2025年高考数学复习(新高考专用)重难点32圆锥曲线中的参数范围及最值问题【七大题型】特训(学生版+解析)

这是一份2025年高考数学复习(新高考专用)重难点32圆锥曲线中的参数范围及最值问题【七大题型】特训(学生版+解析)，共67页。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc32183" 【题型1 弦长最值及范围问题】 PAGEREF _Tc32183 \h 2
\l "_Tc16603" 【题型2 离心率的取值范围问题】 PAGEREF _Tc16603 \h 2
\l "_Tc16498" 【题型3 三角形（四边形）面积的最值及范围问题】 PAGEREF _Tc16498 \h 3
\l "_Tc2261" 【题型4 长度（距离）的最值及范围问题】 PAGEREF _Tc2261 \h 5
\l "_Tc13223" 【题型5 斜率的最值及范围问题】 PAGEREF _Tc13223 \h 5
\l "_Tc23286" 【题型6 向量数量积的最值及范围问题】 PAGEREF _Tc23286 \h 7
\l "_Tc4779" 【题型7 参数的取值范围问题】 PAGEREF _Tc4779 \h 8
1、圆锥曲线中的参数范围及最值问题
圆锥曲线中的参数范围及最值问题是高考的重点、热点内容，从近几年的高考情况来看，此类问题考查频率较高，此类问题一般有长度、距离、面积、数量积、离心率等几何量的范围或最值问题，各类题型都有考查，在解答题中考查时难度较高；复习时要加强此类问题的训练，灵活求解.
【知识点1 圆锥曲线中的最值问题】
1．处理圆锥曲线最值问题的求解方法
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：
(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决.
(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最
值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等.
2．圆锥曲线中的最值问题的解题思路
(1)建立函数模型，求解函数的值域或最值(切莫忘记定义域的考查)；
(2)构建不等关系.
【注意】若求解长度、距离、面积、数量积、离心率等具有具体几何意思的量的范围或最值问题时，一般可采用函数模型；若求解参量(诸如k、m等)、离心率等范围或最值问题时，一般可采用构造不等关系的方法解决.当然以上的区分并不是绝对的，当一个思路不能解决或不好解决时，应及时切换成另一思路.
【知识点2 圆锥曲线中的参数范围问题】
1．圆锥曲线中的参数范围问题的求解策略：
结合题目条件，构建所求几何量的含参函数，并且进一步找到自变量的范围，进而求出其值域，即所求参数的范围.
【题型1 弦长最值及范围问题】
【例1】（2024·湖北武汉·模拟预测）设抛物线C:y=4x2的焦点为F，过焦点F的直线与抛物线C相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（ ）
A．1B．12C．14D．18
【变式1-1】（2024·云南昆明·模拟预测）已知直线l是圆C：x2+y2=1的切线，且l与椭圆E：x23+y2=1交于A，B两点，则|AB|的最大值为（ ）
A．2B．3C．2D．1
【变式1-2】（2024·河南·模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P3,3为椭圆C上一点，且△PF1F2的面积为26．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若倾斜角为π4的直线l与C相交于两个不同的点A,B，求AB的最大值．
【变式1-3】（2024·安徽·一模）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的离心率为2.且经过点2,3.
(1)求C的方程；
(2)若直线l与C交于A，B两点，且OA⋅OB=0（点O为坐标原点），求AB的取值范围.
【题型2 离心率的取值范围问题】
【例2】（2024·河南濮阳·模拟预测）点M是椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P,Q两点，若△PQM是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．2−3,1B．5−12,1
C．6−22,1D．6−22,5−12
【变式2-1】（2024·广东东莞·模拟预测）若双曲线C：x2a2−y24=1a>0的右支上存在Ax1,y1，Bx2,y2x1≠x2到点P5a,0的距离相等，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）
A．1,5B．5,+∞
C．1,3D．3,+∞
【变式2-2】（2024·陕西·模拟预测）已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1−c,0,F2c,0，抛物线C2：x2=2py(p>0)，椭圆C1与抛物线C2相交于不同的两点A,B，且四边形ABF1F2的外接圆直径为5c2，若b>c，则椭圆C1的离心率的取值范围是（ ）
A．55,22B．22,255C．55,255D．255,1
【变式2-3】（2024·四川德阳·模拟预测）已知双曲线l ：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的焦距为2c，右顶点为A，过A作x轴的垂线与E 的渐近线交于M、N 两点，若 SMON≥34c2，则 E 的离心率的取值范围是（ ）
A．2332B．2333C．23D．[ 3 ，2]
【题型3 三角形（四边形）面积的最值及范围问题】
【例3】（2024·全国·模拟预测）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)过点E(134,ca)（其中c=a2+b2），且双曲线C上的点到其两条渐近线的距离之积为14425.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)记O为坐标原点，双曲线C的左、右顶点分别为A,B,P为双曲线C上一动点（异于顶点），M为线段AP的中点，Q为直线x=95上一点，且AP//OQ，过点Q作QN⊥OM于点N，求△ABN面积的最大值.
【变式3-1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆C：x2a2+y2=1a>1的离心率为255，椭圆C的动弦AB过椭圆C的右焦点F，当AB垂直x轴时，椭圆C在A，B处的两条切线的交点为M．
(1)求点M的坐标；
(2)若直线AB的斜率为1m，过点M作x轴的垂线l，点N为l上一点，且点N的纵坐标为−m2，直线NF与椭圆C交于P，Q两点，求四边形APBQ面积的最小值．
【变式3-2】（2024·陕西宝鸡·三模）已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）和圆C：x2+y2=1，C经过E的右焦点F，点A，B为E的右顶点和上顶点，原点O到直线AB的距离为2217.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设D，A是椭圆E的左、右顶点，过F的直线l交E于M，N两点（其中M点在x轴上方），求△MAF与△DNF的面积之比的取值范围.
【变式3-3】（2024·甘肃白银·模拟预测）已知抛物线C:x2=2py(p>0),A为第一象限内C上任意一点，以A为切点作C的切线l与x轴交于点B，与y轴交于点M，过点B作垂直于l的直线l′交C于D,E两点，其中点D在第一象限，设l′与y轴交于点K.
(1)若点A的坐标为2,1，求切线l的方程；
(2)若KM=λKA，求λ的值；
(3)当p=2时，连接OD,OE,AK,AD，记△OKE,△OKD,△AKD的面积分别为S1,S2,S3，求S3S2S1S2−1的最小值.
【题型4 长度（距离）的最值及范围问题】
【例4】（2024·河南信阳·三模）已知椭圆y29+x2=1，P为椭圆上任意一点，过点P分别作与直线l1:y=3x和l2:y=−3x平行的直线，分别交l2，l1交于M，N两点，则MN的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式4-1】（2024·黑龙江·三模）已知点P是抛物线C:y2=4x准线上的一点，过点P作C的两条切线，切点分别为A,B，则原点O到直线AB距离的最大值为（ ）
A．14B．13C．12D．1
【变式4-2】（2024·四川自贡·三模）已知椭圆E：x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1、F2，上、下顶点分别为A1、A2，四边形A1F1A2F2的面积为23且∠F1A1F2=π3.
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点A1,3的直线与椭圆E相交于两点P、Q（P在Q上方），线段PQ上存在点M使得|AP||AQ|=|MP||MQ|，求|MF1|+|MF2|的最小值.
【变式4-3】（2024·陕西咸阳·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，圆F1:(x+2)2+y2=4，F22,0，P是圆F1上的一个动点，线段PF2的垂直平分线l与直线PF1交于点M．记点M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)若动直线l与曲线C相交于Q、N两点，设Qx1,y1，Nx2,y2，且x1>0，x2>0，A−1,0，记直线AQ、AN的斜率分别为k1、k2，若k1k2=−2，求点A到直线l的距离d的取值范围．
【题型5 斜率的最值及范围问题】
【例5】（2024·内蒙古·三模）已知O为坐标原点，F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，M是C上一点，且MF=MO=32.
(1)求C的方程；
(2)A,B是C上两点（A,B异于点O），以AB为直径的圆过点O,Q为AB的中点，求直线OQ斜率的最大值.
【变式5-1】（2024·湖北·模拟预测）已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），直线l1与E交于M−4,0，N−2,2两点，点P在线段MN上（不含端点），过点P的另一条直线l2与E交于A，B两点.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若MP⃗=PN⃗，AP=(7−43)PB，点A在第二象限，求直线l2的斜率；
(3)若直线MA，MB的斜率之和为2，求直线l2的斜率的取值范围.
【变式5-2】（2024·全国·模拟预测）设抛物线C:x2=2py(p>0)，直线x−y+1=0与C交于A，B两点，且AB=8．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知点P为x2+y+12=1上一点，过点P作抛物线C的两条切线PD，PE，设切点分别为D，E，试求直线PD，PE斜率之积的最小值．
【变式5-3】（2024·安徽·模拟预测）已知双曲线E:x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为2，P是E的右支上一点，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为3．
(1)求E的方程；
(2)若E的左、右顶点分别为A，B，过点F2的直线l与E的右支交于M，N两点，直线AM和BN的斜率分别即为kAM和kBN，求kAM2+23kBN的最小值．
【题型6 向量数量积的最值及范围问题】
【例6】（23-24高二上·北京·期中）已知椭圆M:x24+y2=1的上、下顶点为A,B，过点P0,2的直线l与椭圆M相交于两个不同的点C,D（C在线段PD之间），则OC⋅OD的取值范围为（ ）
A．−1,16B．−1,16C．−1,134D．−1,134
【变式6-1】（2024·湖北黄石·三模）已知Mx0,y0为双曲线x2−y2=4上的动点，x0>0，y0≥0，直线l1：x0x−y0y=4与双曲线的两条渐近线交于P，Q两点（点P在第一象限），R与Q在同一条渐近线上，则RP⋅RQ的最小值为（ ）
A．−8B．−4C．0D．−2
【变式6-2】（2024·福建厦门·二模）已知A−2,0，B2,0，P为平面上的一个动点.设直线AP,BP的斜率分别为k1，k2，且满足k1⋅k2=−34.记P的轨迹为曲线Γ.
(1)求Γ的轨迹方程；
(2)直线PA，PB分别交动直线x=t于点C,D，过点C作PB的垂线交x轴于点H.HC⋅HD是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.
【变式6-3】（2023·上海奉贤·一模）已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为23，离心率为32，椭圆的左右焦点分别为F1、F2，直角坐标原点记为O．设点P0,t，过点P作倾斜角为锐角的直线l与椭圆交于不同的两点B、C．
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆上有一动点T，求PT⋅TF1−TF2的取值范围；
(3)设线段BC的中点为M，当t≥2时，判别椭圆上是否存在点Q，使得非零向量OM与向量PQ平行，请说明理由．
【题型7 参数的取值范围问题】
【例7】（23-24高二上·北京平谷·期末）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右顶点距离为26，离心率为22.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设过点(0,1)，斜率存在且不为0的直线l与椭圆C交于A，B两点，求弦AB垂直平分线的纵截距的取值范围.
【变式7-1】（2024·浙江温州·一模）已知抛物线x2=4y的焦点为F，抛物线上的点Ax0,y0处的切线为l.
(1)求l的方程（用x0，y0表示）；
(2)若直线l与y轴交于点B，直线AF与抛物线交于点C，若∠ACB为钝角，求y0的取值范围.
【变式7-2】（2024·江西宜春·模拟预测）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为6，过点P(0,1)的直线l与C交于A，B两点，且当l与x轴平行时，|AB|=23．
(1)求C的方程；
(2)记C的右顶点为T，若点A，B均在C的左支上，直线AT，BT分别与y轴交于点M，N，且PM=λPO，PN=μPO，求λ+μ的取值范围．
【变式7-3】（2024·安徽淮北·二模）如图，已知椭圆Γ:x2a2+y2b2=1,a>b>0的左右焦点为F1,F2，短轴长为6,A为Γ上一点，G1,12为△AF1F2的重心.

(1)求椭圆Γ的方程；
(2)椭圆Γ上不同三点B,C,D，满足CF2⊥OF2，且BF2,CF2,DF2成等差数列，线段BD中垂线交y轴于E点，求点E纵坐标的取值范围；
(3)直线l:y=kx−2与Γ交于M,N点，交y轴于P点，若PM=λPN，求实数λ的取值范围.
一、单选题
1．（2024·山东泰安·模拟预测）已知点M在椭圆C:x2+y29=1上，F1，F2是该椭圆的两个焦点，则MF12+MF22的最小值为（ ）
A．9B．12C．16D．18
2．（2024·四川成都·三模）已知点P,Q分别是抛物线C:y2=4x和圆E:x2+y2−10x+21=0上的动点，若抛物线C的焦点为F，则2PQ+QF的最小值为（ ）
A．6B．2+25C．43D．4+23
3．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，点P在椭圆Γ上，且PF1⋅PF2=0．若PF1PF2∈1,3，则椭圆Γ的离心率的取值范围是（ ）
A．23,1B．22,104C．12,58D．12,4−23
4．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知抛物线y2=8x上一点P到准线的距离为d1，到直线l:4x−3y+12=0的距离为d2，则d1+d2的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．（2024·广东梅州·二模）已知点F为双曲线C：x23−y2=1的右焦点，点N在x轴上（非双曲线顶点），若对于在双曲线C上（除顶点外）任一点P，∠FPN恒是锐角，则点N的横坐标的取值范围为（ ）
A．2,143B．2,173
C．3,2∪2,143D．3,173
6．（2024·全国·模拟预测）已知O为坐标原点，直线l:y=kx+mk>0与双曲线x2−y29=1相交且只有一个交点，与椭圆x225+y216=1交于M，N两点，则△OMN面积的最大值为（ ）
A．10B．12C．14D．16
7．（2024·全国·模拟预测）已知点A−2,2为抛物线C:x2=2py上一点，P为C上不同于点A的一个动点，过P作PA的垂线与C交于另一点B，则点B的横坐标的取值范围是（ ）
A．−∞,−6∪2,+∞B．−∞,−2∪6,+∞
C．−∞,−6∪2,+∞D．−∞,−2∪6,+∞
8．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0，b>0的左、右焦点分别为F1，F2，F1F2=4，且C的一条渐近线与直线l:3x−y+1=0平行．A，B，D，E分别是C在第一、二、三、四象限内的四点，且四边形ABDE是平行四边形．若A，E，F2三点共线，则△ADE面积的最小值为（ ）
A．12B．24C．16D．8
二、多选题
9．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线C：x23−y2=1的右焦点为F，动点M，N在直线l：x=32上，且FM⊥FN，线段FM，FN分别交C于P，Q两点，过P作l的垂线，垂足为R.设△FMN的面积为S1，△FPQ的面积为S2，则（ ）
A．S1的最小值为12B．PRPF=32
C．MP⋅NFMN⋅PF为定值D．S1S2的最小值为26
10．（2024·湖北·模拟预测）已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A、B两点（点A在第一象限），1|FA|与1|FB|的等差中项为12．抛物线在点A、B处的切线交于点M，过点M且垂直于y轴的直线与y轴交于点N，O为坐标原点，P为抛物线上一点，则下列说法正确的是（ ）
A．p=1B．tan∠AOB的最大值为−43
C．|PN||PF|的最大值为2D．MA2+MB2的最小值为16
11．（2024·河南南阳·模拟预测）已知椭圆W:x24+y2=1，点F1,F2分别为W的左､右焦点，点C,D分别为W的左､右顶点，过原点且斜率不为0的直线l与W交于A,B两点，直线AF2与W交于另一点M，则（ ）
A．W的离心率为32
B．AF2的最小值为2−3
C．W上存在一点P，使∠CPD=2π3
D．△ABM面积的最大值为2
三、填空题
12．（2024·辽宁锦州·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线M:x2m−y2=1经过点A2,1，点B与点A关于原点对称，C为M上一动点，且C异于A，B两点．若△BCT的重心为A，点D8,4，则DT的最小值 .
13．（2024·安徽·一模）椭圆C：x24+y2=1的左右焦点分别为F1、F2，点M为其上的动点.当∠F1MF2为钝角时，点M的横坐标的取值范围是 .
14．（2024·全国·模拟预测）已知直线tx−y−t=0(0b>0)的左焦点为F，C上任意一点到F的距离的最大值和最小值之积为1，离心率为63．
(1)求C的方程；
(2)设过点R1,13的直线l与C交于M，N两点，若动点P满足PM=λMR，PN=−λNR，动点Q在椭圆C上，求PQ的最小值．
16．（2024·山东泰安·模拟预测）已知直线l：kx−y−k=0分别与x轴，直线x=−1交于点A，B，点P是线段AB的垂直平分线上的一点（P不在x轴负半轴上）且tan∠ABP=k.
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)设l与C交于E，F两点，点M在C上且满足AE⋅AM=0，延长MA交C于点N，求EM→⋅NF⃗的最小值.
17．（2024·山东济南·二模）已知点B4,3是双曲线T:x2a2−y2=1上一点，T在点B处的切线与x轴交于点A.
(1)求双曲线T的方程及点A的坐标；
(2)过A且斜率非负的直线与T的左､右支分别交于N,M.过N做NP垂直于x轴交T于P（当N位于左顶点时认为N与P重合）.C为圆E:(x−1)2+(y+2)2=1上任意一点，求四边形MBPC的面积S的最小值.
18．（2024·新疆·三模）已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦点分别为F1，F2，离心率为12，过抛物线C2：y2=2ax焦点的直线交抛物线于M，N两点，MN的最小值为4.连接MO，NO并延长分别交C1于A，B两点，且点A与点M，点B与点N均不在同一象限，△OMN与△OAB的面积分别记为S△OMN，S△OAB.
(1)求C1和C2的方程；
(2)记λ=S△OMNS△OAB，求λ的最小值.
19．（2024·江西·一模）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的一条渐近线的倾斜角为π3，C的右焦点F到该渐近线的距离为23.
(1)求C的方程；
(2)若过F的直线与C的左、右支分别交于点A，B，与圆O:x2+y2=a2交于与A，B不重合的M，N两点.
（ⅰ）求直线AB斜率的取值范围；
（ⅱ）求AB⋅MN的取值范围.
重难点32 圆锥曲线中的参数范围及最值问题【七大题型】
【新高考专用】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc32183" 【题型1 弦长最值及范围问题】 PAGEREF _Tc32183 \h 2
\l "_Tc16603" 【题型2 离心率的取值范围问题】 PAGEREF _Tc16603 \h 5
\l "_Tc16498" 【题型3 三角形（四边形）面积的最值及范围问题】 PAGEREF _Tc16498 \h 8
\l "_Tc2261" 【题型4 长度（距离）的最值及范围问题】 PAGEREF _Tc2261 \h 15
\l "_Tc13223" 【题型5 斜率的最值及范围问题】 PAGEREF _Tc13223 \h 20
\l "_Tc23286" 【题型6 向量数量积的最值及范围问题】 PAGEREF _Tc23286 \h 25
\l "_Tc4779" 【题型7 参数的取值范围问题】 PAGEREF _Tc4779 \h 30
1、圆锥曲线中的参数范围及最值问题
圆锥曲线中的参数范围及最值问题是高考的重点、热点内容，从近几年的高考情况来看，此类问题考查频率较高，此类问题一般有长度、距离、面积、数量积、离心率等几何量的范围或最值问题，各类题型都有考查，在解答题中考查时难度较高；复习时要加强此类问题的训练，灵活求解.
【知识点1 圆锥曲线中的最值问题】
1．处理圆锥曲线最值问题的求解方法
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：
(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决.
(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最
值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等.
2．圆锥曲线中的最值问题的解题思路
(1)建立函数模型，求解函数的值域或最值(切莫忘记定义域的考查)；
(2)构建不等关系.
【注意】若求解长度、距离、面积、数量积、离心率等具有具体几何意思的量的范围或最值问题时，一般可采用函数模型；若求解参量(诸如k、m等)、离心率等范围或最值问题时，一般可采用构造不等关系的方法解决.当然以上的区分并不是绝对的，当一个思路不能解决或不好解决时，应及时切换成另一思路.
【知识点2 圆锥曲线中的参数范围问题】
1．圆锥曲线中的参数范围问题的求解策略：
结合题目条件，构建所求几何量的含参函数，并且进一步找到自变量的范围，进而求出其值域，即所求参数的范围.
【题型1 弦长最值及范围问题】
【例1】（2024·湖北武汉·模拟预测）设抛物线C:y=4x2的焦点为F，过焦点F的直线与抛物线C相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（ ）
A．1B．12C．14D．18
【解题思路】联立方程得韦达定理，即可根据焦点弦公式求解.
【解答过程】由C:y=4x2得x2=14y，F0,116，
由题意可知直线AB的斜率存在，故设其方程为y=kx+116，
联立y=kx+116与x2=14y可得x2−14kx−164=0，
设Ax1,y1,Bx2,y2，则x1+x2=14k，故y1+y2=kx1+x2+18=14k2+18，
因此|AB|=y1+y2+18=14k2+14≥14，当且仅当k=0时取等号，
故选：C.
【变式1-1】（2024·云南昆明·模拟预测）已知直线l是圆C：x2+y2=1的切线，且l与椭圆E：x23+y2=1交于A，B两点，则|AB|的最大值为（ ）
A．2B．3C．2D．1
【解题思路】由直线与圆相切分析得圆心到直线距离为1，再分类讨论直线斜率是否存在的情况，存在时假设直线方程，进一步联立椭圆方程结合韦达定理得出弦长表达式，最后化简用基本不等式得出结果.
【解答过程】∵直线l是圆C：x2+y2=1的切线，
∴圆心O到直线l的距离为1，
设A(x1,y1)，Bx2,y2，
①当AB⊥x轴时， |AB|=263.
②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m.
由已知 |m|1+k2=1 得 m2=k2+1 ．
把y=kx+m代入椭圆方程，整理得(3k2+1)x2+6kmx+3m2−3=0，
.x1+x2=−6km3k2+1,x1x2=3(m2−1)3k2+1
∴|AB|2=(1+k2)(x2−x1)2
=(1+k2)36k2m2(3k2+1)2−12(m2−1)3k2+1
=12(k2+1)(3k2+1−m2)(3k2+1)2=24k2(k2+1)(3k2+1)2=83+8k2−139k4+6k2+1
令t=k2−13(t∈R)
原式=83+8t3t+22=83+89t+4t+12
≤83+829t×4t+12=3
当且仅当9t=4t 即t=±23 时等号成立.
综上所述ABmax=3.
故选：B.
【变式1-2】（2024·河南·模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P3,3为椭圆C上一点，且△PF1F2的面积为26．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若倾斜角为π4的直线l与C相交于两个不同的点A,B，求AB的最大值．
【解题思路】（1）借助椭圆上的点的坐标，△PF1F2的面积与a2=b2+c2计算即可得；
（2）设出直线方程，联立曲线，借助韦达定理与弦长公式计算即可得.
【解答过程】（1）由题意可得3a2+3b2=112×2c×3=26a2=b2+c2，解得a2=12b2=4c2=8，
故椭圆C的标准方程为x212+y24=1；
（2）k=tanπ4=1，故可设lAB:y=x+t，Ax1,y1，Bx2,y2，
联立x212+y24=1y=x+t，消去y可得4x2+6tx+3t2−12=0，
Δ=36t2−163t2−12=1216−t2>0，即−40的离心率为2.且经过点2,3.
(1)求C的方程；
(2)若直线l与C交于A，B两点，且OA⋅OB=0（点O为坐标原点），求AB的取值范围.
【解题思路】（1）根据离心率以及经过的点即可联立求解曲线方程；
（2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，进而根据向量的数量积的坐标运算化简得3k2+3=2m2，根据弦长公式，结合不等式即可求解，
【解答过程】（1）由题意可得4a2−9b2=1a2+b2a2=2，解得a2=1,b2=3，
故双曲线方程为C:x2−y23=1.
（2）当直线l斜率不存在时，可设AxA,yA,BxA,−yA，
则OA=xA,yA,OB=xA,−yA，
将其代入双曲线方程xA2−yA23=1，
又OA⋅OB=xA2−yA2=0，解得yA=±62，
此时AB=2yA=6，
当直线l斜率存在时，设其方程为y=kx+m，设Ax1,y1,Bx2,y2，
联立y=kx+mx2−y23=1⇒3−k2x2−2kmx−m2−3=0，
故3−k2≠0x1+x2=2km3−k2x1x2=−m2−33−k2Δ=4k2m2+12m2+13−k2=12m2−k2+3>0，
则OA⋅OB=x1x2+y1y2=x1x2+kx1+mkx2+m
=1+k2x1x2+kmx1+x2+m2=1+k2−m2−33−k2+km2km3−k2+m2=0，
化简得3k2+3=2m2，此时Δ=6k2+9>0，
所以AB=1+k2x1−x2=1+k2⋅x1+x22−4x1x2
=1+k22km3−k22−4−m2−33−k2 =1+k212m2−k2+33−k22
=6k4+10k2+9k4−6k2+9=61+16k2k4−6k2+9，
当k=0时，此时AB=6，
当k≠0时，此时AB=6⋅1+16k2+9k2−6，
∵3−k2≠0,∴k2+9k2>2k2⋅9k2=6，故16k2+9k2−6>0，
因此AB=6⋅1+16k2+9k2−6>6，
综上可得AB∈6,+∞.
【题型2 离心率的取值范围问题】
【例2】（2024·河南濮阳·模拟预测）点M是椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P,Q两点，若△PQM是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．2−3,1B．5−12,1
C．6−22,1D．6−22,5−12
【解题思路】根据MF⊥x轴可设Mc,y，代入椭圆方程可求得圆M的半径，根据△PMQ为锐角三角形，可构造关于a,c的齐次不等式，进而配凑出离心率e，解不等式即可求得结果.
【解答过程】∵圆M与x轴相切于焦点F，∴MF⊥x轴，可设Mc,y，
∵M在椭圆上，∴c2a2+y2b2=1，解得：y=±b2a，∴圆M的半径为b2a；
作MN⊥y轴，垂足为N，
∵MP=MQ，∴∠PMN=∠NMQ，
∵△PMQ为锐角三角形，∴∠NMQc>22×b2a，
∴ac0)的左、右焦点分别为F1−c,0,F2c,0，抛物线C2：x2=2py(p>0)，椭圆C1与抛物线C2相交于不同的两点A,B，且四边形ABF1F2的外接圆直径为5c2，若b>c，则椭圆C1的离心率的取值范围是（ ）
A．55,22B．22,255C．55,255D．255,1
【解题思路】先利用椭圆与抛物线的对称性分析得四边形ABF1F2的外接圆就是△BF1F2的外接圆，再利用正弦定理求得sin∠F1BF2，再利用椭圆中焦点三角形的性质得到∠F1MF2=θ的取值范围，从而得到关于a,b,c的齐次不等式，解之即可得解.
【解答过程】如图，由椭圆与抛物线的对称性，知点A,B关于y轴对称，
四边形ABF1F2是等腰梯形，易知四边形ABF1F2的外接圆就是△BF1F2的外接圆，
设四边形ABF1F2的外接圆半径为R.
在△BF1F2中，由正弦定理，知2csin∠F1BF2=2R=5c2,∴sin∠F1BF2=45，
记椭圆C1的上顶点为M,∠F1MF2=θ，坐标原点为O，
易知∠F1BF2c，则tanθ2=tan∠F1MO=cb