2025年高考数学第一轮复习考点讲与练第03讲复数(原卷版+解析)

这是一份2025年高考数学第一轮复习考点讲与练第03讲复数(原卷版+解析)，共44页。试卷主要包含了 5年真题考点分布， 命题规律及备考策略等内容，欢迎下载使用。

1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分
【备考策略】1.理解、掌握复数的代数形式，能够掌握数集分类及复数分类，需要关注复数的实部、虚部、及纯虚数
2.能正确计算复数的四则运算及模长等问题，理解并掌握共轭复数
3.熟练掌握复数的几何意义即复数与复平面上点的对应关系
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般考查复数的四则运算、共轭复数、模长运算、几何意义，题型较为简单。
知识讲解
1．复数的定义
我们把形如的数叫做复数，其中i叫做 ，满足 ，虚数单位的周期为 ．
2．复数通常用字母z表示，即，其中的a与b分别叫做复数z的 与 ．
3．对于复数， 复数，为实数 ；为虚数 ；为纯虚数 ；为非纯虚数 .
即复数
4．在复数集中任取两个数，，规定与相等当且仅当 ，即复数相等：⇔ .
5．共轭复数
（1）定义：当两个复数的实部 ，虚部 时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．
（2）表示方法：复数z的共轭复数用表示，即如果，那么 ．
6．复数的几何意义
为方便起见，我们常把复数说成点或说成向量，并且规定， 的向量表示同一个复数.
7．复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做 ，x轴叫做 ，y轴叫做 ．实轴上的点都表示 ；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
8．复数的模
向量的模称为复数的模或绝对值，记作 或 ．即 ，其中．如果，那么是一个实数a，它的模就等于 ．
9．复数的加、减法运算法则
设，则 ， ．
10．复数加法的运算律
对任意，有
（1）交换律： ．（2）结合律： ．
11．复数的乘法
（1）复数的乘法法则
设是任意两个复数，那么它们的积 ．
（2）复数乘法的运算律
对于任意，有
12．设的三角形式分别是，
那么， = .
这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.简记为：模相乘，辐角相加.
13．设的三角形式分别是，且，那么， .
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.简记为：模相除，辐角相减.
考点一、复数的四则运算
1．（2024·全国·高考真题）设，则（ ）
A．B．1C．-1D．2
2．（2023·全国·高考真题）（ ）
A．B．1C．D．
1．（2024·天津·高考真题）已知是虚数单位，复数 ．
2．（2023·全国·高考真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·河南·三模）已知为虚数单位，（ ）
A．B．C．D．
考点二、求复数的实部与虚部
1．（2024·全国·模拟预测）已知，则的实部是（ ）
A．B．iC．0D．1
2．（2024·黑龙江·三模）若，则的虚部为（ ）
A．B．1C．3D．
1．（2024·重庆·三模）设复数z满足，则z的虚部为（ ）
A．B．C．3D．
2．（2024·陕西·二模）复数的实部为（ ）
A．1B．3C．D．
3．（2024·江西鹰潭·二模）已知，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．2
考点三、复数相等
1．（2023·全国·高考真题）设，则（ ）
A．-1B．0 ·C．1D．2
2．（2022·浙江·高考真题）已知（为虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
1．（2024·河南·模拟预测）已知为虚数单位，，满足，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
2．（2024·安徽合肥·三模）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·河北保定·三模）若复数满足，则实数（ ）
A．B．C．D．
考点四、复数的分类及纯虚数概念考查
1．（2024·河北·二模）已知复数是实数，则（ ）
A．B．C．D．2
2．（2024·河南·三模）已知复数为纯虚数，则的值为（ ）
A．2B．1C．D．
1．（2024·辽宁大连·二模）设，则“”是“复数为纯虚数”的（ ）
A．充分必要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2024·辽宁·模拟预测）若复数为实数，则实数等于（ ）
A．B．C．D．2
考点五、复数的几何意义
1．（2023·全国·高考真题）在复平面内，对应的点位于（ ）．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（2021·全国·高考真题）复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（2024·山西·三模）已知复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m的取值范围是 ．
1．（2024·山东·二模）已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（2024·江西·模拟预测）在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·江西·模拟预测）若复数的共轭复数满足，则在复平面内对应的点的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
考点六、复数的模长及与模相关的轨迹问题
1．（2024·全国·高考真题）已知，则（ ）
A．0B．1C．D．2
2．（2023·全国·高考真题）（ ）
A．1B．2C．D．5
3．（2024·广东揭阳·二模）已知复数在复平面内对应的点为，且，则（ ）
A．B．
C．D．
1．（2024·福建南平·二模）若复数满足，则（ ）
A．1B．C．D．2
2．（2024·贵州毕节·三模）若复数z满足，则（ ）
A．1B．5C．7D．25
3．（2024·辽宁·二模）已知i是虚数单位，复数z满足，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．3
考点七、复数的三角形式
1．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）复数是虚数单位在复平面内对应点为，设是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角，则，把叫做复数的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，，例如：，，复数满足：，则可能取值为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·内蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
1．（2024·陕西商洛·模拟预测）法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数，，则.设，则的虚部为（ ）
A．B．C．1D．0
2．（2023·全国·模拟预测）已知复数，则（ ）
A．2022B．2023C．D．
考点八、欧拉公式
1．（2024·四川绵阳·模拟预测）欧拉公式把自然对数的底数，虚数单位，和联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”.则（ ）
A．B．0C．1D．
2．（2022·重庆北碚·模拟预测）欧拉是世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献．由《物理世界》发起的一项调查表明，人们把欧拉恒等式“”与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的公式”．其中，欧拉恒等式是欧拉公式：的一种特殊情况．根据欧拉公式，（ ）
A．B．C．D．
1．（2023·云南昆明·一模）欧拉公式：将复指数函数与三角函数联系起来，在复变函数中占有非常重要的地位，根据欧拉公式，复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知，则在下列表达式中表示的是（ ）
A． B．
C． D．
考点九、复数多选题
1．（2024·福建福州·三模）已知复数，下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．
C．若，则或D．若且，则
2．（2024·福建莆田·三模）若z是非零复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
3．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知复数满足：为纯虚数，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．的最小值为3D．的最小值为3
1．（2024·江苏南通·模拟预测）已知，都是复数，下列正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
2．（2024·山东济宁·三模）已知复数，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．
C．“”是“”的必要不充分条件D．“”是“”的充分不必要条件
3．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知方程的两个复数根分别为，则（ ）
A．B．
C．D．
一、单选题
1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知i是虚数单位，若为纯虚数，则实数a的值为（ ）
A．0B．1C．2D．
2．（2024·河北·三模）已知复数满足，则的共轭复数的虚部是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·河南洛阳·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·河北沧州·模拟预测）设，是复数，则下列命题中是假命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
5．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知复数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
6．（2024·山东泰安·二模）若复数满足，则（ ）
A．B．2C．D．1
二、多选题
7．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知复数（为实数），若，则的值可能为（ ）
A．B．C．1D．3
8．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）设为虚数单位，下列关于复数的命题正确的有（ ）
A．B．若互为共轭复数，则
C．若，则D．若复数为纯虚数，则
三、填空题
9．（2024·上海·三模）设（为虚数单位），若z为纯虚数，则实数m的值为 ．
10．（2024·广东·二模）设，为虚数单位，定义，则复数的模为 ．
一、单选题
1．（2024·河北保定·二模）复数（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·浙江杭州·三模）已知复数满足，则的共轭复数在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（2024·江苏南通·三模）已知为复数，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件
4．（2024·四川成都·模拟预测）复数在复平面上对应的点位于虚轴上，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·广东广州·三模）当时，复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．（2024·安徽·模拟预测）若为虚数单位，，则的最大值为（ ）
A．2B．C．4D．
7．（2024·河南商丘·模拟预测）已知复数和满足，则（ ）
A．1B．C．D．2
二、多选题
8．（2024·福建宁德·三模）已知是两个复数，下列结论中正确的是（ ）
A．若，则B．若为实数，则
C．若均为纯虚数，则为实数D．若为实数，则均为纯虚数
三、填空题
9．（2024·湖南衡阳·三模）已知是关于的方程（其中p、q为实数）的一个根，则的值为 .
10．（2024·江西南昌·三模）已知复数，，那么 .
一、单选题
1．（2024·全国·高考真题）设，则（ ）
A．B．C．10D．
2．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·全国·高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．0D．1
4．（2022·全国·高考真题）若．则（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·全国·高考真题）若，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·全国·高考真题）已知，且，其中a，b为实数，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2021·全国·高考真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2021·全国·高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2024年新I卷，第2题，5分
复数的四则运算
无
2024年新Ⅱ卷，第1题，5分
复数的模
无
2023年新I卷，第2题，5分
复数的四则运算、共轭复数
无
2023年新Ⅱ卷，第1题，5分
复数的四则运算、复数的几何意义
无
2022年新I卷，第2题，5分
复数的四则运算、共轭复数
无
2022年新Ⅱ卷，第2题，5分
复数的四则运算
无
2021年新I卷，第2题，5分
复数的四则运算、共轭复数
无
2021年新Ⅱ卷，第1题，5分
复数的四则运算、复数的几何意义
无
2020年新I卷，第1题，5分
复数的四则运算
无
2020年新Ⅱ卷，第2题，5分
复数的四则运算
无
交换律

结合律

乘法对加法的分配律

第03讲 复数
（9类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分
【备考策略】1.理解、掌握复数的代数形式，能够掌握数集分类及复数分类，需要关注复数的实部、虚部、及纯虚数
2.能正确计算复数的四则运算及模长等问题，理解并掌握共轭复数
3.熟练掌握复数的几何意义即复数与复平面上点的对应关系
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般考查复数的四则运算、共轭复数、模长运算、几何意义，题型较为简单。
知识讲解
1．复数的定义
我们把形如的数叫做复数，其中i叫做 ，满足 ，虚数单位的周期为 ．
【答案】 虚数单位 4
2．复数通常用字母z表示，即，其中的a与b分别叫做复数z的 与 ．
【答案】 实部 虚部
3．对于复数， 复数，为实数 ；为虚数 ；为纯虚数 ；为非纯虚数 .
即复数
【答案】 ；
4．在复数集中任取两个数，，规定与相等当且仅当 ，即复数相等：⇔ .
【答案】
5．共轭复数
（1）定义：当两个复数的实部 ，虚部 时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．
（2）表示方法：复数z的共轭复数用表示，即如果，那么 ．
【答案】 相等 互为相反数
6．复数的几何意义
为方便起见，我们常把复数说成点或说成向量，并且规定， 的向量表示同一个复数.
【答案】相等
7．复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做 ，x轴叫做 ，y轴叫做 ．实轴上的点都表示 ；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
【答案】 复平面 实轴 虚轴 实数
8．复数的模
向量的模称为复数的模或绝对值，记作 或 ．即 ，其中．如果，那么是一个实数a，它的模就等于 ．
【答案】
9．复数的加、减法运算法则
设，则 ， ．
【答案】
10．复数加法的运算律
对任意，有
（1）交换律： ．（2）结合律： ．
【答案】
11．复数的乘法
（1）复数的乘法法则
设是任意两个复数，那么它们的积 ．
（2）复数乘法的运算律
对于任意，有
【答案】
12．设的三角形式分别是，
那么， = .
这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.简记为：模相乘，辐角相加.
【答案】
13．设的三角形式分别是，且，那么， .
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.简记为：模相除，辐角相减.
【答案】
考点一、复数的四则运算
1．（2024·全国·高考真题）设，则（ ）
A．B．1C．-1D．2
【答案】D
【分析】先根据共轭复数的定义写出，然后根据复数的乘法计算.
【详解】依题意得，，故.
故选：D
2．（2023·全国·高考真题）（ ）
A．B．1C．D．
【答案】C
【分析】利用复数的四则运算求解即可.
【详解】
故选：C.
1．（2024·天津·高考真题）已知是虚数单位，复数 ．
【答案】
【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.
【详解】.
故答案为：.
2．（2023·全国·高考真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意首先计算复数的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.
【详解】由题意可得，
则.
故选：B.
3．（2024·河南·三模）已知为虚数单位，（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据复数乘法、除法运算化简即可.
【详解】.
故选：D
考点二、求复数的实部与虚部
1．（2024·全国·模拟预测）已知，则的实部是（ ）
A．B．iC．0D．1
【答案】C
【分析】根据复数除法运算化简，由实部定义可得.
【详解】因为，所以z的实部是0.
故选：C．
2．（2024·黑龙江·三模）若，则的虚部为（ ）
A．B．1C．3D．
【答案】A
【分析】先利用乘法运算法则化简复数，然后化简得，即可求出其虚部.
【详解】因为，所以，所以，
所以，则的虚部为.
故选：A
1．（2024·重庆·三模）设复数z满足，则z的虚部为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】A
【分析】设复数，根据题意，列出方程，结合复数相等，求得的值，即可求解.
【详解】设复数，
因为复数z满足，可得，
即，则，，解得，
所以复数的虚部为.
故选：A.
2．（2024·陕西·二模）复数的实部为（ ）
A．1B．3C．D．
【答案】B
【分析】通过复数的运算将复数化简成的形式，即可得到实部.
【详解】由，可得复数的实部为3，
故选：.
3．（2024·江西鹰潭·二模）已知，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D
【分析】利用复数的乘方运算和四则运算法则求出复数，继而得的虚部.
【详解】由，
则，的虚部为2.
故选：D.
考点三、复数相等
1．（2023·全国·高考真题）设，则（ ）
A．-1B．0 ·C．1D．2
【答案】C
【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出．
【详解】因为，
所以，解得：．
故选：C.
2．（2022·浙江·高考真题）已知（为虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用复数相等的条件可求.
【详解】，而为实数，故，
故选：B.
1．（2024·河南·模拟预测）已知为虚数单位，，满足，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数相等的充要条件得出方程组，求出、的值，即可得解.
【详解】因为，
又且，所以，故．
故选：D．
2．（2024·安徽合肥·三模）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设，则，根据题意，结合复数的乘法运算和相等复数建立方程组，解之即可求解.
【详解】设，则，
因为，所以，
即，
所以，解得，
所以．
故选：D．
3．（2024·河北保定·三模）若复数满足，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，根据复数相等，即可列式求.
【详解】设，则，所以，
由，得，则，
所以，解得.
故选：B.
考点四、复数的分类及纯虚数概念考查
1．（2024·河北·二模）已知复数是实数，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D
【分析】根据复数的四则运算法则计算得到，再根据实数的定义求解即可.
【详解】
因为是实数，
所以，即.
故选：D.
2．（2024·河南·三模）已知复数为纯虚数，则的值为（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】C
【分析】利用复数的除法运算求出z，根据复数为纯虚数，列出相应等式和不等式，即可求得答案.
【详解】，
由题意得，所以，
故选：C．
1．（2024·辽宁大连·二模）设，则“”是“复数为纯虚数”的（ ）
A．充分必要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由复数为纯虚数求得的值，再根据充分必要条件关系判断.
【详解】因为复数为纯虚数，所以，解得，
所以是复数为纯虚数的充要条件.
故选：A.
2．（2024·辽宁·模拟预测）若复数为实数，则实数等于（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D
【分析】由复数的除法把化简，表示成复数的代数形式，由虚部为0，求的值.
【详解】，若复数为实数，
则，即.
故选：D.
考点五、复数的几何意义
1．（2023·全国·高考真题）在复平面内，对应的点位于（ ）．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.
【详解】因为，
则所求复数对应的点为，位于第一象限.
故选：A.
2．（2021·全国·高考真题）复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】利用复数的除法可化简，从而可求对应的点的位置.
【详解】，所以该复数对应的点为，
该点在第一象限，
故选：A.
3．（2024·山西·三模）已知复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】整理得到不等式组，解出即可.
【详解】由于，
故点位于第四象限，因此，解得，
即的取值范围是.
故答案为：.
1．（2024·山东·二模）已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】由题意求出，进而解出，判断在复平面内对应的点所在象限即可.
【详解】由题意知：，
所以，所以在复平面内对应的点位于第四象限.
故选：D.
2．（2024·江西·模拟预测）在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据复数的几何意义，由复平面内复数对应的点的坐标可以得出对应复数的代数形式，再结合复数的四则运算法则，即可得解.
【详解】因为复数对应的点的坐标为，所以，
所以，所以．
故选：A．
3．（2024·江西·模拟预测）若复数的共轭复数满足，则在复平面内对应的点的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得，得到，结合复数的几何意义，即可求解.
【详解】由，可得，则，
则在复平面内对应的点的坐标为．
故选：D.
考点六、复数的模长及与模相关的轨迹问题
1．（2024·全国·高考真题）已知，则（ ）
A．0B．1C．D．2
【答案】C
【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.
【详解】若，则.
故选：C.
2．（2023·全国·高考真题）（ ）
A．1B．2C．D．5
【答案】C
【分析】由题意首先化简，然后计算其模即可.
【详解】由题意可得，
则.
故选：C.
3．（2024·广东揭阳·二模）已知复数在复平面内对应的点为，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】借助导数的几何意义可得，再利用模长公式即可得.
【详解】由题意得，所以，则.
故选：B.
1．（2024·福建南平·二模）若复数满足，则（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】A
【分析】根据复数代数形式的运算法则化简复数，再根据复数模的计算公式计算即可.
【详解】由题意可知，复数满足，
则可转化为，
所以.
故选：A.
2．（2024·贵州毕节·三模）若复数z满足，则（ ）
A．1B．5C．7D．25
【答案】B
【分析】由复数的乘法和除法运算化简即可求出，再由复数的模长公式求解即可.
【详解】因为，则，
即，
故.
故选：B.
3．（2024·辽宁·二模）已知i是虚数单位，复数z满足，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．3
【答案】B
【分析】利用复数的几何意义及圆中最值问题数形结合计算即可.
【详解】的几何意义是复数z对应的点Z到点的距离为1，
即点Z在以点为圆心，1为半径的圆上，
的几何意义是点Z到点的距离．
如图所示，故．
故选：B．
考点七、复数的三角形式
1．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）复数是虚数单位在复平面内对应点为，设是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角，则，把叫做复数的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，，例如：，，复数满足：，则可能取值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据复数的三角形及运算，利用复数相等可得，即可得解.
【详解】设，
则，
所以，，即，
所以
故时，，故可取，
故选：D
【点睛】关键点点睛：理解复数三角形及三角形下复数的指数运算是解题的关键，通过三角形的运算，再利用复数相等，建立方程即可得出所求复数的一般形式.
2．（2024·内蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】由棣莫弗公式化简结合复数的几何意义即可得出答案.
【详解】，
在复平面内所对应的点为，在第二象限.
故选：B.
1．（2024·陕西商洛·模拟预测）法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数，，则.设，则的虚部为（ ）
A．B．C．1D．0
【答案】B
【分析】变形复数，根据题中定义进行计算，即可判定.
【详解】，
所以
,
所以的虚部为.
故选:B.
2．（2023·全国·模拟预测）已知复数，则（ ）
A．2022B．2023C．D．
【答案】B
【分析】根据题意结合复数运算可得的方程的根为，进而整理可得，取即可得结果.
【详解】设，
则，
由题意可得：
可得关于的方程的根为，
故，
整理得，
即，
令，可得，
且2022为偶数，所以.
故选：B.
考点八、欧拉公式
1．（2024·四川绵阳·模拟预测）欧拉公式把自然对数的底数，虚数单位，和联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”.则（ ）
A．B．0C．1D．
【答案】B
【分析】把代入欧拉公式即可。
【详解】.
故选：B
2．（2022·重庆北碚·模拟预测）欧拉是世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献．由《物理世界》发起的一项调查表明，人们把欧拉恒等式“”与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的公式”．其中，欧拉恒等式是欧拉公式：的一种特殊情况．根据欧拉公式，（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】化简复数，利用复数的模长公式可求得结果.
【详解】，
因此，.
故选：C.
1．（2023·云南昆明·一模）欧拉公式：将复指数函数与三角函数联系起来，在复变函数中占有非常重要的地位，根据欧拉公式，复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】根据复数的几何意义结合象限角的三角函数值的符号分析判断
【详解】由题意可得：对应的点为，
∵，则，
故位于第二象限.
故选：B.
2．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知，则在下列表达式中表示的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题设的表达式求出的表达式，再代入选项逐一检验即得.
【详解】因，则，
对于A，，故A项正确；
对于B， ，故B项错误；
对于C，，故C项错误；
对于D，由B项知，，故D项错误.
故选：A.
考点九、复数多选题
1．（2024·福建福州·三模）已知复数，下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．
C．若，则或D．若且，则
【答案】BCD
【分析】通过列举特殊复数验证A；设，则，通过复数计算即可判断B；由得，即可判断C；设，通过复数计算即可判断D.
【详解】对于A，设，则，所以，而，
所以，故A不正确；
对于B，设，
则，故B正确；
对于C，若，所以，所以，
所以 或，所以至少有一个为0，故C正确.
对于D，设，则，
所以，而，
所以，故D正确.
故选：BCD.
2．（2024·福建莆田·三模）若z是非零复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】BCD
【分析】利用共轭复数的定义可判定A、C，利用复数的乘法运算法则结合模长公式可判定B、D.
【详解】对于A，由，得，则A错误.
对于B，因为，所以，解得或（舍去），则B正确.
对于C，设（，且），
则，所以，则C正确.
对于D，由，得.
设（，且），则，
，从而，则D正确.
故选：BCD
3．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知复数满足：为纯虚数，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．的最小值为3D．的最小值为3
【答案】ABD
【分析】借助复数的基本概念与模长运算可得A；借助复数的几何意义计算可得B；借助圆与直线的距离可得C、D.
【详解】对A：为纯虚数，可设选项A正确；
对B：设，，
则，即，
则所对应点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆，
，选项B正确；
对C：为纯虚数，对应点在轴上（除去原点），
所对应点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆，
的取值范围为，无最小值，选项C错误；
对D： ，
表示点到以为圆心，以2为半径的圆上的点的距离，
为纯虚数或0，在轴上（除去点），
当时取得最小值3，∴选项D正确.
故选：ABD．
1．（2024·江苏南通·模拟预测）已知，都是复数，下列正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】AD
【分析】根据共轭复数的定义及复数的乘法运算即可判断A；举出反例即可判断BC；根据复数的乘法运算及复数的模的计算公式即可判断D.
【详解】设，
对于A， 若，则，故，故A正确；
对于B，当时，，故B错误；
对于C，当时，，故C错误；
对于D，若，则，所以，
，
同理，所以，所以，故D正确.
故选：AD.
2．（2024·山东济宁·三模）已知复数，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．
C．“”是“”的必要不充分条件D．“”是“”的充分不必要条件
【答案】AC
【分析】根据复数加法、乘法、乘方运算，结合复数的几何意义计算，依次判断选项即可.
【详解】A：设，则，
所以，
，则，故A正确；
B：设，则，
所以，
，则，故B错误；
C：由选项A知，，，
又，所以，不一定有，即推不出；
由，得，则，则，即，
所以“”是“”的必要不充分条件，故C正确；
D：设，则，
若，则，即，推不出；
若，则，
又，
同理可得，所以，；
所以“”是“”的必要不充分条件，故D错误.
故选：AC
3．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知方程的两个复数根分别为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】解方程求出，再结合共轭复数、模的意义及复数运算逐项判断即可各个选项.
【详解】方程可转化为，解得或，
不妨设，，
对于A，显然，故A正确；
对于B，，故B 错误；
对于C，由，则，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选：ACD.
一、单选题
1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知i是虚数单位，若为纯虚数，则实数a的值为（ ）
A．0B．1C．2D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用复数的乘法计算，再借助纯虚数的定义求解即得.
【详解】依题意，是纯虚数，于是，解得，
所以实数a的值为.
故选：D
2．（2024·河北·三模）已知复数满足，则的共轭复数的虚部是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知求得，可求的共轭复数的虚部.
【详解】由，可得，
所以，所以，
所以，所以的共轭复数的虚部是.
故选：D.
3．（2024·河南洛阳·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据复数的除法法则及共轭复数的定义即可求解.
【详解】，
所以.
故选：B．
4．（2024·河北沧州·模拟预测）设，是复数，则下列命题中是假命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【分析】对于A，利用复数模的定义即可判断；对于B，利用共轭复数的定义即可判断；对于C，利用复数共轭复数相乘的性质即可判断；对于D，举反例即可判断.
【详解】设，，其中．
对于A，
，
，
所以，故A正确；
对于B，，，
，
所以，故B正确；
对于C，，，
由，得．
因为，，
所以不一定成立，如，，
此时，而，，即，故C错误；
对于D，由，得，，
，所以，故D正确﹒
故选:C．
5．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知复数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题设求出，从而求出的值.
【详解】由题知，，
所以.
故选：A.
6．（2024·山东泰安·二模）若复数满足，则（ ）
A．B．2C．D．1
【答案】C
【分析】根据复数的乘、除法运算可得，则，结合复数的几何意义即可求解.
【详解】由，得，
所以，故.
故选：C
二、多选题
7．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知复数（为实数），若，则的值可能为（ ）
A．B．C．1D．3
【答案】BC
【分析】根据题意结合复数的模长公式运算求解即可.
【详解】由题意可知：，解得，
结合选项可知：BC正确；AD错误.
故选：BC.
8．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）设为虚数单位，下列关于复数的命题正确的有（ ）
A．B．若互为共轭复数，则
C．若，则D．若复数为纯虚数，则
【答案】ABD
【分析】根据复数的乘法运算，复数的模值运算，纯虚数的定义即可判断.
【详解】解：由题意得：
对于选项A：令
则
所以，故A正确；
对于选项B：令，，所以，故B正确；
对于选项C：令，，根据复数的乘法运算可知：， ，，所以C错误；
对于选项D：若复数为纯虚数，则，即，故D正确.
故选：ABD
三、填空题
9．（2024·上海·三模）设（为虚数单位），若z为纯虚数，则实数m的值为 ．
【答案】
【分析】根据给定的条件，利用纯虚数的定义列式计算即得.
【详解】由为纯虚数，得，解得，
所以实数m的值为.
故答案为：
10．（2024·广东·二模）设，为虚数单位，定义，则复数的模为 ．
【答案】
【分析】根据给定的定义求出复数，再利用模的意义计算得解.
【详解】依题意，，
所以复数的模为.
故答案为：
一、单选题
1．（2024·河北保定·二模）复数（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据复数乘除法以及模长计算公式，整理化简即可求得结果.
【详解】.
故选：D.
2．（2024·浙江杭州·三模）已知复数满足，则的共轭复数在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】利用复数的运算性质求出，再利用共轭复数的性质求出，最后利用复数和对应点的关系求解即可.
【详解】由题意得，故，
故，显然在复平面上对应的点是，在第四象限，故D正确.
故选：D
3．（2024·江苏南通·三模）已知为复数，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件
【答案】A
【分析】正向可得，则正向成立，反向利用待定系数法计算即可得或，则必要性不成立.
【详解】若，则，则，故充分性成立；
若，设，则，，
则，或与不一定相等，则必要性不成立，
则“”是“”的充分非必要条件，
故选：A
4．（2024·四川成都·模拟预测）复数在复平面上对应的点位于虚轴上，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用复数除法法则得到，从而得到方程，求出答案.
【详解】在复平面上对应的点位于虚轴上，
∴，即.
故选：D
5．（2024·广东广州·三模）当时，复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】先对复数进行化简，再确定实部和虚部的符号即可得解．
【详解】
因为，所以，
故复数在复平面内的对应点位于第一象限，
故选：A．
6．（2024·安徽·模拟预测）若为虚数单位，，则的最大值为（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】D
【分析】根据复数的几何意义可得复数对应的点的轨迹为以点为圆心，1为半径的圆，进而求出的最大值.
【详解】根据题意，复数对应的点的轨迹为以点为圆心，1为半径的圆，
所求式子的几何意义表示点到圆上点的距离的最大值，
如图所示，最大值为.
故选：D.
7．（2024·河南商丘·模拟预测）已知复数和满足，则（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】A
【分析】设，利用复数的模长结合已知组成方程组，解出即可.
【详解】设
因为，所以，即，①
又，所以，即，②
又，所以，即，③
②③可得，④
把①代入④可得，
所以，故A正确；
故选：A.
二、多选题
8．（2024·福建宁德·三模）已知是两个复数，下列结论中正确的是（ ）
A．若，则B．若为实数，则
C．若均为纯虚数，则为实数D．若为实数，则均为纯虚数
【答案】AC
【分析】根据题意，复数，根据复数的运算法则和复数的概念，结合选项，逐项判定，即可求解.
【详解】设复数，则，
对于A中，由，且，可得，所以，
所以，所以A正确；
对于B中，由，可得，即，
但与不一定相等，所以与不一定相等，所以B错误；
对于C中，由均为纯虚数，可得，
此时，所以C正确；
对于D中，由为实数，即，
可得，但不一定为，所以D错误.
故选：AC.
三、填空题
9．（2024·湖南衡阳·三模）已知是关于的方程（其中p、q为实数）的一个根，则的值为 .
【答案】
【分析】思路一：把代入方程中，再利用复数相等求出、，即可得解.
思路二：依题意根据虚根成对原理可得也是关于的方程的一个根，利用韦达定理求出、，即可得解.
【详解】方法一：由已知可得，即，
所以，解得，所以.
方法二：因为是关于的方程（其中p、q为实数）的一个根，
所以也是该方程的一个根，
由韦达定理得，解得，所以.
故答案为：.
10．（2024·江西南昌·三模）已知复数，，那么 .
【答案】
【分析】设出复数的代数形式，利用复数模的意义列出方程组并求解即得.
【详解】设，则，即有，
解得，所以.
故答案为：
一、单选题
1．（2024·全国·高考真题）设，则（ ）
A．B．C．10D．
【答案】A
【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解.
【详解】由，则.
故选：A
2．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据复数的几何意义先求出复数，然后利用共轭复数的定义计算.
【详解】在复平面对应的点是，根据复数的几何意义，，
由共轭复数的定义可知，.
故选：D
3．（2023·全国·高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】A
【分析】根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念得到，从而解出．
【详解】因为，所以，即．
故选：A．
4．（2022·全国·高考真题）若．则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．
【详解】因为，所以，所以．
故选：D.
5．（2022·全国·高考真题）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.
【详解】
故选 ：C
6．（2022·全国·高考真题）已知，且，其中a，b为实数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先算出,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可
【详解】
由,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等，
得,即
故选:
7．（2021·全国·高考真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于、的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数.
【详解】设，则，则，
所以，，解得，因此，.
故选：C.
8．（2021·全国·高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.
【详解】因为，故，故
故选：C.5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2024年新I卷，第2题，5分
复数的四则运算
无
2024年新Ⅱ卷，第1题，5分
复数的模
无
2023年新I卷，第2题，5分
复数的四则运算、共轭复数
无
2023年新Ⅱ卷，第1题，5分
复数的四则运算、复数的几何意义
无
2022年新I卷，第2题，5分
复数的四则运算、共轭复数
无
2022年新Ⅱ卷，第2题，5分
复数的四则运算
无
2021年新I卷，第2题，5分
复数的四则运算、共轭复数
无
2021年新Ⅱ卷，第1题，5分
复数的四则运算、复数的几何意义
无
2020年新I卷，第1题，5分
复数的四则运算
无
2020年新Ⅱ卷，第2题，5分
复数的四则运算
无
交换律

结合律

乘法对加法的分配律