2025年高考数学复习(新高考专用)重难点13极化恒等式与等和(高)线定理【四大题型】特训(学生版+解析)

这是一份2025年高考数学复习(新高考专用)重难点13极化恒等式与等和(高)线定理【四大题型】特训(学生版+解析)，共38页。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc27283" 【题型1 利用极化恒等式求值】 PAGEREF _Tc27283 \h 3
\l "_Tc8229" 【题型2 利用极化恒等式求最值（范围）】 PAGEREF _Tc8229 \h 4
\l "_Tc5791" 【题型3 利用等和线求基底系数和的值】 PAGEREF _Tc5791 \h 4
\l "_Tc31060" 【题型4 利用等和线求基底系数和的最值（范围）】 PAGEREF _Tc31060 \h 5
1、极化恒等式与等和（高）线定理
极化恒等式是平面向量中的重要等式，是解决平面向量的数量积问题的重要工具，有平行四边形模型和三角形模型两大重要模型，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系；等和（高）线定理是平面向量中的重要定理，由三点共线结论推导得出，在求基底系数和的值、最值（范围）中有着重要作用.
【知识点1 极化恒等式】
1．极化恒等式的证明过程与几何意义
(1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
.
证明：不妨设，则，，
①，
②，
①②两式相加得：
.
(2)极化恒等式：
上面两式相减，得：————极化恒等式
平行四边形模式：.
2．几何解释：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的．
(1)平行四边形模型：向量的数量积等于以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的，即(如图).
(2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即(M为BC的中点)(如图).
极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系.
【知识点2 等和(高)线定理】
1．等和(高)线定理
(1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若(λ,μ∈R)，则λ+μ=1，由△OAB与△OA'B'相似，必存在一个常数k,k∈R，使得，则，又(x,y∈R)，∴x+y=kλ+kμ= k；反之也成立.
(2)平面内一个基底及任一向量，(λ,μ∈R)，若点P'在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ+μ=k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线.
①当等和线恰为直线AB时，k=1；
②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)；
③当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1,+∞)；
④当等和线过O点时，k=0；
⑤若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数；
⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比.
【题型1 利用极化恒等式求值】
【例1】（2024·贵州毕节·三模）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E，F是线段AD的两个三等分点，若BA⋅CA=7，BE⋅CE=2，则BF⋅CF=（ ）
A．−2B．−1C．1D．2
【变式1-1】（23-24高三上·福建厦门·期末）如图，BC、DE是半径为1的圆O的两条直径，BF=2FO，则FD⋅FE=（ ）
A．−34B．−89C．−14D．−49
【变式1-2】（2024高三·江苏·专题练习）如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5.若AB⋅AD=－7，则BC⋅DC的值是 ．
【变式1-3】（23-24高二下·湖南长沙·开学考试）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则EF⋅FG+GH⋅HE等于 ．
【题型2 利用极化恒等式求最值（范围）】
【例2】（2024高三·全国·专题练习）半径为2的圆O上有三点A、B、C满足OA+AB+AC=0，点P是圆内一点，则PA⋅PO+PB⋅PC的取值范围为（ ）
A．[−4，14)B．[0，4)C．[4，14]D．[4，16]
【变式2-1】（23-24高一下·江苏南通·期中）正三角形ABC的边长为3，点D在边AB上，且BD=2DA，三角形ABC的外接圆的一条弦MN过点D，点P为边BC上的动点，当弦MN的长度最短时，PM⋅PN的取值范围是（ ）
A．[−1,5]B．[−1,7]
C．[0,2]D．[1,5]
【变式2-2】（2024·重庆·模拟预测）已知△OAB的面积为1,AB=2，动点P,Q在线段AB上滑动，且PQ=1，则OP⋅OQ的最小值为 .
【变式2-3】（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）在面积为2的平行四边形中ABCD中，∠DAB=π6，点P是AD所在直线上的一个动点，则PB2+PC2−PB⋅PC的最小值为 ．
【题型3 利用等和线求基底系数和的值】
【例3】（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，BE=23BC，DF=34DE，若AF=λAB+μAD，则λ+μ=（ ）
A．32B．−112C．112D．0
【变式3-1】（2023·河北沧州·模拟预测）在△ABC中BE=12EC,BF=12BA+BC，点P为AE与BF的交点，AP=λAB+μAC，则λ+μ=（ ）
A．0B．14C．12D．34
【变式3-2】（23-24高一上·江苏常州·期末）在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F在线段DC上，且CF=2DF．若AC=λAE+μAF，λ,μ均为实数，则λ+μ的值为 ．
【变式3-3】（23-24高一上·江苏苏州·期末）如图，在矩形ABCD中，M，N分别为线段BC，CD的中点，若MN=λ1AM+λ2BN，λ1,λ2∈R，则λ1+λ2的值为 .
【题型4 利用等和线求基底系数和的最值（范围）】
【例4】（2024·山东烟台·三模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O，P为圆O上任一点，若AP=xAB+yAC，则2x+2y的最大值为（ ）
A．83B．2C．43D．1
【变式4-1】（23-24高三上·河北沧州·期中）如图，△BCD与△ABC的面积之比为2，点P是区域ABCD内任意一点（含边界），且AP=λAB+μACλ,μ∈R，则λ+μ的取值范围是（ ）

A．0,1B．0,2C．0,3D．0,4
【变式4-2】（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）在△ABC中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若AN=λAB+μAC（λ，μ∈R），则λ+μ的取值范围是 .
【变式4-3】（23-24高一下·广西桂林·期末）已知O为△ABC内一点，且4OA+8OB+5OC=0，点M在△OBC内（不含边界），若AM=λAB+μAC，则λ+μ的取值范围是 ．
一、单选题
1．（2024·四川绵阳·三模）如图，在△ABC中，AF=BF=6,EF=5，则EA⋅EB=（ ）
A．−11B．−13C．−15D．15
2．（2024·陕西西安·一模）在△ABC中，点D是线段AC上一点，点P是线段BD上一点，且CD=DA，AP=23AB+λAC，则λ=（ ）
A．16B．13C．23D．56
3．（2024高三·全国·专题练习）在△ABC中，D是BC边上的中点，且AE=13AD，AF=2AE，AB⋅AC=6，FB⋅FC=−2，则EB⋅EC =（ ）
A．−1B．2C．−12D．1
4．（2024·陕西榆林·三模）在△ABC中，E在边BC上，且EC=3BE,D是边AB上任意一点，AE与CD交于点P，若CP=xCA+yCB，则3x+4y=（ ）
A．34B．−34C．3D．-3
5．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，a⋅b=14AD2−BC2，我们称为极化恒等式. 已知在△ABC中，M是BC中点，AM=3，BC=10，则AB⋅AC=（ ）
A．−16B．16C．−8D．8
6．（2024·全国·模拟预测）如图，在△ABC中，AN=tNC(t>0)，BP=λPN(λ>0)，若AP=34AC−14BC，则λ+t的值为（ ）
A．7B．6C．5D．4
7．（23-24高三上·山东潍坊·期末）已知正方形ABCD的边长为2，MN是它的内切圆的一条弦，点P为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，PM⋅PN的取值范围是（ ）
A．[0，1]B．0,2
C．[1，2]D．−1,1
8．（2024·河北沧州·三模）对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支中，在数学史上，数学美是数学发展的动力.如图，在等边△ABC中，AB=2，以三条边为直径向外作三个半圆，M是三个半圆弧上的一动点，若BM=λAB+μAC，则λ+μ的最大值为（ ）
A．12B．33C．1D．32
二、多选题
9．（23-24高一下·江苏南京·期中）在△ABC中，点D是线段BC上任意一点，点M是线段AD的中点，若存在λ,μ∈R使BM=λAB+μAC，则λ,μ的取值可能是（ ）
A．λ=−35,μ=110B．λ=1,μ=−32
C．λ=−910,μ=25D．λ=−710,μ=35
10．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）如图，正方形ABCD中，E为AB中点，M为线段AD上的动点，若BM=λBE+μBD，则λ+μ的值可以是（ ）
A．32B．12C．1D．2
11．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）（多选）如图，在四边形ABCD中，∠B=60∘，AB=3，BC=6，且AD=λBCλ∈R，AD⋅AB=−32，则（ ）
A．AB·BC=9B．实数λ的值为16
C．四边形ABCD是梯形D．若M，N是线段BC上的动点，且MN=1，则DM⋅DN的最小值为132
三、填空题
12．（2024·新疆·二模）在等腰梯形ABCD中，AB=2DC，点E是线段BC的中点，若AE=λAB+μAD，则λ+μ=
.
13．（23-24高一下·黑龙江大庆·期末）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点BA⋅CA=5，BF⋅CF=−2，则BE⋅CE的值是 .
14．（23-24高三·广东阳江·阶段练习）在面积为2的平行四边形ABCD中，点P为直线AD上的动点，则PB⋅PC+BC2的最小值是 ．
四、解答题
15．（23-24高一下·甘肃白银·阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O．E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F．
(1)用AB，AD方表示AE；
(2)若AF=λAB+μAD，求λ+μ的值．
16．（23-24高一下·江苏苏州·期中）阅读一下一段文字：a+b2=a2+2a⋅b+b2，a−b2=a2−2a⋅b+b2，两式相减得(a+b)2−(a−b)2=4a·b⇒a·b=14[(a+b)2−(a−b)2] 我们把这个等式称作“极化恒等式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算．试根据上面的内容解决以下问题：如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点．
(1)若AD＝6，BC＝4，求AB⋅AC的值；
(2)若AB⋅AC=4，FB⋅FC=−1，求EB⋅EC的值．
17．（23-24高一上·辽宁大连·期末）在三角形ABC中，AB=a，AC=b，BE=2EC，D为线段AC上任意一点，BD交AE于O.

(1)若CD=2DA.
①用a，b表示AE；
②若AO=λAE，求λ的值；
(2)若BO=xBA+yBC，求12x+13y+1的最小值.
18．（23-24高一下·湖南邵阳·期末）如图，已知四边形ABDE为平行四边形，点C在AB延长线上，点M在线段AD上，且AB=12BC,AM=13AD，设AB=a,AE=b.

(1)用向量a，b表示CD；
(2)若线段CM上存在一动点P，且AP=ma+nbm,n∈R，求n2+mn的最大值.
19．（23-24高一下·广东潮州·阶段练习）阅读以下材料，解决本题：我们知道①(a+b)2=a2+2a⋅b+b2；②(a−b)2=a2−2a⋅b+b2.由①-②得(a+b)2−(a−b)2=4a⋅b⇔a⋅b=(a+b)2−(a−b)24，我们把最后推出的式子称为“极化恒等式”，它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算.如图所示的四边形ABCD中，BD=8,AB⋅AD=48，E为BD中点.
(1)若cs∠BAD=1213，求△ABD的面积；
(2)若2AE=EC，求CB⋅CD的值；
(3)若P为平面ABCD内一点，求PA⋅PB+PD的最小值.
重难点13 极化恒等式与等和（高）线定理【四大题型】
【新高考专用】
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\l "_Tc27283" 【题型1 利用极化恒等式求值】 PAGEREF _Tc27283 \h 3
\l "_Tc8229" 【题型2 利用极化恒等式求最值（范围）】 PAGEREF _Tc8229 \h 5
\l "_Tc5791" 【题型3 利用等和线求基底系数和的值】 PAGEREF _Tc5791 \h 8
\l "_Tc31060" 【题型4 利用等和线求基底系数和的最值（范围）】 PAGEREF _Tc31060 \h 11
1、极化恒等式与等和（高）线定理
极化恒等式是平面向量中的重要等式，是解决平面向量的数量积问题的重要工具，有平行四边形模型和三角形模型两大重要模型，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系；等和（高）线定理是平面向量中的重要定理，由三点共线结论推导得出，在求基底系数和的值、最值（范围）中有着重要作用.
【知识点1 极化恒等式】
1．极化恒等式的证明过程与几何意义
(1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
.
证明：不妨设，则，，
①，
②，
①②两式相加得：
.
(2)极化恒等式：
上面两式相减，得：————极化恒等式
平行四边形模式：.
2．几何解释：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的．
(1)平行四边形模型：向量的数量积等于以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的，即(如图).
(2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即(M为BC的中点)(如图).
极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系.
【知识点2 等和(高)线定理】
1．等和(高)线定理
(1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若(λ,μ∈R)，则λ+μ=1，由△OAB与△OA'B'相似，必存在一个常数k,k∈R，使得，则，又(x,y∈R)，∴x+y=kλ+kμ= k；反之也成立.
(2)平面内一个基底及任一向量，(λ,μ∈R)，若点P'在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ+μ=k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线.
①当等和线恰为直线AB时，k=1；
②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)；
③当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1,+∞)；
④当等和线过O点时，k=0；
⑤若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数；
⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比.
【题型1 利用极化恒等式求值】
【例1】（2024·贵州毕节·三模）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E，F是线段AD的两个三等分点，若BA⋅CA=7，BE⋅CE=2，则BF⋅CF=（ ）
A．−2B．−1C．1D．2
【解题思路】利用几何关系将BA,CA,BE,CE均用BC,AD表示出来，进而将BA⋅CA，BF⋅CF表示成与FD,BC相关，可以求出FD2=1,BC2=8，同时BF,CF的数量积也 可用FD,BC表示，即可求出结果.
【解答过程】依题意，D是BC边的中点，E，F是线段AD的两个三等分点，
则BA⋅CA=12BC−AD⋅−12BC−AD=4AD2−BC24=36FD2−BC24=7，
BE⋅CE=12BC−23AD⋅−12BC−23AD=49AD2−14BC2=16FD2−BC24=2，
因此FD2=1,BC2=8，BF⋅CF=12BC−FD⋅−12BC−FD=4FD2−BC24=4×1−84=−1.
故选：B.
【变式1-1】（23-24高三上·福建厦门·期末）如图，BC、DE是半径为1的圆O的两条直径，BF=2FO，则FD⋅FE=（ ）
A．−34B．−89C．−14D．−49
【解题思路】根据题意，得到FD⋅FE=−(OE+OF)⋅(OE−OF)，进行求解即可.
【解答过程】因为圆半径为1BC是直径，BF=2FO，
所以|OF|=13，
根据向量加法和减法法则知：FD=OD−OF,FE=OE−OF；
又DE是直径，所以OD=−OE,|OD|=|OE|=1，
则FD⋅FE=(OD−OF)⋅(OE−OF)=(−OE−OF)⋅(OE−OF)
=−(OE+OF)⋅(OE−OF)=|OF|2−|OE|2=19−1=−89.
故选 B.
【变式1-2】（2024高三·江苏·专题练习）如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5.若AB⋅AD=－7，则BC⋅DC的值是 9 ．
【解题思路】根据平面向量的线性表示与数量积运算，利用AB⋅AD= (AO+OB)⋅(AO+OD),求出|OB|=|OD|=4，再利用BC⋅DC=(BO+OC)⋅(DO+OC)，运算可求出结果.
【解答过程】在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA=3,OC=5,∴OB+OD=0，
若AB⋅AD=−7，
则(AO+OB)⋅(AO+OD) =AO2+AO⋅OD+AO⋅OB+OB⋅OD =AO2+OA⋅(OD+OB)−OB2 =32−OB2 =−7，
∴OB2=16，∴|OB|=|OD|=4，
∴BC⋅DC=(BO+OC)⋅(DO+OC) =BO⋅DO+BO⋅OC+OD⋅OC+OC2= −BO2+OC⋅(BO+OD)+OC2=−42 +0+52=9.
故答案为：9.
【变式1-3】（23-24高二下·湖南长沙·开学考试）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则EF⋅FG+GH⋅HE等于 32 ．
【解题思路】在平行四边形ABCD中，取HF的中点O，根据相等向量和向量的加法运算法则及数量积运算求解.
【解答过程】如图：
在平行四边形ABCD中，取HF的中点O，
则EF⋅FG=EF⋅EH=EO+OF⋅EO+OH=EO2−OH2=1−122=34，GH⋅HE=GH⋅GF=GO+OH⋅GO+OF==GO2−OH2=1−122=34，
则EF⋅FG+GH⋅HE=32.
故答案为：32.
【题型2 利用极化恒等式求最值（范围）】
【例2】（2024高三·全国·专题练习）半径为2的圆O上有三点A、B、C满足OA+AB+AC=0，点P是圆内一点，则PA⋅PO+PB⋅PC的取值范围为（ ）
A．[−4，14)B．[0，4)C．[4，14]D．[4，16]
【解题思路】设OA与BC交于点D，由OA+AB+AC=0得四边形OBAC是菱形，D是对角线中点，PA,PO,PB,PC用PD和其他向量表示并计算数量积后可得PA⋅PO+PB⋅PC＝2PD2−4，由点与的位置关系可得PD的取值范围，得结论．
【解答过程】如图， OA与BC交于点D，由OA+AB+AC=0得： OB+AC=0，
所以四边形OBAC是菱形，且OA=OB=2，则AD=OD=1，BD=DC=3，
由图知PB=PD+DB，PC=PD+DC，而DB=−DC，
∴PB⋅PC=PD2−DB2=|PD|2−|DB|2=|PD|2−3，
同理PA=PD+DA，PO=PD+DO，而DA=−DO，
∴PA⋅PO=PD2−DO2=|PD|2−|DO|2=|PD|2−1，
∴PA⋅PO+PB⋅PC=2|PD|2−4，
∵点P是圆内一点，则0≤|PD|