2025年高考数学第一轮复习考点讲与练第十章新定义(模块综合调研卷)(学生版+解析)

这是一份2025年高考数学第一轮复习考点讲与练第十章新定义(模块综合调研卷)(学生版+解析)，共27页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）
1．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用，在数学上用曲率刻画空间弯曲性．规定：多面体的顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各项点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在每个顶点的曲率为，故其总曲率为．已知多面体的顶点数V，棱数E，面数F满足，则八面体的总曲率为（ ）

A．B．C．D．
2．定义表示两个数中的较小者，表示两个数中的较大者，设集合都是的含有两个元素的子集，且满足：对任意的都有，,则的最大值是
A．B．C．D．
3．丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.若为上任意个实数，满足，则称函数在上为“凹函数”.也可设可导函数在上的导函数为在上的导函数为，当时，函数在上为“凹函数”.已知，且，令的最小值为，则为（ ）
A．B．C．D．
4．设集合． 对于集合的子集A，若任取A中两个不同元素，有，且中有且只有一个为，则称A是一个“好子集”．下列结论正确的是（ ）
A．一个“好子集”中最多有个元素B．一个“好子集”中最多有个元素
C．一个“好子集”中最多有个元素D．一个“好子集”中最多有个元素
5．对于数列，若存在正数，使得对一切正整数，都有，则称数列是有界的.若这样的正数不存在，则称数列是无界的.记数列的前项和为，下列结论正确的是（ ）
A．若，则数列是无界的B．若，则数列是有界的
C．若，则数列是有界的D．若，则数列是有界的
6．对于三次函数给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，若，请你根据这一发现计算：（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
7．已知无穷数列，．性质，，，性质，，，，给出下列四个结论：
①若，则具有性质；
②若，则具有性质；
③若具有性质，则；
④若等比数列既满足性质又满足性质，则其公比的取值范围为．
则所有正确结论的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．设，若函数有且只有三个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分）
9．若数列满足（，为常数），则称数列为“调和数列”.已知数列为“调和数列”，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，且，，则
C．若中各项均为正数，则
D．若，，则
10．已知向量，，O是坐标原点，若，且方向是沿的方向绕着A点按逆时针方向旋转角得到的，则称经过一次变换得到．现有向量经过一次变换后得到，经过一次变换后得到，…，如此下去，经过一次变换后得到，设，， ，下列结论中正确的是（ ）．
A．B．
C． D．
11．记分别为函数的导函数.若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”.则下列说法正确的是（ ）
A．函数与不存在“S点”
B．若函数与存在“S点”，则
C．对于函数与.对于任意的，均不存在，使得函数与在区间内存在“S点”
D．对于函数与.对于任意的，存在，使得函数与在区间内存在“S点”
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12．，若定义，则中的元素有 个．
13．在空间直角坐标系下，由方程所表示的曲面叫做椭球面（或称椭圆面）.如果用坐标平面分别截椭球面，所得截面都是椭圆（如图所示），这三个截面的方程分别为，，上述三个椭圆叫做椭球面的主截线（或主椭圆）.已知椭球面的轴与坐标轴重合，且过椭圆与点，则这个椭球面的方程为 .

14．俄国数学家切比雪夫是研究直线逼近函数理论的先驱．对定义在非空集合I上的函数，以及函数，切比雪夫将函数，的最大值称为函数与的“偏差”．若，，则函数与的“偏差”取得最小值时，m的值为 ．
四、解答题（本题共 5 小题，共77分，其中 15 题 13 分，16 题 15 分，17 题 15 分，18 题 17 分，19 题 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．如果n项有穷数列满足，，…，，即，则称有穷数列为“对称数列”.
(1)设数列是项数为7的“对称数列”，其中成等差数列，且，依次写出数列的每一项；
(2)设数列是项数为(且)的“对称数列”，且满足，记为数列的前项和.
①若，，…，构成单调递增数列，且.当为何值时，取得最大值?
②若，且，求的最小值.
16．在高等数学中，我们将在处可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：（其中表示的n次导数），以上公式我们称为函数在处的泰勒展开式.当时泰勒展开式也称为麦克劳林公式.比如在处的麦克劳林公式为：，由此当时，可以非常容易得到不等式请利用上述公式和所学知识完成下列问题：
(1)写出在处的泰勒展开式.
(2)若，恒成立，求a的范围;（参考数据）
(3)估计的近似值（精确到）
17．正整数集，其中.将集合拆分成个三元子集，这个集合两两没有公共元素.若存在一种拆法，使得每个三元子集中都有一个数等于其他两数之和，则称集合是“三元可拆集”.
(1)若，判断集合是否为“三元可拆集”，若是，请给出一种拆法；若不是，请说明理由；
(2)若，证明：集合不是“三元可拆集”；
(3)若，是否存在使得集合是“三元可拆集”，若存在，请求出的最大值并给出一种拆法；若不存在，请说明理由.
18．已知数列满足，数列满足，．
(1)求，的通项公式；
(2)定义：已知数列，，当时，称为“4一偶数项和整除数列”．
（i）计算，，其中，．
（ii）若为“4-偶数项和整除数列”，求的最小值．
19．“对称性”是一个广义的概念，包含“几何对称性”、“置换对称性”等范畴，是数学之美的重要体现．假定以下各点均在第一象限，各函数的定义域均为．设点，，，规定，且对于运算“”，表示坐标为的点．若点U，V，W满足，则称V与U相似，记作V~U．若存在单调函数和，使得对于图像上任意一点T，均在图像上，则称为的镜像函数．
(1)若点，，且N~M，求的坐标；
(2)证明：若为的镜像函数，，则；
(3)已知函数，为的镜像函数．设R~S，且．证明：．
第十章 新定义（模块综合调研卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）
1．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用，在数学上用曲率刻画空间弯曲性．规定：多面体的顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各项点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在每个顶点的曲率为，故其总曲率为．已知多面体的顶点数V，棱数E，面数F满足，则八面体的总曲率为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设每个面记为边形，求出所有的面角和，再根据定义即可得解.
【详解】设每个面记为边形，
则所有的面角和为，
根据定义可得该类多面体的总曲率．
故选：C．
2．定义表示两个数中的较小者，表示两个数中的较大者，设集合都是的含有两个元素的子集，且满足：对任意的都有，,则的最大值是
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】根据题意，对于M，含2个元素的子集有个,
其中, {1，2}、{2，4}、{3，6}、{4，8}可以任选两个;
{1，3}、{2，6}符合题意;
{2，3}、{4，6}符合题意;
{3，4}、{6，8}符合题意;
即满足的任意的最多有4个,
故的最大值是4,
应选：C.
3．丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.若为上任意个实数，满足，则称函数在上为“凹函数”.也可设可导函数在上的导函数为在上的导函数为，当时，函数在上为“凹函数”.已知，且，令的最小值为，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】记函数，先判断函数的凹凸性，然后利用琴生不等式得，即可求解.
【详解】记函数，首先证明其凹凸性：
，
在0,1上为“凹函数”.
由琴生不等式，得，
即.
所以，
即当时，取最小值，所以.
故选：B.
4．设集合． 对于集合的子集A，若任取A中两个不同元素，有，且中有且只有一个为，则称A是一个“好子集”．下列结论正确的是（ ）
A．一个“好子集”中最多有个元素B．一个“好子集”中最多有个元素
C．一个“好子集”中最多有个元素D．一个“好子集”中最多有个元素
【答案】A
【分析】不妨设，则三者为1或0，分类讨论，确定，一个“好子集”中最多有个元素.
【详解】中有且只有一个为，不妨设，
则三者为1或0，
若三者均为0，则此时A中只有1个元素，即，
不合要求，舍去，
若三者中有1个0，则，有3个元素，满足要求，
若三者中有2个0，或没有0，则此时不满足，
综上，一个“好子集”中最多有个元素.
故选：A
5．对于数列，若存在正数，使得对一切正整数，都有，则称数列是有界的.若这样的正数不存在，则称数列是无界的.记数列的前项和为，下列结论正确的是（ ）
A．若，则数列是无界的B．若，则数列是有界的
C．若，则数列是有界的D．若，则数列是有界的
【答案】C
【分析】根据可知A错误；由可知不存在最大值，即数列无界；分别在为偶数和为奇数的情况下得到，由此可确定，知C正确；采用放缩法可求得，由可知D错误.
【详解】对于A，恒成立，存在正数，使得恒成立，
数列是有界的，A错误；
对于B，，
，，即随着的增大，不存在正数，使得恒成立，
数列是无界的，B错误；
对于C，当为偶数时，；当为奇数时，；
，存在正数，使得恒成立，
数列是有界的，C正确；
对于D，，
；
在上单调递增，，
不存在正数，使得恒成立，数列是无界的，D错误.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查数列中的新定义问题，解题关键是理解数列有界的本质是对于数列中的最值的求解，进而可以通过对于数列单调性的分析来确定数列是否有界.
6．对于三次函数给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，若，请你根据这一发现计算：（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
【答案】C
【分析】根据题意求出函数的对称中心为，可得出，用倒序相加法即可求解.
【详解】由题意可知，所以，令，则，
所以，由题意可知函数的对称中心为，
所以，即，
所以，
所以
，
所以.
故选：C
【点睛】对称性常用结论;
1、若对于上的任意，函数都有，则图象关于直线对称.
2、若对于上的任意，函数都有，则图象关于点中心对称.
7．已知无穷数列，．性质，，，性质，，，，给出下列四个结论：
①若，则具有性质；
②若，则具有性质；
③若具有性质，则；
④若等比数列既满足性质又满足性质，则其公比的取值范围为．
则所有正确结论的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据性质的定义可判断①；根据性质的定义可判断②；根据性质的定义可得，，利用累加法可证③；对于④，结合③，可得，由an满足性质，分和讨论求出，再由an满足性质得，构造，求导结合函数单调性可验证满足题意.
【详解】对于①，因为，对，，
即，所以an不具有性质，故①错误；
对于②，，对，，
，
，即an具有性质，故②正确；
对于③，若an具有性质，令，则，
即，，
，又，
所以，，故③正确；
对于④，an是等比数列，设其公比为，又，，
若an满足性质，由选项③得，即，，，
由，，得，
当时，得，即，对，又，，
当时，不妨设，则，
，解得，，
综上，若an满足性质，则.
若an满足性质，对，，，
可得，即，令，则，
又，所以函数在上单调递增，又由an满足性质，，
成立，
所以等比数列an既满足性质s又满足性质t，则其公比的取值范围为.
故④正确.
故正确的为②③④共个.
故选：C
【点睛】方法点睛：对于以数列为背景的新定义问题的求解策略：
1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；
2、用好数列的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的数列的性质的一些因素.
8．设，若函数有且只有三个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】构造函数与，先利用导数研究得的性质，再利用二次函数的性质研究得的性质，从而作出的图像，由此得到，分类讨论与时的零点情况，据此得解.
【详解】令，则，
令，得；令，得；
所以在上单调递减，在上单调递增，故，
又因为对于任意，在总存在，使得，
在上由于的增长速率比的增长速率要快得多，所以总存在，使得，
所以在与上都趋于无穷大；
令，则开口向下，对称轴为，
所以在上单调递增，在上单调递增，故，
.
因为函数有且只有三个零点，
而已经有唯一零点，所以必须有两个零点，则，即，解得或，
当时，，则，
即在处取不到零点，故至多只有两个零点，不满足题意，
当时，，则，所以在处取得零点，
结合图像又知与必有两个交点，故在与必有两个零点，
所以有且只有三个零点，满足题意；
综上：，即.
故选：C.
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分）
9．若数列满足（，为常数），则称数列为“调和数列”.已知数列为“调和数列”，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，且，，则
C．若中各项均为正数，则
D．若，，则
【答案】BCD
【分析】根据“调和数列”的定义可以确定为等差数列，再利用等差数列的性质可以确定错误；利用等差数列的定义求得其通项公式，则正确；根据等差数列的性质结合基本不等式可得证，则正确；构造函数，得，得，再求和即可得到正确.
【详解】依题意可得为等差数列,由,根据等差数列的性质得，则可得，，，故错误；
由，且，，可得，，，，，故正确；
由为等差数列，可得，，当且仅当时取等号，故正确；
由，，可求得，令，，，则在上单调递减，在上单调递增，则，即恒成立，即在时恒成立，恒成立，，，，
，所以正确.
故选：.
10．已知向量，，O是坐标原点，若，且方向是沿的方向绕着A点按逆时针方向旋转角得到的，则称经过一次变换得到．现有向量经过一次变换后得到，经过一次变换后得到，…，如此下去，经过一次变换后得到，设，， ，下列结论中正确的是（ ）．
A．B．
C． D．
【答案】AC
【分析】当时，，，根据平面向量坐标的数乘运算及两角和的正弦余弦公式即可判断AB；设，当时，由定义得出，结合向量旋转的坐标表示得出，由等比数列求和公式得出，根据两角和的正弦余弦公式即可求得，进而判断CD．
【详解】当时，，，
则
，故A正确，B错误；
设，当时，由题意得，
，
，
因为，
所以
，
所以
，故C正确，D错误；
故选：AC．
【点睛】关键点睛：平面向量的旋转可以转化为两部分模和角度，若与正半轴夹角为，逆时针旋转可以表示为，结合定义，即可求解．
11．记分别为函数的导函数.若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”.则下列说法正确的是（ ）
A．函数与不存在“S点”
B．若函数与存在“S点”，则
C．对于函数与.对于任意的，均不存在，使得函数与在区间内存在“S点”
D．对于函数与.对于任意的，存在，使得函数与在区间内存在“S点”
【答案】ABD
【分析】根据“S点”的定义，结合导数对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，由，即，
解得或.
由，即，
所以函数与不存在“S点”，A选项正确.
B选项，函数，，与，，
由，消去并化简得，
则，B选项正确.
CD选项，对于函数与，
，
由，假设，得，得.
由得，得，
令，
设，
则，得，
由的图象在0,1上不间断，
则在0,1上有零点，则ℎx在0,1上有零点，
故存在，使函数与在区间0,+∞内存在“S点”.
故选：ABD
【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12．，若定义，则中的元素有 个．
【答案】
【分析】根据复数模的运算公式，结合题中定义进行求解即可.
【详解】因为，，
所以，，
共14个元素.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解题中定义.
13．在空间直角坐标系下，由方程所表示的曲面叫做椭球面（或称椭圆面）.如果用坐标平面分别截椭球面，所得截面都是椭圆（如图所示），这三个截面的方程分别为，，上述三个椭圆叫做椭球面的主截线（或主椭圆）.已知椭球面的轴与坐标轴重合，且过椭圆与点，则这个椭球面的方程为 .

【答案】
【分析】采用待定系数法，结合已知定义可设，代入点坐标即可结果.
【详解】设椭球面的方程为：，
椭球面过点，，解得：，
椭球面的方程为：.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查与椭圆有关的新定义问题的求解，解题关键是能够充分理解椭球面方程与截面方程之间的关系，进而采用待定系数法来进行求解.
14．俄国数学家切比雪夫是研究直线逼近函数理论的先驱．对定义在非空集合I上的函数，以及函数，切比雪夫将函数，的最大值称为函数与的“偏差”．若，，则函数与的“偏差”取得最小值时，m的值为 ．
【答案】
【分析】结合所给条件，可得函数与的“偏差”为，结合绝对值不等式，求出即可得.
【详解】令，
令，
因为，所以，，
由，则，
令，即，解得，
则，
故当且仅当时，有.
故函数与的“偏差”取得最小值时，m的值为.
故答案为：−2
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于结合题意得到，从而可得出取最小值时，的值.
四、解答题（本题共 5 小题，共77分，其中 15 题 13 分，16 题 15 分，17 题 15 分，18 题 17 分，19 题 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．如果n项有穷数列满足，，…，，即，则称有穷数列为“对称数列”.
(1)设数列是项数为7的“对称数列”，其中成等差数列，且，依次写出数列的每一项；
(2)设数列是项数为(且)的“对称数列”，且满足，记为数列的前项和.
①若，，…，构成单调递增数列，且.当为何值时，取得最大值?
②若，且，求的最小值.
【答案】(1)1，3，5，7，5，3，1
(2)①1012；②2025
【分析】（1）根据新定义“对称数列”的定义和已知条件可求得公比，进而求得结果；
（2）①根据对称数列的定义可得数列为等差数列，然后根据二次函数的性质来求解；②由条件得到数列相邻两项间的大小关系，并结合定义求得的取值范围，然后结合已知条件确定出最后的结果
【详解】（1）因为数列bn是项数为7的“对称数列”，所以，
又因为成等差数列，其公差，…
所以数列bn的7项依次为1，3，5，7，5，3，1；
（2）①由，，…，是单调递增数列，数列是项数为的“对称数列”且满足，
可知，，…，构成公差为2的等差数列，，，…，构成公差为的等差数列，
故
，
所以当时，取得最大值；
②因为即，
所以即，
于是，
因为数列是“对称数列”，
所以
，
因为，故，
解得或，所以，
当，，…，构成公差为的等差数列时，满足，
且，此时，所以的最小值为2025.
【点睛】关键点点睛：本题关键是理解对称数列的定义，第二问①关键是得到，，…，构成公差为的等差数列.
16．在高等数学中，我们将在处可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：（其中表示的n次导数），以上公式我们称为函数在处的泰勒展开式.当时泰勒展开式也称为麦克劳林公式.比如在处的麦克劳林公式为：，由此当时，可以非常容易得到不等式请利用上述公式和所学知识完成下列问题：
(1)写出在处的泰勒展开式.
(2)若，恒成立，求a的范围;（参考数据）
(3)估计的近似值（精确到）
【答案】(1)；
(2)；
(3)
【分析】（1）求导，根据题意写出在处的泰勒展开式；
（2）结合在处的泰勒展开式，构造函数证明，再令，，求导得到函数单调性，证明出，当时， ，满足要求，当时，令，，易求得，所以必存在一个区间，使得在上单调递减， 所以时，，不合要求，从而得到答案；
（3）求出和的泰勒展开式，得到，令，估计的近似值.
【详解】（1），，，，
其中，
在处的泰勒展开式为：，
（2）因为，
由在处的泰勒展开式，先证，
令，
，易知，所以在上单调递增，
所以，所以在上单调递增，所以，
所以在上单调递增，所以，
再令，，易得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
而，所以恒成立，
当时， ，所以成立，
当时，令，，易求得，
所以必存在一个区间，使得在上单调递减，
所以时，，不符合题意.
综上所述，.
（3）因为转化研究的结构，
，
，
两式相减得 ，
取得，
所以估计的近似值为（精确到）.
【点睛】麦克劳林展开式常常用于放缩法进行比较大小，常用的麦克劳林展开式如下：
，，
，
，
，
17．正整数集，其中.将集合拆分成个三元子集，这个集合两两没有公共元素.若存在一种拆法，使得每个三元子集中都有一个数等于其他两数之和，则称集合是“三元可拆集”.
(1)若，判断集合是否为“三元可拆集”，若是，请给出一种拆法；若不是，请说明理由；
(2)若，证明：集合不是“三元可拆集”；
(3)若，是否存在使得集合是“三元可拆集”，若存在，请求出的最大值并给出一种拆法；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)是，拆法见解析
(2)证明见解析
(3)答案见解析
【分析】（1），可拆成或､；
（2）三元可拆集”中所有元素和为偶数，中所有元素和为，与和为偶数矛盾；
（3）可以拆成16个三元子集，将这16个三元子集中的最大的数依次记为，利用等差数列求和得到，结合，得到不等式，求出，当时写出相应的集合以及具体拆法，得到答案.
【详解】（1）是，，可拆成或､；
（2）对于“三元可拆集”，其每个三元子集的元素之和为偶数，
则“三元可拆集”中所有元素和为偶数；而，
中所有元素和为，与和为偶数矛盾，
所以集合不是“三元可拆集”；
（3）有48个元素，可以拆成16个三元子集，
将这16个三元子集中的最大的数依次记为，
则；
另一方面，中所有元素和为，
所以，
所以，解得，即；
当时，，可拆为､
､
､
（拆法不唯一）；
综上所述，的最大值是7.
【点睛】关键点点睛：集合新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数的性质，数列知识等进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决.
18．已知数列满足，数列满足，．
(1)求，的通项公式；
(2)定义：已知数列，，当时，称为“4一偶数项和整除数列”．
（i）计算，，其中，．
（ii）若为“4-偶数项和整除数列”，求的最小值．
【答案】(1)，．
(2)（i），；（ii）
【分析】（1）因式分解得到，变形得到，故为公比为3的等比数列，求出通项公式；
（2）（i）利用等差数列求和公式得到，并利用等比数列求和公式得到；
（ii）方法一，根据得到，2，3不满足题意，满足要求，进一步得到，变形后结合二项式定理得到，并得到，得到结论；
方法二：根据得到，2，3不满足题意，满足要求，当时，，故，根据且，证明出结论.
【详解】（1）由可得，
根据可得，
由可得，且，
所以是以首项为3，公比为3的等比数列，故．
（2）（i），
．
（ii）方法一：当时，，
显然，，2，3不满足题意，时，，满足要求，
当时，，
，
故，得证．
方法二：当时，，
显然，，2，3不满足题意．时，，满足要求，
当时，，，
因为且，
下面证明对恒成立，
令，则，当时，，
故在x∈0,+∞单调递增，故，
故对恒成立，
所以，得证，
故最小值为4.
【点睛】数列新定义问题，主要针对于等差，等比，递推公式和求和公式等综合运用，对常见的求通项公式和求和公式要掌握牢固，同时涉及数列与函数，数列与解析几何，数列与二项式定理，数列与排列组合等知识的综合，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题.
19．“对称性”是一个广义的概念，包含“几何对称性”、“置换对称性”等范畴，是数学之美的重要体现．假定以下各点均在第一象限，各函数的定义域均为．设点，，，规定，且对于运算“”，表示坐标为的点．若点U，V，W满足，则称V与U相似，记作V~U．若存在单调函数和，使得对于图像上任意一点T，均在图像上，则称为的镜像函数．
(1)若点，，且N~M，求的坐标；
(2)证明：若为的镜像函数，，则；
(3)已知函数，为的镜像函数．设R~S，且．证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由函数的新定义根据已知条件计算即可；
（2）由镜像函数的定义证明即可；
（3）根据函数的新定义把问题转化为，再构造函数，求导后二次构造函数ℎx求导分析单调性，结合对称性可证明.
【详解】（1）设，则根据题意有．
因为N~M，则存在点，使得：
．
由条件知，由得，解得，
所以N的坐标为，的坐标为．
故的坐标为．
（2）由条件知点在函数图像上，则点在函数的镜像函数图像上．
所以．同理，即．
由（1）可知，若A~B，则，故．
（3）设，若R~S，且，由（1）可知，存在使得．
故，，且，
故若，只需（*）．
由（2）可知，且因为，的定义域均为0,+∞，由对称性可知，的值域也均为0,+∞．
故（*）等价于．
设，则．
设，则，当时，ℎ′x>0，ℎx单调递增，
故当时，，，单调递增．
设，则，
当时，，单调递增，故，即，且由对称性可知．
所以，
故．
综上，．
【点睛】关键点点睛：本题关键是对函数新定义的理解，第三问需要将其转化为研究的单调性问题.