2025年高考数学复习(新高考专用)重难点26巧解圆锥曲线的离心率问题【八大题型】特训(学生版+解析)

这是一份2025年高考数学复习(新高考专用)重难点26巧解圆锥曲线的离心率问题【八大题型】特训(学生版+解析)，共51页。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc16489" 【题型1 利用圆锥曲线的定义求离心率或其范围】 PAGEREF _Tc16489 \h 2
\l "_Tc14078" 【题型2 利用圆锥曲线的性质求离心率或其范围】 PAGEREF _Tc14078 \h 3
\l "_Tc30291" 【题型3 利用等量关系或不等关系求离心率或其范围】 PAGEREF _Tc30291 \h 3
\l "_Tc25995" 【题型4 利用正、余弦定理求离心率或其范围】 PAGEREF _Tc25995 \h 4
\l "_Tc3309" 【题型5 利用基本不等式求离心率的范围】 PAGEREF _Tc3309 \h 5
\l "_Tc409" 【题型6 椭圆与双曲线综合的离心率问题】 PAGEREF _Tc409 \h 5
\l "_Tc17740" 【题型7 函数法求离心率或其范围】 PAGEREF _Tc17740 \h 6
\l "_Tc11902" 【题型8 坐标法求离心率或其范围】 PAGEREF _Tc11902 \h 7
1、巧解圆锥曲线的离心率问题
从近几年的高考情况来看，圆锥曲线的离心率或其取值范围问题是高考的热点题型，主要以选择题或填空题的形式考查，难度不大；对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁.
【知识点1 圆锥曲线的离心率】
1．椭圆的离心率
(1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示，即e=.
(2)离心率的范围：0b>0)的两个焦点，M为C的顶点，若△MF1F2的内心和重心重合，则C的离心率为（ ）
A．33B．32C．12D．13
【变式1-3】（2024·陕西商洛·三模）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，若C上存在点P，使得PF1=3PF2，则C的离心率的取值范围为（ ）
A．2,+∞B．1,2C．2,+∞D．1,2
【题型2 利用圆锥曲线的性质求离心率或其范围】
【例2】（2024·浙江杭州·三模）已知双曲线x2a2−y2b2=1a,b>0上存在关于原点中心对称的两点A，B，以及双曲线上的另一点C，使得△ABC为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．2,+∞B．3,+∞C．2,+∞D．233,+∞
【变式2-1】（23-24高二下·山西运城·期中）已知F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y26=1(a>0)的左、右焦点，过点F1的直线交C于A,B两点，若AF2+BF2的最大值为8，则C的离心率为（ ）.
A．33B．32C．63D．12
【变式2-2】（2024·四川·模拟预测）已知双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),F,A分别为E的右焦点和左顶点，点M−2,3是双曲线E上的点，若△AMF的面积为92，则双曲线E的离心率为（ ）
A．3B．2C．62D．6
【变式2-3】（2024·陕西铜川·模拟预测）已知F1,F2是椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点，若E上存在不同的两点A,B，使得F1A=2F2B，则E的离心率的取值范围为（ ）
A．0,2−1B．0,2−1C．3−22,1D．3−22,1
【题型3 利用等量关系或不等关系求离心率或其范围】
【例3】（2024·广东深圳·二模）P是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）上一点，F1、F2是C的两个焦点，PF1⋅PF2=0，点Q在∠F1PF2的平分线上，O为原点，OQ∥PF1，且OQ=b．则C的离心率为（ ）
A．12B．33C．63D．32
【变式3-1】（2024·江西南昌·三模）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.过F2作直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，若△F1AB的周长为10b，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）
A．52,5B．32,3C．12,2D．[2,+∞)
【变式3-2】（2024·河北邯郸·模拟预测）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0，O为坐标原点，F1、F2分别为C的左、右焦点，点P在双曲线上，且PF2⊥x轴，M在∠F2PF1外角平分线上，且F2M⋅PM=0.若OF2=F2M，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．3C．2D．223
【变式3-3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，直线l:y=12x+a与椭圆C交于A,B两点（B点在A点上方），O为坐标原点，以O为圆心，OB为半径的圆在点B处的切线与x轴交于点D，若∠BDA>∠BAD，则C的离心率的最大值为（ ）
A．13B．12C．22D．32
【题型4 利用正、余弦定理求离心率或其范围】
【例4】（2024·广西桂林·模拟预测）已知F1、F2是双曲线C:x2a2−y2b2=1的左、右焦点，过F2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为P，且PF12+PF22=8b2，则双曲线C的离心率为（ ）
A．53B．54C．233D．153
【变式4-1】（2024·陕西安康·模拟预测）设A,B分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左､右顶点，M是C上一点，且MA:MB:AB=3:5:7，则C的离心率为（ ）
A．35B．37C．1511D．7286143
【变式4-2】（2024·四川成都·模拟预测）设点F1，F2分别为双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点，点A，B分别在双曲线C的左，右支上.若F1B=6F1A，AF2⊥BF2，且AF2>BF2，则双曲线的离心率为（ ）
A．175B．135C．855D．655
【变式4-3】（23-24高二上·浙江杭州·期中）双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左，右焦点分别为F1,F2，O为坐标原点，过F1作C的一条渐近线的垂线，垂足为D，且DF2=7OD，则C的离心率为（ ）
A．2B．2C．5D．3
【题型5 利用基本不等式求离心率的范围】
【例5】（23-24高二上·安徽黄山·期末）已知点F1是椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点，过原点作直线l交椭圆于A、B两点，M、N分别是AF1、BF1的中点，若∠MON=90∘，则椭圆离心率的最小值为（ ）
A．14B．34C．12D．22
【变式5-1】（23-24高三上·云南曲靖·阶段练习）已知F1，F2，分别为双曲线x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点，M为双曲线左支上任意一点，若MF22MF1的最小值为8a，则双曲线离心率e的取值范围是（ ）
A．1,72B．2,4
C．1,3D．3,5
【变式5-2】（23-24高二·全国·课后作业）已知F1，F2分别为双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点，P为双曲线右支上任意一点，若PF12PF2的最小值为8a，则该双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A．1,2B．1,3C．1,3D．2,4
【变式5-3】（2024·河南·二模）从椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)外一点Px0,y0向椭圆引两条切线，切点分别为A,B，则直线AB称作点P关于椭圆C的极线，其方程为x0xa2+y0yb2=1.现有如图所示的两个椭圆C1,C2，离心率分别为e1,e2，C2内含于C1，椭圆C1上的任意一点M关于C2的极线为l，若原点O到直线l的距离为1，则e12−e22的最大值为（ ）

A．12B．13C．15D．14
【题型6 椭圆与双曲线综合的离心率问题】
【例6】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知椭圆C1：x2m2+y2=1(m>1)与双曲线C2：x2n2−y2=1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（ ）
A．e1e2>2B．e1+e2>2
C．00)与双曲线C2:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)有共同的焦点F1,F2，点P为两曲线的一个公共点，且∠F1PF2=60∘，椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，那么e12+e22最小为（ ）
A．2+34B．2+32C．3+224D．3+222
【变式6-3】（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF1|＞|PF2|，线段PF1的垂直平分线过F2，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则2e1+e22的最小值为（ ）
A．8B．6C．4D．2
【题型7 函数法求离心率或其范围】
【例7】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，点P在椭圆Γ上，且PF1⋅PF2=0．若PF1PF2∈1,3，则椭圆Γ的离心率的取值范围是（ ）
A．23,1B．22,104C．12,58D．12,4−23
【变式7-1】（2024·河北邯郸·二模）已知直线l：abx−(4a−1)y+m=0(a＞14)与双曲线x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的两条渐近线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB为直角三角形，则双曲线的离心率e的最大值为（ ）
A．2B．3C．2D．5
【变式7-2】（2024·辽宁·模拟预测）已知Q是椭圆M:x29+y2b2=1(00，F1，F2为C的左、右焦点，B0,4b，直线BF2与C的一支交于点P，且BPPF2=λλ≥1，则C的离心率最大值为（ ）
A．5B．2C．22D．25
【题型8 坐标法求离心率或其范围】
【例8】（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）已知A,F分别为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点和左焦点，直线y=kx与椭圆交于B,C两点，若直线CF交线段AB于M,AM=13AB，则椭圆的离心率为（ ）
A．23B．12C．154D．265
【变式8-1】（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知双曲线C:x2−y2b2=1(b>0)，点P2,0,Q3,0，若C上存在三个不同的点M满足MQ=2MP，则C的离心率的取值范围为（ ）
A．(1,153)B．(1,303)C．(153,+∞)D．(303,+∞)
【变式8-2】（2024·福建泉州·模拟预测）椭圆E：x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦点分别为F1,F2，点P0,mm>b，线段PF1，PF2分别交E于A,B两点，过点B作E的切线交PF1于C，且BC⃗⋅PF1⃗=0,PB⃗=2BF2→，则E的离心率为（ ）
A．12B．22C．32D．33
【变式8-3】（23-24高二上·湖北·期中）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1−c,0，F2c,0，过点F1的直线l与双曲线C的左支交于点A，与双曲线C的一条渐近线在第一象限交于点B，且F1F2=2OB（O为坐标原点）.下列三个结论正确的是（ ）
①B的坐标为a,b；②BF1−BF2>2a；③若AB=3F1A，则双曲线C的离心率1+173；
A．①②B．②③C．①③D．①②③
一、单选题
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）设椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦点为F1,F2，右顶点为A，已知点P在椭圆E上，若∠F1PF2=90∘,∠PAF2=45∘，则椭圆E的离心率为（ ）
A．57B．63C．2−2D．3−1
2．（2024·四川雅安·三模）设F1,F2分别为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点，过点F2的直线交双曲线右支于点M，交y轴于点N，且F2为线段MN的中点，并满足F1M⊥F1N，则双曲线C的离心率为（ ）
A．3+12B．3+1C．2D．5+1
3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）设F1，F2分别是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，且AF1⋅AF2=0，AF2=2F2B，则椭圆E的离心率为（ ）.
A．32B．53C．34D．35
4．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，F1(−c,0)、F2(c,0)分别为左、右焦点，若双曲线右支上有一点P使得线段PF1与y轴交于点E，PO=PF2，线段EF2的中点H满足F1H⋅PF2=0，则双曲线的离心率为（ ）
A．32+102B．32−102C．7+35D．7−35
5．（2024·广东·一模）已知点F，A分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点、右顶点，B0,b满足FB⋅AB=0，则椭圆的离心率等于（ ）
A．3+12B．5−12C．3−12D．5+12
6．（2024·辽宁·模拟预测）已知椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点F1,F2,P是椭圆C1与双曲线C2的一个公共点，且∠F1PF2=π3，其离心率分别为e1,e2，则3e12+e22的最小值为（ ）
A．3B．4C．6D．12
7．（2024·河南濮阳·模拟预测）点M是椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P,Q两点，若△PQM是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．2−3,1B．5−12,1
C．6−22,1D．6−22,5−12
8．（2024·四川德阳·模拟预测）已知双曲线l ：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的焦距为2c，右顶点为A，过A作x轴的垂线与E 的渐近线交于M、N 两点，若 SMON≥34c2，则 E 的离心率的取值范围是（ ）
A．2332B．2333C．23D．[ 3 ，2]
二、多选题
9．（2024·甘肃酒泉·三模）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上存在点P，使得PF1=4PF2，其中F1,F2分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为（ ）
A．12B．35C．56D．3−1
10．（2024·河南信阳·模拟预测）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1−c,0,F2c,0，直线l:bx+ay−bc=0与C相交于点M，与C的一条渐近线相交于点N,C的离心率为e，则（ ）
A．若NF1⊥NF2，则e=2B．若MF1⊥MF2，则e=22
C．若NF2=2MF2，则e=2D．若MF1≥5MF2，则e≤2
11．（2024·贵州贵阳·三模）双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为点F1,F2，斜率为正的渐近线为l1，过点F2作直线l1的垂线，垂足为点A，交双曲线于点P，设点M是双曲线C上任意一点，若PF2=23AF2,S△PF1F2=43，则（ ）
A．双曲线C的离心率为5
B．双曲线C的共轭双曲线方程为y2−x24=1
C．当点M位于双曲线C右支时，MF1MF2∈1,3+52
D．点M到两渐近线的距离之积为45
三、填空题
12．（2024·山东济南·三模）已知F1、F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点，点P为椭圆上一点，O为坐标原点，△POF2为正三角形，则该椭圆的离心率为 .
13．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知双曲线x2a2−y2b2=1a,b>0，F1，F2为双曲线的左右焦点，过F1做斜率为正的直线交双曲线左支于Ax1,y1，Bx2,y2 y1b>0上关于原点对称的两点，点P在第一象限，F1、F2是椭圆C的左、右焦点，OP=OF2，若QF1PF1≥33，则椭圆C的离心率的取值范围为 .
四、解答题
15．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0与椭圆x225+y25=1共焦点，点M、N分别是以椭圆半焦距为半径的圆O与双曲线C的渐近线在第一、二象限的交点，若点E0,3满足ME⊥ON，（O为坐标原点），
(1)求双曲线的离心率；
(2)求△OMN的面积.
16．（2024·湖北·模拟预测）已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A1,32.
(1)若椭圆E的离心率e∈0,12，求b的取值范围；
(2)已知椭圆E的离心率e=32，M，N为椭圆E上不同两点，若经过M，N两点的直线与圆x2+y2=b2相切，求线段MN的最大值.
17．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点是A(−1,0)，一条渐近线的方程为y=x．
(1)求双曲线E的离心率；
(2)设直线y=12x−12与双曲线E交于点P，Q，求线段PQ的长．
18．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左顶点为A，过A且斜率为kk>0的直线交y轴于点M，交C的另一点为P．
(1)若k=13,MA=2PM，求C的离心率；
(2)点Q在C上，若PA⊥QA，且tan∠PQA=8，求k的取值范围．
19．（2024·上海·三模）已知双曲线Γ：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1、F2．
(1)若Γ的长轴长为2，焦距为4，求Γ的渐近线方程：
(2)若b=4，双曲线Γ左支上任意点T均满足TF1≥2a，求a的最大值；
(3)若双曲线Γ的左支上存在点P、右支上存在点Q满足FP1=PQ=QF2，求Γ的离心率e的取值范围．
重难点26 巧解圆锥曲线的离心率问题【八大题型】
【新高考专用】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc16489" 【题型1 利用圆锥曲线的定义求离心率或其范围】 PAGEREF _Tc16489 \h 2
\l "_Tc14078" 【题型2 利用圆锥曲线的性质求离心率或其范围】 PAGEREF _Tc14078 \h 4
\l "_Tc30291" 【题型3 利用等量关系或不等关系求离心率或其范围】 PAGEREF _Tc30291 \h 7
\l "_Tc25995" 【题型4 利用正、余弦定理求离心率或其范围】 PAGEREF _Tc25995 \h 10
\l "_Tc3309" 【题型5 利用基本不等式求离心率的范围】 PAGEREF _Tc3309 \h 13
\l "_Tc409" 【题型6 椭圆与双曲线综合的离心率问题】 PAGEREF _Tc409 \h 16
\l "_Tc17740" 【题型7 函数法求离心率或其范围】 PAGEREF _Tc17740 \h 18
\l "_Tc11902" 【题型8 坐标法求离心率或其范围】 PAGEREF _Tc11902 \h 21
1、巧解圆锥曲线的离心率问题
从近几年的高考情况来看，圆锥曲线的离心率或其取值范围问题是高考的热点题型，主要以选择题或填空题的形式考查，难度不大；对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁.
【知识点1 圆锥曲线的离心率】
1．椭圆的离心率
(1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示，即e=.
(2)离心率的范围：00），半焦距为c（c>0），
连接EF,DF，则2c=EF=2，2a=DE+DF=1+12+22=1+5，
所以离心率e=ca=21+5=5−12．
故选：C.
【变式1-2】（23-24高二下·山西晋城·阶段练习）已知F1，F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点，M为C的顶点，若△MF1F2的内心和重心重合，则C的离心率为（ ）
A．33B．32C．12D．13
【解题思路】根据△MF1F2的内心和重心重合，判断△MF1F2为等边三角形，得a=2c即可.
【解答过程】如图所示，M为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的顶点，
且△MF1F2的内心和重心重合，
所以△MF1F2为等边三角形，
又因为|MF1|=|MF2|=a,|F1F2|=2c，
所以a=2c，
即e=ca=12.
故选：C.
【变式1-3】（2024·陕西商洛·三模）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，若C上存在点P，使得PF1=3PF2，则C的离心率的取值范围为（ ）
A．2,+∞B．1,2C．2,+∞D．1,2
【解题思路】根据双曲线定义和PF1=3PF2，得到PF2=a，结合PF2≥c−a，得到不等式，又双曲线的离心率大于1，得到答案.
【解答过程】因为PF1=3PF2,PF1−PF2=2a，所以PF2=a，又PF2≥c−a，
所以a≥c−a，所以离心率e=ca≤2，又双曲线的离心率大于1，所以10上存在关于原点中心对称的两点A，B，以及双曲线上的另一点C，使得△ABC为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．2,+∞B．3,+∞C．2,+∞D．233,+∞
【解题思路】设点Ax,y，则可取C−3y,3x，代入双曲线方程整理可得y2x2=3a2+b2a2+3b2，结合渐近线列式求解即可.
【解答过程】由题意可知：双曲线的渐近线方程为y=±bax，
设点Ax,y，则可取C−3y,3x，
则x2a2−y2b2=13y2a2−3x2b2=1，整理得y2x2=3a2+b2a2+3b2a2，即c2−a2>a2，可得c2a2>2，则e=ca=c2a2>2，
所以该双曲线离心率的取值范围是2,+∞．
故选：A.
【变式2-1】（23-24高二下·山西运城·期中）已知F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y26=1(a>0)的左、右焦点，过点F1的直线交C于A,B两点，若AF2+BF2的最大值为8，则C的离心率为（ ）.
A．33B．32C．63D．12
【解题思路】椭圆定义有AB+AF2+BF2=4a，结合已知确定AB的最小值，即可求解.
【解答过程】由椭圆的定义，可知AB+AF2+BF2=AF1+AF2+BF1+BF2=4a，

所以当AB最小时，AF2+BF2最大，
由椭圆的性质得，过椭圆焦点的弦中垂直于长轴的弦最短，
当直线AB垂直于x轴时，AB取得最小值2b2a=12a，此时AF2+BF2=4a−12a=8，
由a>0解得a=3，此时C的离心率e=ca=a2−b2a=32−63=33.
故选：A.
【变式2-2】（2024·四川·模拟预测）已知双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),F,A分别为E的右焦点和左顶点，点M−2,3是双曲线E上的点，若△AMF的面积为92，则双曲线E的离心率为（ ）
A．3B．2C．62D．6
【解题思路】根据S△AMF=92、点M−2,3在E上，求出a,c可得答案．
【解答过程】由题设知，AF=a+c，则S△AMF=12yMAF=32AF=92，
所以a+c=3，且c>a，易知00的左、右焦点，若E上存在不同的两点A,B，使得F1A=2F2B，则E的离心率的取值范围为（ ）
A．0,2−1B．0,2−1C．3−22,1D．3−22,1
【解题思路】利用向量关系结合椭圆的对称性，
找到当A1,A分别位于E的左、右顶点时，F1AA1F1有最大值，求出离心率的取值范围.
【解答过程】如图，延长AF1交椭圆于A1，根据椭圆的对称性，得F2B=A1F1，F1A=2A1F1，
当A1,A分别位于E的左、右顶点时，F1AA1F1有最大值，
又因为A,B不重合，所以a+ca−c>2，即1+e1−e>2，
解得e>3−22，
所以E的离心率的取值范围为3−22,1．
故选：C．
【题型3 利用等量关系或不等关系求离心率或其范围】
【例3】（2024·广东深圳·二模）P是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）上一点，F1、F2是C的两个焦点，PF1⋅PF2=0，点Q在∠F1PF2的平分线上，O为原点，OQ∥PF1，且OQ=b．则C的离心率为（ ）
A．12B．33C．63D．32
【解题思路】设PF1=m，PF2=n，由题意得出△AQP是等腰直角三角形，列方程组得到含a,c的齐次方程求解离心率即可.
【解答过程】如图，设PF1=m，PF2=n，延长OQ交PF2于A，
由题意知OQ∥PF1，O为F1F2的中点，故A为PF2中点，
又PF1⋅PF2=0，即PF1⊥PF2，则∠QAP=π2，
又由∠QPA=π4，则△AQP是等腰直角三角形，
故有m+n=2am2+n2=4c2b+12n=12m，化简得m−n=2bm+n=2a，即m=a+bn=a−b，
代入m2+n2=4c2得a+b2+a−b2=4c2，
即a2+b2=2c2，由b2=a2−c2所以2a2=3c2，
所以e2=23，e=63.
故选：C.
【变式3-1】（2024·江西南昌·三模）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.过F2作直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，若△F1AB的周长为10b，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）
A．52,5B．32,3C．12,2D．[2,+∞)
【解题思路】由双曲线的定义可得△F1AB的周长为4a+2AB=10b，求得AB，再由过焦点的弦长的最小值，结合双曲线的性质，即可求解.
【解答过程】由双曲线的定义可得AF1−AF2=2a,BF1−BF2=2a，
两式相加可得AF1+BF1=4a+AB，
则△F1AB的周长为AF1+BF1+AB=4a+2AB=10b，即AB=5b−2a，
再由AB≥2b2a，可得5ab−2a2≥2b2，解得12≤ba≤2，
由e=ca=1+ba2∈52,5.
故选：A.
【变式3-2】（2024·河北邯郸·模拟预测）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0，O为坐标原点，F1、F2分别为C的左、右焦点，点P在双曲线上，且PF2⊥x轴，M在∠F2PF1外角平分线上，且F2M⋅PM=0.若OF2=F2M，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．3C．2D．223
【解题思路】根据题意，由条件可得点P的坐标，再结合条件可得PM垂直平分NF2，从而可得OM//F1N，再结合△OF2M∼△F1F2N可得△OF2M∼△F2PN，从而得到a,b,c的关系，由双曲线离心率的计算公式即可得到结果.
【解答过程】如图所示，不妨设P在第一象限，延长F1P与F2M交于点N，
因为PF2⊥x轴，F2c,0，将x=c代入双曲线中，可得c2a2−y2b2=1，
解得y=±b2a，且P在第一象限，则Pa,b2a，
因为M在∠F2PF1的外角平分线上，且F2M⋅PM=0，
则F2M⊥PM，∠F2PM=∠NPM，
故PM垂直平分NF2，△PNF2为等腰三角形，
所以PF2=PN=b2a，M为NF2中点，
因为O,M分别为F1F2，NF2的中点，
则OM为△F1F2N的中位线，故OM//F1N，
OM=12F1N=12F1P+PN=12F1P+PF2，
由双曲线的定义可得F1P−PF2=2a，则F1P=2a+PF2=2a+b2a，
所以OM=12F1P+PF2=122a+b2a+b2a=a+b2a，
又因为OM//F1N，则△OF2M∼△F1F2N，
因为OF2=F2M，所以△OF2M，△F1F2N都是等腰三角形，
则∠MOF2=∠NF1F2=∠OMF2=∠F1NF2，
故△OF2M∼△F2PN，则OF2PF2=OMNF2，
又因为NF2=2MF2=2OF2=2c，
则cb2a=a+b2a2c，整理可得2c2=b2+b4a2，
因为b2=c2−a2，则2c2=c2−a2+c2−a22a2，
整理可得c2=3a2，则e2=c2a2=3，所以e=3.
故选：B.
【变式3-3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，直线l:y=12x+a与椭圆C交于A,B两点（B点在A点上方），O为坐标原点，以O为圆心，OB为半径的圆在点B处的切线与x轴交于点D，若∠BDA>∠BAD，则C的离心率的最大值为（ ）
A．13B．12C．22D．32
【解题思路】首先得到A−a,0，由∠BDA>∠BAD得到−kBD≥kBA，即只要−kBD≥12，联立直线与椭圆方程，求出B点坐标，由BD⊥OB，即可表示出BD的斜率，再由−kBD≥12及a、b、c的关系求出离心率的取值范围，即可得解.
【解答过程】椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为−a,0，直线l:y=12x+a过点−a,0，
且直线l:y=12x+a与椭圆C交于A,B两点（B点在A点上方），所以A−a,0，
因为∠BDA>∠BAD，只要−kBD≥kBA，即只要−kBD≥12.
联立x2a2+y2b2=1y=12x+a ，
得b2x2+14a2x+a2=a2b2，即a2+4b2x2+2a3x+a4−4a2b2=0（*）
注意到x1=−a为方程（*）的一个根，故x2=a4−4a2b2a2+4b2−a=−a3+4ab2a2+4b2，
则y2=12x2+a=12−a3+4ab2a2+4b2+a=4ab2a2+4b2，
所以点B−a3+4ab2a2+4b2,4ab2a2+4b2，可得kOB=4ab2−a3+4ab2=4b2−a2+4b2，
由于OB⊥BD，故kBD=−−a2+4b24b2，
令−kBD≥12，得−a2+4b24b2≥12⇒2b2≥a2⇒2a2−c2≥a2⇒e2≤12，
即0b>0)的左､右顶点，M是C上一点，且MA:MB:AB=3:5:7，则C的离心率为（ ）
A．35B．37C．1511D．7286143
【解题思路】由题意，根据余弦定理和同角的商数关系可得tan∠MAB=5311=kMA，tan∠MBA=3313=−kMB，设M(x0,y0)，则kMA⋅kMB=−b2a2，得b2a2=45143，结合离心率的概念即可求解.
【解答过程】在△MAB中，由cs∠MAB=32+72−522×3×7=1114，
得sin∠MAB=1−cs2∠MAB=5314，所以tan∠MAB=5311=kMA，
由cs∠MBA=52+72−322×5×7=1314，得sin∠MBA=1−cs2∠MBA=3314，
所以tan∠MBA=3313=−kMB，
设M(x0,y0)，则kMA⋅kMB=y0x0+a⋅y0x0−a=y02x02−a2，
又x02a2+y02b2=1,∴y02=−b2a2x02−a2,∴kMA⋅kMB=−b2a2，
又kMA⋅kMB=5311×−3313=−45143,∴b2a2=45143，
∴e=1−b2a2=7286143.
故选：D.
【变式4-2】（2024·四川成都·模拟预测）设点F1，F2分别为双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点，点A，B分别在双曲线C的左，右支上.若F1B=6F1A，AF2⊥BF2，且AF2>BF2，则双曲线的离心率为（ ）
A．175B．135C．855D．655
【解题思路】由题意画出图形，设F1B=6F1A=6m，则AB=5m，由双曲线的定义解得 m=a或m=23a，然后分类讨论，并借助余弦定理和c2=a2+b2即可得解.
【解答过程】∵ F1B=6F1A，∴A、B、F1三点共线，
设F1B=6F1A=6m，由双曲线定义得BF2=6m−2a，AF2=2a+m，
所以AB=6m−m=5m，∵AF2⊥BF2，∴ AB2=BF22+AF22，
即5m2=6m−2a2+2a+m2，解得m=2a3或m=a，
由AF2>BF2，则2a+m>6m−2a，得m0,b>0的左，右焦点分别为F1,F2，O为坐标原点，过F1作C的一条渐近线的垂线，垂足为D，且DF2=7OD，则C的离心率为（ ）
A．2B．2C．5D．3
【解题思路】利用点到直线的距离公式求出DF1，利用勾股定理求出OD，由锐角三角函数得出cs∠DOF1=ac，在△DOF2利用余弦定理可得出a、b、c的齐次方程，可解出双曲线C离心率e的值．
【解答过程】如下图所示，双曲线C的左焦点F1−c,0，渐近线l1的方程为bx−ay=0，

由点到直线的距离公式可得DF1=bcb2+−a2=bcc=b，
由勾股定理得OD=OF12−DF12=c2−b2=a，
在Rt△DOF1中，∠ODF1=π2，可知cs∠DOF1=ODOF1=ac，
在△DOF2中，则OD=a，DF2=7a，OF2=c，
可得cs∠DOF2=csπ−∠DOF1=−cs∠DOF1=−ac，
由余弦定理得cs∠DOF2=OD2+OF22−DF222OD⋅OF2=a2+c2−7a22ac=−ac，
整理得c2=4a2，即c=2a，
所以双曲线C的离心率为e=ca=2.
故选：B．
【题型5 利用基本不等式求离心率的范围】
【例5】（23-24高二上·安徽黄山·期末）已知点F1是椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点，过原点作直线l交椭圆于A、B两点，M、N分别是AF1、BF1的中点，若∠MON=90∘，则椭圆离心率的最小值为（ ）
A．14B．34C．12D．22
【解题思路】令椭圆右焦点为F2，根据给定条件，判断四边形AF1BF2为矩形，再利用椭圆定义结合均值不等式求解作答.
【解答过程】令椭圆右焦点为F2，半焦距为c，连接AF2,BF2，因为M、N分别是AF1、BF1的中点，O为F1F2的中点，

则OM//AF2,ON//BF2，而∠MON=90∘，则有∠AF2B=90∘，又点A，B关于原点O对称，
即四边形AF1BF2为平行四边形，且是矩形，于是∠F1AF2=90∘，有|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2，|AF1|+|AF2|=2a，
因此(|AF1|+|AF2|)2=|F1F2|2+2|AF1|⋅|AF2|≤|F1F2|2+2(|AF1|+|AF2|2)2，当且仅当|AF1|=|AF2|=a时取等号，
即有4a2≤4c2+2a2，c2a2≥12，则离心率e有e2≥12，而00,b>0的左、右焦点，P为双曲线右支上任意一点，若PF12PF2的最小值为8a，则该双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A．1,2B．1,3C．1,3D．2,4
【解题思路】设PF2=m，则m≥c−a，根据双曲线的定义PF1=m+2a，再利用基本不等式求出PF12PF2的最小值，从而得到m=2a≥c−a，即可求出离心率的取值范围.
【解答过程】解：设PF2=m，则m≥c−a，由双曲线的定义知PF1−PF2=2a，
∴PF1=m+2a，PF12PF2=m+2a2m=m+4a2m+4a≥2m⋅4a2m+4a=8a，当且仅当m=4a2m，即m=2a时，等号成立，
∴当PF12PF2的最小值为8a时，PF1=4a，PF2=2a，此时m=2a≥c−a，解得e=ca≤3，又e>1，∴e∈1,3．
故选：C．
【变式5-3】（2024·河南·二模）从椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)外一点Px0,y0向椭圆引两条切线，切点分别为A,B，则直线AB称作点P关于椭圆C的极线，其方程为x0xa2+y0yb2=1.现有如图所示的两个椭圆C1,C2，离心率分别为e1,e2，C2内含于C1，椭圆C1上的任意一点M关于C2的极线为l，若原点O到直线l的距离为1，则e12−e22的最大值为（ ）

A．12B．13C．15D．14
【解题思路】根据定义写出极线的方程，由距离公式列出一个方程，再结合点在椭圆C1上找到e1,e2的关系再进行求解.
【解答过程】设Mx0,y0，椭圆C1方程：x2a12+y2b12=1，椭圆C2方程：x2a22+y2b22=1，则有x02a12+y02b12=1①
由极线的定义得直线l的方程为x0xa22+y0yb22=1，
原点O到直线l的距离d=1x02a24+y02b24=1，化简得x02a24+y02b24=1②，
对比①②式得出a12=a24,b12=b24，则有e12=1−b12a12=1−b24a24=1−b22a221+b22a22=e222−e22，
所以e12−e22=e221−e22≤e22+1−e2222=122=14.
当且仅当e22=1−e22，即e2=22时取等，此时e1=32.
故选：D.
【题型6 椭圆与双曲线综合的离心率问题】
【例6】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知椭圆C1：x2m2+y2=1(m>1)与双曲线C2：x2n2−y2=1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（ ）
A．e1e2>2B．e1+e2>2
C．02，
当e1=32，e2=62时，e1e2=3242．
故选：B.
【变式6-1】（2024·山东菏泽·二模）已知e1,e2分别为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)和双曲线x2a2−y2b2=1的离心率，双曲线渐近线的斜率不超过255，则e2e1的最大值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解题思路】根据椭圆与双曲线的几何性质，求出e2e1=a2+b2a2−b2，令k=ba，结合ba≤255，即可求解.
【解答过程】由椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e1=ca=1−b2a2，
双曲线x2a2−y2b2=1的离心率e2=ca=1+b2a2，可得e2e1=a2+b2a2−b2=1+(ba)21−(ba)2，
令k=ba，因为双曲线的渐近线的斜率不超过255，即ba≤255，
则0n>0)与双曲线C2:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)有共同的焦点F1,F2，点P为两曲线的一个公共点，且∠F1PF2=60∘，椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，那么e12+e22最小为（ ）
A．2+34B．2+32C．3+224D．3+222
【解题思路】分别在椭圆和双曲线中，利用焦点三角形中的余弦定理建立等量关系，再构造1e12+3e22=4，利用基本不等式，即可求解.
【解答过程】设两曲线的半焦距为c，由余弦定理得F1F22=PF12+PF22−2PF1⋅PF2cs60∘．
在椭圆中，F1F22=PF1+PF22−2PF1⋅PF21+cs60∘，
得PF1⋅PF2= 2n21+cs60∘=43n2．
在双曲线中，F1F22=PF1−PF22+2PF1⋅PF21−cs60∘，
得PF1⋅PF2=2b21−cs60∘=4b2．从而4n23=4b2，得n2=3b2，
则m2=n2+c2=3b2+c2,a2=c2−b2，即m2+3a2=4c2,m2c2+3a2c2=4，
即1e12+3e22=4．
所以e12+e22=14e12+e221e12+3e22=144+e22e12+3e12e22≥14×(4+23)=2+32，
当且仅当e22=3e12=3+34时等号成立.
故选：B.
【变式6-3】（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF1|＞|PF2|，线段PF1的垂直平分线过F2，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则2e1+e22的最小值为（ ）
A．8B．6C．4D．2
【解题思路】由于线段PF1的垂直平分线过F2，所以有F1F2=PF2，再根据双曲线和椭圆的定义，求出2c的表达式，然后利用基本不等式来求得最小值.
【解答过程】设椭圆对应的参数为a1,b1,c，双曲线对应的参数为a2,b2,c，
由于线段PF1的垂直平分线过F2，所以有F1F2=PF2=2c.
根据双曲线和椭圆的定义有PF1+2c=2a1PF1−2c=2a2，
两式相减得到4c=2a1−a2，即a1−a2=2c，
a2>0,c>0，
所以2e1+e22=2a1c+c2a2=4+2a2c+c2a2 ≥4+22a2c⋅c2a2=6，
当且仅当2a2c=c2a2即c=2a2等号成立，即最小值为6.
故选：B.
【题型7 函数法求离心率或其范围】
【例7】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，点P在椭圆Γ上，且PF1⋅PF2=0．若PF1PF2∈1,3，则椭圆Γ的离心率的取值范围是（ ）
A．23,1B．22,104C．12,58D．12,4−23
【解题思路】设PF1=m,PF2=n，由已知及椭圆概念，可得mn=2b2和m+n=2a，则PF1PF2可由b、c表示，再由PF1PF2∈1,3，可通过换元及函数单调性得到离心率的取值范围.
【解答过程】因为PF1⋅PF2=0，所以PF1⊥PF2．设PF1=m,PF2=n，则m+n=2a，
在Rt△F1PF2中，m2+n2=4c2，所以2mn=(m+n)2−m2+n2=4a2−4c2=4b2，
即mn=2b2．则mn+nm=m2+n2mn=2c2b2，
令mn=t，由PF1PF2∈1,3，得t∈1,3，则t+1t=2c2b2，
由于函数y=t+1t在1,3上单调递增，
则2c2b2=t+1t∈2,103，所以c2b2∈1,53，
即a2b2−1=a2−b2b2=c2b2∈1,53，所以a2b2∈2,83,b2a2∈38,12，
故离心率e=ca=1−b2a2∈22,104．
故选：B．
【变式7-1】（2024·河北邯郸·二模）已知直线l：abx−(4a−1)y+m=0(a＞14)与双曲线x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的两条渐近线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB为直角三角形，则双曲线的离心率e的最大值为（ ）
A．2B．3C．2D．5
【解题思路】当∠AOB=π2时，e=2；当∠OAB=π2或∠OBA=π2时，求出e2=−1a2+4a+1，
再利用二次函数的图象和性质求出函数的最大值即得解.
【解答过程】解：当∠AOB=π2时，双曲线是等轴双曲线时，e=2；
当∠OAB=π2或∠OBA=π2时，双曲线不是等轴双曲线时，直线l与渐近线中的一条垂直，
所以ab4a−1×ba=1，
∴b2=4a−1，
所以e2=c2a2=a2+b2a2=−1a2+4a+1=−(1a−2)2+5≤5，
当a=12时，取得最大值；
∴e≤5．
所以双曲线的离心率e的最大值为5．
故选：D．
【变式7-2】（2024·辽宁·模拟预测）已知Q是椭圆M:x29+y2b2=1(0b>0的左右焦点分别为F1(−c,0),F2(c,0)，B(x0,y0)，由题意可是x0=2c3,y0=m3，利用椭圆E：x2a2+y2b2=1a>b>0在B处的切线方程为x0xa2+y0yb2=1，可得−2cb2ma2=−cm，求解即可.
【解答过程】设椭圆E：x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦点分别为F1(−c,0),F2(c,0)，
点P0,mm>b，且PB⃗=2BF2→，设B(x0,y0)，
则有(x0,y0−m)=2(c−x0,−y0)，解得x0=2c3,y0=m3，
由BC⋅PF1=0，所以kPF1·kBC=−1，又kPF1=m−00−(−c)=mc，所以kBC=−cm，
又椭圆E：x2a2+y2b2=1a>b>0在B处的切线方程为x0xa2+y0yb2=1，
所以2cx3a2+my3b2=1，所以y=−2cb2ma2x+3b2m，所以−2cb2ma2=−cm，
所以b2a2=12，所以a2=2b2=2(a2−c2)，解得e=ca=22,
所以椭圆E的离心率为22.
故选：B.
【变式8-3】（23-24高二上·湖北·期中）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1−c,0，F2c,0，过点F1的直线l与双曲线C的左支交于点A，与双曲线C的一条渐近线在第一象限交于点B，且F1F2=2OB（O为坐标原点）.下列三个结论正确的是（ ）
①B的坐标为a,b；②BF1−BF2>2a；③若AB=3F1A，则双曲线C的离心率1+173；
A．①②B．②③C．①③D．①②③
【解题思路】按题意利用双曲线的定义或进行坐标运算逐个判断即可
【解答过程】对于①：由题意可知直线OB:y=bax，
设Bx0,bax0x0>0，则OB=x02+bax02=cx0a=c，可得x0=a
即Ba,b，故①正确；
对于②：设直线l与双曲线的右支交于点M，
由双曲线的定义可得：MF1−MF2=2a，
在△MBF2中可得MB>MF2−BF2，即MB−MF2>−BF2，
所以MF1−MF2=BF1+MB−MF2>BF1−BF2，即BF1−BF20的左右焦点为F1,F2，右顶点为A，已知点P在椭圆E上，若∠F1PF2=90∘,∠PAF2=45∘，则椭圆E的离心率为（ ）
A．57B．63C．2−2D．3−1
【解题思路】根据题意，利用椭圆的定义，求得△F1PF2的面积为S=b2，结合12×2c⋅y1=b2，求得y1=b2c，进而得到P(a−b2c,b2c)，代入椭圆的方程，得到a2+b2−2ac=0，转化为e2+2e−2=0，即可求解.
【解答过程】由椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0，可得F1(−c,0),F2(c,0),A(a,0)，
不妨设点P(x1,y1)在第一象限，由椭圆的定义知PF1+PF2=2a，
因为∠F1PF2=90∘，可得PF12+PF22=F1F22，即(PF1+PF2)2−2PF1PF2=4c2，
可得4a2−2PF1PF2=4c2，所以PF1PF2=2(a2−c2)=2b2，
所以△F1PF2的面积为S=12PF1PF2=b2，可得12×2c⋅y1=b2，解得y1=b2c，
又因为a−xP=yP，可得xP=a−b2c，即P(a−b2c,b2c)，
将点P代入椭圆的方程，可得(a−b2c)2a2+(b2c)2b2=1，整理得a2+b2−2ac=0，
因为b2=a2−c2，可得c2+2ac−2a2=0，即e2+2e−2=0，
解得e=3−1和e=−3−1（舍去），即椭圆C的离心率为3−1.
故选：D.
2．（2024·四川雅安·三模）设F1,F2分别为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点，过点F2的直线交双曲线右支于点M，交y轴于点N，且F2为线段MN的中点，并满足F1M⊥F1N，则双曲线C的离心率为（ ）
A．3+12B．3+1C．2D．5+1
【解题思路】设M(x,y)，根据中点关系得M(2c,y)，从而根据向量垂直的坐标形式列式求得y2=3c2，根据点M在双曲线上列方程求解即可a、c的关系式，利用离心率的定义转化为e的方程求解即可.
【解答过程】由题意，F1−c,0,F2c,0，设M(x,y)，则N(0,−y)，
因为F2为线段MN的中点，所以x=2c，即M(2c,y)，则F1M=(3c,y),F1N=(c,−y)，
因为F1M⊥F1N，所以F1M⋅F1N=3c2−y2=0，即y2=3c2，
又M在C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)双曲线上，所以4c2a2−3c2b2=1，
结合b2=c2−a2整理得4c4−8c2a2+a4=0，所以4e4−8e2+1=0，
解得e2=1+32或e2=1−32（舍去），由e>1，解得e=3+12.
故选：A.
3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）设F1，F2分别是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，且AF1⋅AF2=0，AF2=2F2B，则椭圆E的离心率为（ ）.
A．32B．53C．34D．35
【解题思路】由AF2=2F2B，设出AF2=2F2B=2mm>0，根据椭圆的定义可知BF1=2a−m，AF1=2a−2m，再由AF1⋅AF2=0，可知△AF1F2和△AF1B都是直角三角形，最后利用勾股定理列方程求解即可.
【解答过程】因为AF2=2F2B，不妨令AF2=2F2B=2mm>0，

由过F2的直线交椭圆于A，B两点，由椭圆的定义可得，AF1+AF2=2a，BF1+BF2=2a，
则BF1=2a−m，AF1=2a−2m，
又因为AF1⋅AF2=0，所以AF1⊥AF2，则△F1AF2和△F1AB都是直角三角形，
由勾股定理可得，AF12+AB2=BF12，
即2a−2m2+9m2=2a−m2，解得m=a3，
所以AF1=4a3，AF2=2a3，
又F1F2=2c，AF12+AF22=F1F22，
所以16a29+4a29=4c2，解得c2a2=59，
所以椭圆E的离心率为ca=53.
故选：B.
4．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，F1(−c,0)、F2(c,0)分别为左、右焦点，若双曲线右支上有一点P使得线段PF1与y轴交于点E，PO=PF2，线段EF2的中点H满足F1H⋅PF2=0，则双曲线的离心率为（ ）
A．32+102B．32−102C．7+35D．7−35
【解题思路】由PO=PF2，设P(c2,y0)，表示出PF1的方程求得E(0,2y03)，则H(c2,y03)，由F1H⋅PF2=0表示出P的坐标，代入双曲线方程，整理计算即可求解.
【解答过程】由PO=PF2，得P的横坐标为c2，设P(c2,y0)，
则直线PF1的方程为y=2y03c(x+c)，令x=0，得y=2y03，即E(0,2y03)，
所以线段EF2的中点H(c2,y03)，则F1H=(3c2,y03),PF2=(c2,−y0)，
由F1H⋅PF2=0，得(3c2,y03)⋅(c2,−y0)=3c24−y023=0，则y0=±3c2，
即P(c2,±3c2)，代入双曲线方程得c24a2−9c24b2=1，
即c24a2−9c24(c2−a2)=1，整理得e4−14e2+4=0，
由e>1，解得e=32+102.
故选：A.
5．（2024·广东·一模）已知点F，A分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点、右顶点，B0,b满足FB⋅AB=0，则椭圆的离心率等于（ ）
A．3+12B．5−12C．3−12D．5+12
【解题思路】首先根据FB⋅AB=0推断出FB⊥AB，进而根据勾股定理可知FB|2+AB|2=(a+c)2，把进而整理关于a和c的方程求得ca即离心率e的值.
【解答过程】

∵FB⋅AB=0，∴FB⊥AB，
∴FB|2+AB|2=(a+c)2，即b2+c2+a2+b2=(a+c)2，
整理得2ac−2b2=0，即c2+ac−a2=0，
等号两边同时除以a2得c2a2+ca−1=0，即e2+e−1=0，求得e=−1±52，
∵0b>0上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P,Q两点，若△PQM是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．2−3,1B．5−12,1
C．6−22,1D．6−22,5−12
【解题思路】根据MF⊥x轴可设Mc,y，代入椭圆方程可求得圆M的半径，根据△PMQ为锐角三角形，可构造关于a,c的齐次不等式，进而配凑出离心率e，解不等式即可求得结果.
【解答过程】∵圆M与x轴相切于焦点F，∴MF⊥x轴，可设Mc,y，
∵M在椭圆上，∴c2a2+y2b2=1，解得：y=±b2a，∴圆M的半径为b2a；
作MN⊥y轴，垂足为N，
∵MP=MQ，∴∠PMN=∠NMQ，
∵△PMQ为锐角三角形，∴∠NMQc>22×b2a，
∴ac0)的左，右焦点，点P为椭圆上一点，O为坐标原点，△POF2为正三角形，则该椭圆的离心率为 3−1 .
【解题思路】由题可知等边三角形的边长，进而可知点P的坐标，易知△F1PF2为直角三角形，勾股定理及椭圆定义列方程求离心率.
【解答过程】依题意|PO|=|PF2|=|OF2|=c，
不妨设点P在第一象限，则点Pc2,3c2，
易知|PF1|=3c22+3c22=3c，
由椭圆的定义知：|PF1|+|PF2|=2a，
所以3c+c=2a，
所以e=ca=23+1=3−1.
故答案为：3−1.
13．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知双曲线x2a2−y2b2=1a,b>0，F1，F2为双曲线的左右焦点，过F1做斜率为正的直线交双曲线左支于Ax1,y1，Bx2,y2 y1b>0上关于原点对称的两点，点P在第一象限，F1、F2是椭圆C的左、右焦点，OP=OF2，若QF1PF1≥33，则椭圆C的离心率的取值范围为 22,3−1 .
【解题思路】结合题目条件可得四边形PF1QF2是矩形，设∠PF1F2=α，由QF1PF1≥33可得30°≤α0的直线交y轴于点M，交C的另一点为P．
(1)若k=13,MA=2PM，求C的离心率；
(2)点Q在C上，若PA⊥QA，且tan∠PQA=8，求k的取值范围．
【解题思路】（1）由MA=2PM可得点P横坐标，代入椭圆方程可求得点P纵坐标，由两点斜率公式可得ba的值，结合椭圆斜率公式求解即可.
（2）设出直线PA方程，联立直线方程与椭圆方程可求得点P横坐标，由两点间距离公式可得|PA|，同理可得|AQ|，由tan∠PQA=PAQA可得8k3−1k2−8k=b2a2，结合椭圆定义可知0