2025年高考数学核心考点归纳第77讲、定点、定值问题特训(学生版+解析)

这是一份2025年高考数学核心考点归纳第77讲、定点、定值问题特训(学生版+解析)，共100页。试卷主要包含了定值问题，求定值问题常见的方法有两种，求解直线过定点问题常用方法如下，专题分类汇编，全国名校期中期末考试卷，期中期末考试串讲，导数专题，全国名校期中期末一模二模等内容，欢迎下载使用。
1、定值问题
解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下：
（1）变量----选择适当的量为变量．
（2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数．
（3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值．
2、求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值．
常用消参方法：
①等式带用消参：找到两个参数之间的等式关系，用一个参数表示另外一个参数，即可带用其他式子，消去参数．
②分式相除消参：两个含参数的式子相除，消掉分子和分母所含参数，从而得到定值．
③因式相减消参：两个含参数的因式相减，把两个因式所含参数消掉．
④参数无关消参：当与参数相关的因式为时，此时与参数的取值没什么关系，比如：
，只要因式，就和参数没什么关系了，或者说参数不起作用．
3、求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明．
一般解题步骤：
①斜截式设直线方程：，此时引入了两个参数，需要消掉一个．
②找关系：找到和的关系：，等式带入消参，消掉．
③参数无关找定点：找到和没有关系的点．
必考题型全归纳
题型一：面积定值
例1．（2024·安徽安庆·安庆一中校考三模）已知椭圆过点两点，椭圆的离心率为，为坐标原点，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)设P为椭圆上第一象限内任意一点，直线与y轴交于点M，直线与x轴交于点N，求证：四边形的面积为定值.
例2．（2024·陕西汉中·高三统考阶段练习）已知双曲线：的焦距为，且焦点到近线的距离为1.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，证明：的面积为定值.
例3．（2024·广东广州·高三广州市真光中学校考阶段练习）已知双曲线，渐近线方程为，点在上；

(1)求双曲线的方程；
(2)过点的两条直线，分别与双曲线交于，两点（不与点重合），且两条直线的斜率，满足，直线与直线，轴分别交于，两点，求证：的面积为定值.
变式1．（2024·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）设椭圆过点，且左焦点为．
(1)求椭圆的方程；
(2)内接于椭圆，过点和点的直线与椭圆的另一个交点为点，与交于点，满足，证明：面积为定值，并求出该定值．
变式2．（2024·全国·高二专题练习）已知，既是双曲线：的两条渐近线，也是双曲线：的渐近线，且双曲线的焦距是双曲线的焦距的倍.

(1)任作一条平行于的直线依次与直线以及双曲线，交于点，，，求的值；
(2)如图，为双曲线上任意一点，过点分别作，的平行线交于，两点，证明：的面积为定值，并求出该定值.
变式3．（2024·四川成都·高二树德中学校考阶段练习）已知椭圆，是椭圆上的两个不同的点，为坐标原点，三点不共线，记的面积为.

(1)若，求证：；
(2)记直线的斜率为，当时，试探究是否为定值并说明理由.
题型二：向量数量积定值
例4．（2024·新疆昌吉·高二统考期中）已知椭圆，，是C的左、右焦点，过的动直线l与C交于不同的两点A，B两点，且的周长为，椭圆的其中一个焦点在抛物线准线上，
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点，证明:为定值.
例5．（2024·江西萍乡·高二萍乡市安源中学校考期末）已知是抛物线上一点，且M到C的焦点的距离为5.

(1)求抛物线C的方程及点M的坐标；
(2)如图所示，过点的直线l与C交于A，B两点，与y轴交于点Q，设，，求证：是定值.
例6．（2024·四川南充·高二四川省南充高级中学校考开学考试）已知点到的距离是点到的距离的2倍.
(1)求点的轨迹方程；
(2)若点与点关于点对称，过的直线与点的轨迹交于，两点，探索是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
变式4．（2024·全国·高二校联考阶段练习）已知椭圆的右焦点为，点在E上．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)过点F的直线l与椭圆E交于A，B两点，点Q为椭圆E的左顶点，直线QA，QB分别交于M，N两点，O为坐标原点，求证：为定值．
变式5．（2024·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）已知椭圆的离心率为，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知直线与椭圆C交于A，B两点，且与x轴，y轴交于M，N两点.
①若，求k的值；②若点Q的坐标为，求证：为定值.
题型三：斜率和定值
例7．（2024·四川成都·高三成都七中校考开学考试）已知，．
(1)证明：总与和相切；
(2)在（1）的条件下，若与在y轴右侧相切于A点，与在y轴右侧相切于B点．直线与和分别交于P，Q，M，N四点.是否存在定直线使得对任意题干所给a，b，总有为定值？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由．
例8．（2024·河南洛阳·高三伊川县第一高中校联考开学考试）已知抛物线与抛物线在第一象限交于点.
(1)已知为抛物线的焦点，若的中点坐标为，求；
(2)设为坐标原点，直线的斜率为.若斜率为的直线与抛物线和均相切，证明为定值，并求出该定值.
例9．（2024·河南许昌·高二统考期末）已知的两个顶点A，B的坐标分别是且直线PA，PB的斜率之积是，设点P的轨迹为曲线H.
(1)求曲线H的方程；
(2)经过点且斜率为k的直线与曲线H交于不同的两点E，F（均异于A，B），证明：直线BE与BF的斜率之和为定值.
变式6．（2024·河南商丘·高二校考阶段练习）已知是椭圆的顶点（如图），直线l与椭圆交于异于顶点的两点，且，若椭圆的离心率是，且，

(1)求此椭圆的方程；
(2)设直线和直线的斜率分别为，证明为定值.
变式7．（2024·云南昆明·高二云南师范大学实验中学校考阶段练习）过点的直线为为圆与轴正半轴的交点.
(1)若直线与圆相切，求直线的方程：
(2)证明：若直线与圆交于两点，直线的斜率之和为定值.
题型四：斜率积定值
例10．（2024·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）已知椭圆的离心率为，以C的短轴为直径的圆与直线相切．
(1)求C的方程；
(2)直线与C相交于A，B两点，过C上的点P作x轴的平行线交线段AB于点Q，且平分，设直线的斜率为（O为坐标原点），判断是否为定值？并说明理由．
例11．（2024·内蒙古包头·高三统考开学考试）已知点，动点满足直线PM与PN的斜率之积为，记点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程，并说明C是什么曲线；
(2)过坐标原点的直线交曲线C于A，B两点，点A在第一象限，AD⊥x轴，垂足为D，连接BD并延长交曲线C于点H．证明：直线AB与AH的斜率之积为定值．
例12．（2024·江苏南通·高三统考开学考试）在直角坐标系中，点到点的距离与到直线：的距离之比为，记动点的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)过上两点，作斜率均为的两条直线，与的另两个交点分别为，.若直线，的斜率分别为，，证明：为定值.
变式8．（2024·全国·高二随堂练习）已知椭圆的离心率为，点在C上，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.
题型五：斜率比定值
例13．（2024·福建厦门·高二厦门一中校考期中）已知双曲线：实轴长为4（在的左侧），双曲线上第一象限内的一点到两渐近线的距离之积为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设过的直线与双曲线交于，两点，记直线，的斜率为，，请从下列的结论中选择一个正确的结论，并予以证明.
①为定值；
②为定值；
③为定值
例14．（2024·四川成都·高二校考期中）已知椭C：，为其左右焦点，离心率为，
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设点P，点P在椭圆C上，过点P作椭圆C的切线l，斜率为，，的斜率分别为，，则是否是定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.
例15．（2024·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）已知双曲线的实轴长为，左右两个顶点分别为，经过点的直线交双曲线的右支于两点，且在轴上方，当轴时，.
(1)求双曲线方程.
(2)求证：直线的斜率之比为定值.
题型六：线段定值
例16．（2024·浙江·高二校联考期中）已知圆：与圆：.
(1)若圆与圆内切，求实数的值；
(2)设，在轴正半轴上是否存在异于A的点，使得对于圆上任意一点，为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
例17．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知P为平面上的动点，记其轨迹为Γ.
(1)请从以下三个条件中选择一个，求对应的Γ的方程；①以点P为圆心的动圆经过点，且内切于圆；②已知点，直线，动点P到点T的距离与到直线l的距离之比为；③设E是圆上的动点，过E作直线EG垂直于x轴，垂足为G，且.
(2)在（1）的条件下，设曲线Γ的左、右两个顶点分别为A，B，若过点的直线m的斜率存在且不为0，设直线m交曲线Γ于点M，N，直线n过点且与x轴垂直，直线AM交直线n于点P，直线BN交直线n于点Q，则线段的比值是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
例18．（2024·江西九江·统考一模）如图，已知椭圆()的左右焦点分别为，，点为上的一个动点(非左右顶点)，连接并延长交于点，且的周长为，面积的最大值为2．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)若椭圆的长轴端点为，且与的离心率相等，为与异于的交点，直线交于两点，证明：为定值．
变式9．（2024·湖南·高三临澧县第一中学校联考开学考试）已知抛物线的焦点为，抛物线的焦点为，且．
(1)求的值；
(2)若直线l与交于M，N两点，与交于P，Q两点，M，P在第一象限，N，Q在第四象限，且，证明：为定值．
变式10．（2024·安徽合肥·高三合肥一中校联考开学考试）已知抛物线（为常数，）.点是抛物线上不同于原点的任意一点.
(1)若直线与只有一个公共点，求；
(2)设为的准线上一点，过作的两条切线，切点为，且直线，与轴分别交于，两点.
①证明：
②试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
变式11．（2024·山东淄博·高二校联考阶段练习）已知圆：与直线相切.
(1)若直线与圆交于，两点，求；
(2)已知，，设为圆上任意一点，证明：为定值.
变式12．（2024·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）已知，分别是椭圆：的右顶点和上顶点，，直线的斜率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线，与，轴分别交于点，，与椭圆相交于点，.
（i）求的面积与的面积之比；
（ⅱ）证明：为定值.
变式13．（2024·四川巴中·高二四川省通江中学校考期中）已知圆过点，，且圆心在直线上.是圆外的点，过点的直线交圆于，两点.
(1)求圆的方程；
(2)若点的坐标为，求证：无论的位置如何变化恒为定值；
(3)对于（2）中的定值，使恒为该定值的点是否唯一？若唯一，请给予证明；若不唯一，写出满足条件的点的集合.
变式14．（2024·云南·校联考模拟预测）已知点到定点的距离和它到直线：的距离的比是常数．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)若直线：与圆相切，切点在第四象限，直线与曲线交于，两点，求证：的周长为定值．
题型七：直线过定点
例19．（2024·全国·高三专题练习）已知分别为椭圆的左、右焦点，过点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点，的周长为8.
(1)若的面积为，求直线的方程；
(2)过两点分别作直线的垂线，垂足分别是，证明：直线与交于定点.
例20．（2024·江西南昌·高三校联考阶段练习）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，点为椭圆上任意一点，面积最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过轴上一点的直线与椭圆交于两点，过分别作直线的垂线，垂足为，两点，证明：直线，交于一定点，并求出该定点坐标.
例21．（2024·江西南昌·高二南昌市外国语学校校考期中）在平面直角坐标系中，椭圆C： (a>b>0)过点，离心率为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点K(2，0)作与x轴不重合的直线与椭圆C交于A，B两点，过A，B点作直线l：x＝的垂线，其中c为椭圆C的半焦距，垂足分别为A1，B1，试问直线AB1与A1B的交点是否为定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.
变式15．（2024·甘肃天水·高二统考期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，点在E上．
(1)求E的方程；
(2)过点作互相垂直且与x轴均不重合的两条直线分别交E于点A，B和C，D，若M，N分别是弦AB，CD的中点，证明：直线MN过定点．
变式16．（2024·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考期中）在平面直角坐标系中， 椭圆：的左，右顶点分别为、，点是椭圆的右焦点，，．
(1)求椭圆的方程；
(2)不过点的直线交椭圆于、两点，记直线、、的斜率分别为、、.若，证明直线过定点， 并求出定点的坐标．
变式17．（2024·全国·高三专题练习）已知A､B分别为椭圆E∶的右顶点和上顶点､椭圆的离心率为，F1､F2为椭圆的左､右焦点，点P是线段AB上任意一点，且的最小值为.
（1）求椭圆E的方程；
（2）若直线l是圆C∶x2+y2=9上的点处的切线，点M是直线l上任一点，过点M作椭圆C的切线MG，MH，切点分别为G，H，设切线的斜率都存在.试问∶直线GH是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
变式18．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆C：的右顶点是M（2，0），离心率为．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)过点T（4，0）作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点B关于x轴的对称点为D，问直线AD是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
题型八：动点在定直线上
例22．（2024·江苏南通·高二校考阶段练习）已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为6.
(1)求点的轨迹的方程.
(2)已知点，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，试问：当点变化时，点是否恒在一条定直线上？若是，请证明；若不是，请说明理由.
例23．（2024·上海·高二专题练习）已知双曲线的两焦点为，为动点，若.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）若，设直线过点，且与轨迹交于两点，直线与交于点.试问：当直线在变化时，点是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条定直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.
例24．（2024·全国·高二专题练习）已知椭圆的离心率，长轴的左、右端点分别为
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线 与椭圆交于两点，直线与交于点，试问：当变化时，点是否恒在一条直线上？若是，请写出这条直线的方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.
变式19．（2024·全国·高三专题练习）已知曲线，直线与曲线交于轴右侧不同的两点．
(1)求的取值范围；
(2)已知点的坐标为，试问：的内心是否恒在一条定直线上？若是，请求出该直线方程；若不是，请说明理由．
变式20．（2024·浙江台州·高二校联考期中）已知直线l：与圆C：交于A､B两点.
(1)若时，求弦AB的长度；
(2)设圆C在点A处的切线为，在点B处的切线为，与的交点为Q.试探究：当m变化时，点Q是否恒在一条定直线上？若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由.
变式21．（2024·全国·高二专题练习）已知直线，圆.
(1)证明：直线与圆相交；
(2)设直线与的两个交点分别为、，弦的中点为，求点的轨迹方程；
(3)在（2）的条件下，设圆在点处的切线为，在点处的切线为，与的交点为.证明：Q，A，B，C四点共圆，并探究当变化时，点是否恒在一条定直线上?若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由.
变式22．（2024·吉林四平·高二校考阶段练习）已知椭圆的左、右顶点分别为、，短轴长为，点上的点满足直线、的斜率之积为．
(1)求的方程；
(2)若过点且不与轴垂直的直线与交于、两点，记直线、交于点．探究：点是否在定直线上，若是，求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．
变式23．（2024·高二课时练习）已知椭圆：（）过点，且离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)记椭圆的上下顶点分别为，过点斜率为的直线与椭圆交于两点，证明：直线与的交点在定直线上，并求出该定直线的方程．
题型九：圆过定点
例25．（2024·陕西西安·高二西安市铁一中学校考期末）已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为，抛物线的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知圆M：的切线l(直线l的斜率存在且不为零)与椭圆相交于两点，求证：以为直径的圆是否经过坐标原点.
例26．（2024·四川宜宾·校考模拟预测）已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为、，抛物线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知圆的切线（直线的斜率存在且不为零）与椭圆相交于、两点，那么以为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由.
例27．（2024·辽宁葫芦岛·统考二模）已知直线l1: 过椭圆C: 的左焦点，且与抛物线M: 相切.
(1)求椭圆C及抛物线M的标准方程;
(2)直线l2过抛物线M的焦点且与抛物线M交于A，B两点，直线OA，OB与椭圆的过右顶点的切线交于M，N两点.判断以MN为直径的圆与椭圆C是否恒交于定点P，若存在，求出定点P的坐标；若不存在，请说明理由.
变式24．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，动点M到直线的距离等于点M到点的距离的2倍，记动点M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)已知斜率为的直线l与曲线C交于A、B两个不同点，若直线l不过点，设直线的斜率分别为，求的值；
(3)设点Q为曲线C的上顶点，点E、F是C上异于点Q的任意两点，以为直径的圆恰过Q点，试判断直线是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．
变式25．（2024·广西·高三象州县中学校考阶段练习）在直角坐标系中，动点M到定点的距离比到y轴的距离大1．
(1)求动点M的轨迹方程；
(2)当时，记动点M的轨迹为曲线C，过F的直线与曲线C交于P，Q两点，直线OP，OQ与直线分别交于A，B两点，试判断以AB为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
变式26．（2024·江西宜春·高二江西省丰城中学校考期末）已知双曲线：经过点A，且点到的渐近线的距离为．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点作斜率不为的直线与双曲线交于M，N两点，直线分别交直线AM，AN于点E，F．试判断以EF为直径的圆是否经过定点，若经过定点，请求出定点坐标；反之，请说明理由．
题型十：角度定值
例28．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过这两个焦点，点A，B分别是椭圆C的左、右顶点.
(1)求圆O和椭圆C的方程；
(2)已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与y轴交于点M，N.求证：为定值.
例29．（2024·北京·高三北京八中校考期中）已知椭圆上的点到它的两个焦点的距离之和为，以椭圆的短轴为直径的圆经过这两个焦点，点，分别是椭圆的左、右顶点．
（1）求圆和椭圆的方程．
（2）已知，分别是椭圆和圆上的动点（，位于轴两侧），且直线与轴平行，直线，分别与轴交于点，．求证：为定值．
例30．（2024·全国·高三专题练习）已知点是椭圆的左焦点，过且垂直轴的直线交于，，且.
(1)求椭圆的方程
(2)四边形(A，D在轴上方的四个顶点都在椭圆上，对角线，恰好交于点，若直线，分别与直线交于，，且为坐标原点，求证：．
变式27．（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图3所示，点，分别为椭圆的左焦点和右顶点，点为抛物线的焦点，且（为坐标原点）.

(1)求椭圆的方程；
(2)过点作直线交椭圆于，两点，连接，并延长交抛物线的准线于点，，求证：为定值.
变式28．（2024·四川绵阳·高二盐亭中学校考期中）已知圆 ，为圆上一动点，，若线段的垂直平分线交于点.

(1)求动点的轨迹方程;
(2)如图，点 在曲线上，是曲线上位于直线两侧的动点，当运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由.
变式29．（2024·广东阳江·高三统考开学考试）已知，分别是椭圆长轴的两个端点，C的焦距为2．，，P是椭圆C上异于A，B的动点，直线PM与C的另一交点为D，直线PN与C的另一交点为E．
(1)求椭圆C的方程；
(2)证明：直线DE的倾斜角为定值．
变式30．（2024·陕西榆林·高二校考阶段练习）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过，两点.
(1)求E的方程；
(2)若直线l与圆O：相切，且直线l交E于M，N两点，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由
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第77讲 定点、定值问题
知识梳理
1、定值问题
解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下：
（1）变量----选择适当的量为变量．
（2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数．
（3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值．
2、求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值．
常用消参方法：
①等式带用消参：找到两个参数之间的等式关系，用一个参数表示另外一个参数，即可带用其他式子，消去参数．
②分式相除消参：两个含参数的式子相除，消掉分子和分母所含参数，从而得到定值．
③因式相减消参：两个含参数的因式相减，把两个因式所含参数消掉．
④参数无关消参：当与参数相关的因式为时，此时与参数的取值没什么关系，比如：
，只要因式，就和参数没什么关系了，或者说参数不起作用．
3、求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明．
一般解题步骤：
①斜截式设直线方程：，此时引入了两个参数，需要消掉一个．
②找关系：找到和的关系：，等式带入消参，消掉．
③参数无关找定点：找到和没有关系的点．
必考题型全归纳
题型一：面积定值
例1．（2024·安徽安庆·安庆一中校考三模）已知椭圆过点两点，椭圆的离心率为，为坐标原点，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)设P为椭圆上第一象限内任意一点，直线与y轴交于点M，直线与x轴交于点N，求证：四边形的面积为定值.
【解析】（1）根据题意可知，
又，即可得，结合，
解得；
即椭圆的方程为.
（2）证明：由（1）可知，如下图所示：
设，且；
易知直线的斜率，所以的直线方程为；
同理直线的斜率，所以的直线方程为；
由题意解得；
所以可得，
四边形的面积
又，可得，
故，
即四边形的面积为定值.
例2．（2024·陕西汉中·高三统考阶段练习）已知双曲线：的焦距为，且焦点到近线的距离为1.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，证明：的面积为定值.
【解析】（1）依题意得，，一条渐近线为，即，右焦点为，
所以，即，，所以，
所以，
所以双曲线的标准方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，若动直线与双曲线恰有1个公共点，则直线经过双曲线的顶点，不妨设，又渐近线方程为，
将代入，得，将代入，得，
则，.
当直线的斜率存在，设直线，且，
联立，消去并整理得，
因为动直线与双曲线恰有1个公共点，
所以，得，
设动直线与的交点为，与的交点为，
联立，得，同理得，
则
因为原点到直线的距离，
所以，
又因为，所以，即，
故的面积为定值，且定值为.
例3．（2024·广东广州·高三广州市真光中学校考阶段练习）已知双曲线，渐近线方程为，点在上；

(1)求双曲线的方程；
(2)过点的两条直线，分别与双曲线交于，两点（不与点重合），且两条直线的斜率，满足，直线与直线，轴分别交于，两点，求证：的面积为定值.
【解析】（1），，依题意，，
所以双曲线的方程为.
（2）依题意可知斜率存在，设方程为，，，
，
，①，
，
整理得.
1），，过舍去，
2），，过点，
此时，将代入①得，
与交于点，故（定值）
变式1．（2024·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）设椭圆过点，且左焦点为．
(1)求椭圆的方程；
(2)内接于椭圆，过点和点的直线与椭圆的另一个交点为点，与交于点，满足，证明：面积为定值，并求出该定值．
【解析】（1）由题意得，
解得，
所以椭圆C的方程为．
（2）设点的坐标分别为，，．
由题设知，，，均不为零，
记，则且
又四点共线，从而，
于是，，，
从而①，②，
又点在椭圆上，即③，④，
①＋②×2并结合③、④得，
即点总在定直线上．
∴所在直线为上．
由 消去y得，，
设，则，
于是，
又到的距离，
∴
∴面积定值为．
变式2．（2024·全国·高二专题练习）已知，既是双曲线：的两条渐近线，也是双曲线：的渐近线，且双曲线的焦距是双曲线的焦距的倍.

(1)任作一条平行于的直线依次与直线以及双曲线，交于点，，，求的值；
(2)如图，为双曲线上任意一点，过点分别作，的平行线交于，两点，证明：的面积为定值，并求出该定值.
【解析】（1）依题意，根据双曲线的焦距是双曲线的焦距的倍，可得，
即，故双曲线：，
不妨设：，则设：，
联立，可得，联立可得，
联立可得，
从而,所以
（2）如图，延长，分别交渐近线于，两点，
由（1）可知，则，
设，则：，联立，
解得，
而：，联立，解得，
从而，
设的倾斜角为，则，而，故，
则，因此.
变式3．（2024·四川成都·高二树德中学校考阶段练习）已知椭圆，是椭圆上的两个不同的点，为坐标原点，三点不共线，记的面积为.

(1)若，求证：；
(2)记直线的斜率为，当时，试探究是否为定值并说明理由.
【解析】（1）设的夹角为，
则，所以，
则
；
（2）由可知，，所以，
设直线的方程分别为：，
设.
则，
所以
.
题型二：向量数量积定值
例4．（2024·新疆昌吉·高二统考期中）已知椭圆，，是C的左、右焦点，过的动直线l与C交于不同的两点A，B两点，且的周长为，椭圆的其中一个焦点在抛物线准线上，
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点，证明:为定值.
【解析】（1）由可得准线为，
所以椭圆的左焦点，所以椭圆的半焦距，
因为的周长为，
所以，故.
所以，
所求椭圆的方程为.
（2）如图所示：
①当直线斜率不存在时，的方程为，
将代入可得，
所以，，此时，，
则，
②当直线斜率存在时，设直线的方程为，设，，
由，得，
则，，，，
所以，
，
，
，
综上所述，为定值，且定值为.
例5．（2024·江西萍乡·高二萍乡市安源中学校考期末）已知是抛物线上一点，且M到C的焦点的距离为5.

(1)求抛物线C的方程及点M的坐标；
(2)如图所示，过点的直线l与C交于A，B两点，与y轴交于点Q，设，，求证：是定值.
【解析】（1）由抛物线的定义，得，解得p＝2.
所以抛物线C的方程为，M的坐标为或.
（2）由题意知直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为x＝ty＋1（t≠0），则.将x＝ty＋1代入得.设，，则，.
由，得；由，得.
所以，故是定值1.
例6．（2024·四川南充·高二四川省南充高级中学校考开学考试）已知点到的距离是点到的距离的2倍.
(1)求点的轨迹方程；
(2)若点与点关于点对称，过的直线与点的轨迹交于，两点，探索是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【解析】（1）设点，由题意可得，即，
化简可得.
（2）设点，由（1）点满足方程:，，
代入上式消去可得，即的轨迹方程为，
当直线的斜率存在时，设其斜率为，则直线的方程为，
由，消去，得，显然，
设，则，，
又，，
则
.
当直线的斜率不存在时，，，.
故是定值，即.
变式4．（2024·全国·高二校联考阶段练习）已知椭圆的右焦点为，点在E上．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)过点F的直线l与椭圆E交于A，B两点，点Q为椭圆E的左顶点，直线QA，QB分别交于M，N两点，O为坐标原点，求证：为定值．
【解析】（1）由题意得，又点在椭圆上，
则，解得，
故所求椭圆E的标准方程为.
（2）由题意知直线的斜率不为，可设方程为，
联立，消得，
则，
设
由韦达定理得，，
则，
且
，
又则直线的方程为：，
令得，，
同理可得，，
故，
由，
则，
则.
即为定值.
变式5．（2024·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）已知椭圆的离心率为，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知直线与椭圆C交于A，B两点，且与x轴，y轴交于M，N两点.
①若，求k的值；②若点Q的坐标为，求证：为定值.
【解析】（1），，代入得.
又椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形的面积为2，即，即，
以上各式联立解得，则椭圆方程为.
（2）①直线与轴交点为，与轴交点为，
联立消去得:，
设，则
解得:.由得;
②证明：由①知
，
为定值.
题型三：斜率和定值
例7．（2024·四川成都·高三成都七中校考开学考试）已知，．
(1)证明：总与和相切；
(2)在（1）的条件下，若与在y轴右侧相切于A点，与在y轴右侧相切于B点．直线与和分别交于P，Q，M，N四点.是否存在定直线使得对任意题干所给a，b，总有为定值？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）下面证明椭圆在处的切线方程为，理由如下：
当时，故切线的斜率存在，设切线方程为，
代入椭圆方程得：，
由，化简得：
，
所以，
把代入，得：，
于是，
则椭圆的切线斜率为，切线方程为，
整理得到，
其中，故，即，
当时，此时或，
当时，切线方程为，满足，
当时，切线方程为，满足，
所以椭圆在处的切线方程为；
上一点的切线方程为，理由如下：
设过点的切线方程为，与联立得，
，
由，
化简得，
因为，代入上式得，
整理得，
同除以得，，
即，
因为，，
所以，
联立，两式相乘得，，
从而，
故，
即，
令，则，即，
解得，即，
所以上一点的切线方程为，
综上：在点的切线方程为.
故曲线且在点的切线方程为．
当时，，联立得，，
解得，则，
当时，，，满足，
当时，，，满足，
即曲线C与相切，
而此时且．故总与和相切．
（2）设直线．
设与交于和，
联立得，
由韦达定理得，，
由题意，，
代入整理得，
因为为定值对任意a，b均成立，故为定值与a无关，为定值与b无关．
当时，必有，
此时．
故有，
代入解得，矛盾．
当时，且时成立．
此时直线，由（1）知与曲线仅有1个交点，矛盾．
故不存在，使为定值对任意a，b均成立．
例8．（2024·河南洛阳·高三伊川县第一高中校联考开学考试）已知抛物线与抛物线在第一象限交于点.
(1)已知为抛物线的焦点，若的中点坐标为，求；
(2)设为坐标原点，直线的斜率为.若斜率为的直线与抛物线和均相切，证明为定值，并求出该定值.
【解析】（1）由得，设，
因为的中点坐标为，所以，
解得.
（2）
联立，解得或，
所以，
所以直线的斜率.
设直线的方程为.
联立，消去得，
因为直线与抛物线相切，
所以，即，
若，则，不符合题意，
所以，即，①
联立，消去得，
因为直线与抛物线相切，
所以，即，②
由①②可得，所以，
故为定值，该定值为0.
例9．（2024·河南许昌·高二统考期末）已知的两个顶点A，B的坐标分别是且直线PA，PB的斜率之积是，设点P的轨迹为曲线H.
(1)求曲线H的方程；
(2)经过点且斜率为k的直线与曲线H交于不同的两点E，F（均异于A，B），证明：直线BE与BF的斜率之和为定值.
【解析】（1）设，则由直线PA，PB的斜率之积是可得，
化简可得
（2）设直线方程为：，
则与椭圆方程联立可得：，
则，故或，
设，则，.
故
.
变式6．（2024·河南商丘·高二校考阶段练习）已知是椭圆的顶点（如图），直线l与椭圆交于异于顶点的两点，且，若椭圆的离心率是，且，

(1)求此椭圆的方程；
(2)设直线和直线的斜率分别为，证明为定值.
【解析】（1）由已知可得椭圆的离心率，
，
∴，
∴椭圆方程为；
（2）如图，
由（1）可知：，，，且，所以直线的斜率，
设直线的方程为，设，
联立得：，
，∴，
则，
又，，，，
∴，
，为定值.
变式7．（2024·云南昆明·高二云南师范大学实验中学校考阶段练习）过点的直线为为圆与轴正半轴的交点.
(1)若直线与圆相切，求直线的方程：
(2)证明：若直线与圆交于两点，直线的斜率之和为定值.
【解析】（1）由已知可得，圆心，半径.
当直线斜率不存在时，方程为，此时直线与圆不相切；
当直线斜率存在时，设直线斜率为，则方程为，即.
由直线与圆相切，可知圆心到直线的距离，
整理可得，，
解得或.
所以，直线的方程为或.
综上所述，直线的方程为或.
（2）由题设得到点，
当直线斜率不存在时，方程为，
此时直线与圆的交点为，，
则；
当直线斜率存在时，设直线方程为，
代入圆的方程可得.
设点，
则.
所以，
，
则
.
综上所述，与的斜率之和为定值.
故与的斜率之和为定值.
题型四：斜率积定值
例10．（2024·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）已知椭圆的离心率为，以C的短轴为直径的圆与直线相切．
(1)求C的方程；
(2)直线与C相交于A，B两点，过C上的点P作x轴的平行线交线段AB于点Q，且平分，设直线的斜率为（O为坐标原点），判断是否为定值？并说明理由．
【解析】（1）由椭圆的离心率为，得，即有，
由以C的短轴为直径的圆方程为，
由与直线相切得：，
联立解得，
∴C的方程为；
（2）为定值，且，理由如下：
由题意，直线AP，BP的斜率互为相反数，即，
设，
由，消去y得：，
∴，
而，
∴，
即
，
∴，
∴，
化简得，
又∵在椭圆上，∴，∴，
∴，
∴，
又∵不在直线，
则有，即，
∴为定值，且.
例11．（2024·内蒙古包头·高三统考开学考试）已知点，动点满足直线PM与PN的斜率之积为，记点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程，并说明C是什么曲线；
(2)过坐标原点的直线交曲线C于A，B两点，点A在第一象限，AD⊥x轴，垂足为D，连接BD并延长交曲线C于点H．证明：直线AB与AH的斜率之积为定值．
【解析】（1）由题设得，化解得，
所以为中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含左右顶点．
（2）
设直线的斜率为，则其方程为．
由得，
记，则，，．
于是直线的斜率为，方程为．
由得．①
设，则和是方程①的解，则，
故，由此得．
从而直线的斜率，所以．
所以直线与的斜率之积为定值．
例12．（2024·江苏南通·高三统考开学考试）在直角坐标系中，点到点的距离与到直线：的距离之比为，记动点的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)过上两点，作斜率均为的两条直线，与的另两个交点分别为，.若直线，的斜率分别为，，证明：为定值.
【解析】（1）设，由题意可知，
所以的方程为；
（2）设，，
∴方程：代入椭圆方程
，
∴，
∴，∴，
∴，∴
同理设，，∴，
∴为定值.
变式8．（2024·全国·高二随堂练习）已知椭圆的离心率为，点在C上，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.
【解析】证明：由题意可得，解得，
故椭圆方程为，
由题意可设直线l的方程为，
设，则，
则，
两式相减得，即，
即，又M为线段AB的中点，即有,
即，
即直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.
题型五：斜率比定值
例13．（2024·福建厦门·高二厦门一中校考期中）已知双曲线：实轴长为4（在的左侧），双曲线上第一象限内的一点到两渐近线的距离之积为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设过的直线与双曲线交于，两点，记直线，的斜率为，，请从下列的结论中选择一个正确的结论，并予以证明.
①为定值；
②为定值；
③为定值
【解析】（1）设是上的一点，与是的两条渐近线，
到两条渐近线的距离之积，
依题意，，故，双曲线的标准方程为；
（2）正确结论：③为定值.
证明如下：由（1）知，，设，，
因为，不与，重合，所以可设直线：，
与联立：，消去整理可得：
故，，，
所以，
，，
①，
，不是定值，
②，
，不是定值，
③，
所以是定值.
例14．（2024·四川成都·高二校考期中）已知椭C：，为其左右焦点，离心率为，
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设点P，点P在椭圆C上，过点P作椭圆C的切线l，斜率为，，的斜率分别为，，则是否是定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.
【解析】（1）由已知条件可得，，解得，
椭圆；
（2） 是定值，
证明：因为点，，过点作椭圆的切线，斜率为，
且，
与联立消得，
由题设得，
即，
因为点在椭圆上，
，代入上式得，
而，
定值），
是定值；
例15．（2024·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）已知双曲线的实轴长为，左右两个顶点分别为，经过点的直线交双曲线的右支于两点，且在轴上方，当轴时，.
(1)求双曲线方程.
(2)求证：直线的斜率之比为定值.
【解析】（1）由题意可得，
当轴时，直线，
则，
又，所以；
（2）
由题意可知，
不妨设：,，易知，
联立双曲线方程得，
则，且，不难发现
由斜率公式可知，
则，
故是定值.
题型六：线段定值
例16．（2024·浙江·高二校联考期中）已知圆：与圆：.
(1)若圆与圆内切，求实数的值；
(2)设，在轴正半轴上是否存在异于A的点，使得对于圆上任意一点，为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）因为：，即，
故圆的圆心坐标为，半径长，
且圆：，故圆的圆心坐标为，半径长，
若圆与圆内切，则，
即，且，所以.
（2）设点，则，
于是，即，
同理，可得，
要使为定值，则，解得或（舍去），
故存在点使得为定值，此时.
例17．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知P为平面上的动点，记其轨迹为Γ.
(1)请从以下三个条件中选择一个，求对应的Γ的方程；①以点P为圆心的动圆经过点，且内切于圆；②已知点，直线，动点P到点T的距离与到直线l的距离之比为；③设E是圆上的动点，过E作直线EG垂直于x轴，垂足为G，且.
(2)在（1）的条件下，设曲线Γ的左、右两个顶点分别为A，B，若过点的直线m的斜率存在且不为0，设直线m交曲线Γ于点M，N，直线n过点且与x轴垂直，直线AM交直线n于点P，直线BN交直线n于点Q，则线段的比值是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【解析】（1）选①，则由得，
由椭圆的定义得长轴为4，焦距为2，所求轨迹Γ的方程为.
选②，设，由，
化简得即所求轨迹Γ的方程为.
选③，设，由，得，
代入圆O的方程，得，即所求轨迹Γ的方程为
（2）已知直线m的斜率存在且不为0，设过点K的直线m的方程为，设，
与方程联立得：，
∴.
且
直线AM的方程为，∴.同理，，
∴
其中，，
将代入可得，
，
∴.
例18．（2024·江西九江·统考一模）如图，已知椭圆()的左右焦点分别为，，点为上的一个动点(非左右顶点)，连接并延长交于点，且的周长为，面积的最大值为2．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)若椭圆的长轴端点为，且与的离心率相等，为与异于的交点，直线交于两点，证明：为定值．
【解析】（1）的周长为，由椭圆的定义得，即，
又面积的最大值为2，，即，
，，，解得，
椭圆的标准方程为.
（2）由（1）可知，，椭圆的离心率，
设椭圆的方程为，则有，，解得，
椭圆的标准方程为，
设，，，点在曲线上，，
依题意，可设直线，的斜率分别为，
则的方程分别为，，
于是，
联立方程组，消去整理，得，
，，
，
同理可得：，
，，
为定值.
变式9．（2024·湖南·高三临澧县第一中学校联考开学考试）已知抛物线的焦点为，抛物线的焦点为，且．
(1)求的值；
(2)若直线l与交于M，N两点，与交于P，Q两点，M，P在第一象限，N，Q在第四象限，且，证明：为定值．
【解析】（1）由题意知，，
所以，
解得．
（2）由（1）知，．
设直线，，，，，
根据题意结合图形可知，且．
联立，得，
则，
同理联立，得，
则．
由可得，，
又，，
所以，
即，化简得，即，
又因为，，所以，
再由，得．
联立，解得，
所以，，．
故，
所以为定值.
变式10．（2024·安徽合肥·高三合肥一中校联考开学考试）已知抛物线（为常数，）.点是抛物线上不同于原点的任意一点.
(1)若直线与只有一个公共点，求；
(2)设为的准线上一点，过作的两条切线，切点为，且直线，与轴分别交于，两点.
①证明：
②试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【解析】（1）将直线与抛物线联立，
消去可得，由题意可知该方程只有一个实数根，
所以，又点在抛物线上，即；
可得，解得
（2）①易知抛物线的准线方程为；
不妨设，切点，如下图所示：
将求导可得，
则切线的斜率，切线的方程为，
又，的方程可化为；
同理可得的方程可化为；
又两切线交于点，所以，
因此可得是方程的两根，因此；
所以；
因此
②设直线和的倾斜角为，直线的倾斜角为，
所以；
又；；
；
所以
，
将代入可得
，
则可得，即；
又，所以，
可得，则为定值.
变式11．（2024·山东淄博·高二校联考阶段练习）已知圆：与直线相切.
(1)若直线与圆交于，两点，求；
(2)已知，，设为圆上任意一点，证明：为定值.
【解析】（1）由题意，
圆心 到直线 的距离：，
圆 与直线相切，
∴ ，圆 方程为: ，
∵圆心 到直线 的距离: ，
∴.
（2）由题意及（1）证明如下
设 , 则 ，
∴，
即 为定值.
变式12．（2024·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）已知，分别是椭圆：的右顶点和上顶点，，直线的斜率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线，与，轴分别交于点，，与椭圆相交于点，.
（i）求的面积与的面积之比；
（ⅱ）证明：为定值.
【解析】（1）∵、是椭圆，的两个顶点，且，
直线的斜率为，由，，得，
又，
解得，，
∴椭圆的方程为；
（2）
设直线的方程为，则，，
联立方程消去，
整理得，，得
设，，∴，.
（i），，
∴，
∴的面积与的面积之比为1；
（ii）证明：
综上，.
变式13．（2024·四川巴中·高二四川省通江中学校考期中）已知圆过点，，且圆心在直线上.是圆外的点，过点的直线交圆于，两点.
(1)求圆的方程；
(2)若点的坐标为，求证：无论的位置如何变化恒为定值；
(3)对于（2）中的定值，使恒为该定值的点是否唯一？若唯一，请给予证明；若不唯一，写出满足条件的点的集合.
【解析】（1）显然，两点的中点为，直线斜率为，
线段的垂直平分线的方程为：，由，解得，，
因此圆心，半径，所以圆的方程为：.
（2）如图，若斜率不存在，则，，；
若斜率存在，设直线的方程为，
由消去整理得，设，，
则，，，同理，
，
所以不论的斜率是否存在，恒为定值.
（3）设，当过的直线斜率存在时，设其方程为，
由消去y得，
设，，则，，
则，同理，
于是
，
当过的直线斜率不存在时，其方程为，由，解得，
于是，即，
因此，而点在圆外，即有，则，
所以满足条件的点不唯一，点的集合.
变式14．（2024·云南·校联考模拟预测）已知点到定点的距离和它到直线：的距离的比是常数．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)若直线：与圆相切，切点在第四象限，直线与曲线交于，两点，求证：的周长为定值．
【解析】（1）
设，由条件可知：，等号的两边平方，整理后得：；
（2）
由（1）的结论知：曲线C是方程为的椭圆，设，依题意有：，
则，所以直线l的方程为：，
联立方程： ，得：，
设，则，
，
，
由条件可知：，，
的周长，即定值为10；
综上，曲线C的方向为，的周长.
题型七：直线过定点
例19．（2024·全国·高三专题练习）已知分别为椭圆的左、右焦点，过点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点，的周长为8.
(1)若的面积为，求直线的方程；
(2)过两点分别作直线的垂线，垂足分别是，证明：直线与交于定点.
【解析】（1）因的周长为8，由椭圆定义得，即，而半焦距，又，则，椭圆的方程为，
依题意，设直线的方程为，由消去x并整理得，
设，，则，，
，
因此，解得，
所以直线的方程为或.
（2）由（1）知，，则，，设直线与交点为，
则，，
而，，则，，
两式相加得：，而，
则，因此，两式相减得：
，而，则，即，
所以直线与交于定点.
例20．（2024·江西南昌·高三校联考阶段练习）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，点为椭圆上任意一点，面积最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过轴上一点的直线与椭圆交于两点，过分别作直线的垂线，垂足为，两点，证明：直线，交于一定点，并求出该定点坐标.
【解析】（1）设椭圆半焦距为，∵离心率为，∴.
由椭圆性质可知，当为短轴端点时，面积最大.
∴，∴.
又，解得，，.
∴椭圆的方程为：；
（2）设与轴交于点，则，
当的斜率为0时，显然不适合题意；
当的斜率不存在时，直线为，
∵四边形为矩形，∴，交于线段的中点.
当直线的斜率存在且不为0时，设，，
直线为：，联立，
得，
，
∴，，
设，，则，，
联立，得，
将，代入整理得.
将代入，得
.
综上，直线、交于定点.
例21．（2024·江西南昌·高二南昌市外国语学校校考期中）在平面直角坐标系中，椭圆C： (a>b>0)过点，离心率为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点K(2，0)作与x轴不重合的直线与椭圆C交于A，B两点，过A，B点作直线l：x＝的垂线，其中c为椭圆C的半焦距，垂足分别为A1，B1，试问直线AB1与A1B的交点是否为定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.
【解析】(1)由题意得⇒
所以椭圆C的标准方程为.
(2)①当直线AB的斜率不存在时，直线l：x＝，
AB1与A1B的交点是.
②当直线AB的斜率存在时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
直线AB为y＝k(x－2)，
由 ⇒(1＋5k2)x2－20k2x＋20k2－5＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝，
A1 ，B1，
所以lAB1： ， lA1B：y＝，
联立解得x＝，
代入上式可得
＝ ＝0.
综上，直线AB1与A1B过定点．
变式15．（2024·甘肃天水·高二统考期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，点在E上．
(1)求E的方程；
(2)过点作互相垂直且与x轴均不重合的两条直线分别交E于点A，B和C，D，若M，N分别是弦AB，CD的中点，证明：直线MN过定点．
【解析】（1）因为该椭圆的离心率，
所以有，又，所以有，
因为点在E上，所以，
联立，解得，
所以E的方程为；
（2）由（1）知，由题意知直线AB和直线CD的斜率都存在且不为0，
设直线AB方程为：，与E的方程联立，消去x并整理，得，
且，
设，则，所以，
所以点M的坐标为，
因为，则直线CD的方程为，
同理得，
当，即时，直线MN的斜率，
所以直线MN的方程为，
所以，
因为，
所以直线MN的方程即为，显然直线MN过定点；
当，即时，则或，
此时直线MN的方程为，也过点.
综上所述，直线MN过定点.
变式16．（2024·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考期中）在平面直角坐标系中， 椭圆：的左，右顶点分别为、，点是椭圆的右焦点，，．
(1)求椭圆的方程；
(2)不过点的直线交椭圆于、两点，记直线、、的斜率分别为、、.若，证明直线过定点， 并求出定点的坐标．
【解析】（1）由题意知，，，，
∵，，
∴，解得，从而，
∴椭圆的方程为.
（2）设直线的方程为，，．
直线不过点，因此．
由 ，得，
时，，，
∴
，
由，可得，即，
故的方程为，恒过定点．
变式17．（2024·全国·高三专题练习）已知A､B分别为椭圆E∶的右顶点和上顶点､椭圆的离心率为，F1､F2为椭圆的左､右焦点，点P是线段AB上任意一点，且的最小值为.
（1）求椭圆E的方程；
（2）若直线l是圆C∶x2+y2=9上的点处的切线，点M是直线l上任一点，过点M作椭圆C的切线MG，MH，切点分别为G，H，设切线的斜率都存在.试问∶直线GH是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
【解析】解∶（1）由.知，，则椭圆方程为，
设，线段AB的方程为
则，
又因为，所以的最小值为，解得a2=9，所以，故椭圆E的方程为.
（2）由题意可知，直线l的方程为，即，
设G(x1，y1)，H(x2，y2)，M(x3，y3)，由题知，设直线MG的方程为，，.
，化简得
所以，因为方程只有一解，
所以，故直线MG的方程为，化简得，
同理可得直线MH的方程为，
又因为两切线都经过点M(x3，y3)，所以
所以直线GH的方程为，
又因为，所以直线GH的方程为，.
令，得所以直线GH恒过定点.
变式18．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆C：的右顶点是M（2，0），离心率为．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)过点T（4，0）作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点B关于x轴的对称点为D，问直线AD是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
【解析】（1）由右顶点是M（2，0），得a＝2，又离心率，所以，
所以，所以椭圆C的标准方程为．
（2）设，，显然直线l的斜率存在．
直线l的方程为，联立方程组
消去y得，由，得，
所以，．
因为点，所以直线AD的方程为．
又，
所以直线AD的方程可化为，
即，
所以直线AD恒过点（1，0）．
（方法二）设，，直线l的方程为，
联立方程组消去x得，
由，得或，所以，．
因为点，则直线AD的方程为．
又，
所以直线AD的方程可化为
，
此时直线AD恒过点（1,0），
当直线l的斜率为0时，直线l的方程为y＝0，也过点（1，0）．
综上，直线AD恒过点（1，0）．
题型八：动点在定直线上
例22．（2024·江苏南通·高二校考阶段练习）已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为6.
(1)求点的轨迹的方程.
(2)已知点，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，试问：当点变化时，点是否恒在一条定直线上？若是，请证明；若不是，请说明理由.
【解析】（1）因为为的重心，且边上的两条中线长度之和为6，
所以，
故由椭圆的定义可知的轨迹是以为焦点的椭圆（不包括长轴的端点），
且，所以，
所以的轨迹的方程为；
（2）设直线的方程为：，，，
联立方程得：，
则，，
所以，
又直线的方程为：，
又直线的方程为：，
联立方程，解得，
把代入上式得：，
所以当点运动时，点恒在定直线上
例23．（2024·上海·高二专题练习）已知双曲线的两焦点为，为动点，若.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）若，设直线过点，且与轨迹交于两点，直线与交于点.试问：当直线在变化时，点是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条定直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.
【解析】（1）双曲线的两焦点为，
设动点 ，
因为，且 ，
所以动点的轨迹是以为焦点的椭圆.
因为 ，
所以的轨迹方程；.
（2）由题意设直线的方程为，
取 ，得，
直线 的方程是，
直线的方程是，
交点为 .
若，由对称性可知：交点为.
若点在同一条直线上，则该直线只能为.
以下证明 对任意的，直线与交点均在直线上.
由得 ，
设，
由韦达定理得：
设直线与交点为 ，
由 ，
得.
设直线与 交点为 ，
由 ，
得，
因为，
.
所以与重合.
所以当直线在变化时，点恒在直线上.
例24．（2024·全国·高二专题练习）已知椭圆的离心率，长轴的左、右端点分别为
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线 与椭圆交于两点，直线与交于点，试问：当变化时，点是否恒在一条直线上？若是，请写出这条直线的方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.
【解析】（1）设椭圆的标准方程为，
根据题意，可得且，所以，所以，
所以椭圆的标准方程为.
（2）根据题意，可设直线的方程为，
取，可得，
可得直线的方程为，直线的方程为，
联立方程组，可得交点为；
若，由对称性可知交点，
若点在同一直线上，则直线只能为；
以下证明：对任意的，直线与直线的交点均在直线上，
由，整理得，
设，则，
设与交于点，由，可得，
设与交于点，由，可得，
因为
，
因为，即与重合，
所以当变化时，点均在直线上，.
变式19．（2024·全国·高三专题练习）已知曲线，直线与曲线交于轴右侧不同的两点．
(1)求的取值范围；
(2)已知点的坐标为，试问：的内心是否恒在一条定直线上？若是，请求出该直线方程；若不是，请说明理由．
【解析】（1）设，
联立方程，消去y得：，
由题意可得，解得，
故的取值范围为.
（2）内心恒在一条定直线上，该直线为，
∵，即点在椭圆上，
若直线过点，则，解得，
即直线不过点，故直线的斜率存在，
由（1）可得：，
设直线的斜率分别为，则，
∵
，
即，则的角平分线为，
故的内心恒在直线上.
变式20．（2024·浙江台州·高二校联考期中）已知直线l：与圆C：交于A､B两点.
(1)若时，求弦AB的长度；
(2)设圆C在点A处的切线为，在点B处的切线为，与的交点为Q.试探究：当m变化时，点Q是否恒在一条定直线上？若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由.
【解析】（1），圆心，半径，
点C到直线的距离，
∴；
（2）设点，由题意得：Q､A､B､C四点共圆，
且圆的方程为：，
即，
与圆C的方程C：联立，
消去二次项得：，
即为直线l的方程，因为直线l：过定点，
所以，解得：，
所以当m变化时，点Q恒在直线上.
变式21．（2024·全国·高二专题练习）已知直线，圆.
(1)证明：直线与圆相交；
(2)设直线与的两个交点分别为、，弦的中点为，求点的轨迹方程；
(3)在（2）的条件下，设圆在点处的切线为，在点处的切线为，与的交点为.证明：Q，A，B，C四点共圆，并探究当变化时，点是否恒在一条定直线上?若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由.
【解析】（1）证明：如图所示，
圆，化成标准方程为，圆心，半径为2，
直线过定点，定点到圆心距离为1，即在圆内，故直线l与圆C相交；
（2）l与C的两个交点分别为A、B，弦AB的中点为M，
设点，由垂径定理得，即，整理得，
直线l不过圆心C，则，
所以点M的轨迹方程为；
（3）依题意有，，
四边形QACB对角互补，所以Q，A，B，C四点共圆， 且QC为圆的直径，
设，则圆心坐标为， 半径为，
则圆的标准方程为 ，
整理得，与圆C的方程联立，
消去二次项得∶，即为直线l的方程，
因为直线过定点，所以，解得：，
所以当m变化时，点Q恒在直线上．
变式22．（2024·吉林四平·高二校考阶段练习）已知椭圆的左、右顶点分别为、，短轴长为，点上的点满足直线、的斜率之积为．
(1)求的方程；
(2)若过点且不与轴垂直的直线与交于、两点，记直线、交于点．探究：点是否在定直线上，若是，求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．
【解析】（1）设，则，且，所以，，
则，
故①，又②，
联立①②，解得，，故椭圆的方程为．
（2）结论：点在定直线上．
由（1）得，、，设，
设直线的方程为，设点、，
联立，整理得，
，
，
直线的方程为，直线的方程为，
所以，，
可得
，解得，
因此，点在直线上.
变式23．（2024·高二课时练习）已知椭圆：（）过点，且离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)记椭圆的上下顶点分别为，过点斜率为的直线与椭圆交于两点，证明：直线与的交点在定直线上，并求出该定直线的方程．
【解析】（1）由椭圆过点，且离心率为，所以，解得
故所求的椭圆方程为．
（2）由题意得，，
直线的方程，设，
联立，整理得，
∴，．
由求根公式可知，不妨设，，
直线的方程为，直线的方程为，
联立，得
代入，得，
解得，即直线与的交点在定直线上．
题型九：圆过定点
例25．（2024·陕西西安·高二西安市铁一中学校考期末）已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为，抛物线的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知圆M：的切线l(直线l的斜率存在且不为零)与椭圆相交于两点，求证：以为直径的圆是否经过坐标原点.
【解析】（1）由题意可知，离心率，
抛物线的焦点为，即该椭圆的一个顶点为，故，
故，所以椭圆C的方程为；
（2）直线l的斜率存在且不为零，故设直线为，
依题意，圆M：，圆心为，半径，
由直线l与圆M：相切，得圆心到直线l的距离，
化简得，即.
设，
联立方程，得，
则，，
故，
则，
故，即，
故以为直径的圆经过坐标原点.
例26．（2024·四川宜宾·校考模拟预测）已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为、，抛物线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知圆的切线（直线的斜率存在且不为零）与椭圆相交于、两点，那么以为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由.
【解析】（1）因为椭圆的离心率,所以,即.
因为抛物线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点,
所以,所以.所以椭圆的方程为.
（2）因为直线的斜率存在且不为零.故设直线的方程为.
由消去,得,
所以设,则.
所以.
所以.①
因为直线和圆相切,所以圆心到直线的距离,
整理,得,②
将②代入①,得,显然以为直径的圆经过定点
综上可知,以为直径的圆过定点.
例27．（2024·辽宁葫芦岛·统考二模）已知直线l1: 过椭圆C: 的左焦点，且与抛物线M: 相切.
(1)求椭圆C及抛物线M的标准方程;
(2)直线l2过抛物线M的焦点且与抛物线M交于A，B两点，直线OA，OB与椭圆的过右顶点的切线交于M，N两点.判断以MN为直径的圆与椭圆C是否恒交于定点P，若存在，求出定点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由，得，
因为直线与抛物线只有1个公共点，
所以，解得，
故抛物线的方程为.
由直线过椭圆C的左焦点得得
所以，，3，
所以椭圆C的方程为.
（2）如图1，
设，，
当直线l2斜率存在时，可设直线方程：
由得，
所以，
，.
所以，
，
直线的方程为，同理可得，直线的方程为，
令得，，，
假设椭圆C上存在点，恒有.
则
即，
即，
即，
令，可得或.
由于点不在椭圆C上，点在椭圆上，
所以椭圆C上存在点，使恒成立
如图2，当直线斜率不存在时，直线过抛物线的右焦点，
则直线方程为，与抛物线交于，，
则直线OA方程为：，直线OB方程为：，
椭圆的过右顶点的切线方程为，切线方程与直线OA交于，与直线OB交于，由上面斜率存在可知恒过，经验证满足，
所以当斜率不存在时候也满足以MN为直径的圆恒过定点.
变式24．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，动点M到直线的距离等于点M到点的距离的2倍，记动点M的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)已知斜率为的直线l与曲线C交于A、B两个不同点，若直线l不过点，设直线的斜率分别为，求的值；
(3)设点Q为曲线C的上顶点，点E、F是C上异于点Q的任意两点，以为直径的圆恰过Q点，试判断直线是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．
【解析】（1）不妨设点的坐标为，
由题意可知，，
化简可得，，
故曲线C的方程为.
（2）不妨设直线的方程：，，，
因为直线l不过点，易知，
由可得，，
由且可得，或，
由韦达定理可知，，，
因为，，，，
所以，
将，代入上式得，，
故的值为0.
（3）由椭圆方程可知，点坐标为，
因为以为直径的圆恰过Q点，所以，
结合椭圆特征可知，直线的斜率存在，
不妨设直线方程：，且，，，
由可得，，
由可得，，
由韦达定理可知，，，
因为，，，，
所以，
将，代入上式并化简可得，，
故直线方程：，
易知直线必过定点，
从而直线经过定点，定点坐标为.
变式25．（2024·广西·高三象州县中学校考阶段练习）在直角坐标系中，动点M到定点的距离比到y轴的距离大1．
(1)求动点M的轨迹方程；
(2)当时，记动点M的轨迹为曲线C，过F的直线与曲线C交于P，Q两点，直线OP，OQ与直线分别交于A，B两点，试判断以AB为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
【解析】（1）动点M到定点的距离比到y轴的距离大1，
当时，动点M到定点的距离等于到的距离，轨迹为抛物线，
设抛物线方程为，，，
当时，满足条件.
综上所述：
轨迹方程为：时，；时，
（2）设直线的方程为，，联立，
整理得：，，，
直线的方程为，同理：直线的方程为，
令得，，
设中点的坐标为，则，，
所以.
，
圆的半径为.
所以为直径的圆的方程为.
展开可得，令，可得，解得或.
所以以为直径的圆经过定点和
变式26．（2024·江西宜春·高二江西省丰城中学校考期末）已知双曲线：经过点A，且点到的渐近线的距离为．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点作斜率不为的直线与双曲线交于M，N两点，直线分别交直线AM，AN于点E，F．试判断以EF为直径的圆是否经过定点，若经过定点，请求出定点坐标；反之，请说明理由．
【解析】（1）由题意得：
因为双曲线C的渐近线方程为，所以有：
解得：
因此，双曲线C的方程为：
（2）①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为
由可得：
设、，
则由：，
由直线AM方程，令，得点
由直线AN方程，令，得点
则以EF为直径的圆的方程为：
令，有：
将，代入上式，得
可得：
解得：，或
即以EF为直径的圆经过点和；
②当直线l的斜率不存在时，点E、F的坐标分别为、，以EF为直径的圆方程为，该圆经过点和
综合可得，以EF为直径的圆经过定点和
题型十：角度定值
例28．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过这两个焦点，点A，B分别是椭圆C的左、右顶点.
(1)求圆O和椭圆C的方程；
(2)已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与y轴交于点M，N.求证：为定值.
【解析】（1）由题意可得，解得，，
所以圆的方程为，椭圆的方程为．
（2）
证明：设点P的坐标为，点Q的坐标为，
则，即，
又由，得点M的坐标为，
由，得点N的坐标为，
所以，，，
所以，
所以，即
例29．（2024·北京·高三北京八中校考期中）已知椭圆上的点到它的两个焦点的距离之和为，以椭圆的短轴为直径的圆经过这两个焦点，点，分别是椭圆的左、右顶点．
（1）求圆和椭圆的方程．
（2）已知，分别是椭圆和圆上的动点（，位于轴两侧），且直线与轴平行，直线，分别与轴交于点，．求证：为定值．
【解析】（1）依题意，得，，
∴圆方程，椭圆方程．
（2）设，，
∴，，，
∵方程，令时，，
方程为，令得，
∴，，
∴，
∴．
例30．（2024·全国·高三专题练习）已知点是椭圆的左焦点，过且垂直轴的直线交于，，且.
(1)求椭圆的方程
(2)四边形(A，D在轴上方的四个顶点都在椭圆上，对角线，恰好交于点，若直线，分别与直线交于，，且为坐标原点，求证：．
【解析】（1）由已知得 ，
解得，，
故椭圆的方程是.
（2）由题设直线的方程为，，，
把代入得，
所以， ，
设直线的方程为，，，
类似可得，，
因直线的方程为，
所以点的纵坐标，
同理可得点的纵坐标，
要证，只需证，
即证，
即
而式左边
，故结论成立 .
变式27．（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图3所示，点，分别为椭圆的左焦点和右顶点，点为抛物线的焦点，且（为坐标原点）.

(1)求椭圆的方程；
(2)过点作直线交椭圆于，两点，连接，并延长交抛物线的准线于点，，求证：为定值.
【解析】（1）因为点为抛物线的焦点，所以，即，
因为，所以，，所以，，，
所以椭圆的方程为.
（2）证明：由（1）可知：，，
设，，，，
显然直线的斜率不为0，故可设为.
由得：，
，
，.
，，三点共线，.
同理：，
，
，
故，即：.
变式28．（2024·四川绵阳·高二盐亭中学校考期中）已知圆 ，为圆上一动点，，若线段的垂直平分线交于点.

(1)求动点的轨迹方程;
(2)如图，点 在曲线上，是曲线上位于直线两侧的动点，当运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由.
【解析】（1）
依题意，，因此，
于是点的轨迹为以为焦点，长轴长为 8的椭圆，则长半轴长，半焦距，短半轴长，
所以曲线的轨亦方程为.
（2）直线的斜率为定值．
设，由，得直线的斜率互为相反数，
设直线 的斜率为，则直线的斜率为，直线 的方程为，
由消去得，
，同理得，
，依题意，，
所以直线的斜率，
即直线的斜率为定值.
变式29．（2024·广东阳江·高三统考开学考试）已知，分别是椭圆长轴的两个端点，C的焦距为2．，，P是椭圆C上异于A，B的动点，直线PM与C的另一交点为D，直线PN与C的另一交点为E．
(1)求椭圆C的方程；
(2)证明：直线DE的倾斜角为定值．
【解析】（1）由题意，a＝2，2c＝2，c＝1，∴．
∴椭圆C的方程为．
（2）设，，，则．①
当直线PN的斜率存在时，其方程为，代入椭圆C的方程，整理得
．
∴．
直线PM的方程为，代入椭圆C的方程，整理得
．
∴．
因此，此时DE⊥x轴，即直线DE的倾斜角为．
②当直线PN的斜率不存在时，其方程为，此时．
由①知，∴．
∴，此时DE⊥x轴，即直线DE的倾斜角为．
综上所述，直线DE的倾斜角为．
【反思】如图所示，由条件，，，，知，故A，B，M，N为调和点列．因此PA，PB，PM，PN为调和线束，即PA，PB，PD，PE为调和线束．由定理3知直线DE经过直线AB的极点（为无穷远点），因此直线DE⊥x轴．
变式30．（2024·陕西榆林·高二校考阶段练习）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过，两点.
(1)求E的方程；
(2)若直线l与圆O：相切，且直线l交E于M，N两点，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【解析】（1）设E的方程为，过，，
所以，解得，，所以E的方程为.
（2）当直线l的斜率不存在时，易得直线l的方程为或．
若直线l的方程为则，
或，，所以，所以；
若直线l的方程为，则，
或，，所以，所以.
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，，，
因为直线l与圆O：相切，所以，即.
由得，
所以，，
所以，所以.
综上，为定值，该定值为.
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