2025年高考数学复习核心考点(新高考专用)专题5.3平面向量的数量积及其应用【八大题型】特训(学生版+解析)

这是一份2025年高考数学复习核心考点(新高考专用)专题5.3平面向量的数量积及其应用【八大题型】特训(学生版+解析)，共46页。

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\l "_Tc4192" 【题型1 平面向量数量积的运算】 PAGEREF _Tc4192 \h 4
\l "_Tc12712" 【题型2 平面向量的夹角问题】 PAGEREF _Tc12712 \h 5
\l "_Tc17733" 【题型3 平面向量的模长】 PAGEREF _Tc17733 \h 5
\l "_Tc16381" 【题型4 平面向量的垂直问题】 PAGEREF _Tc16381 \h 5
\l "_Tc7006" 【题型5 平面向量的投影】 PAGEREF _Tc7006 \h 6
\l "_Tc8722" 【题型6 坐标法解决向量问题】 PAGEREF _Tc8722 \h 6
\l "_Tc4382" 【题型7 平面向量的实际应用】 PAGEREF _Tc4382 \h 7
\l "_Tc4463" 【题型8 向量数量积与解三角形综合】 PAGEREF _Tc4463 \h 8
1、平面向量的数量积及其应用
【知识点1 向量数量积的性质和常用结论】
1．向量数量积的性质和运算律
(1)向量数量积的性质
设，是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则
①==.
②=0.
③当与同向时，=；当与反向时，=-.
特别地，==或=.
④|a|，当且仅当向量，共线，即∥时，等号成立.
⑤=.
(2)向量数量积的运算律
由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立：
对于向量，，和实数，有
①交换律：=；
②数乘结合律：()= ()=()；
③分配律：(+)=+.
2．向量数量积的常用结论
(1)=；
(2)；
(3) ；
(4) ；
(5) ，当且仅当与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等
号成立.
以上结论可作为公式使用.
【知识点2 平面向量数量积的解题方法】
1．平面向量数量积的两种运算方法
(1)基底法：当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题；
(2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解.
【知识点3 数量积的两大应用】
1．夹角与垂直
根据平面向量数量积的性质：若，为非零向量，则(夹角公式)，等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.
2．向量的模的求解思路：
(1)坐标法：当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式；
(2)公式法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算；
(3)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.
【知识点4 向量数量积综合应用的方法和思想】
1．向量数量积综合应用的三大解题方法
(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.
(2)基向量法：适当选取一组基底，写出向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解.
(3)利用向量运算进行转化，化归为三角函数的问题或三角恒等变换问题是常规的解题思路和方法，以向量为载体考查三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理等知识的应用.
【知识点5 极化恒等式】
1．极化恒等式的证明过程与几何意义
(1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
.
证明：不妨设，则，，
①，
②，
①②两式相加得：
.
(2)极化恒等式：
上面两式相减，得：————极化恒等式
平行四边形模式：.
(3)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的．
【方法技巧与总结】
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)；
(2).
2．有关向量夹角的两个结论
(1)若与的夹角为锐角，则>0；若>0，则与的夹角为锐角或0.
(2)若与的夹角为钝角，则0，则与的夹角为锐角或0.
(2)若与的夹角为钝角，则0，且a,c=2π3，所以b,c=2π3−π2=π6，
所以b⋅c=b⋅ccsb,c=n2+1×3×32=322，解得n=±1，
又n>0，所以n=1，则m=2，
所以a=2,2，则a=22+22=22，
所以a+b⋅c=a⋅c+b⋅c=a⋅ccsa,c+b⋅c
=22×3×−12+322=32−262.
故选：A.
【变式1-2】（2023·山东日照·一模）已知正六边形ABCDEF的边长为2，P是正六边形ABCDEF边上任意一点，则PA⋅PB的最大值为（ ）
A．13B．12C．8D．23
【解题思路】以正六边形ABCDEF中心O为原点建立平面直角坐标系如图所示，由向量数量积的坐标表示研究最值.
【解答过程】
以正六边形ABCDEF中心O为原点建立平面直角坐标系如图所示，AB、DE交y轴于G、H，
则C2,0, F−2,0, A−1,−3, B1,−3, G0,−3, E−1,3, D1,3, H0,3，
设Px,y，PA=−1−x,−3−y, PB=1−x,−3−y, PA⋅PB=x2+y2+23y+2，由正六边形对称性，不妨只研究y轴左半部分，
（1）当P在EH上时，则x∈−1,0，y=3，则PA⋅PB=x2+11≤12；
（2）当P在AG上时，则x∈−1,0，y=−3，则PA⋅PB=x2−1≤0；
（3）当P在EF上时，则lEF：y=3x+2，x∈−2,−1，则PA⋅PB=4x2+18x+26=4x+942+234≤12；
（4）当P在AF上时，则lAF：y=−3x+2，x∈−2,−1，则PA⋅PB=4x2+6x+2=4x+342−14≤6.
综上，所求最大值为12.
故选：B.
【变式1-3】（2024·北京·三模）已知点N在边长为2的正八边形A1,A2,⋯,A8的边上，点M在边A1A2上，则A1M⋅A1N的取值范围是（ ）
A．−4−22,22B．−4,4+22
C．−22,4+22D．−22,4
【解题思路】以A1为原点，建立平面直角坐标系，表示出点M、N的坐标，计算A1M⋅A1N即可.
【解答过程】以A1为原点， A1A2为x轴，A1A6为y轴建立平面直角坐标系，
设Nx1,y1,Mx2,0，则A1M=x2,0,A1N=x1,y1，
所以A1M⋅A1N=x1x2，
由于正八边形的每个外角都为π4；
则x2∈0,2,x1∈−2,2+2，
所以A1M⋅A1N=x1x2∈−22,4+22.
故选：C.
【题型2 平面向量的夹角问题】
【例2】（2024·江苏扬州·模拟预测）已知单位向量a，b满足b⋅2a+b=2，则a与b的夹角等于（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【解题思路】根据数量积的运算律求出a⋅b，再由夹角公式计算可得.
【解答过程】因为b⋅2a+b=2a⋅b+b2=2，即2a⋅b+12=2，解得a⋅b=12，
设a与b的夹角为θ，则csθ=a⋅ba⋅b=12，又0°≤θ≤180°，所以θ=60°，
即a与b的夹角等于60°.
故选：B.
【变式2-1】（2024·江西新余·二模）已知a=3,23，b=−3,λ，若a+b与b的夹角为2π3，则λ=（ ）
A．-1B．1C．±1D．±2
【解题思路】利用向量积的运算律计算a+b⋅b，再利用向量数量积的定义计算a+b⋅b，列出相关等式可得λ的值.
【解答过程】因为a=3,23，b=−3,λ，
所以a⋅b=3×−3+23λ=−3+23λ，
a+b=3,23+−3,λ=0,23+λ，
a+b=23+λ2=23+λ，
因为a+b⋅b=a⋅b+b2=−3+23λ+3+λ2=λ2+23λ，
又a+b⋅b=a+bbcs2π3=23+λ×3+λ2×−12，
所以λ2+23λ=23+λ×3+λ2×−12，
解得λ=1或λ=−1，
因为23+λ≠0，所以λ2+23λ