2025年高考数学第一轮复习考点讲与练第八章平面解析几何(模块综合调研卷)(学生版+解析)

这是一份2025年高考数学第一轮复习考点讲与练第八章平面解析几何(模块综合调研卷)(学生版+解析)，共28页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）
1．“”是“直线与直线垂直”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．已知直线与圆交于两点，且，则（ ）
A．4B．C．2D．
3．在平面直角坐标系中，过点的直线与双曲线的两条渐近线相交于两点，若线段的中点是，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．已知圆，直线.则直线被圆截得的弦长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．我国自主研发的“嫦娥四号”探测器成功着陆月球，并通过“鹊桥”中继星传回了月球背面影像图．假设“嫦娥四号”在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，其轨道的离心率为e，设月球的半径为R，“嫦娥四号”到月球表面最近的距离为r，则“嫦娥四号”到月球表面最远的距离为（ ）
A．B．
C．D．
6．设分别是直线和上的动点，且满足，则的中点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知点分别是抛物线和圆上的动点，若抛物线的焦点为，则的最小值为（ ）
A．6B．C．D．
8．设椭圆与双曲线有相同的焦距，它们的离心率分别为，，椭圆的焦点为，，，在第一象限的交点为，若点在直线上，且，则的值为（ ）
A．2B．3C．D．
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分）
9．已知动点 分别在圆 和 上，动点 在 轴上，则（ ）
A．圆的半径为3
B．圆和圆相离
C．的最小值为
D．过点做圆的切线，则切线长最短为
10．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点A，B在C上（A在第一象限），点Q在l上，以为直径的圆过焦点F，，则（ ）
A．若，则B．若，则
C．，则D．，则
11．已知双曲线C：的右焦点为F，过点F作C的一条渐近线的垂线，垂足为A，该垂线与另一条渐近线的交点为B，若，则C的离心率e可能为（ ）
A．B．C．D．
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12．过双曲线的右支上一点，分别向⊙和⊙作切线，切点分别为，则的最小值为 .

13．已知P、Q为椭圆上关于原点对称的两点，点P在第一象限，、是椭圆C的左、右焦点，，若，则椭圆C的离心率的取值范围为 .
14．已知A，B是抛物线上异于原点的两点，且以为直径的圆过原点，过向直线作垂线，垂足为H，求的最大值为 .
四、解答题（本题共 5 小题，共77分，其中 15 题 13 分，16 题 15 分，17 题 15 分，18 题 17 分，19 题 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．已知双曲线C:，圆，其中.圆与双曲线有且仅有两个交点，线段的中点为.
(1)记直线的斜率为，直线的斜率为，求.
(2)当直线的斜率为3时，求点坐标.
16．已知分别是椭圆的左右焦点，如图，抛物线的焦点为F1−c,0，且与椭圆在第二象限交于点，延长与椭圆交于点．
(1)求椭圆的离心率；
(2)设和的面积分别为，求．
17．已知是圆：上的动点，点，直线与圆的另一个交点为，点在直线上，，动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)若过点的直线与曲线相交于，两点，且，都在轴上方，问：在轴上是否存在定点，使得的内心在一条定直线上?请你给出结论并证明.
18．已知抛物线：（）的焦点为，点，过的直线交于，两点，当点的横坐标为1时，点到抛物线的焦点的距离为2.
(1)求抛物线的方程；
(2)设直线，与的另一个交点分别为，，点，分别是，的中点，记直线，的倾斜角分别为，.求的最大值.
19．在平面直角坐标系中，点，分别是椭圆：的右顶点，上顶点，若的离心率为，且到直线的距离为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线与椭圆交于，两点，其中点在第一象限，点在轴下方且不在轴上，设直线，的斜率分别为，.
（i）求证：为定值，并求出该定值；
（ii）设直线与轴交于点，求的面积的最大值.
第八章 平面解析几何（基础卷）（模块综合调研卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）
1．“”是“直线与直线垂直”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先求出两直线垂直的充要条件，进而根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】若直线与直线垂直，
则，解得，
所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件.
故选：A.
2．已知直线与圆交于两点，且，则（ ）
A．4B．C．2D．
【答案】D
【分析】运用垂径定理结合勾股定理构造方程计算即可.
【详解】由题意可得圆的圆心为，半径，
则圆心到直线的距离．因为，
所以，即，解得.
故选：D.
3．在平面直角坐标系中，过点的直线与双曲线的两条渐近线相交于两点，若线段的中点是，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设出直线的方程，由双曲线方程得到两渐近线方程，分别联立直线与两渐近线方程，得到点坐标，结合的中点为，可得结论．
【详解】
直线的斜率不存在时，应该在轴上，不符合题意，
直线的斜率为0时，两点重合，不符合题意，
所以直线的斜率存在且不为0，设直线，
双曲线的两条渐近线方程分别为，
联立解得，不妨令，
联立，解得，则，
因为线段的中点为，所以，即，
②式两边分别平方得③，将①代入③并化简可得，
所以离心率.
故选：D．
4．已知圆，直线.则直线被圆截得的弦长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出直线所过的定点，数形结合得到当时，直线被圆截得的弦长最小，再由垂径定理得到最小值.
【详解】直线，
令，解得，所以直线恒过定点，
圆的圆心为，半径为，
且，即在圆内，
当时，圆心到直线的距离最大为，
此时，直线被圆截得的弦长最小，最小值为.
故选：A.
5．我国自主研发的“嫦娥四号”探测器成功着陆月球，并通过“鹊桥”中继星传回了月球背面影像图．假设“嫦娥四号”在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，其轨道的离心率为e，设月球的半径为R，“嫦娥四号”到月球表面最近的距离为r，则“嫦娥四号”到月球表面最远的距离为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设卫星近地点远地点离月球表面的距离分别为，根据椭圆的性质以及离心率得出“嫦娥四号”到月球表面最远的距离.
【详解】椭圆的离心率，设卫星近地点远地点离月球表面的距离分别为
则
故选：B
6．设分别是直线和上的动点，且满足，则的中点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】假设，，,利用中点坐标公式与两点距离公式代入即可求得轨迹方程.
【详解】设，，，
因为为的中点，则，故，，又因为，所以，即，所以点M的轨迹方程为．
故选: A.
7．已知点分别是抛物线和圆上的动点，若抛物线的焦点为，则的最小值为（ ）
A．6B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，将转化为的形式，寻求定点，使得恒成立，转化为，当且仅当在一条直线上时，取得最小值，即可求解.
【详解】由抛物线，可得焦点坐标为，
又由圆，可化为，
可得圆心坐标为，半径，
设定点，满足成立，且
即恒成立，
其中，代入两边平方可得：
，解得，
所以定点满足恒成立，
可得，
如图所示，当且仅当在一条直线上时，
此时取得最小值，
即，
设，满足，
所以，
，
当时，等号成立，
故选：C.
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是将所求转化为三点共线时，线段的长的问题，结合抛物线方程即可求解.
8．设椭圆与双曲线有相同的焦距，它们的离心率分别为，，椭圆的焦点为，，，在第一象限的交点为，若点在直线上，且，则的值为（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】A
【分析】设椭圆与双曲线相同的焦距为，先根据题意得出点P的坐标，再将点P分别代入椭圆和双曲线的方程中，求离心率，即可得解.
【详解】设椭圆与双曲线相同的焦距为，则，
又，所以，
又点P在第一象限，且在直线上，
所以，又点P在椭圆上，
所以，即，
整理得，两边同时除以，得，
解得，因为，所以，
同理可得点P在双曲线上，所以，即，
解得，
所以，
故选：A.
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分）
9．已知动点 分别在圆 和 上，动点 在 轴上，则（ ）
A．圆的半径为3
B．圆和圆相离
C．的最小值为
D．过点做圆的切线，则切线长最短为
【答案】BD
【分析】求出两个圆的圆心、半径判断AB；求出圆关于对称的圆方程，利用圆的性质求出最小值判断C；利用切线长定理求出最小值判断D.
【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
对于A，圆的半径为，A错误；
对于B，，圆和圆相离，B正确；
对于C，圆关于轴对称的圆为，，连接交于点，连接，
由圆的性质得，
，当且仅当点与重合，
且是线段分别与圆和圆的交点时取等号，C错误；
对于D，设点，过点的圆的切线长，
当且仅当，即时取等号，D正确.
故选：BD

10．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点A，B在C上（A在第一象限），点Q在l上，以为直径的圆过焦点F，，则（ ）
A．若，则B．若，则
C．，则D．，则
【答案】ACD
【分析】由题意，利用抛物线的定义以及相似即可判断AB；结合抛物线的定义及三角形全等即可判断BD.
【详解】设在上的投影为，与轴交于点，
因为，两点均在抛物线上，
所以，因为，,故,
所以，解得，故选项A正确；
对于B，时，，,
结合， ,,
所以，解得，故B错误；
对于C:设点在上的投影为，此时，，
所以，因为，所以，
即，
则为等腰直角三角形，
此时，故C正确；
对于D，设点在上的投影为，
此时，，
所以，
因为，所以，
即，
则为等边三角形，
此时，则,，故D正确；
故选：ACD．

【点睛】关键点点睛：以及垂直关系得.
11．已知双曲线C：的右焦点为F，过点F作C的一条渐近线的垂线，垂足为A，该垂线与另一条渐近线的交点为B，若，则C的离心率e可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】设出直线方程，分别与两渐近线联立，求得A,B两点坐标，根据两点间距离公式代入条件即可求解.
【详解】不妨设C的一条渐近线的方程为，依题意，直线的斜率为，
且，Fc,0，则：，
设，联立，可得，,
设Ax1,y1，联立，可得，，
因为，即，
化简得，又，
当时，，即，
当时，，即，
所以或.
故选：BD.
.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是求得点的坐标，从而得到关于的齐次方程，进而得解.
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12．过双曲线的右支上一点，分别向⊙和⊙作切线，切点分别为，则的最小值为 .

【答案】17
【分析】根据双曲线和圆的方程可确定双曲线焦点与圆的圆心重合，利用勾股定理表示出切线长，将问题转化为的最小值问题，利用双曲线定义和三角形三边关系可求得最小值.
【详解】由，得，所以双曲线的焦点坐标为，
由圆的方程知：圆圆心的坐标为C1(−5,0)，半径，
圆圆心的坐标为C2(5,0)，半径，
分别为两圆切线，
，
，
为双曲线右支上的点，且双曲线焦点为，
又（当为双曲线右顶点时取等号），
，
即的最小值为.
故答案为：17.
13．已知P、Q为椭圆上关于原点对称的两点，点P在第一象限，、是椭圆C的左、右焦点，，若，则椭圆C的离心率的取值范围为 .
【答案】
【分析】结合题目条件可得四边形是矩形，设，由可得，又，化简计算即可得解.
【详解】如图，，
显然四边形是矩形，所以，
由题意，，所以，
设，则，所以，
又点P在第一象限，所以，
故，即，所以，
椭圆C的离心率
，
由可得，
又，
所以，
故.
故答案为：.
14．已知A，B是抛物线上异于原点的两点，且以为直径的圆过原点，过向直线作垂线，垂足为H，求的最大值为 .
【答案】
【分析】结合向量垂直的性质，推得，设出直线的方程，并与抛物线方程联立，运用韦达定理，求出直线所过定点，再结合圆的性质，即可求解，
【详解】依题意，设，，
以AB为直径的圆过原点，则，解得，
易知直线的斜率不为0，不妨设直线的方程为，
联立，化简整理可得，
所以，解得，
故直线恒过定点，
因为， ，则，，，四点共圆，
即点在以为直径的圆（除原点外）上运动，
此时该圆直径为，
故的最大值为该圆的直径，即.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用向量垂直的性质与韦达定理求得直线所过定点，从而得解.
四、解答题（本题共 5 小题，共77分，其中 15 题 13 分，16 题 15 分，17 题 15 分，18 题 17 分，19 题 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．已知双曲线C:，圆，其中.圆与双曲线有且仅有两个交点，线段的中点为.
(1)记直线的斜率为，直线的斜率为，求.
(2)当直线的斜率为3时，求点坐标.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）涉及到中点弦，我们可以采用点差法得到，而由可得，两式相比即可得解；
（2）设直线，联立双曲线方程，结合韦达定理可表示的坐标为，由得斜率，由此可列方程求出参数，进而得解.
【详解】（1）
因为，所以.
又设，因为，
所以.
而圆心不在坐标轴上，从而，
所以.
所以，
又，所以.
（2）设直线，与联立，化简并整理得：，
其中.
设，
所以，
即点坐标为.
因为，所以，而，
即，解得.
因此，所以.
16．已知分别是椭圆的左右焦点，如图，抛物线的焦点为F1−c,0，且与椭圆在第二象限交于点，延长与椭圆交于点．
(1)求椭圆的离心率；
(2)设和的面积分别为，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由抛物线的焦点为F1−c,0，知，由结合抛物线的定义表示出点的坐标，将点的坐标代入椭圆方程化简求解离心率即可，
（2）设出椭圆的方程，设直线为代入椭圆方程化简，转化求解的横坐标，然后求解面积之比即可.
【详解】（1）由抛物线的焦点为F1−c,0，知，
所以抛物线方程为，准线方程为，
因为，所以，得，
所以，所以，
所以点的坐标为，点在椭圆上，
所以，，
所以，，
化简整理得，
所以，，
解得（舍去），或，
所以；
（2）由（1）知，则，
所以椭圆方程为，
因为的坐标为，F1−c,0，
所以，
所以直线为，
由，得，
化简整理得，
所以，得，或，
所以，，
所以.
【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆和抛物线的综合问题，考查椭圆离心率的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆中的面积关系，第（2）问解题的关键是将转化为，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.
17．已知是圆：上的动点，点，直线与圆的另一个交点为，点在直线上，，动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)若过点的直线与曲线相交于，两点，且，都在轴上方，问：在轴上是否存在定点，使得的内心在一条定直线上?请你给出结论并证明.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由题意可得点在以，为焦点，为实轴长的双曲线上，且焦距为，从而可求出曲线的方程；
（2）由条件可设：，代入双曲线方程化简，再利用根与系数的关系，当时，可求得，则的平分线为定直线，从而可得结论.
【详解】（1）圆的圆心为，半径，
因为，所以，又因为，
所以，
所以，
所以点在以，为焦点，为实轴长的双曲线上，
设双曲线的方程为，
则，.
所以，，
又不可能在轴上，所以曲线的方程为.

（2）在轴上存在定点，使得的内心在一条定直线上.
证明如下：由条件可设：.代入，
得，
设，，则
，得m2≠2，
所以
所以，
取，
则
又，都在轴上方，所以的平分线为定直线，
所以在轴上存在定点，使得的内心在定直线上.
【点睛】关键点点睛：此题考查直线与双曲线的位置关系，考查双曲线方程的求解，第（2）问解题的关键是取，通过计算，可得定直线为，考查数学计算能力，属于较难题.
18．已知抛物线：（）的焦点为，点，过的直线交于，两点，当点的横坐标为1时，点到抛物线的焦点的距离为2.
(1)求抛物线的方程；
(2)设直线，与的另一个交点分别为，，点，分别是，的中点，记直线，的倾斜角分别为，.求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）关键抛物线的定义可得，求出p即可求解；
（2）设，将直线和直线BD，分别联立抛物线方程，利用韦达定理表示，，进而可得、，由中点坐标公式与斜率公式可得和，则，当时最大，由两角差的正切公式和换元法可得，结合基本不等式计算即可求解.
【详解】（1）抛物线的准线为，
由抛物线的定义知，，又，所以，
所以抛物线C的方程为；
（2）由（1）知，，
设，
则，设直线，
由可得，
，
则，
直线，代入抛物线方程可得，
，所以，同理可得，
由斜率公式可得，，
又因为直线OP、OQ的倾斜角分别为，所以，
若要使最大，需使最大，则，设，
则，
当且仅当即时，等号成立，
所以的最大值为.
【点睛】关键点睛：本题求解过程中，需要熟练运用斜率公式以及类比的思想方法，在得到两条直线的关系后，设，利用换元法，化简式子，求最值是难点，也是关键点，属于难题.
19．在平面直角坐标系中，点，分别是椭圆：的右顶点，上顶点，若的离心率为，且到直线的距离为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线与椭圆交于，两点，其中点在第一象限，点在轴下方且不在轴上，设直线，的斜率分别为，.
（i）求证：为定值，并求出该定值；
（ii）设直线与轴交于点，求的面积的最大值.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析，；（ii）
【分析】（1）根据题意求出，即可得解；
（2）（i）设直线的方程为，其中，且，设直线与椭圆交于点，联立方程，利用韦达定理求出，，再结合斜率公式化简即可得出结论；
（ii）法一：直线的方程为，设直线与轴交于点，直线的方程为，分别求出的坐标，联立方程组求出，即可得的坐标，再求出三角形面积的表达式，结合基本不等式即可得解.
法二：直线的方程为，设直线与轴交于点，直线的方程为，分别求出的坐标，易得点是线段的中点，则，其中为点到直线的距离，求出的最大值即可.
【详解】（1）设椭圆的焦距为，
因为椭圆的离心率为，所以，即，
据，得，即.
所以直线的方程为，即，
因为原点到直线的距离为，
故，解得，
所以，
所以椭圆的标准方程为；
（2）（i）设直线的方程为，其中，且，即，
设直线与椭圆交于点，
联立方程组整理得，
所以，，
（i）所以
为定值，得证；
（ii）法一：直线的方程为，令，得，故，
设直线与轴交于点，
直线的方程为，令，得，故
联立方程组整理得，
解得或0（舍），，
所以的面积
，
由（i）可知，，故，代入上式，
所以，
因为点在轴下方且不在轴上，故或，得，
所以，
显然，当时，，
当时，，
故只需考虑，令，则，
所以，
当且仅当，，即时，不等式取等号，
所以的面积的最大值为.
法二：直线的方程为，令，得，故，
设直线与轴交于点，
直线的方程为，令，得，故，
由（i）可知，，故，
所以点是线段的中点，
故的面积，其中为点到直线的距离，
思路1 显然，当过点且与直线平行的直线与椭圆相切时，取最大值，
设直线的方程为，即，
联立方程组整理得，
据，解得（正舍），
所以平行直线：与直线：之间的距离为
，即的最大值为，
所以的面积的最大值为.
思路2 因为直线的方程为，
所以，
依题意，，，，故，
所以，
因为在椭圆上，故，即，
所以，
当且仅当时取等号，故，
所以，
即的面积的最大值为.
思路3 因为直线的方程为，
所以，
因为在椭圆上，故，
设，，不妨设，
所以，
当，，时，，
即的面积的最大值为.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．