2025年高考数学复习(新高考专用)重难点09极值点偏移与拐点偏移问题【七大题型】特训(学生版+解析)

这是一份2025年高考数学复习(新高考专用)重难点09极值点偏移与拐点偏移问题【七大题型】特训(学生版+解析)，共81页。

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\l "_Tc11518" 【题型1 极值点偏移：加法型】 PAGEREF _Tc11518 \h 2
\l "_Tc19651" 【题型2 极值点偏移：减法型】 PAGEREF _Tc19651 \h 3
\l "_Tc30283" 【题型3 极值点偏移：乘积型】 PAGEREF _Tc30283 \h 5
\l "_Tc26203" 【题型4 极值点偏移：商型】 PAGEREF _Tc26203 \h 6
\l "_Tc31395" 【题型5 极值点偏移：平方型】 PAGEREF _Tc31395 \h 7
\l "_Tc20753" 【题型6 极值点偏移：复杂型】 PAGEREF _Tc20753 \h 8
\l "_Tc4579" 【题型7 拐点偏移问题】 PAGEREF _Tc4579 \h 9
1、极值点偏移与拐点偏移问题
极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数图象不具有对称性，极值点偏移问题常常出现在高考数学的压轴题中，是高考考查的热点内容，这类题往往对思维要求较高，过程较为烦琐，计算量较大，解决极值点偏移，称化构造函数法和比值代换法，二者各有千秋，独具特色.
【知识点1 极值点偏移问题及其解题策略】
1．极值点偏移的概念
(1)已知函数y=f(x)是连续函数，在区间(a,b)内只有一个极值点x0，f(x1)=f(x2)，且x0在x1与x2之间，由于函数在极值点左右两侧的变化速度不同，使得极值点偏向变化速度快的一侧，常常有，这种情况称为极值点偏移.
(2)极值点偏移
若，则极值点偏移，此时函数f(x)在x=x0两侧，函数值变化快慢不同，如图(2)(3).
(左陡右缓，极值点向左偏移)若f(x1)=f(x2)，则x1+x2>2x0；
(左缓右陡，极值点向右偏移)若若f(x1)=f(x2)，则x1+x22x0(x0为函数f(x)的极值点)；
(2)函数f(x)中存在x1，x2且x1≠x2，满足f(x1)=f(x2)，求证：x1+x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点)；
(3)函数f(x)存在两个零点x1，x2且x1≠x2，令，求证：f'(x0)>0；
(4)函数f(x)中存在x1，x2且x1≠x2，满足f(x1)=f(x2)，令，求证：f'(x0)>0.
3．极值点偏移问题的常见解法
(1)(对称化构造法)：构造辅助函数：
①对结论x1+x2>2x0型，构造函数.
②对结论型，方法一是构造函数，通过研究的单调性获得不
等式；方法二是两边取对数，转化成lnx1+lnx2>2lnx0，再把lnx1，lnx2看成两变量即可.
(2)(比值代换法)：通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明.
【知识点2 指数、对数均值不等式解决极值点偏移问题】
极值点偏移问题是近几年高考的热点问题，求解此类问题的一个重要工具就是指数均值不等式和对数均值不等式.
1．对数均值不等式
结论1 对任意的a,b>0(a≠b)，有.
2．指数均值不等式
结论2 对任意实数m, n( m≠n)，有.
【题型1 极值点偏移：加法型】
【例1】（2024·江苏扬州·模拟预测）已知函数fx=lnmx−xm>0．
(1)若fx≤0恒成立，求m的取值范围；
(2)若fx有两个不同的零点x1,x2，证明x1+x2>2．
【变式1-1】（2024·辽宁·三模）已知fx=x−1ex+12ax2.
(1)讨论函数fx的单调性；
(2)当a>0时，证明：函数fx有且仅有两个零点x1,x2，且x1+x20)，且f(x)有两个相异零点x1,x2．
(1)求实数a的取值范围．
(2)证明：x1+x2>2ae．
【变式1-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数fx=−x2+2lnx,gx=ax2+2x．
(1)若曲线fx在点1,−1处的切线与曲线gx有且只有一个公共点，求实数a的值．
(2)若方程gx−fx=1有两个不相等的实数根x1,x2，
①求实数a的取值范围；
②求证：x1+x2>2．
【题型2 极值点偏移：减法型】
【例2】（2024·全国·模拟预测）已知函数f(x)=x2−(2+a)x+alnx，a∈R.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)设g(x)=exx−f(x)+x2−(a+1)x−2a+(a−1)lnx，若g(x)存在两个不同的零点x1，x2，且x1e+1；
（ii）证明：x2−x12）的两个不相等的正实根，证明：x1−x2>ln4e.
【变式2-2】（2024·北京朝阳·二模）已知函数fx=ax−ln1−xa∈R.
(1)求曲线y=fx在点0,f0处的切线方程；
(2)若fx≥0恒成立，求a的值；
(3)若fx有两个不同的零点x1,x2，且x2−x1>e−1，求a的取值范围.
【变式2-3】（2024·河南·模拟预测）已知b>0，函数fx=x+alnx+b的图象在点1,f1处的切线方程为xln2−y−ln2=0.
(1)求a，b的值;
(2)若方程fx=1e（e为自然对数的底数）有两个实数根x1,x2，且x14x2时，证明：x1x22>16e3.
【变式3-2】（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知函数fx=x+a⋅lnx,a∈R在点A(1,f(1))处的切线斜率为1．
(1)求实数a的值并求函数f(x)的极值；
(2)若fx1=fx2，证明：x1⋅x212e4．
【题型4 极值点偏移：商型】
【例4】（2023·全国·模拟预测）已知函数fx=1+2lnxx2.
(1)设函数gx=ekx−1kxk>0，若fx≤gx恒成立，求k的最小值；
(2)若方程fx=m有两个不相等的实根x1、x2，求证：x1x2+x2x10，求证：ax12+x22>2e2．
【变式5-2】（2024·四川凉山·二模）已知函数fx=x+asinx．
(1)若函数fx在R上是增函数，求a的取值范围；
(2)设gx=x−12sinx−lnx，若gx1=gx2x1≠x2，证明：x1x22.
【变式6-3】（2024·山东·模拟预测）已知函数fx=1x+alnx+2x−2，其中a∈R．
(1)当a≥1时，判断fx的单调性；
(2)若fx存在两个极值点x1,x2x2>x1>0．
（ⅰ）证明：x2−x1+2>2a；
（ⅱ）证明：x∈1,+∞时，fx>1x23−4x22+5x2−2．
【题型7 拐点偏移问题】
【例7】（23-24高三下·四川成都·期末）已知函数fx=ex−ax2.
(1)当a=1时，求fx在x=0处的切线方程；
(2)设函数gx=fx−sinx，当a=12时，若gx1+gx2=2x1≠x2，证明：x1+x2ℎ1m=g1m+g2m−1m=−2得证，即x1+x20，即可求解C，根据不等式的性质即可求解D.
【解答过程】由fx=0可得a=lnx+1x，令gx=lnx+1x，其中x>0，
则直线y=a与函数gx的图象有两个交点，g′x=−lnxx2，
由g′x>0可得00，
所以ℎx在0,e单调递减，在e,+∞单调递增，所以ℎx≥ℎe=0，即fx≥gx，
因为x13x2，则实数a的取值范围为 233ln3,+∞ .
【解题思路】由题意3a=exx(x≠0)有两个不相等的实数根x1， x2，令g(x)=exx，利用导数研究函数单调性并画出图象，数形结合得3a=ex1x1=ex2x2，令t=x1x2，通过指对化化得x2=lntt−1，设ℎ(t)=lntt−1，利用导数研究函数单调性，求解最值，进而3a=g(x2)>gln32，即可求解a的取值范围.
【解答过程】因为x=0不是方程ex−3ax=0的根，
所以3a=exx(x≠0)有两个不相等的实数根x1， x2，
令g(x)=exx，则g′(x)=(x−1)exx2，
当xe3，且03，则ℎ'(t)=1−1t−lnt(t−1)24−x1，
因为x2>2,4−x1>2，只须证fx2