2025年高考数学核心考点归纳第8讲、幂函数与二次函数特训(学生版+解析)

这是一份2025年高考数学核心考点归纳第8讲、幂函数与二次函数特训(学生版+解析)，共35页。试卷主要包含了幂函数的定义，幂函数的特征，常见的幂函数图像及性质，二次函数解析式的三种形式，二次函数的图像，二次函数在闭区间上的最值等内容，欢迎下载使用。
1、幂函数的定义
一般地，(为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数.
2、幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数
①的系数为1；②的底数是自变量；③指数为常数.
(3)幂函数的图象和性质
3、常见的幂函数图像及性质：
4、二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：；
（2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程.
（3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标.
5、二次函数的图像
二次函数的图像是一条抛物线，对称轴方程为，顶点坐标为.
（1）单调性与最值
= 1 \* GB3 ①当时，如图所示，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，；
= 2 \* GB3 ②当时，如图所示，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，
（2）与轴相交的弦长
当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，.
6、二次函数在闭区间上的最值
闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.
对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令：
（1）若，则；
（2）若，则；
（3）若，则；
（4）若，则.
【解题方法总结】
1、幂函数在第一象限内图象的画法如下：
①当时，其图象可类似画出；
②当时，其图象可类似画出；
③当时，其图象可类似画出．
2、实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系
（1）方程有两个不等正根
（2）方程有两个不等负根
（3）方程有一正根和一负根，设两根为
3、一元二次方程的根的分布问题
一般情况下需要从以下4个方面考虑：
（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负.
设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如表所示.
4、有关二次函数的问题，关键是利用图像.
（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成： = 1 \* GB3 ①轴处在区间的左侧； = 2 \* GB3 ②轴处在区间的右侧； = 3 \* GB3 ③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.
（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负.
必考题型全归纳
题型一：幂函数的定义及其图像
【例1】（2024·宁夏固原·高三隆德县中学校联考期中）已知函数是幂函数，且在上递减，则实数（ ）
A．B．或C．D．
【对点训练1】（2024·海南·统考模拟预测）已知为幂函数，则（ ）．
A．在上单调递增B．在上单调递减
C．在上单调递增D．在上单调递减
【对点训练2】（2024·河北·高三学业考试）已知幂函数的图象过点，则的值为（ ）
A．2B．3C．4D．9
【对点训练3】（2024·全国·高三专题练习）幂函数中a的取值集合C是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为（ ）
A．B．C．D．
【对点训练4】（2024·全国·高三专题练习）已知幂函数（且互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（ ）
A．p，q均为奇数，且
B．q为偶数，p为奇数，且
C．q为奇数，p为偶数，且
D．q为奇数，p为偶数，且
【解题方法总结】
确定幂函数的定义域，当为分数时，可转化为根式考虑，是否为偶次根式，或为则被开方式非负.当时，底数是非零的.
题型二：幂函数性质的综合应用
【例2】（2024·吉林长春·高三校考期中）已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数a的取值范围为___________.
【对点训练5】（2024·全国·高三专题练习）下面命题：①幂函数图象不过第四象限；②图象是一条直线；③若函数的定义域是，则它的值域是；④若函数的定义域是，则它的值域是；⑤若函数的值域是，则它的定义域一定是．其中不正确命题的序号是________．
【对点训练6】（2024·河南·校联考模拟预测）已知，，若对，，，则实数的取值范围是_________.
【对点训练7】（2024·福建三明·高三校考期中）已知，则实数的取值范围是___________
【对点训练8】（2024·全国·高三专题练习）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为__________．
【对点训练9】（2024·全国·高三专题练习）不等式的解集为：_________．
【对点训练10】（2024·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）已知幂函数，若，则a的取值范围是__________.
【对点训练11】（2024·全国·高三专题练习）已知，若幂函数奇函数，且在上为严格减函数，则__________.
【解题方法总结】
紧扣幂函数的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意为奇数时，为奇函数，为偶数时，为偶函数.
题型三：二次方程的实根分布及条件
【例3】（2024·全国·高三专题练习）关于x的方程有两个实数根，，且，那么m的值为（ ）
A．B．C．或1D．或4
【对点训练12】（2024·全国·高三专题练习）设a为实数，若方程在区间上有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（ ）.
A．B．
C．D．
【对点训练13】（2024·全国·高三专题练习）方程的一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【对点训练14】（2024·全国·高三专题练习）关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【解题方法总结】
结合二次函数的图像分析实根分布，得到其限定条件，列出关于参数的不等式，从而解不等式求参数的范围.
题型四：二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题
【例4】（2024·上海·高三专题练习）已知.
(1)若，，解关于的不等式；
(2)若，在上的最大值为，最小值为，求证：.
【对点训练15】（2024·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，且时，，.
(1)求在区间上的解析式；
(2)若对，则，使得成立，求的取值范围.
【对点训练16】（2024·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)利用函数单调性的定义证明是单调递增函数；
(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围．
【对点训练17】（2024·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)当时，解关于x的不等式；
(2)函数在上的最大值为0，最小值是，求实数a和t的值．
【对点训练18】（2024·全国·高三专题练习）已知值域为的二次函数满足，且方程的两个实根满足．
(1)求的表达式；
(2)函数在区间上的最大值为，最小值为，求实数的取值范围．
【对点训练19】（2024·全国·高三专题练习）已知函数为偶函数.
（1）求的值；
（2）设函数，是否存在实数，使得函数在区间上的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【解题方法总结】
“动轴定区间 ”、“定轴动区间”型二次函数最值的方法：
（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；
（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；
（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.
题型五：二次函数最大值的最小值问题
【例5】（2024·湖南衡阳·高一统考期末）二次函数为偶函数，，且恒成立．
(1)求的解析式；
(2)，记函数在上的最大值为，求的最小值．
【对点训练20】（2024·全国·高三专题练习）已知函数，当时，设的最大值为，求的最小值．
【对点训练21】（2024·河北保定·高一河北省唐县第一中学校考期中）已知函数，
(1)当时，①求函数单调递增区间；②求函数在区间的值域；
(2)当时，记函数的最大值为，求的最小值．
【对点训练22】（2024·浙江·高一校联考阶段练习）已知函数．
(1)当时，解方程；
(2)当时，记函数在上的最大值为，求的最小值
函数
图象
定义域
值域
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
在上单调递增
在上单调递减，在上单调递增
在上单调递增
在上单调递增
在和上单调递减
公共点
根的分布
图像
限定条件
在区间内
没有实根
在区间内
有且只有一个实根
在区间内
有两个不等实根
第8讲 幂函数与二次函数
知识梳理
1、幂函数的定义
一般地，(为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数.
2、幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数
①的系数为1；②的底数是自变量；③指数为常数.
(3)幂函数的图象和性质
3、常见的幂函数图像及性质：
4、二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：；
（2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程.
（3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标.
5、二次函数的图像
二次函数的图像是一条抛物线，对称轴方程为，顶点坐标为.
（1）单调性与最值
= 1 \* GB3 ①当时，如图所示，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，；
= 2 \* GB3 ②当时，如图所示，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，
（2）与轴相交的弦长
当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，.
6、二次函数在闭区间上的最值
闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.
对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令：
（1）若，则；
（2）若，则；
（3）若，则；
（4）若，则.
【解题方法总结】
1、幂函数在第一象限内图象的画法如下：
①当时，其图象可类似画出；
②当时，其图象可类似画出；
③当时，其图象可类似画出．
2、实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系
（1）方程有两个不等正根
（2）方程有两个不等负根
（3）方程有一正根和一负根，设两根为
3、一元二次方程的根的分布问题
一般情况下需要从以下4个方面考虑：
（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负.
设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如表所示.
4、有关二次函数的问题，关键是利用图像.
（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成： = 1 \* GB3 ①轴处在区间的左侧； = 2 \* GB3 ②轴处在区间的右侧； = 3 \* GB3 ③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.
（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负.
必考题型全归纳
题型一：幂函数的定义及其图像
【例1】（2024·宁夏固原·高三隆德县中学校联考期中）已知函数是幂函数，且在上递减，则实数（ ）
A．B．或C．D．
【答案】A
【解析】因为是幂函数，所以，解得或，又因为在上单调递减，则.
故选：A
【对点训练1】（2024·海南·统考模拟预测）已知为幂函数，则（ ）．
A．在上单调递增B．在上单调递减
C．在上单调递增D．在上单调递减
【答案】B
【解析】因为是幂函数，所以，解得或，
所以或，
对于，函数在上单调递增，在上单调递减；
对于，函数在上单调递减，且为奇函数，故在上单调递减；
故只有B选项“在上单调递减”符合这两个函数的性质．
故选：B
【对点训练2】（2024·河北·高三学业考试）已知幂函数的图象过点，则的值为（ ）
A．2B．3C．4D．9
【答案】B
【解析】设幂函数为，图象过点，故，故，
，.
故选：B
【对点训练3】（2024·全国·高三专题练习）幂函数中a的取值集合C是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】当时，定义域和值域均为，符合题意；
时，定义域为，值域为，故不合题意；
时，定义域为，值域为，符合题意；
时，定义域与值域均为R，符合题意；
时，定义域为R，值域为，不符合题意；
时，定义域与值域均为R，符合题意.
故选：C
【对点训练4】（2024·全国·高三专题练习）已知幂函数（且互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（ ）
A．p，q均为奇数，且
B．q为偶数，p为奇数，且
C．q为奇数，p为偶数，且
D．q为奇数，p为偶数，且
【答案】D
【解析】因为函数的定义域为，且在上单调递减，
所以0，
因为函数的图象关于y轴对称，
所以函数为偶函数，即p为偶数，
又p、q互质，所以q为奇数，
所以选项D正确，
故选：D.
【解题方法总结】
确定幂函数的定义域，当为分数时，可转化为根式考虑，是否为偶次根式，或为则被开方式非负.当时，底数是非零的.
题型二：幂函数性质的综合应用
【例2】（2024·吉林长春·高三校考期中）已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数a的取值范围为___________.
【答案】
【解析】因函数是幂函数，则，解得或，
当时，是偶函数，其图象关于y轴对称，与已知的图象关于原点对称矛盾，
当时，是奇函数，其图象关于原点对称，于是得，
不等式化为：，即，解得：，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：
【对点训练5】（2024·全国·高三专题练习）下面命题：①幂函数图象不过第四象限；②图象是一条直线；③若函数的定义域是，则它的值域是；④若函数的定义域是，则它的值域是；⑤若函数的值域是，则它的定义域一定是．其中不正确命题的序号是________．
【答案】②③④⑤
【解析】幂函数图象不过第四象限，①正确；图象是直线上去掉点，②错误；函数的定义域是，则它的值域是，③错误；函数的定义域是，则它的值域是，④错误；若函数的值域是，则它的定义域也可能是，⑤错误，
故答案为：②③④⑤．
【对点训练6】（2024·河南·校联考模拟预测）已知，，若对，，，则实数的取值范围是_________.
【答案】
【解析】因为对，，，
所以只需即可，
因为，，
所以，，
由，
解得
故答案为：.
【对点训练7】（2024·福建三明·高三校考期中）已知，则实数的取值范围是___________
【答案】
【解析】已知，或①；
，②；
，③．
综合①②③，求得实数的取值范围为．
故答案为：﹒
【对点训练8】（2024·全国·高三专题练习）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【解析】由函数单调递增，
①当时，若，有，
而，此时函数的值域不是；
②当时，若，有，而，
若函数的值域为，必有，可得．
则实数的取值范围为．
故答案为：
【对点训练9】（2024·全国·高三专题练习）不等式的解集为：_________．
【答案】
【解析】不等式变形为，
所以，
令，则有，
因为函数在R上单调递增，
所以在R上单调递增，
则，解得，
故不等式的解集为．
故答案为：.
【对点训练10】（2024·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）已知幂函数，若，则a的取值范围是__________.
【答案】
【解析】由幂函数，可得函数的定义域为，且是递减函数，
因为，可得，解得，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
【对点训练11】（2024·全国·高三专题练习）已知，若幂函数奇函数，且在上为严格减函数，则__________.
【答案】-1
【解析】因为幂函数在上为严格减函数，
所以，
所以，
又因为幂函数奇函数，且，
所以，
故答案为：-1
【解题方法总结】
紧扣幂函数的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意为奇数时，为奇函数，为偶数时，为偶函数.
题型三：二次方程的实根分布及条件
【例3】（2024·全国·高三专题练习）关于x的方程有两个实数根，，且，那么m的值为（ ）
A．B．C．或1D．或4
【答案】A
【解析】关于x的方程有两个实数根，
，
解得：，
关于x的方程有两个实数根，，
，，
，即，
解得：或舍去
故选：A.
【对点训练12】（2024·全国·高三专题练习）设a为实数，若方程在区间上有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】令，
由方程在区间上有两个不相等的实数解可得
，即或，
解得，
故选：C
【对点训练13】（2024·全国·高三专题练习）方程的一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令，由二次函数根的分布性质，若一根在区间内，
另一根在区间（3，4）内，
只需，即，
解不等式组可得，即的取值范围为，
故选：C.
【对点训练14】（2024·全国·高三专题练习）关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】当时，即为，不符合题意；
故，即为，
令，
由于关于的方程有两个不相等的实数根，且，
则与x轴有两个交点，且分布在1的两侧，
故时，，即，解得，故，
故选：D
【解题方法总结】
结合二次函数的图像分析实根分布，得到其限定条件，列出关于参数的不等式，从而解不等式求参数的范围.
题型四：二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题
【例4】（2024·上海·高三专题练习）已知.
(1)若，，解关于的不等式；
(2)若，在上的最大值为，最小值为，求证：.
【解析】（1）因为，
所以，
又因，所以，
所以，
则不等式即为，
即，
若，则不等式的解集为；
若，则不等式的解集为；
若，
当时，则不等式的解集为；
当时，则不等式的解集为；
当时，则不等式的解集为；
（2）若，则，，
当时，
则无解，
所以；
若时，由，得，
对称轴为，假设，，，
区间，在对称轴的左外侧或右外侧，所以在，上是单调函数，
则的最值必在，处取到，
，，，
所以假设错误，则，
综上，得到.
【对点训练15】（2024·全国·高三专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，且时，，.
(1)求在区间上的解析式；
(2)若对，则，使得成立，求的取值范围.
【解析】(1)设，则，，
即当时，.
(2)当时，；当时，；
又因为，所以，函数在上的值域为，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，，，
因为，则，使得成立，则，解得.
【对点训练16】（2024·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)利用函数单调性的定义证明是单调递增函数；
(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）由已知可得的定义域为，
任取，且，
则，
因为，，，
所以，即，
所以在上是单调递增函数．
（2），
令，则当时，，
所以．
令，，
则只需．
当，即时，在上单调递增，
所以，解得，与矛盾，舍去；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得；
当即时，在上单调递减，
所以，解得，与矛盾，舍去．
综上，实数的取值范围是．
【对点训练17】（2024·全国·高三专题练习）已知函数．
(1)当时，解关于x的不等式；
(2)函数在上的最大值为0，最小值是，求实数a和t的值．
【解析】（1）当时，不等式，
即为，
即，所以，
所以或，
所以原不等式的解集为．
（2），
由题意或，这时解得，
若，则，所以；
若，即，
所以，则，
综上，或．
【对点训练18】（2024·全国·高三专题练习）已知值域为的二次函数满足，且方程的两个实根满足．
(1)求的表达式；
(2)函数在区间上的最大值为，最小值为，求实数的取值范围．
【解析】（1）由，可得的图象关于直线对称，
函数的值域为，所以二次函数的顶点坐标为，
所以设，
根据根与系数的关系，可得，，
因为方程的两个实根满足
则，
解得：，所以.
（2）由于函数在区间上的最大值为，最小值为，
则函数在区间上单调递增，
又，即，
所以的对称轴方程为，则，即，
故的取值范围为.
【对点训练19】（2024·全国·高三专题练习）已知函数为偶函数.
（1）求的值；
（2）设函数，是否存在实数，使得函数在区间上的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由题意知函数的定义域为，
因为为偶函数，所以对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
所以，解得.
（2）由（1）知所以，
令，则，其对称轴为，
①当，即时，在上单调递减，
所以，
由，
解得，此时不满足，此时不存在符合题意的值；
②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，
由，解得或，又，所以；
③当，即时，在上单调递增，
所以，
由，解得，不满足，此时不存在符合题意的值.
综上所述，存在，使得函数在区间上的最小值为.
【解题方法总结】
“动轴定区间 ”、“定轴动区间”型二次函数最值的方法：
（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；
（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；
（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.
题型五：二次函数最大值的最小值问题
【例5】（2024·湖南衡阳·高一统考期末）二次函数为偶函数，，且恒成立．
(1)求的解析式；
(2)，记函数在上的最大值为，求的最小值．
【解析】（1）依题设，
由，得，
，得恒成立，
∴，
得，
所以，又，
所以，
∴；
（2）由题意可得：，，
若，则，则在[0,1]上单调递增，
所以；
若，当，即时，在[0,1]上单调递增，
当，只须比较与的大小，
由，得：，此时，
时，，此时，
综上，，
时，，
时，，
时，，
综上可知：的最小值为．
【对点训练20】（2024·全国·高三专题练习）已知函数，当时，设的最大值为，求的最小值．
【解析】令，分别取，1，2，可得，
，．
由，利用绝对值三角不等式可得
，因此
当，时，，当且仅当时取等号，而，得在上的最大值为，说明等号能成立．
故的最小值为．
【对点训练21】（2024·河北保定·高一河北省唐县第一中学校考期中）已知函数，
(1)当时，①求函数单调递增区间；②求函数在区间的值域；
(2)当时，记函数的最大值为，求的最小值．
【解析】（1）当时，函数，
当时，函数，
此时，函数在上单调递增，
当时，函数，
此时，函数在上单调递增，
所以函数单调递增区间为和；
因为函数单调递增区间为和，
所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，，
因为，，
，，
所以函数在区间的值域为；
（2）由已知可得，，
当时，即时，，对称轴为，
当时，即时，函数在区间上单调递增，
所以，
当时，即时，
函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，
当时，即时，若，，若，，
因为当时，，对称轴为，
所以函数在区间上单调递增，所以，
当，即时，此时，
当，即时，
函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，
当，即时，
函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以
若，即时，，
若，即时，，
综上所述，，
函数在区间上单调递减，
函数在区间上单调递减，
函数在区间上单调递增，
所以.
【对点训练22】（2024·浙江·高一校联考阶段练习）已知函数．
(1)当时，解方程；
(2)当时，记函数在上的最大值为，求的最小值．
【解析】（1）当时，令．
当时，，解得：
当时，，解得：
故方程的解为：和1；
（2），其中，
因为对称轴为，开口向下；对称轴为，开口向上，于是最大值在中取得．
当，即时，在上单调递减．；
当，即时，在上单调递增，在上单调递减，；
当，即时，在上单调递减，上单调递增，在上单调递减，
；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
函数
图象
定义域
值域
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
在上单调递增
在上单调递减，在上单调递增
在上单调递增
在上单调递增
在和上单调递减
公共点
根的分布
图像
限定条件
在区间内
没有实根
在区间内
有且只有一个实根
在区间内
有两个不等实根