2025年高考数学第一轮复习考点讲与练第04讲随机事件、频率与概率(学生版+解析)

这是一份2025年高考数学第一轮复习考点讲与练第04讲随机事件、频率与概率(学生版+解析)，共28页。试卷主要包含了 5年真题考点分布， 命题规律及备考策略，理解频率与概率的意义，55，0，5，124等内容，欢迎下载使用。

1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分
【备考策略】1.理解随机事件的定义
2.能正确区分必然事件、不可能事件、互斥事件与对立事件
3.理解频率与概率的意义
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般结合后面学的互斥事件、独立事件及概率的相关计算一起考查，需强化概念理解
知识讲解
1．事件的分类
2.事件的关系与运算
互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．
频率与概率
(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝eq \f(nA,n)为事件A出现的频率．
(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率．
考点一、事件的判断
1．从5个男生、2个女生中任意选派3人，则下列事件中是必然事件的是（ ）
A．3个都是男生B．至少有1个男生C．3个都是女生D．至少有1个女生
2．有下列事件：①连续掷一枚硬币两次，两次都出现正面朝上；②异性电荷相互吸引；③在标准大气压下，水在结冰；④买了一注彩票就得了特等奖．
其中是随机事件的有（ ）
A．①②B．①④C．①③④D．②④
1．判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？
（1）抛掷一块石子，下落；.
（2）在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化；
（3）某人射击一次，中靶；
（4）如果，那么；
（5）掷两枚硬币，均出现反面；
（6）抛掷两枚骰子，点数之和为15；
（7）从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签；
（8）某电话机在1分钟内收到2次呼叫；
（9）绿叶植物，不会光合作用；
（10）在常温下，焊锡熔化；
（11）若为实数，则；
（12）某人开车通过十个路口，都遇到绿灯；
其中必然事件有 ；不可能事件有 ；随机事件有
考点二、事件的关系和运算
1．（2024·重庆·模拟预测）对于两个事件，则事件表示的含义是（ ）
A．A与B同时发生B．A与B有且仅有一个发生
C．A与B至少一个发生D．A与B不能同时发生
2．（2023·四川宜宾·三模）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为奇数”，事件2表示“骰子向上的点数为偶数”，事件3表示“骰子向上的点数大于3”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”则（ ）
A．事件1与事件3互斥B．事件1与事件2互为对立事件
C．事件2与事件3互斥D．事件3与事件4互为对立事件
3．（21-22高一下·河南安阳·期末）从一批产品中逐个不放回地随机抽取三件产品，设事件A为“三件产品全不是次品”，事件B为“三件产品全是次品”，事件C为“三件产品不全是次品”，事件D为“第一件是次品”则下列结论正确的是（ ）
A．B与D相互独立B．B与C相互对立
C．D．
4．（21-22高一下·全国·开学考试）（多选）在12件同类产品中，有9件正品和3件次品，从中任意抽出3件产品，设事件“3件产品都是次品”，事件“至少有1件是次品”，事件“至少有1件是正品”，则下列结论正确的是（ ）
A．与为对立事件B．与不是互斥事件
C．D．
5．（2024·河北沧州·一模）（多选）某学校为了丰富同学们的课外活动，为同学们举办了四种科普活动：科技展览、科普讲座、科技游艺、科技绘画．记事件：只参加科技游艺活动；事件：至少参加两种科普活动；事件：只参加一种科普活动；事件：一种科普活动都不参加；事件：至多参加一种科普活动，则下列说法正确的是（ ）
A．与是互斥事件B．与是对立事件
C．D．
1．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）不透明盒子中装有除颜色外完全相同的2个红球、2个白球，现从盒子里随机取2个球．记事件：至少一个红球，事件：一个红球一个白球，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．与互斥D．与独立
2．（2023·四川内江·三模）一个人连续射击次，则下列各事件关系中，说法正确的是（ ）
A．事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件
B．事件“第一次击中”与事件“第二次击中”为互斥事件
C．事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件
D．事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”为互斥事件
3．（2023·广西柳州·模拟预测）从数学必修一、二和政治必修一、二共四本书中任取两本书，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有一本政治与都是数学B．至少有一本政治与都是政治
C．至少有一本政治与至少有一本数学D．恰有1本政治与恰有2本政治
4．（2024·全国·模拟预测）同时抛掷两颗骰子，观察向上的点数，记“点数之和为5”是事件，“点数之和为4的倍数”是事件，则（ ）
A．为不可能事件B．与为互斥事件
C．为必然事件D．与为对立事件
5．（23-24高二上·四川攀枝花·期末）（多选）某人打靶时连续射击两次，记事件为“第一次中靶”，事件为“至少一次中靶”，事件为“至多一次中靶”，事件为“两次都没中靶”.下列说法正确的是（ ）
A．B．与是互斥事件
C．D．与是互斥事件，且是对立事件
考点三、频率与概率
1．（2022·山东威海·三模）甲、乙两人相约在某健身房锻炼身体，他们分别在两个网站查看这家健身房的评价．甲在网站A查到共有840人参与评价，其中好评率为，乙在网站B查到共有1260人参与评价，其中好评率为．综合考虑这两个网站的信息，则这家健身房的总好评率为（ ）
A．B．C．D．
2．（22-23高二上·湖北武汉·期中）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了800次试验，发现正面朝上出现了440次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（ ）
A．0.55，0.55B．0.55，0.5C．0.5，0.5D．0.5，0.55
3．（2021·全国·模拟预测）某超市计划按月订购一种冷饮，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25℃，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20℃，需求量为100瓶．为了确定6月份的订购计划，统计了前三年6月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．若6月份这种冷饮一天的需求量不超过x瓶的概率估计值为0.1，则x=（ ）
A．100B．300C．400D．600
1．（23-24高二上·四川达州·阶段练习）某人抛掷一枚硬币80次，结果正面朝上有43次.设正面朝上为事件A，则事件A出现的概率为 ．
2．（23-24高三上·重庆沙坪坝·期中）在一次男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛（比赛采用3局2胜制），假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，现采用随机模拟方法估计甲获得冠军的概率，先由计算机产生1~5之间的随机数，指定1，2，3表示一局比赛中甲胜，4，5表示一局比赛中乙胜､经随机模拟产生了如下20组随机数：
据此估计甲获得冠军的概率为 .
3．（2023·陕西西安·模拟预测）在一个口袋中放有个白球和个红球，这些球除颜色外都相同，某班50名学生分别从口袋中每次摸一个球，记录颜色后放回，每人连续摸10次，其中摸到白球的次数共152次，以频率估计概率，若从口袋中随机摸1个球，则摸到红球概率的估计值为 ．（小数点后保留一位小数）
1．（22-23高二下·湖北荆州·阶段练习）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了1000次试验，发现正面朝上出现了560次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（ ）
A．0.56，0.56B．0.56，0.5
C．0.5，0.5D．0.5，0.56
2．（24-25高三上·重庆·开学考试）某池塘中饲养了A､B两种不同品种的观赏鱼，假设鱼群在池塘里是均匀分布的.在池塘的东､南､西三个采样点捕捞得到如下数据（单位：尾），若在采样点北捕捞到20尾鱼，则品种A约有（ ）
A．6尾B．10尾C．13尾D．17尾
3．（23-24高二上·广东清远·阶段练习）下列说法：①必然事件的概率为．②如果某种彩票的中奖概率为，那么买张这种彩票一定能中奖．③某事件的概率为．④互斥事件一定是对立事件．其中正确的说法是（ ）
A．①②③④B．①C．③④D．①④
4．（23-24高二上·河南信阳·阶段练习）同时掷两枚硬币，“向上的面都是正面”为事件，“向上的面至少有一枚是正面”为事件，则有( )
A．B．C． D．与之间没有关系
5．（2023·山东·模拟预测）已知事件满足，，则（ ）
A．若，则
B．若与互斥，则
C．若与相互独立，则
D．若，则与不相互独立
6．（23-24高二下·上海·期中）出卷老师今天买了一张刮刮乐彩票，刮出500元的概率是，则这件事 发生（填“必然”、“可能”或“不可能”）.
7．（22-23高三上·河南郑州·阶段练习）有下列事件：
①在标准大气压下，水加热到时会沸腾；
②实数的绝对值不小于零；
③某彩票中奖的概率为，则买100000张这种彩票一定能中奖；
④连续两次抛掷一枚骰子，两次都出现2点向上．
其中必然事件是 ．
8．（2020高三·全国·专题练习）“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象．某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有9600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有 人．
9．（2023·全国·模拟预测）在对于一些敏感性问题调查时，被调查者往往不愿意给正确答复，因此需要特别的调查方法．调查人员设计了一个随机化装置，在其中装有形状、大小、质地完全相同的个黑球和个白球，每个被调查者随机从该装置中抽取一个球，若摸到黑球则需要如实回答问题一：你公历生日是奇数吗？若摸到白球则如实回答问题二：你是否在考试中做过弊．若人中有人回答了“是”，人回答了“否”．则问题二“考试是否做过弊”回答“是”的百分比为（以人的频率估计概率） ．
10．（22-23高一下·全国·课后作业）抛掷一枚质地均匀的骰子，记“向上的点数是4或5或6”为事件A，“向上的点数是1或2”为事件B，“向上的点数是1或2或3或4”为事件C，“向上的点数大于3”为事件D，则下列结论正确的是 .（填序号）①A与B是互斥事件，但不是对立事件；②；③A与C是互斥事件；④.
1．某超市计划按月订购一种冷饮，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关．如果最高气温不低于，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间内，需求量为300瓶；如果最高气温低于，需求量为100瓶．为了确定6月份的订购计划，统计了前三年6月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：
将最高气温位于各区间的频率视为最高气温位于该区间的概率，若6月份这种冷饮一天的需求量不超过x瓶的概率估计值为0.1，则（ ）
A．100B．300C．400D．600
2．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设={2名全是男生}，{2名全是女生}，{恰有一名男生}，{至少有一名男生}，则下列关系不正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二上·四川遂宁·阶段练习）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为”，其中；“点数不大于2”，“点数大于2”，“点数大于4” 下列结论是判断错误的是 （ ）
A．与互斥B．，
C．D．，为对立事件
4．（多选）某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表：
记该篮球运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2024·云南昆明·三模）（多选）在一个有限样本空间中，事件发生的概率满足，，A与互斥，则下列说法正确的是（ ）
A．B．A与相互独立
C．D．
1．（重庆·高考真题）从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下（单位：克）
125 120 122 105 130 114 116 95 120 134，则样本数据落在[114.5，124.5）内的频率为
A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5
2．（浙江·高考真题）从存放号码分别为1，2，，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：
则取到号码为奇数的频率是（ ）
A．0.53B．0.5C．0.47D．0.37
3．（湖北·高考真题）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A．134石B．169石C．338石D．1365石
4．（湖北·高考真题）甲：、是互斥事件；乙：、是对立事件，那么
A．甲是乙的充要条件B．甲是乙的充分但不必要条件
C．甲是乙的必要但不充分条件D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
5．（全国·高考真题）从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g）：
492 496 494 495 498 497 501 502 504 496
497 503 506 508 507 492 496 500 501 499
根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在之间的概率约为 ．
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2023年新Ⅱ卷，第3题,5分
抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算
分步乘法计数原理及简单应用
实际问题中的组合计数问题
确定事件
必然事件
在条件S下，一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件
不可能事件
在条件S下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件
随机事件
在条件S下，可能发生也可能不发生的事件叫做相对于条件S的随机事件
定义
符号表示
包含关系
如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)
B⊇A(或A⊆B)
相等关系
若B⊇A且A⊇B
A＝B
并事件(和事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A＋B)
交事件(积事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B(或AB)
互斥事件
若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥
A∩B＝∅
对立事件
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件
A∩B＝∅；P(A∪B)＝
P(A)＋P(B)＝1
最高气温
天数
4
5
25
38
18
334
221
433
551
454
452
315
142
331
423
212
541
121
451
231
414
312
552
324
115
采样点
品种A
品种B
东
20
9
南
7
3
西
17
8
最高气温
天数
3
6
25
38
18
投篮次数
投中两分球的次数
投中三分球的次数
100
55
18
卡片号码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
取到的次数
13
8
5
7
6
13
18
10
11
9
第04讲 随机事件、频率与概率
（3类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分
【备考策略】1.理解随机事件的定义
2.能正确区分必然事件、不可能事件、互斥事件与对立事件
3.理解频率与概率的意义
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般结合后面学的互斥事件、独立事件及概率的相关计算一起考查，需强化概念理解
知识讲解
1．事件的分类
2.事件的关系与运算
互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．
频率与概率
(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝eq \f(nA,n)为事件A出现的频率．
(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率．
考点一、事件的判断
1．从5个男生、2个女生中任意选派3人，则下列事件中是必然事件的是（ ）
A．3个都是男生B．至少有1个男生C．3个都是女生D．至少有1个女生
【答案】B
【分析】根据题意及必然事件的概念即可得解．
【详解】从5个男生、2个女生中任选派3人，由于女生只有2名，故至少有1个男生是必然事件，
故选：B．
2．有下列事件：①连续掷一枚硬币两次，两次都出现正面朝上；②异性电荷相互吸引；③在标准大气压下，水在结冰；④买了一注彩票就得了特等奖．
其中是随机事件的有（ ）
A．①②B．①④C．①③④D．②④
【答案】B
【分析】根据事件的知识求得正确答案.
【详解】①④是随机事件，②为必然事件，③为不可能事件.
故选：B
1．判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？
（1）抛掷一块石子，下落；.
（2）在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化；
（3）某人射击一次，中靶；
（4）如果，那么；
（5）掷两枚硬币，均出现反面；
（6）抛掷两枚骰子，点数之和为15；
（7）从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签；
（8）某电话机在1分钟内收到2次呼叫；
（9）绿叶植物，不会光合作用；
（10）在常温下，焊锡熔化；
（11）若为实数，则；
（12）某人开车通过十个路口，都遇到绿灯；
其中必然事件有 ；不可能事件有 ；随机事件有
【答案】 （1）、（4）、（11） （2）、（6）、（9）、（10） （3）、（5）、（7）、（8）、（12）
【分析】由必然事件，不可能事件以及随机事件的概念逐一判断即可.
【详解】（1）抛掷一块石子，下落，是必然事件；
（2）在标准大气压下且温度低于0℃时，冰不可能融化，是不可能事件；
（3）某人射击一次，可能中靶，也可能不中靶，是随机事件；
（4）如果，那么必然成立，是必然事件；
（5）掷两枚硬币，有四种情况，均出现反面可能发生也可能不发生，是随机事件；
（6）抛掷两枚骰子，点数之和最大为12，所以点数之和为15不可能发生，是不可能事件；
（7）从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，有5种情况，得到4号签是随机事件；
（8）某电话机在1分钟内收到呼叫次数不确定，所以收到2次呼叫是随机事件；
（9）绿叶植物，都会光合作用，所以是不可能事件；
（10）焊锡熔点一般为183度，所以常温不可能熔化，是不可能事件；
（11）若为实数，则必然成立，是必然事件；
（12）某人开车通过十个路口，红绿灯都可能遇到，所以都遇到红灯是随机事件；
故答案为：（1）、（4）、（11）；（2）、（6）、（9）、（10）；（3）、（5）、（7）、（8）、（12）
考点二、事件的关系和运算
1．（2024·重庆·模拟预测）对于两个事件，则事件表示的含义是（ ）
A．A与B同时发生B．A与B有且仅有一个发生
C．A与B至少一个发生D．A与B不能同时发生
【答案】C
【分析】根据事件之间的和事件关系，可得答案.
【详解】由表示的是与中至少一个发生.
故选：C.
2．（2023·四川宜宾·三模）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为奇数”，事件2表示“骰子向上的点数为偶数”，事件3表示“骰子向上的点数大于3”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”则（ ）
A．事件1与事件3互斥B．事件1与事件2互为对立事件
C．事件2与事件3互斥D．事件3与事件4互为对立事件
【答案】B
【分析】根据互斥事件、对立事件定义判断求解.
【详解】由题可知，事件1可表示为：,事件2可表示为：,
事件3可表示为：,事件4可表示为：,
因为，所以事件1与事件3不互斥，A错误；
因为为不可能事件，为必然事件，
所以事件1与事件2互为对立事件，B正确；
因为，所以事件2与事件3不互斥，C错误；
因为为不可能事件，不为必然事件，
所以事件3与事件4不互为对立事件，D错误；
故选：B.
3．（21-22高一下·河南安阳·期末）从一批产品中逐个不放回地随机抽取三件产品，设事件A为“三件产品全不是次品”，事件B为“三件产品全是次品”，事件C为“三件产品不全是次品”，事件D为“第一件是次品”则下列结论正确的是（ ）
A．B与D相互独立B．B与C相互对立
C．D．
【答案】B
【分析】根据互斥事件，对立事件，相互独立事件的定义逐个判断即可.
【详解】为三件产品全部是次品，指的是三件产品都是正品，
为三件全是次品，
为三件产品不全是次品，包括一件次品，两件次品，三件全是正品三个事件，
为第一件是次品，指的是最少有一件次品，包括一件次品，两件次品，三件次品三个事件.
由此可知与是互斥事件，与是包含，不是互斥，与对立
故选: B.
4．（21-22高一下·全国·开学考试）（多选）在12件同类产品中，有9件正品和3件次品，从中任意抽出3件产品，设事件“3件产品都是次品”，事件“至少有1件是次品”，事件“至少有1件是正品”，则下列结论正确的是（ ）
A．与为对立事件B．与不是互斥事件
C．D．
【答案】ABC
【分析】通过分析事件，从而判断事件的关系.
【详解】从中任意抽出3件产品，共有4种情况：3件产品都是次品，2件次品1件正品，1件次品2件正品，3件产品都是正品.
事件的可能情况有：3件产品都是次品，2件次品1件正品，1件次品2件正品，
事件的可能情况有：2件次品1件正品，1件次品2件正品，3件产品都是正品.
与为对立事件，故A正确；
{2件次品1件正品，1件次品2件正品}，则与不是互斥事件，故B正确；
，，故C正确；
由上知，故D错误.
故选：ABC
5．（2024·河北沧州·一模）（多选）某学校为了丰富同学们的课外活动，为同学们举办了四种科普活动：科技展览、科普讲座、科技游艺、科技绘画．记事件：只参加科技游艺活动；事件：至少参加两种科普活动；事件：只参加一种科普活动；事件：一种科普活动都不参加；事件：至多参加一种科普活动，则下列说法正确的是（ ）
A．与是互斥事件B．与是对立事件
C．D．
【答案】ABC
【分析】根据互斥事件和对立事件的概念判断AB的真假，根据事件的交、并的概念判断CD的真假.
【详解】对A：互斥事件表示两事件的交集为空集.事件：只参加科技游艺活动，
与事件：一种科普活动都不参加，二者不可能同时发生，交集为空集，故A正确；
对B：对立事件表示两事件互斥且必定有一个发生. 事件和事件满足两个特点，故B正确；
对C：表示：至多参加一种科普活动，即为事件，故C正确；
对D：表示：只参加一种科普活动，但不一定是科技游艺活动，故D错误.
故选：ABC
1．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）不透明盒子中装有除颜色外完全相同的2个红球、2个白球，现从盒子里随机取2个球．记事件：至少一个红球，事件：一个红球一个白球，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．与互斥D．与独立
【答案】B
【分析】根据事件：至少一个红球，则存在两种情况，有一个红球和一个白球，有两个红球；事件：一个红球一个白球，根据事件的基本关系理解发生，一定发生，发生，不一定发生即可判断和事件，积事件，互斥关系，独立关系．
【详解】解：现从盒子里随机取2个球．记事件：至少一个红球，则存在两种情况，有一个红球和一个白球，有两个红球；
A．，故选项错误，不符合题意；
B．，故选项正确，符合题意；
C．，故与不互斥，故选项错误，不符合题意；
D．，即发生，一定发生，发生，不一定发生，故与不独立，故选项错误，不符合题意；
故选：B．
2．（2023·四川内江·三模）一个人连续射击次，则下列各事件关系中，说法正确的是（ ）
A．事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件
B．事件“第一次击中”与事件“第二次击中”为互斥事件
C．事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件
D．事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”为互斥事件
【答案】D
【分析】根据对立事件和互斥事件的概念，分析各个选项的内容即可得到答案.
【详解】一个人连续射击次，其可能结果为击中次，击中次，击中次，
其中“至少一次击中”包括击中一次和击中两次，
事件“两次均击中”包含于事件“至少一次击中”，故A错误；
事件“第一次击中”包含第一次击中且第二次没有击中，或第一、二次都击中，
事件“第二次击中” 包含第二次击中且第一次没有击中，或第一、二次都击中，故B错误；
事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”可以同时发生，故C错误；
事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”为互斥事件，故D正确；
故选：D
3．（2023·广西柳州·模拟预测）从数学必修一、二和政治必修一、二共四本书中任取两本书，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有一本政治与都是数学B．至少有一本政治与都是政治
C．至少有一本政治与至少有一本数学D．恰有1本政治与恰有2本政治
【答案】D
【分析】总的可能的结果为“两本政治”，“两本数学”，“一本数学一本政治”，然后写出各个事件包含的事件，结合互斥事件与对立事件的概念，即可得出答案.
【详解】从装有2本数学和2本政治的四本书内任取2本书，
可能的结果有：“两本政治”，“两本数学”，“一本数学一本政治”，
“至少有一本政治”包含事件：“两本政治”，“一本数学一本政治”.
对于A，事件“至少有一本政治”与事件“都是数学”是对立事件，故A错误；
对于B，事件“至少有一本政治”包含事件“都是政治”，两个事件是包含关系，不是互斥事件，故B错误；
对于C，事件“至少有一本数学”包含事件：“两本数学”，“一本数学一本政治”，因此两个事件都包含事件“一本数学一本政治”，不是互斥事件，故C错误；
对于D，“恰有1本政治”表示事件“一本数学一本政治”，与事件“恰有2本政治”是互斥事件，但是不对立，故D正确.
故选:D.
4．（2024·全国·模拟预测）同时抛掷两颗骰子，观察向上的点数，记“点数之和为5”是事件，“点数之和为4的倍数”是事件，则（ ）
A．为不可能事件B．与为互斥事件
C．为必然事件D．与为对立事件
【答案】B
【分析】利用事件的基本关系判断即可.
【详解】同时抛掷两颗骰子，有36个结果，
“点数之和为5”是事件有共有4种情况；
“点数之和为4的倍数”是事件有共有9种情况；
对于选项A: 表示“点数之和为5或是4的倍数”， 不是不可能事件.故A错误；
对于选项B：A与B不可能同时发生．故B正确；
对于选项C：表示“点数之和为5且是4的倍数”，是不可能事件，故C错误；
对于选项D：与不能包含全部基本事件，故D错误.
故选:B．
5．（23-24高二上·四川攀枝花·期末）（多选）某人打靶时连续射击两次，记事件为“第一次中靶”，事件为“至少一次中靶”，事件为“至多一次中靶”，事件为“两次都没中靶”.下列说法正确的是（ ）
A．B．与是互斥事件
C．D．与是互斥事件，且是对立事件
【答案】AD
【分析】根据互斥事件和对立事件的概念逐项判断即可.
【详解】由题意可知，事件为“第一次中靶且第二次没有中靶”“第一次没有中靶且第二次中靶”“ 两次都中靶” “ 两次都没有中靶”；
事件为“至少一次中靶”，即“第一次中靶且第二次没有中靶”“第一次没有中靶且第二次中靶”“ 两次都中靶”；
事件为“至多一次中靶”，即“第一次中靶且第二次没有中靶”“第一次没有中靶且第二次中靶”“ 两次都没有中靶”；
事件为“两次都没中靶”；
故，与不是互斥事件，与是互斥事件，且是对立事件，.
故选:：AD.
考点三、频率与概率
1．（2022·山东威海·三模）甲、乙两人相约在某健身房锻炼身体，他们分别在两个网站查看这家健身房的评价．甲在网站A查到共有840人参与评价，其中好评率为，乙在网站B查到共有1260人参与评价，其中好评率为．综合考虑这两个网站的信息，则这家健身房的总好评率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据已知数据直接计算可得.
【详解】由已知可得这家健身房的总好评率为.
故选：B.
2．（22-23高二上·湖北武汉·期中）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了800次试验，发现正面朝上出现了440次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（ ）
A．0.55，0.55B．0.55，0.5C．0.5，0.5D．0.5，0.55
【答案】B
【分析】根据频率的计算公式可求得频率，结合概率的含义可确定概率，即得答案.
【详解】某同学用一枚质地均匀的硬币做了800次试验，发现正面朝上出现了440次，
那么出现正面朝上的频率为 ,
由于每次抛硬币时，正面朝上和反面朝上的机会相等，都是,
故出现正面朝上的概率为 ,
故选︰B．
3．（2021·全国·模拟预测）某超市计划按月订购一种冷饮，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25℃，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20℃，需求量为100瓶．为了确定6月份的订购计划，统计了前三年6月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．若6月份这种冷饮一天的需求量不超过x瓶的概率估计值为0.1，则x=（ ）
A．100B．300C．400D．600
【答案】B
【分析】根据频数分布表确定概率
【详解】这种冷饮一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25℃，
由表格数据知，最高气温低于25℃的频率为，
所以6月份这种冷饮一天的需求量不超过300瓶的概率估计值为0.1.
故选：B．
1．（23-24高二上·四川达州·阶段练习）某人抛掷一枚硬币80次，结果正面朝上有43次.设正面朝上为事件A，则事件A出现的概率为 ．
【答案】/
【分析】由题意知硬币正反面出现的机会是均等的，即可得答案.
【详解】由题意可知事件A出现的频率为，而概率是大量试验中，频率趋于的一个稳定值，
由于硬币正反面出现的机会是均等的，故事件A出现的概率为，
故答案为：
2．（23-24高三上·重庆沙坪坝·期中）在一次男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛（比赛采用3局2胜制），假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，现采用随机模拟方法估计甲获得冠军的概率，先由计算机产生1~5之间的随机数，指定1，2，3表示一局比赛中甲胜，4，5表示一局比赛中乙胜､经随机模拟产生了如下20组随机数：
据此估计甲获得冠军的概率为 .
【答案】
【分析】由13组数据表示甲获得冠军，从而估计出概率.
【详解】20组数据中，共13组数据表示甲获得冠军，
故估计甲获得冠军的概率为.
故答案为：
3．（2023·陕西西安·模拟预测）在一个口袋中放有个白球和个红球，这些球除颜色外都相同，某班50名学生分别从口袋中每次摸一个球，记录颜色后放回，每人连续摸10次，其中摸到白球的次数共152次，以频率估计概率，若从口袋中随机摸1个球，则摸到红球概率的估计值为 ．（小数点后保留一位小数）
【答案】0.7
【分析】以频率估计概率，直接运算求解即可.
【详解】由题意可知：一共摸500次，其中摸到白球的次数共152次，摸到红球的次数共348次，
所以摸到红球概率的估计值为.
故答案为：0.7
1．（22-23高二下·湖北荆州·阶段练习）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了1000次试验，发现正面朝上出现了560次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（ ）
A．0.56，0.56B．0.56，0.5
C．0.5，0.5D．0.5，0.56
【答案】B
【分析】根据频率和概率的定义求解.
【详解】某同学用一枚质地均匀的硬币做了1000次试验，发现正面朝上出现了560次，
那么出现正面朝上的频率为，
由于每次抛硬币时，正面朝上和反面朝上的机会相等，都是，
故出现正面朝上的概率为．
故选:B．
2．（24-25高三上·重庆·开学考试）某池塘中饲养了A､B两种不同品种的观赏鱼，假设鱼群在池塘里是均匀分布的.在池塘的东､南､西三个采样点捕捞得到如下数据（单位：尾），若在采样点北捕捞到20尾鱼，则品种A约有（ ）
A．6尾B．10尾C．13尾D．17尾
【答案】C
【分析】根据鱼群在池塘里是均匀分布的，利用频率求解.
【详解】解：因为鱼群在池塘里是均匀分布的，
所以品种A约所占比为：，
所以在采样点北捕捞到20尾鱼，则品种A约有尾，
故选：C
3．（23-24高二上·广东清远·阶段练习）下列说法：①必然事件的概率为．②如果某种彩票的中奖概率为，那么买张这种彩票一定能中奖．③某事件的概率为．④互斥事件一定是对立事件．其中正确的说法是（ ）
A．①②③④B．①C．③④D．①④
【答案】B
【分析】由必然事件的概念即可判断①；根据互斥事件概率的计算公式即可判断②；由随机事件概率的性质即可判断③；根据互斥事件和对立事件的区别与联系即可判断④；
【详解】根据必然事件和不可能事件的定义可知，必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，故①正确；
根据随机事件的概率可知，买10张这种彩票也会有的可能性不中奖，所以②错误；
根据随机事件概率的性质可知，某事件的概率取值范围为，即③错误；
互斥事件和对立事件都不可能同时发生，但对立事件两者必发生其一，而互斥事件还可能发生其他情况，所以互斥事件不一定是对立事件，即④错误；
故选：B
4．（23-24高二上·河南信阳·阶段练习）同时掷两枚硬币，“向上的面都是正面”为事件，“向上的面至少有一枚是正面”为事件，则有( )
A．B．C． D．与之间没有关系
【答案】C
【分析】根据题意，结合列举法求得事件和事件，进而得到两事件的关系，得到答案.
【详解】由同时抛掷两枚硬币，基本事件的空间为{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}，
其中事件{（正，正）}，事件{（正，正），（正，反），（反，正）}，
所以.
故选：C.
5．（2023·山东·模拟预测）已知事件满足，，则（ ）
A．若，则
B．若与互斥，则
C．若与相互独立，则
D．若，则与不相互独立
【答案】B
【分析】根据事件的包含关系，互斥事件的概率加法，以及独立事件的概念及判定，以及概率乘法公式，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A，若，则，所以A错误；
对于B，若与互斥，则，所以B正确；
对于C，若与相互独立，可得与相互独立，
所以，所以C错误；
对于D，由，可得，
所以，所以，所以与相互独立，所以D错误.
故选：B.
6．（23-24高二下·上海·期中）出卷老师今天买了一张刮刮乐彩票，刮出500元的概率是，则这件事 发生（填“必然”、“可能”或“不可能”）.
【答案】可能
【分析】根据题意，由随机事件的定义即可得到结果.
【详解】根据概率的意义，刮出500元的概率是，
表示刮出500元的可能性是，所以这件事可能发生.
故答案为：可能
7．（22-23高三上·河南郑州·阶段练习）有下列事件：
①在标准大气压下，水加热到时会沸腾；
②实数的绝对值不小于零；
③某彩票中奖的概率为，则买100000张这种彩票一定能中奖；
④连续两次抛掷一枚骰子，两次都出现2点向上．
其中必然事件是 ．
【答案】②
【分析】根据必然事件一定会发生逐个判断即可
【详解】因为在标准大气压下，水加热到 100℃才会沸腾，所以①不是必然事件；
因为实数的绝对值不小于零，所以②是必然事件；
因为某彩票中奖的概率为，仅代表可能性，所以买100000张这种彩票不一定能中奖，即③不是必然事件；
抛掷一枚骰子，每一面出现都是随机的，所以④是随机事件
故答案为：②
8．（2020高三·全国·专题练习）“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象．某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有9600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有 人．
【答案】6912
【解析】计算出对“键盘侠”持反对态度的频率，由此计算出该地区对“键盘侠”持反对态度的人数.
【详解】在随机抽取的50人中，持反对态度的频率为，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有9600×＝6912（人）．
故答案为：
【点睛】本小题主要考查利用频率进行估计，属于基础题.
9．（2023·全国·模拟预测）在对于一些敏感性问题调查时，被调查者往往不愿意给正确答复，因此需要特别的调查方法．调查人员设计了一个随机化装置，在其中装有形状、大小、质地完全相同的个黑球和个白球，每个被调查者随机从该装置中抽取一个球，若摸到黑球则需要如实回答问题一：你公历生日是奇数吗？若摸到白球则如实回答问题二：你是否在考试中做过弊．若人中有人回答了“是”，人回答了“否”．则问题二“考试是否做过弊”回答“是”的百分比为（以人的频率估计概率） ．
【答案】/
【分析】计算出摸到黑球且回答“是”的人数，可求得摸到白球且回答“是”的人数，即可求得结果.
【详解】由题意可知，每名调查者从袋子中抽到个白球或黑球的概率均为，
所以，人中回答第一个问题的人数为，则另外人回答了第二个问题，
在摸到黑球的前提下，回答“是”的概率为，即摸到黑球且回答“是”的人数为，
则摸到白球且回答“是”的人数为，
所以，问题二“考试是否做过弊”且回答“是”的百分比为.
故答案为：.
10．（22-23高一下·全国·课后作业）抛掷一枚质地均匀的骰子，记“向上的点数是4或5或6”为事件A，“向上的点数是1或2”为事件B，“向上的点数是1或2或3或4”为事件C，“向上的点数大于3”为事件D，则下列结论正确的是 .（填序号）①A与B是互斥事件，但不是对立事件；②；③A与C是互斥事件；④.
【答案】①②④
【分析】根据互斥事件，对立事件，事件的包含关系，事件相等的定义判断各命题即可.
【详解】试验的样本空间，
根据题意，，，，.
因为，，所以A与B是互斥事件，但不是对立事件，故①正确；
因为，，所以，故②正确；
因为，所以A与C不是互斥事件，故③错误；
因为，，所以，故④正确.
故答案为：①②④.
1．某超市计划按月订购一种冷饮，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关．如果最高气温不低于，需求量为600瓶；如果最高气温位于区间内，需求量为300瓶；如果最高气温低于，需求量为100瓶．为了确定6月份的订购计划，统计了前三年6月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：
将最高气温位于各区间的频率视为最高气温位于该区间的概率，若6月份这种冷饮一天的需求量不超过x瓶的概率估计值为0.1，则（ ）
A．100B．300C．400D．600
【答案】B
【详解】命题意图 本题考查用样本频率估计总体的概率．
解析 由表格数据知，最高气温低于的频率为，所以6月份这种冷饮一天的需求量不超过300瓶的概率估计值为0.1．
2．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设={2名全是男生}，{2名全是女生}，{恰有一名男生}，{至少有一名男生}，则下列关系不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据至少有1名男生包含2名全是男生､1名男生1名女生，则，，可判断A,C; 事件B与D是互斥事件,判断B; 表示的是2名全是男生或2名全是女生，表示至少有一名男生，由此判断D.
【详解】至少有1名男生包含2名全是男生､1名男生1名女生，故，，
故A，C正确；
事件B与D是互斥事件，故，故B正确，
表示的是2名全是男生或2名全是女生，表示2名全是女生或名至少有一名男生，
故，D错误，
故选：D.
3．（23-24高二上·四川遂宁·阶段练习）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为”，其中；“点数不大于2”，“点数大于2”，“点数大于4” 下列结论是判断错误的是 （ ）
A．与互斥B．，
C．D．，为对立事件
【答案】D
【分析】根据互斥事件和对立事件的定义判断AD，由事件的运算判断B，由事件间关系判断C.
【详解】由题意与不可能同时发生，它们互斥，A正确；
中点数为1或2，中点数为3，4，5或6，因此它们的并是必然事件，但它们不可能同时发生，因此为不可能事件，B正确；
发生时，一定发生，但发生时，可能不发生，因此，C正确；
与不可能同时发生，但也可能都不发生，互斥不对立，D错误；
故选：D．
4．（多选）某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表：
记该篮球运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】求出事件A，B的频率即得对应概率，再用互斥事件的加法公式计算，然后逐一判断得解.
【详解】依题意，，，
显然事件A，B互斥，，
事件B，C互斥，则，
于是得选项A，B，C都正确，选项D不正确.
故选：ABC.
5．（2024·云南昆明·三模）（多选）在一个有限样本空间中，事件发生的概率满足，，A与互斥，则下列说法正确的是（ ）
A．B．A与相互独立
C．D．
【答案】ABD
【分析】A选项，根据互斥得到，；B选项，根据求出，故，B正确；C选项，A与互斥，故与互斥，故C正确；D选项，根据求出D正确.
【详解】A选项，A与互斥，故，，则包含事件，故，A正确；
B选项，，
即，故，
故，A与相互独立，B正确；
C选项，A与互斥，故与互斥，故，C错误；
D选项，
，
因为，故，D正确.
故选：ABD
一、单选题
1．（重庆·高考真题）从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下（单位：克）
125 120 122 105 130 114 116 95 120 134，则样本数据落在[114.5，124.5）内的频率为
A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5
【答案】C
【详解】试题分析：从所给的十个数字中找出落在所要求的范围中的数字，共有4个，利用这个频数除以样本容量，得到要求的频率．
解：∵在125 120 122 105 130 114 116 95 120 134十个数字中，
样本数据落在[114.5，124.5）内的有116，120，120，122共有四个，
∴样本数据落在[114.5，124.5）内的频率为=0.4，
故选C
点评：本题考查频率分布表，频数、频率和样本容量三者之间的关系是知二求一，这种问题会出现在选择和填空中，有的省份也会以大题的形式出现，把它融于统计问题中．
2．（浙江·高考真题）从存放号码分别为1，2，，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：
则取到号码为奇数的频率是（ ）
A．0.53B．0.5C．0.47D．0.37
【答案】A
【分析】有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码．这样事件的总数是100，从表中可以看出取到的卡片上数字是奇数有53种情况，可直接算出频率．
【详解】由题意知，
∵有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，
∴总次数是100，
由表可以看出取到号码为奇数有13＋5＋6＋18＋11＝53种结果，
所以频率，
故选：A．
3．（湖北·高考真题）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A．134石B．169石C．338石D．1365石
【答案】B
【详解】设夹谷石，则，
所以，
所以这批米内夹谷约为石，故选B.
考点：用样本的数据特征估计总体.
4．（湖北·高考真题）甲：、是互斥事件；乙：、是对立事件，那么
A．甲是乙的充要条件B．甲是乙的充分但不必要条件
C．甲是乙的必要但不充分条件D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
【答案】C
【详解】分析:根据互斥事件和对立事件的概念，根据充分条件和必要条件的概念分析解答.
详解：当、是互斥事件时，、不一定是对立事件，所以甲是乙的非充分条件.
当、是对立事件时，、一定是互斥事件，所以甲是乙的必要条件.
所以甲是乙的必要非充分条件.
故选C.
点睛：本题主要考查互斥事件和对立事件的联系和区别，考查充分条件和必要条件的概念.
甲乙互斥，但是甲乙不一定对立，甲乙对立，则甲乙一定互斥.
5．（全国·高考真题）从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g）：
492 496 494 495 498 497 501 502 504 496
497 503 506 508 507 492 496 500 501 499
根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在之间的概率约为 ．
【答案】 /
【分析】首先从所给的 袋抽取的质量中找出质量在之间的质量，进而确定几袋，用所得袋数除以总袋数袋，进一步得到样本中质量在之间的概率，根据频率分布估计总体分布的原理，将样本中的频率近似看作总体中的概率即可.
【详解】解：通过统计，可知自动包装机包装的袋装食盐质量在之间的共有 袋，
所以袋装食盐质量在之间的概率为，
根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在之间的概率约为： .
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2023年新Ⅱ卷，第3题,5分
抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算
分步乘法计数原理及简单应用
实际问题中的组合计数问题
确定事件
必然事件
在条件S下，一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件
不可能事件
在条件S下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件
随机事件
在条件S下，可能发生也可能不发生的事件叫做相对于条件S的随机事件
定义
符号表示
包含关系
如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)
B⊇A(或A⊆B)
相等关系
若B⊇A且A⊇B
A＝B
并事件(和事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A＋B)
交事件(积事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B(或AB)
互斥事件
若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥
A∩B＝∅
对立事件
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件
A∩B＝∅；P(A∪B)＝
P(A)＋P(B)＝1
最高气温
天数
4
5
25
38
18
334
221
433
551
454
452
315
142
331
423
212
541
121
451
231
414
312
552
324
115
采样点
品种A
品种B
东
20
9
南
7
3
西
17
8
最高气温
天数
3
6
25
38
18
投篮次数
投中两分球的次数
投中三分球的次数
100
55
18
卡片号码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
取到的次数
13
8
5
7
6
13
18
10
11
9