全国乙卷（理），
第14题,5分
分步乘法计数原理及简单应用
相邻问题的排列问题