2025年高考数学第一轮复习考点讲与练第01讲平面向量的概念、线性运算及其坐标运算(学生版+解析)

这是一份2025年高考数学第一轮复习考点讲与练第01讲平面向量的概念、线性运算及其坐标运算(学生版+解析)，共41页。试卷主要包含了 5年真题考点分布， 命题规律及备考策略，向量共线定理，向量的坐标运算等内容，欢迎下载使用。

1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分
【备考策略】1了解向量的实际背景,理解平面向量的基本概念,理解向量的几何表示
2掌握向量的加、减运算并理解其几何意义
3掌握向量的数乘运算并理解其几何意义以及两个向量共线的含义
4理解向量的线性运算性质及其几何意义
5会向量间的坐标运算
【命题预测】本节一般考查平面向量的基本概念、线性运算及坐标运算，易理解，易得分，需重点复习
知识讲解
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
1．平面向量加减法求解的关键是：对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”．对平面向量减法应抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转化，即可快速得到结果．
2．在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待即可，其运算方法类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比．
3.向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.
向量共线定理可以解决一些向量共线，点共线问题，也可由共线求参数；对于线段的定比分点问题，用向量共线定理求解则更加简洁．
（1）若eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.
（2）P为线段AB的中点⇔eq \(OP,\s\up15(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up15(→))＋eq \(OB,\s\up15(→)))．
4.向量的坐标运算
两点间的向量坐标公式：
，，终点坐标始点坐标
向量的加减法
，，
向量的数乘运算
，则：
向量的模
，则的模
相反向量
已知，则；已知
单位向量
向量的平行关系
，，
考点一、平面向量基本概念的综合考查
1．关于平面向量，下列说法正确的是（ ）
A．向量可以比较大小B．向量的模可以比较大小
C．速度是向量，位移是数量D．零向量是没有方向的
2．下列结论正确的是：（ ）
A．若与都是单位向量，则．
B．若与是平行向量，则．
C．若用有向线段表示的向量与相等，则点M，N重合
D．直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量
3．（多选）下列结论中，错误的是（ ）
A．表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同；
B．若，则，不是共线向量；
C．若，则四边形是平行四边形；
D．与同向，且，则
1．下列说法正确的是（ ）
A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B．由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行
C．模为1的向量都是相等向量
D．向量的模可以比较大小
2．下列说法正确的是（ ）
A．若，，则B．若，则
C．对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量D．零向量没有方向
3．下列说法错误的是（ ）
A．
B．，是单位向量，则
C．若，则
D．两个相同的向量的模相等
4．（多选）下列说法错误的是（ ）
A．若与都是单位向量，则
B．方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量
C．直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量
D．若用有向线段表示的向量与不相等，则点M与N不重合
考点二、相等向量及其应用
1．（23-24高三上·辽宁·阶段练习）设，都是非零向量，下列四个条件中，能使一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024高三·上海·专题练习）已知向量，不共线，实数，满足，则（ ）
A．4B．C．2D．
1．（2023·北京大兴·三模）设，是非零向量，“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
2．已知平行四边形ABCD的顶点A（﹣1，﹣2），B（3，﹣1），C（5，6），则顶点D的坐标为 ．
考点三、平面向量线性运算的综合考查
1．（广东·高考真题）如图所示，已知在中，是边上的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（海南·高考真题）在中，D是AB边上的中点，则=（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·江苏南通·模拟预测）在梯形中，，且，点是的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知，，且，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
1．（2024·河南·模拟预测）已知向量，，点，则点B的坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．（山东·高考真题）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（ ）

A．B．C．D．
3．（2024·河南三门峡·模拟预测）在中，，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·浙江绍兴·二模）已知四边形是平行四边形，，，记，，则（ ）
A．B．
C．D．
考点四、平面向量共线定理与点共线问题
1．（2022·四川绵阳·二模）已知平面向量a，b不共线，，，则（ ）
A．A，B，D三点共线B．A，B，C三点共线
C．B，C，D三点共线D．A，C，D三点共线
2．（2024·浙江·模拟预测）已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（ ）
A．、、三点共线B．、、三点共线
C．、、三点共线D．、、三点共线
3．（2024·贵州黔东南·二模）已知向量三点共线，则 .
1．已知为不共线向量，，则（ ）
A．三点共线B．三点共线
C．三点共线D．三点共线
2．（2024·辽宁·二模）（多选）的重心为点，点O，P是所在平面内两个不同的点，满足，则（ ）
A．三点共线B．
C．D．点在的内部
考点五、平行向量（共线向量）求参数
1．（2024·上海·高考真题）已知，且，则的值为 ．
15．2．（2024·浙江杭州·三模）已知不共线的平面向量，满足，则正数（ ）
A．1B．C．D．2
3．（23-24高一下·广东河源·期中）已知是两个不共线的向量，，若与是共线向量，则 .
4．（2024·全国·模拟预测）已知向量，若，则 ．
1．（2024·山东菏泽·模拟预测）设向量，，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．2D．1
2．（2024·安徽马鞍山·三模）已知平面向量，不共线，，，且，则（ ）
A．B．0C．1D．
3．（2024·江苏·二模）已知非零向量，，若，则（ ）
A．B．C．D．
一、单选题
1．（23-24高三下·江苏扬州·阶段练习）下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
2．（22-23高一下·贵州遵义·阶段练习）在四边形中，若，则（ ）
A．四边形是平行四边形B．四边形是矩形
C．四边形是菱形D．四边形是正方形
3．（2024高三·全国·专题练习）设分别为的三边的中点，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·全国·二模）已知向量和不共线，向量，，，若､､三点共线，则（ ）
A．3B．2C．1D．
5．（2024·陕西西安·一模）已知点是的重心，则（ ）
A．B．
C．D．
6．（2024·广东深圳·模拟预测）已知点，，，，则与向量同方向的单位向量为（ ）
A．B．
C．D．
7．（22-23高一下·江西九江·期中）设为两个非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
二、多选题
8．（22-23高一下·吉林四平·阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．零向量与任一向量平行B．方向相反的两个非零向量不一定共线
C．单位向量是模为的向量D．方向相反的两个非零向量必不相等
三、填空题
9．（22-23高三上·福建厦门·开学考试）写出一个与向量共线的向量 .
10．（2024·陕西西安·一模）已知平面向量，若与共线，则实数 ．
一、单选题
1．给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量.
②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.
③（为实数），则必为零.
④为实数，若，则与共线.
其中正确的命题的个数为
A．1B．2C．3D．4
2．已知，，则与共线的单位向量是（ ）
A．B．或
C．D．或
3．（2022·四川绵阳·模拟预测）已知为坐标原点，，若、，则与共线的单位向量为（ ）
A．B．或
C．或D．
4．下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．
C．若，则与的方向相反
D．若，则
5．（2024·四川·模拟预测）如图，是边的中点，在上，且，则（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023·湖北武汉·三模）如图，在中，M为线段的中点，G为线段上一点，，过点G的直线分别交直线，于P，Q两点，，，则的最小值为（ ）．
A．B．C．3D．9
二、填空题
7．（2024·青海西宁·二模）若向量不共线，且，则的值为 ．
8．（2022·广西柳州·三模）已知平面向量，，若，则 .
9．（2024·山西·三模）如图，函数的图象经过点A，B，点T在x轴上，若，则点B的纵坐标是 ．
10．（2022高三·全国·专题练习）设两个向量和＝，其中为实数.若，则的取值范围是 .
一、单选题
1．（四川·高考真题）如图，正六边形中，（ ）
A．B．C．D．
2．（安徽·高考真题）若，, 则（ ）
A．（1，1）B．（－1，－1）C．（3，7）D．（-3,-7）
3．（辽宁·高考真题）已知点则与同方向的单位向量为
A．B．C．D．
4．（山东·高考真题）如下图，是线段的中点，设向量，，那么能够表示为（ ）
A．B．
C．D．
5．（全国·高考真题）在△中，为边上的中线，为的中点，则
A．B．
C．D．
6．（福建·高考真题）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于
A．B．C．D．
7．（山东·高考真题）已知向量与且则一定共线的三点是（ ）
A．A，C，D三点B．A，B，C三点
C．A，B，D三点D．B，C，D三点
8．（广东·高考真题）已知平面向量，，且，则等于（ ）
A．（-2，-4）B．（-3，-6）C．（-5，-10）D．（-4，-8）
9．（海南·高考真题）平面向量，共线的充要条件是（ ）
A．，方向相同B．，两向量中至少有一个为零向量
C．，D．存在不全为零的实数，，
二、填空题
10．（全国·高考真题）已知向量，且，则___________.
11．（上海·高考真题）已知点和向量，若，则点的坐标为 ．
12．（全国·高考真题）设向量，不平行，向量与平行，则实数 ．
13．（全国·高考真题）已知向量，，．若，则 ．
14．（浙江·高考真题）已知，若平面内三点A（1，），B（2，），C（3，）共线，则 ．
15．（陕西·高考真题）已知向量（2，﹣1），（﹣1，m），（﹣1，2），若（）∥，则m＝_________5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2024年新I卷，第3题,5分
平面向量线性运算的坐标表示
向量垂直的坐标表示
2023年新I卷，第3题,5分
平面向量线性运算的坐标表示
向量垂直的坐标表示
利用向量垂直求参数
2022年新Ⅱ卷，第4题,5分
平面向量线性运算的坐标表示
数量积及向量夹角的坐标表示
2021年新Ⅱ卷，第10题,5分
坐标计算向量的模
数量积的坐标表示
逆用和、差角的余弦公式化简、求值二倍角的余弦公式
2020年新Ⅱ卷，第3题,5分
向量加法的法则
向量减法的法则
无
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
|λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ0时，λa与a的方向相同；当λ