2025年高考数学复习(新高考专用)重难点25直线与圆综合【九大题型】特训(学生版+解析)

这是一份2025年高考数学复习(新高考专用)重难点25直线与圆综合【九大题型】特训(学生版+解析)，共63页。

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\l "_Tc2840" 【题型1 圆的弦长与中点弦问题】 PAGEREF _Tc2840 \h 2
\l "_Tc8365" 【题型2 圆的切线及切线方程问题】 PAGEREF _Tc8365 \h 3
\l "_Tc1409" 【题型3 直线与圆中的面积问题】 PAGEREF _Tc1409 \h 3
\l "_Tc5881" 【题型4 直线与圆中的最值问题】 PAGEREF _Tc5881 \h 4
\l "_Tc20648" 【题型5 距离及其新定义问题】 PAGEREF _Tc20648 \h 5
\l "_Tc3971" 【题型6 阿波罗尼斯圆】 PAGEREF _Tc3971 \h 6
\l "_Tc11433" 【题型7 直线与圆中的定点、定值、定直线问题】 PAGEREF _Tc11433 \h 7
\l "_Tc12229" 【题型8 直线与圆中的向量问题】 PAGEREF _Tc12229 \h 8
\l "_Tc8121" 【题型9 直线与圆中的探索性问题】 PAGEREF _Tc8121 \h 8
1、直线与圆的综合
直线与圆是高考的重点、热点内容.从近几年的高考情况来看，直线与圆结合命题时，主要考察直线与圆的位置关系、圆的弦长、面积、最值问题等，多以选择题或填空题的形式考查，难度中等；有时也会出现在压轴题的位置，此时多与导数、圆锥曲线等相结合，难度较大，需要学会灵活求解.
【知识点1 直线与圆相交时的弦长求法】
1．圆的弦长的求法：
设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种：
(1)几何法
如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：.
(2)代数法
将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A,B.
①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解.
②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元
二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式.
【知识点2 圆的切线及切线方程问题】
1．自一点引圆的切线的条数：
(1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；
(2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；
(3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线.
2．求过圆上的一点的圆的切线方程：
(1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求
得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程.
(2)重要结论：
①经过圆上一点P的切线方程为.
②经过圆上一点P的切线方程为.
③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为
.
【知识点3 解决直线与圆有关的最值与范围问题的常用方法】
1．利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题的解题方法
直线与圆中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选
用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径.
①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.
②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.
③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.
【题型1 圆的弦长与中点弦问题】
【例1】（2024·河南·模拟预测）直线l:x+y=1，圆C:x2+y2−2x−2y−2=0.则直线l被圆C所截得的弦长为（ ）
A．2B．23C．27D．14
【变式1-1】（2024·全国·模拟预测）已知直线l:y=x+m(m>0)与⊙C:(x−1)2+y2=2交于A，B两点，若AB=2，则m=（ ）
A．1B．2C．2−1D．3−1
【变式1-2】（24-25高二上·陕西西安·开学考试）直线l过点2,1，且与圆C：x−22+y−42=10相交所形成的长度为整数的弦的条数为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【变式1-3】（2024·广东广州·模拟预测）直线l:y=kx−2与圆C:x2+y2−6x−7=0交于A，B两点，则AB的取值范围为（ ）
A．7,4B．27,8C．3,4D．23,8
【题型2 圆的切线及切线方程问题】
【例2】（2024·全国·模拟预测）已知圆C:x2+y2+4x+6y+12=0，直线l过点P−1,0，则“直线l的方程为4x−3y+4=0”是“直线l与圆C相切”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式2-1】（2024·四川攀枝花·三模）由直线y=x上的一点P向圆x−42+y2=4引切线，切点为Q，则PQ的最小值为（ ）
A．2B．2C．6D．22
【变式2-2】（2024·天津和平·二模）过直线y=x上的点P作圆C：x+32+y−52=4的两条切线l1，l2，当直线l1，l2关于直线y=x对称时，点P的坐标为（ ）
A．1,1B．35,35C．65,65D．32,32
【变式2-3】（2024·湖南永州·一模）在平面直角坐标系中，过直线2x−y−3=0上一点P作圆C:x2+2x+y2=1的两条切线，切点分别为A、B，则sin∠APB的最大值为（ ）
A．265B．255C．65D．55
【题型3 直线与圆中的面积问题】
【例3】（23-24高二上·福建南平·期末）已知圆C的圆心在直线l1:x−y−3=0上且圆C与x轴相切于点M2,0.
(1)求圆C的方程；
(2)已知直线l2:x+2y−1=0与圆C相交于A,B两点，求△ABC的面积.
【变式3-1】（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知圆O：x2+y2=4，直线l:y=kx+4．
(1)若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当∠AOB=90°时，求k的值；
(2)若k=12时，点P为直线l上的动点，过点P作圆O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，求四边形OCPD的面积的最小值．
【变式3-2】（23-24高二上·河南·阶段练习）已知圆M经过A1,5,B4,2,C5+1,0三点.
(1)求圆M的方程；
(2)已知斜率为−12的直线l经过第三象限，且与圆M交于点E,F，求△EFM的面积的取值范围.
【变式3-3】（2024·江苏苏州·三模）已知圆O:x2+y2=4，直线l1:x=m，直线l2:y=x+b和圆交于A，B两点，过A，B分别做直线l1的垂线，垂足为C，D.
(1)求实数b的取值范围;
(2)若m=−4，求四边形ABDC的面积取最大值时，对应实数b的值;
(3)若直线AD和直线BC交于点E，问是否存在实数m，使得点E在一条平行于x轴的直线上?若存在，求出实数m的值;若不存在，请说明理由.
【题型4 直线与圆中的最值问题】
【例4】（2024·四川乐山·三模）已知圆O:x2+y2=16，点E是l:2x−y+16=0上的动点，过E作圆O的切线，切点分别为A,B，直线AB与EO交于点M，则OM的最大值为（ ）
A．2B．5C．6D．7
【变式4-1】（2024·广东珠海·一模）已知点A−1,0，B0,3，点P是圆x−32+y2=1上任意一点，则△PAB面积的最小值为（ ）
A．6B．112C．92D．6−102
【变式4-2】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知圆C:x2+2x+y2=0，点P为直线2x+y−2=0上的一点，过P作圆C的切线，切点分别为A,B，则cs∠APB的最小值为（ ）
A．455B．38C．−455D．−38
【变式4-3】（2024·陕西西安·一模）已知圆O的方程为：x2+y2=1，点A2,0，B0,2，P是线段AB上的动点，过P作圆O的切线，切点分别为C，D，现有以下四种说法：①四边形PCOD的面积的最小值为1；②四边形PCOD的面积的最大值为3；③PC⋅PD的最小值为−1；④PC⋅PD的最大值为32．其中所有正确说法的序号为（ ）
A．①③④B．①②④C．②③④D．①④
【题型5 距离及其新定义问题】
【例5】（2024·四川成都·三模）已知圆C：x2+y2=1，直线l：x−y+c=0，则“c=22”是“圆C上恰存在三个点到直线l的距离等于12”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
【变式5-1】（2024·河南·模拟预测）已知实数a，b满足a2+b2+1=2a+2b，则3a+4b−12的最小值是（ ）
A．1B．2C．4D．16
【变式5-2】（2024·河南·模拟预测）一直线族的包络线是这样定义的曲线：该曲线不包含于直线族中，但过该曲线上的每一点，都有直线族中的一条直线与它在这一点处相切.若曲线C是直线族t2−1x−2ty+2t2+2=0t∈R的包络线，则C上的点到直线x+y=4的最小距离为 .
【变式5-3】（2024高三·全国·专题练习）已知点Px,y是圆(x+2)2+y2=1上任意一点．
(1)求P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值．
(2)求x−2y的最大值和最小值．
(3)求y−2x−1的最大值和最小值
【题型6 阿波罗尼斯圆】
【例6】（2024·广西河池·模拟预测）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数λ（λ≠1）的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点O0,0，A15,25，动点Px,y满足POPA=52，若点P的轨迹与圆C：x2+y2+6x+2y=r2−10（r>0）有且仅有三条公切线，则r=（ ）
A．12B．1C．2D．3
【变式6-1】（2024·全国·模拟预测）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：在平面上，若动点P到相异两点A和B距离比值为不等于1的定值，则动点P的轨迹是圆心在直线AB上的圆，该圆被称为点A和B相关的阿氏圆．已知P在点A和B相关的阿氏圆O:x2+y2=4上，其中点A−4,0，点Q在圆M:x−32+y−32=1上，则PQ+12PA的最小值为（ ）
A．32−1B．32+1C．4D．6
【变式6-2】（2024·广西·模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数λ（λ>0且λ≠1），那么点P的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点P到A2,0，B−2,0的距离比为3，则点P到直线l：22x−y−2=0的距离的最大值是（ ）
A．32+23B．2+23C．43D．63
【变式6-3】（2024·全国·模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A,B的距离之比为定值λ(λ>0，且λ≠1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xOy中，A−2,0,B4,0，点P满足PAPB=12.设点P的轨迹为曲线C，则下列说法错误的是（ ）
A．C的方程为(x+4)2+y2=16
B．当A,B,P三点不共线时，则∠APO=∠BPO
C．在C上存在点M，使得|MO|=2|MA|
D．若D2,2，则PB+2PD的最小值为45
【题型7 直线与圆中的定点、定值、定直线问题】
【例7】（2024高三·全国·专题练习）已知圆A：(x+2)2+y2=25，A为圆心，动直线l过点P(2,0)，且与圆A交于B，C两点，记弦BC的中点Q的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程；
(2)过A作两条斜率分别为k1，k2的直线，交曲线E于M，N两点，且k1k2=−3，求证：直线MN过定点．
【变式7-1】（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）圆G经过点2,23,−4,0，圆心在直线y=x上．
(1)求圆G的标准方程；
(2)若圆G与x轴分别交于M,N两点，A为直线l:x=16上的动点，直线AM,AN与曲线圆G的另一个交点分别为E,F，求证直线EF经过定点，并求出定点的坐标．
【变式7-2】（23-24高二上·江苏泰州·阶段练习）已知△AMN的三个顶点分别为A3,0，M0,1，N0,9，动点P满足PN=3PM．
(1)求动点P的轨迹T的方程；
(2)若B，C为（1）中曲线T上的两个动点，D为曲线x+12+y2=4x≠−3上的动点，且AD=AB+AC，试问直线AB和直线AC的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
【变式7-3】（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知圆C与直线x−3y+2=0相切于点1,3，且圆心C在x轴的正半轴上.
(1)求圆C的方程；
(2)过点A1,0作直线交圆C于M，N两点，且M，N两点均不在x轴上，点B4,0，直线BN和直线OM交于点G.证明：点G在一条定直线上，并求此直线的方程.
【题型8 直线与圆中的向量问题】
【例8】（2024·安徽·一模）已知直线x+y−k=0k>0与圆x2+y2=4交于不同的两点A,B，O是坐标原点，且有OA+OB≥3AB，则实数k的取值范围是（ ）
A．3,6B．2,6C．6,22D．6,23
【变式8-1】（2024·重庆·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C:x−12+y2=4，P为直线l:x+y+3=0上的一个动点，过点P作圆C的切线PM，切点为点M，当PM最小时，则PM⋅PC的值为（ ）
A．4B．2C．2D．3
【变式8-2】（2024·河北唐山·二模）已知圆C：x2+y−32=4，过点0,4的直线l与x轴交于点P，与圆C交于A，B两点，则CP⋅CA+CB的取值范围是（ ）
A．0,1B．0,1C．0,2D．0,2
【变式8-3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设点Pa,b，若直线l:ax+by=1与圆O:x2+y2=4交于A,B两点，且OA+OB>OA−OB，则OP的取值范围为（ ）
A．12,22B．0,22C．12,2D．2,+∞
【题型9 直线与圆中的探索性问题】
【例9】（23-24高一下·云南昆明·期末）已知直线l:y=kxk≠0与圆C:x2+y2−2x−3=0相交于A，B两点
(1)若AB=14，求k
(2)在x轴上是否存在点M，使得当k变化时，总有直线MA，MB的斜率之和为0，若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由
【变式9-1】（23-24高二上·广东广州·期中）圆C:x2−1+ax+y2−ay+a=0．
(1)若圆C与y轴相切，求圆C的方程；
(2)已知a>1，圆C与x轴相交于两点M，N（点M在点N的左侧）．过点M任作一条直线与圆O:x2+y2=9相交于两点A，B．问：是否存在实数a，使得∠ANM=∠BNM．若存在，求出实数a，若不存在，请说明理由．
【变式9-2】（23-24高二上·广东广州·期末）已知圆心C在直线y=−2x上，并且经过点A2,−1，与直线x+y−1=0相切的圆.
(1)求圆C的标准方程；
(2)对于圆C上的任意一点P，是否存在定点B（不同于原点O）使得PBPO恒为常数？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由.
【变式9-3】（23-24高二上·福建泉州·期中）已知半径为2的圆C的圆心在x轴的正半轴上，且直线l:3x−4y+4=0与圆C相切．
(1)求圆C的标准方程；
(2)若Q的坐标为(−2,4)，过点Q作圆C的两条切线，切点分别为M,N，求直线MN的方程；
(3)过点A(1,0)任作一条不与y轴垂直的直线与圆C相交于E,F两点，在x非正半轴上是否存在点B，使得∠ABE=∠ABF？若存在，求点B的坐标；若不存在，请说明理由．
一、单选题
1．（24-25高二上·江苏宿迁·开学考试）若直线l:kx−y−2=0与曲线C:1−(y−1)2=x−1有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ）
A．(43,+∞)B．(43,4)C．[−2,−43)∪(43,2]D．(43,2]
2．（23-24高二下·广东茂名·阶段练习）已知圆C:x−32+y−42=9，直线l:m+3x−m+2y+m=0.则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（ ）
A．27B．10C．22D．6
3．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知曲线1−x=4−y2，则x2+y−42的最大值，最小值分别为（ ）
A．17＋2，17－2B．17＋2，5
C．37，17－2D．37，5
4．（2024·江西宜春·模拟预测）已知动点P到原点O与到点A(2,0)的距离之比为3:2，记P的轨迹为E，直线l:5x−53y+2=0，则（ ）
A．E是一个半径为25的圆
B．E上的点到l的距离的取值范围为25,225
C．l被E截得的弦长为4115
D．E上存在四个点到l的距离为25
5．（23-24高二下·河北唐山·期末）已知圆(x−2)2+y2=9的弦AB的中点为Q1,1，点P为圆上的动点，则PA⋅PB的最大值为（ ）
A．2B．62−3C．8D．4+62
6．（23-24高二下·河南南阳·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名.他发现：“平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点M是圆O:x2+y2=1上任一点，点Q−3,0，B1,1，则13MQ+MB的最小值为（ ）
A．1B．43C．53D．17
7．（23-24高二下·贵州铜仁·阶段练习）已知圆C:x−32+y−42=1，直线l:3kx−3y+5k−6=0上存在点P，过点P作圆C的切线，切点分别为A,B，使得∠APB=60∘，则实数k的取值范围是（ ）
A．34,145B．43,145
C．43,125D．34,125
8．（2024·河北承德·二模）已知圆C:x2+(y−2)2=1，圆C与y轴交于A0,3,B0,1，斜率存在且过原点O的直线l与圆C相交于M,N两点，直线AM与直线BN相交于点P，直线AM､直线BN､直线OP的斜率分别为k1,k2,k3，则（ ）
A．k1+6k2=k3B．k1+2k2=k3
C．2k1+k2=k3D．k1+k2=k3
二、多选题
9．（24-25高三上·辽宁鞍山·开学考试）已知直线l:kx−y+k=0，圆C:x2+y2−6x+5=0,Px0,y0为圆C上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．x02+y02的最大值为5
B．y0x0的最大值为255
C．直线l与圆C相切时，k=±33
D．圆心C到直线l的距离最大为4
10．（2024·辽宁丹东·一模）已知圆C:(x−2)2+(y−1)2=9，直线l:kx−y+1=0与C交于A,B两点，点M为弦AB的中点，P0,3，则（ ）
A．弦AB有最小值为25B．OM有最小值为2−1
C．△OCM面积的最大值为5+12D．PO⋅PM的最大值为9
11．（23-24高二上·广西南宁·期中）设圆C:x−12+y−12=3，直线l:x+y+1=0，P为l上的动点，过点P作圆C的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，则下列说法中正确的有（ ）
A．PA的取值范围为62,+∞
B．四边形PACB面积的最小值为322
C．存在点P使∠APB=120°
D．直线AB过定点0,0
三、填空题
12．（23-24高二下·上海·期中）过点A−1,3的直线l被圆x2+y2=4截得的弦长为23，则直线l的方程为
.
13．（24-25高二上·全国·课后作业）已知实数x，y满足y=8−x2+2x，则t=y+3x+1的取值范围是 ．
14．（2024·河南商丘·模拟预测）已知过点P(0,−2)的直线l1,l2分别与圆E:x2+y2−4y=0交于A,B两点（点B在A的上方）和C,D两点（点C在D的上方），且四边形ABCD为等腰梯形，若sin∠BPC=158，则梯形ABCD的面积为 ．
四、解答题
15．（23-24高一下·重庆·期末）已知圆C：x2+y2−4x−4y+7=0关于直线x−y+1=0的对称圆的圆心为D，若直线l过点1,4.
(1)若直线l与圆C相切，求直线l的方程；
(2)若直线l与圆D交于A,B两点，AB=2，求直线l的方程.
16．（23-24高二上·北京·期中）已知圆Q:(x−6)2+y2=4,l为过点P0,2且斜率为k的直线.
(1)若l与圆Q相切，求直线l的方程；
(2)若l与圆Q相交于不同的两点A,B，是否存在常数k，使得向量OA+OB与PQ共线？若存在，求k的值：若不存在，请说明理由.
17．（23-24高二上·吉林·期末）如图，第25届中国机器人及人工智能大赛总决赛中，主办方设计了一个矩形坐标场地ABCD（包含地界和内部），BC长为12米，在AB边上距离B点5米的E处放置一只机器犬，在距离B点2米的F处放置一个机器人，机器人行走的速度为v，机器犬行走的速度为2v，若机器犬和机器人在场地内沿着直线方向同时到达场地内某点P，则机器犬将被机器人捕获，点P叫成功点．
(1)求在这个矩形场地内成功点P的轨迹方程；
(2)若N为矩形场地BC边上的一点，若机器犬在线段EN上都能逃脱，问N点应在何处？
18．（23-24高二下·河南·开学考试）已知P是圆O:x2+y2=9上的动点，点Q满足PQ=3,−4，记Q的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程.
(2)直线l:m+3x+3m−2y+332−m=0与圆O交于A,B两点，M是曲线E上一点.当AB取得最小值时，求△MAB面积的最大值.
19．（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）已知半径为 83 的圆C的圆心在 y 轴的正半轴上，且直线12x−9y−1=0与圆C相切．
(1)求圆C的标准方程．
(2)若 Mx,y是圆C上任意一点，求（x+3）2+（y−13）2的取值范围
(3)已知A0,−1，P为圆C上任意一点，试问在y 轴上是否存在定点B（异于点A），使得PBPA为定值？若存在，求点B的坐标；若不存在，请说明理由．
重难点25 直线与圆的综合【九大题型】
【新高考专用】
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\l "_Tc2840" 【题型1 圆的弦长与中点弦问题】 PAGEREF _Tc2840 \h 2
\l "_Tc8365" 【题型2 圆的切线及切线方程问题】 PAGEREF _Tc8365 \h 4
\l "_Tc1409" 【题型3 直线与圆中的面积问题】 PAGEREF _Tc1409 \h 7
\l "_Tc5881" 【题型4 直线与圆中的最值问题】 PAGEREF _Tc5881 \h 11
\l "_Tc20648" 【题型5 距离及其新定义问题】 PAGEREF _Tc20648 \h 14
\l "_Tc3971" 【题型6 阿波罗尼斯圆】 PAGEREF _Tc3971 \h 16
\l "_Tc11433" 【题型7 直线与圆中的定点、定值、定直线问题】 PAGEREF _Tc11433 \h 19
\l "_Tc12229" 【题型8 直线与圆中的向量问题】 PAGEREF _Tc12229 \h 24
\l "_Tc8121" 【题型9 直线与圆中的探索性问题】 PAGEREF _Tc8121 \h 26
1、直线与圆的综合
直线与圆是高考的重点、热点内容.从近几年的高考情况来看，直线与圆结合命题时，主要考察直线与圆的位置关系、圆的弦长、面积、最值问题等，多以选择题或填空题的形式考查，难度中等；有时也会出现在压轴题的位置，此时多与导数、圆锥曲线等相结合，难度较大，需要学会灵活求解.
【知识点1 直线与圆相交时的弦长求法】
1．圆的弦长的求法：
设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种：
(1)几何法
如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：.
(2)代数法
将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A,B.
①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解.
②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元
二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式.
【知识点2 圆的切线及切线方程问题】
1．自一点引圆的切线的条数：
(1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；
(2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；
(3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线.
2．求过圆上的一点的圆的切线方程：
(1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求
得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程.
(2)重要结论：
①经过圆上一点P的切线方程为.
②经过圆上一点P的切线方程为.
③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为
.
【知识点3 解决直线与圆有关的最值与范围问题的常用方法】
1．利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题的解题方法
直线与圆中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选
用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径.
①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.
②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.
③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.
【题型1 圆的弦长与中点弦问题】
【例1】（2024·河南·模拟预测）直线l:x+y=1，圆C:x2+y2−2x−2y−2=0.则直线l被圆C所截得的弦长为（ ）
A．2B．23C．27D．14
【解题思路】先将圆的方程化为标准形式，求出圆心坐标与圆的半径，再求出圆心到直线的距离，最终利用勾股定理即可求解.
【解答过程】圆C的标准方程为x−12+y−12=4，
由此可知圆C的半径为r=2，圆心坐标为C1,1，
所以圆心C1,1到直线l:x+y=1的距离为d=1+1−112+12=22，
所以直线被圆截得的弦长为2r2−d2=222−222=14.
故选：D.
【变式1-1】（2024·全国·模拟预测）已知直线l:y=x+m(m>0)与⊙C:(x−1)2+y2=2交于A，B两点，若AB=2，则m=（ ）
A．1B．2C．2−1D．3−1
【解题思路】如图，根据点到直线的距离求出圆心C(1,0)到直线l:x−y+m=0的距离，由垂径定理求出CD，建立关于m的方程，解之即可求解.
【解答过程】如图，取AB的中点D，连接CD,AC，则AB⊥CD，

圆C:(x−1)2+y2=2的圆心C(1,0)，半径为r=2，
圆心C(1,0)到直线l:x−y+m=0的距离为d=1+m2，
又d=r2−(AB2)2=2−1=1，所以1+m2=1，
由m>0，解得m=2−1.
故选：C.
【变式1-2】（24-25高二上·陕西西安·开学考试）直线l过点2,1，且与圆C：x−22+y−42=10相交所形成的长度为整数的弦的条数为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【解题思路】判断已知点与圆的位置关系，并确定过定点的直线与圆所成弦长的范围，结合圆的对称性确定弦的条数.
【解答过程】由题设，圆C的圆心为(2,4)，且半径r=10，
而2−22+1−42=9