2025年高考数学复习核心考点(新高考专用)专题2.7函数与方程【八大题型】特训(学生版+解析)

这是一份2025年高考数学复习核心考点(新高考专用)专题2.7函数与方程【八大题型】特训(学生版+解析)，共52页。

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\l "_Tc8326" 【题型1 函数零点所在区间的判断】 PAGEREF _Tc8326 \h 2
\l "_Tc24272" 【题型2 求函数的零点或零点个数】 PAGEREF _Tc24272 \h 3
\l "_Tc4684" 【题型3 根据函数零点个数求参数】 PAGEREF _Tc4684 \h 3
\l "_Tc21371" 【题型4 根据函数零点的范围求参数】 PAGEREF _Tc21371 \h 4
\l "_Tc18679" 【题型5 由函数零点分布求值（范围）】 PAGEREF _Tc18679 \h 4
\l "_Tc6552" 【题型6 复合函数的零点个数判定】 PAGEREF _Tc6552 \h 4
\l "_Tc16360" 【题型7 根据复合函数零点求参数】 PAGEREF _Tc16360 \h 5
\l "_Tc16909" 【题型8 函数零点的大小与范围问题】 PAGEREF _Tc16909 \h 5
1、函数与方程
【知识点1 确定函数零点所在区间的方法】
1．确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)0,−1,x=0,xln−x−2,x0，若函数gx=fx−mx有4个零点，则m的取值范围为（ ）
A．mm≥16e2B．mm≥eln22
C．meln220，当x∈(0,2)时，g′(x)0，
所以g(x)在(−∞,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增．
又g(2)=e24，且当x无限趋近于−∞时，g(x)>0且趋近于0，
当x从0的左侧无限趋近于0时，g(x)趋近于+∞，当x从0的右侧无限趋近于0时，g(x)趋近于+∞，
当x无限趋近于+∞时，ex的增速远大于x2的增速，所以g(x)趋近于+∞．
故g(x)的大致图象如图所示：
又g(−1)=1ee24时，直线y=a与曲线y=g(x)有3个不同的交点，且这3个交点的横坐标均不为−1，所以a的取值范围为e24,+∞．
（ii）由（i）知ex1=ax12，ex2=ax22，所以x1=lna+2lnx1，x2=lna+2lnx2，
所以x1−x2=2lnx1−2lnx2=2lnx1x2，则x1−x2lnx1x2=2，
要证x1+x2>4，只需证x1+x2>2x1−x2lnx1x2，
不妨设x2>x1>0，所以01)
又因为fx3=1+ax3lnx3−x32=0⇒a=x32−1x3lnx3，
所以x1+x3+2−2a=1x3+x3+2−2a=1x3+x3+2−2x32−1x3lnx3=x3+13x3lnx3lnx3−2x3−1x3+1>0，
所以x1+x3>2a−2.
一、单选题
1．（2024·山东青岛·二模）函数fx=ax−a(a>0，a≠1)的零点为（ ）
A．0B．1C．1,0D．a
【解题思路】令fx=ax−a=0，解出x即可.
【解答过程】因为fx=ax−a(a>0，a≠1)，
令fx=ax−a=0，解得x=1，
即函数的零点为1.
故选：B.
2．（2024·陕西安康·模拟预测）函数fx=lnx+x2−2的零点所在区间是（ ）
A．0,22B．22,1C．1,2D．2,2
【解题思路】由零点存在性定理可得答案.
【解答过程】因为函数fx的定义域为0,+∞，又f′x=1x+2x>0，易知函数fx在0,+∞上单调递增，
又f1=−10，所以在1,2内存在一个零点x0，使fx0=0.
故选：C.
3．（2024·甘肃张掖·模拟预测）函数fx=exx−1−x−1的所有零点之和为（ ）
A．0B．-1C．3D．2
【解题思路】令fx=0，即exx−1−x−1=0，构造函数y=ex与函数y=x+1x−1，画出函数图象，可知两个函数图象相交于两点，设为x1,x2，得fx1=f−x1=0，进而得到x2=−x1，即x1+x2=0
【解答过程】由零点定义可知，函数的零点，就是方程fx=0的实数根，令fx=0，
则exx−1−x−1=0，显然x≠1，所以ex=x+1x−1，
构造函数y=ex与函数y=x+1x−1，则方程ex=x+1x−1的根，
可转化为两个函数图象的交点问题，根据图象可知，两个函数图象相交于两点，
所以此方程有两个实数根，即函数fx=exx−1−x−1有两个零点，
设为x1,x2，所以ex1=x1+1x1−1，ex2=x2+1x2−1，
即fx1=ex1x1−1−x1−1=0,fx2=ex2x2−1−x2−1=0，
另外发现，将−x1代入，可得f−x1=e−x1−x1−1−−x1−1=−x1+1ex1+x1−1=−(x1+1)ex1+x1+1ex1=0，
所以−x1也是函数fx的零点，说明x2=−x1，即x1+x2=0.
故选:A.
4．（2024·浙江绍兴·三模）已知函数f2x+1为偶函数，若函数gx=fx+21−x+2x−1−5的零点个数为奇数个，则f1=（ ）
A．1B．2C．3D．0
【解题思路】由函数gx的图象关于x=1对称得零点关于x=1对称，但gx的零点个数为奇数个可得答案.
【解答过程】因为函数f2x+1为偶函数，所以f−2x+1=f2x+1，
所以y=fx的图象关于x=1对称，
令ℎx=21−x+2x−1−5，则ℎ2−x=2x−1+21−x−5=ℎx，
可得函数ℎx=21−x+2x−1−5的图象关于x=1对称，
所以函数gx=fx+21−x+2x−1−5的图象关于x=1对称，
则函数gx的零点关于x=1对称，但gx的零点个数为奇数个，
则g1=f1+1+1−5=0，所以f1=3.
故选：C.
5．（2024·陕西西安·模拟预测）若函数fx=x3−3x+a在区间0,2内有两个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．0,2B．2,+∞C．0,1D．1,+∞
【解题思路】利用导数说明函数的单调性，依题意可得f0>0f10，解得即可.
【解答过程】因为f′x=3x2−3=3x+1x−1，所以当x>1或x0，
即fx在1,+∞，−∞,−1上单调递增，
当−10，fgx=lnx−3，
方程fgx=−3−gx=−x有两个不同的根等价于函数y=fgx与y=−x的图象有两个交点，
作出函数fgx与y=−x的图象如下图所示：
由图可知y=ex−3与y=lnx−3图象关于y=x−3对称，
则A,B两点关于y=x−3对称，中点C在y=x−3图象上，
由y=−xy=x−3，解得：C32,−32.
所以x1+x2=2×32=3.
故选：B.
8．（2024·安徽合肥·三模）设a∈R，函数fx=2x−1−1,x≥0−x2+ax,x