2025年高考数学核心考点归纳第79讲、圆锥曲线中的圆问题特训(学生版+解析)

这是一份2025年高考数学核心考点归纳第79讲、圆锥曲线中的圆问题特训(学生版+解析)，共60页。试卷主要包含了证明四点共圆的方法，全国名校期中期末考试卷，期中期末考试串讲，导数专题，全国名校期中期末一模二模等内容，欢迎下载使用。
1、曲线的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆：．
2、双曲线的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆．
3、抛物线的两条互相垂直的切线的交点在该抛物线的准线上．
4、证明四点共圆的方法：
方法一：从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，则可肯定这四点共圆．
方法二：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一同弧所对的圆周角相等证）．
方法三：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其中一个外角等于其内对角时，则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一圆内接四边形的对角和为，并且任何一个外角都等于它的内对角）．
方法四：证明被证共圆的四点到某一定点的距离都相等，或证明被证四点连成的四边形其中三边中垂线有交点），则可肯定这四点共圆（根据圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹为圆）．
必考题型全归纳
题型一：蒙日圆问题
例1．（2024·全国·高三专题练习）在学习数学的过程中，我们通常运用类比猜想的方法研究问题．
(1)已知动点为圆外一点，过引圆的两条切线、，、为切点，若，求动点的轨迹方程；
(2)若动点为椭圆外一点，过引椭圆的两条切线、，、为切点，若，求出动点的轨迹方程；
(3)在（2）问中若椭圆方程为，其余条件都不变，那么动点的轨迹方程是什么（直接写出答案即可，无需过程）．
例2．（2022·全国·高三专题练习）在学习过程中，我们通常遇到相似的问题.
（1）已知动点为圆：外一点，过引圆的两条切线、，、为切点，若，求动点的轨迹方程；
（2）若动点为椭圆：外一点，过引椭圆的两条切线、，、为切点，若，猜想动点的轨迹是什么，请给出证明并求出动点的轨迹方程.
例3．（2024·河南·校联考模拟预测）在椭圆：（）中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆：上，称此圆为椭圆的蒙日圆.椭圆过，.
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆的蒙日圆上一点，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点，若，存在，证明：为定值.
变式1．（2024秋·浙江宁波·高三期末）法国数学家加斯帕尔·蒙日被誉为画法几何之父.他在研究椭圆切线问题时发现了一个有趣的重要结论：一椭圆的任两条互相垂直的切线交点的轨迹是一个圆，尊称为蒙日圆，且蒙日圆的圆心是该椭圆的中心，半径为该椭圆的长半轴与短半轴平方和的算术平方根.已知在椭圆中，离心率，左、右焦点分别是、，上顶点为Q，且，O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程，并请直接写出椭圆C的蒙日圆的方程；
(2)设P是椭圆C外一动点（不在坐标轴上），过P作椭圆C的两条切线，过P作x轴的垂线，垂足H，若两切线斜率都存在且斜率之积为，求面积的最大值.
变式2．（2024·吉林白山·统考二模）法国数学家加斯帕尔·蒙日创立的《画法几何学》对世界各国科学技术的发展影响深远．在双曲线-=1（a>b>0）中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴长与虚半轴长的平方差的算术平方根，这个圆被称为蒙日圆．已知双曲线C：-=1（a>b>0）的实轴长为6，其蒙日圆方程为x2+y2=1．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设D为双曲线C的左顶点，直线l与双曲线C交于不同于D的E，F两点，若以EF为直径的圆经过点D，且DG⊥EF于G，证明：存在定点H，使|GH|为定值．
变式3．（2022秋·江苏盐城·高三校联考阶段练习）定义椭圆的“蒙日圆”的方程为，已知椭圆的长轴长为4，离心率为.
(1)求椭圆的标准方程和它的“蒙日圆”E的方程；
(2)过“蒙日圆”E上的任意一点M作椭圆的一条切线，A为切点，延长MA与“蒙日圆”E交于点，O为坐标原点，若直线OM，OD的斜率存在，且分别设为，证明：为定值.
变式4．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程；
(3)若过椭圆上任意一点的切线与（2）中所求点的轨迹方程交于、两点，求证：．
变式5．（2019·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）已知椭圆：的一个焦点为,离心率为.
（1）求的标准方程；
（2）若动点为外一点,且到的两条切线相互垂直,求的轨迹的方程；
（3）设的另一个焦点为,过上一点的切线与（2）所求轨迹交于点,,求证：.
变式6．（2022·全国·高三专题练习）设椭圆的中心在原点，焦点在轴上，垂直轴的直线与椭圆相交于、两点，当的周长取最大值时，．
(1)求椭圆的方程；
(2)过圆上任意一点作椭圆的两条切线、，直线、与圆的另一交点分别为、,
①证明：；
②求面积的最大值．
题型二：内圆与外圆问题
例4．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆及圆，过点与椭圆相切的直线交圆于点，若，求椭圆的离心率．
例5．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆和圆，，分别是椭圆的左、右两焦点，过且倾斜角为的动直线交椭圆于，两点，交圆于，两点（如图所示，点在轴上方）．当时，弦的长为．
(1)求圆与椭圆的方程；
(2)若，求直线的方程．
例6．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆和圆分别是椭圆的左、右两焦点，过且倾斜角为的动直线交椭圆于两点，交圆于两点（如图所示），当时，弦的长为．
（1）求圆和椭圆的方程
（2）若点是圆上一点，求当成等差数列时，面积的最大值．
变式7．（2017·上海嘉定·统考二模）如图，已知椭圆过点两个焦点为和.圆O的方程为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过且斜率为的动直线l与椭圆C交于A、B两点，与圆O交于P、Q两点（点A、P在x轴上方），当成等差数列时，求弦PQ的长.
变式8．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知椭圆和圆（其中圆心为原点），过椭圆上异于上、下顶点的一点引圆的两条切线，切点分别为．
(1)求直线的方程；
(2)求三角形面积的最大值．
变式9．（2022·全国·高三专题练习）如图，椭圆和圆，已知椭圆的离心率为，直线与圆相切．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)椭圆的上顶点为，是圆的一条直径，不与坐标轴重合，直线、与椭圆的另一个交点分别为、，求的面积的最大值及此时所在的直线方程．
变式10．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆和圆，过椭圆上一点引圆的两条切线，切点分别为．
（Ⅰ）若圆过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率的值；
（Ⅱ）设直线与、轴分别交于点，问当点在椭圆上运动时，是否为定值？请证明你的结论．
题型三：直径为圆问题
例7．（2024秋·湖南岳阳·高三校考阶段练习）已知椭圆经过点，左，右焦点分别为，，为坐标原点，且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设A为椭圆的右顶点，直线与椭圆相交于，两点，以为直径的圆过点A，求的最大值．
例8．（2024秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知椭圆过和两点.

(1)求椭圆C的方程；
(2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A，B，当动点M在定直线上运动时，直线，分别交椭圆于两点P和Q.
（i）证明：点B在以为直径的圆内；
（ii）求四边形面积的最大值.
例9．（2024·山西大同·统考模拟预测）已知椭圆的离心率为，且直线是抛物线的一条切线．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的动直线交椭圆于两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个定点，使得以为直径的圆恒过定点？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．
变式11．（2024秋·福建福州·高三闽侯县第一中学校考阶段练习）已知椭圆的离心率是，上、下顶点分别为，.圆与轴正半轴的交点为，且.
(1)求的方程；
(2)直线与圆相切且与相交于，两点，证明：以为直径的圆恒过定点.
变式12．（2024秋·广东广州·高三广州市第六十五中学校考阶段练习）已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为，为坐标原点，线段的中点为，且．
(1)求方程；
(2)已知点、均在直线上，以为直径的圆经过点，圆心为点，直线、分别交椭圆于另一点、，证明直线与直线垂直．
变式13．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，A，B分别是C的右、上顶点，且，D是C上一点，周长的最大值为8.
(1)求C的方程；
(2)C的弦过，直线，分别交直线于M，N两点，P是线段的中点，证明：以为直径的圆过定点.
变式14．（2024秋·全国·高三校联考开学考试）在平面直角坐标系中，已知分别为椭圆的左、右焦点.为椭圆上的一个动点，的最大值为，且点到右焦点距离的最小值为，直线交椭圆于异于椭圆右顶点的两个点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若以为直径的圆恒过点，求证：直线恒过定点，并求此定点的坐标.
变式15．（2024秋·重庆·高三统考开学考试）已知、是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知，两点的坐标分别是，，若过点的直线与椭圆交于，两点，且以为直径的圆过点，求出直线的所有方程.
变式16．（2022秋·广东梅州·高三大埔县虎山中学校考阶段练习）如图，椭圆的左焦点为，右焦点为，离心率，过的直线交椭圆于、两点，且的周长为.

(1)求椭圆的方程；
(2)设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点，则在轴上一定存在定点，使得以为直径的圆恒过点，试求出点的坐标.
题型四：四点共圆问题
例10．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知，，动点P满足，且.设动点P形成的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的标准方程；
(2)过点的直线l与曲线C交于M，N两点，试判断是否存在直线l，使得A，B，M，N四点共圆.若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.
例11．（2024秋·新疆乌鲁木齐·高三乌鲁木齐市十二中校考阶段练习）已知抛物线上的点到其焦点的距离为．
(1)求和的值；
(2)若直线交抛物线于、两点，线段的垂直平分线交抛物线于、两点，求证：、、、四点共圆．
例12．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，左顶点为，且离心率为．
(1)求C的方程；
(2)直线交C于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N，求证：M，，N，四点共圆．
变式17．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的右顶点为点A，直线l交C于M，N两点，O为坐标原点．当四边形AMON为菱形时，其面积为．
(1)求C的方程；
(2)若；是否存在直线l，使得A，M，O，N四点共圆？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．
变式18．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，左顶点为，且过点．
(1)求C的方程；
(2)过原点O且与x轴不重合的直线交C于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N，求证：M，，N，四点共圆．
变式19．（2024·山东青岛·山东省青岛第五十八中学校考一模）椭圆的离心率为，右顶点为A，设点O为坐标原点，点B为椭圆E上异于左、右顶点的动点，面积的最大值为．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设直线交x轴于点P，其中，直线PB交椭圆E于另一点C，直线BA和CA分别交直线l于点M和N，若O、A、M、N四点共圆，求t的值．
变式20．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆E：的离心率为，且经过点(-1，).
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设椭圆E的右顶点为A，点O为坐标原点，点B为椭圆E上异于左､右顶点的动点，直线l：交x轴于点P，直线PB交椭圆E于另一点C，直线BA和CA分别交直线l于点M和N，若O､A､M､N四点共圆，求t的值.
变式21．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线：，是上位于第一象限内的动点，它到点距离的最小值为，直线与交于另一点，线段AD的垂直平分线交于E，F两点.
(1)求的值；
(2)若，证明A，D，E，F四点共圆，并求该圆的方程.
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第79讲 圆锥曲线中的圆问题
知识梳理
1、曲线的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆：．
2、双曲线的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆．
3、抛物线的两条互相垂直的切线的交点在该抛物线的准线上．
4、证明四点共圆的方法：
方法一：从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，则可肯定这四点共圆．
方法二：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一同弧所对的圆周角相等证）．
方法三：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其中一个外角等于其内对角时，则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一圆内接四边形的对角和为，并且任何一个外角都等于它的内对角）．
方法四：证明被证共圆的四点到某一定点的距离都相等，或证明被证四点连成的四边形其中三边中垂线有交点），则可肯定这四点共圆（根据圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹为圆）．
必考题型全归纳
题型一：蒙日圆问题
例1．（2024·全国·高三专题练习）在学习数学的过程中，我们通常运用类比猜想的方法研究问题．
(1)已知动点为圆外一点，过引圆的两条切线、，、为切点，若，求动点的轨迹方程；
(2)若动点为椭圆外一点，过引椭圆的两条切线、，、为切点，若，求出动点的轨迹方程；
(3)在（2）问中若椭圆方程为，其余条件都不变，那么动点的轨迹方程是什么（直接写出答案即可，无需过程）．
【解析】（1）由切线的性质及可知，四边形为正方形，
所以点在以为圆心，长为半径的圆上，且，
进而动点的轨迹方程为
（2）设两切线为，，
①当与轴不垂直且不平行时，设点的坐标为，则，
设的斜率为，则，的斜率为，
的方程为，联立，
得，
因为直线与椭圆相切，所以，得，
化简，，
进而，
所以
所以是方程的一个根，
同理是方程的另一个根，
，得，其中，
②当与轴垂直或平行时，与轴平行或垂直，
可知：点坐标为：，
点坐标也满足，
综上所述，点的轨迹方程为：．
（3）动点的轨迹方程是
以下是证明：
设两切线为，，
①当与轴不垂直且不平行时，设点的坐标为，则，
设的斜率为，则，的斜率为，
的方程为，联立，
得，
因为直线与椭圆相切，所以，
得，
化简，，
进而，
所以
所以是方程的一个根，
同理是方程的另一个根，
，得，其中，
②当与轴垂直或平行时，与轴平行或垂直，
可知：点坐标为：，
点坐标也满足，
综上所述，点的轨迹方程为：．
例2．（2022·全国·高三专题练习）在学习过程中，我们通常遇到相似的问题.
（1）已知动点为圆：外一点，过引圆的两条切线、，、为切点，若，求动点的轨迹方程；
（2）若动点为椭圆：外一点，过引椭圆的两条切线、，、为切点，若，猜想动点的轨迹是什么，请给出证明并求出动点的轨迹方程.
【解析】（1）因为、是圆的两条切线，所以，
由可得，所以四边形是矩形，
因为，所以四边形为正方形，
所以，即点在以为圆心，长为半径的圆上，
所以动点的轨迹方程为；
（2）动点的轨迹是一个圆，
设切线、为，，
①当与轴不垂直且不平行时，设点的坐标为，则，
设的斜率为，则，的斜率为，
的方程为，与联立可得，
因为直线与椭圆相切，所以，得，即，
所以
所以，
所以是方程的一个根，
同理是方程的另一个根，
所以，得，其中；
②当轴或轴时，对应轴或轴，可知，满足上式；
综上所述，点的轨迹方程为
例3．（2024·河南·校联考模拟预测）在椭圆：（）中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆：上，称此圆为椭圆的蒙日圆.椭圆过，.
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆的蒙日圆上一点，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点，若，存在，证明：为定值.
【解析】（1）将，代入到，
可得，解得，，
所以椭圆的方程为：.
（2）由题意可知，蒙日圆方程为：.
（ⅰ）若直线斜率不存在，则直线的方程为：或.
不妨取，易得，，，，
.
（ⅱ）若直线斜率存在，设直线的方程为：.
联立，化简整理得：，
据题意有，于是有：.
设（），（）.
化简整理得：，
，
，.
则
，
，所以.
综上可知，为定值.
变式1．（2024秋·浙江宁波·高三期末）法国数学家加斯帕尔·蒙日被誉为画法几何之父.他在研究椭圆切线问题时发现了一个有趣的重要结论：一椭圆的任两条互相垂直的切线交点的轨迹是一个圆，尊称为蒙日圆，且蒙日圆的圆心是该椭圆的中心，半径为该椭圆的长半轴与短半轴平方和的算术平方根.已知在椭圆中，离心率，左、右焦点分别是、，上顶点为Q，且，O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程，并请直接写出椭圆C的蒙日圆的方程；
(2)设P是椭圆C外一动点（不在坐标轴上），过P作椭圆C的两条切线，过P作x轴的垂线，垂足H，若两切线斜率都存在且斜率之积为，求面积的最大值.
【解析】（1）设椭圆方程为，焦距为2c.
由题意可知，
所以，椭圆C的方程为，
且蒙日圆的方程为；
（2）设，设过点P的切线方程为，
由，消去y得①，
由于相切，所以方程①的，可得：，
整理成关于k的方程可得：，
由于P在椭圆外，故，
故，
设过点P的两切线斜率为，
据题意得，，，
又因为，所以可得，
即点的轨迹方程为：，
由不等式可知：，
即，当且仅当时取等号，此时，
所以，即的面积的最大值为.
变式2．（2024·吉林白山·统考二模）法国数学家加斯帕尔·蒙日创立的《画法几何学》对世界各国科学技术的发展影响深远．在双曲线-=1（a>b>0）中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴长与虚半轴长的平方差的算术平方根，这个圆被称为蒙日圆．已知双曲线C：-=1（a>b>0）的实轴长为6，其蒙日圆方程为x2+y2=1．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设D为双曲线C的左顶点，直线l与双曲线C交于不同于D的E，F两点，若以EF为直径的圆经过点D，且DG⊥EF于G，证明：存在定点H，使|GH|为定值．
【解析】（1）由题意知a=3，因为双曲线C的蒙日圆方程为x2+y2=1，
所以a2-b2=1，所以b=2，
故双曲线C的标准方程为-=1，
（2）证明：设E（x1，y1），F（x2，y2）．
当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m，
联立方程组化简得（8-9k2）x2-18kmx-（9m2+72）=0，
则Δ=（18km）2+4（9m2+72）（8-9k2）>0，即m2-9k2+8>0，
且
因为·=（x1+3）（x2+3）+y1y2=0，
所以（k2+1）·x1x2+（km+3）（x1+x2）+m2+9
=（k2+1）·+（km+3）·+m2+9=0，
化简得m2-54km+153k2=（m-3k）（m-51k）=0，
所以m=3k或m=51k，且均满足m2-9k2+8>0
当m=3k时，直线l的方程为y=k（x+3），直线过定点（-3，0），与已知矛盾，
当m=51k时，直线l的方程为y=k（x+51），过定点M（-51，0）
当直线l的斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE：y=x+3，
联立方程组得x=-3（舍去）或x=-51，此时直线l过定点M（-51，0）．
因为DG⊥EF，所以点G在以DM为直径的圆上，H为该圆圆心，|GH|为该圆半径．
故存在定点H（-27，0），使|GH|为定值24.
变式3．（2022秋·江苏盐城·高三校联考阶段练习）定义椭圆的“蒙日圆”的方程为，已知椭圆的长轴长为4，离心率为.
(1)求椭圆的标准方程和它的“蒙日圆”E的方程；
(2)过“蒙日圆”E上的任意一点M作椭圆的一条切线，A为切点，延长MA与“蒙日圆”E交于点，O为坐标原点，若直线OM，OD的斜率存在，且分别设为，证明：为定值.
【解析】（1）由题意知
，
故椭圆的方程,
“蒙日圆”的方程为,即
（2）当切线的斜率存在且不为零时,设切线的方程为,则
由,消去得
,
由,消去得
设,则,
，
，
当切线的斜率不存在或为零时,易得成立,
为定值.
变式4．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程；
(3)若过椭圆上任意一点的切线与（2）中所求点的轨迹方程交于、两点，求证：．
【解析】（1）由题意可得，，则，，
所以，椭圆的方程为.
（2）设点，若两切线分别与两坐标轴垂直，则，，
此时；
若两切线的斜率都存在，设两切线的斜率分别为、，
切线的方程设为，联立椭圆方程，
可得，
，
可得，
由题意可得，整理可得.
综上所述，点的轨迹方程为.
（3）设点，则，且，
，
，
所以，，
连接，设过点且垂直于的直线交圆于、两点，
由垂径定理可知为的中点，且，
所以，,
连接，易得，
所以，所以
所以.
变式5．（2019·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）已知椭圆：的一个焦点为,离心率为.
（1）求的标准方程；
（2）若动点为外一点,且到的两条切线相互垂直,求的轨迹的方程；
（3）设的另一个焦点为,过上一点的切线与（2）所求轨迹交于点,,求证：.
【解析】（1）设,
由题设,得,,所以,,
所以的标准方程为.
（2）如图,设,切点分别为,,
当时,设切线方程为,
联立方程,得,
消去,得,①
关于的方程①的判别式,
化简,得,②
关于的方程②的判别式,
因为在椭圆外,
所以,即,所以.
关于的方程②有两个实根,分别是切线,的斜率,
因为,所以,即,化简为,
当时,可得,满足,
所以的轨迹方程为.
（3）证明：如图,设,先求.
方法一：由相交弦定理,得
.
方法二：切线的参数方程为（为参数）,
,
代入圆,整理得,
因为点在圆内,
所以上述方程必有两个不等实根,,,且,
所以,
当时,,仍有.
再求.
,
因为点在椭圆上,所以,即,
所以,
所以.
变式6．（2022·全国·高三专题练习）设椭圆的中心在原点，焦点在轴上，垂直轴的直线与椭圆相交于、两点，当的周长取最大值时，．
(1)求椭圆的方程；
(2)过圆上任意一点作椭圆的两条切线、，直线、与圆的另一交点分别为、,
①证明：；
②求面积的最大值．
【解析】（1）根据题意，设椭圆的标准方程为，
如图，不妨设焦点为椭圆的左焦点，为椭圆的右焦点，与的交点为，
所以，由椭圆定义，
因为在中，，且当点与点重合时，等号成立，
所以，，当点与点重合时，等号成立，
所以，
所以，的周长取最大值时，直线过椭圆的另一焦点，且最大值为，
所以把代入椭圆的方程可得，
因为，所以，，
因为的周长最大值为，所以，解得，，
所以，椭圆的方程为．
（2）①设，，则．
当切线的斜率都存在时，设切线的方程为：，
代入椭圆的方程可得：，
所以，△，化为．
所以，当时，设直线、的斜率分别为，
所以，，故．
当时，有一条切线的斜率不存在，
点可以为或或或，
此时，两条切线为和，或和，或和或和，满足；
综上可得：．
②由①可得：，
所以，为的直径，因此过圆心即原点．
所以，当时，面积取得最大值．
题型二：内圆与外圆问题
例4．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆及圆，过点与椭圆相切的直线交圆于点，若，求椭圆的离心率．
【解析】由，可得为等边三角形，即，
设直线的方程为，则
圆心到直线的距离为，弦长，解得，
，消去，整理得，
因为直线和椭圆相切，
所以，化简可得，
由，可得，
即有．
例5．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆和圆，，分别是椭圆的左、右两焦点，过且倾斜角为的动直线交椭圆于，两点，交圆于，两点（如图所示，点在轴上方）．当时，弦的长为．
(1)求圆与椭圆的方程；
(2)若，求直线的方程．
【解析】（1）取的中点，连接，，如图所示：
由，，，可得，
由弦的长为，∴，
，，
所以圆的方程为，椭圆的方程为；
（2）由（1）知，，离心率，
又，得，，
设，，则，，
代入，得，解得，
代入，得．，
则直线的方程为：，即．
例6．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆和圆分别是椭圆的左、右两焦点，过且倾斜角为的动直线交椭圆于两点，交圆于两点（如图所示），当时，弦的长为．
（1）求圆和椭圆的方程
（2）若点是圆上一点，求当成等差数列时，面积的最大值．
【解析】（1）取的中点，连接
由，可得，
∵，∴
∴
∴圆的方程为，椭圆的方程为
（2）∵成等差数列，所以,又因为，
∴
设，则，得，
∴
∴到的距离为，
又圆上一点到直线的距离的最大值为
∴的面积的最大值为．
变式7．（2017·上海嘉定·统考二模）如图，已知椭圆过点两个焦点为和.圆O的方程为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过且斜率为的动直线l与椭圆C交于A、B两点，与圆O交于P、Q两点（点A、P在x轴上方），当成等差数列时，求弦PQ的长.
【解析】（1）由题意，，
设椭圆C的方程为，将点代入，
解得或（舍去），
所以，椭圆C的方程为.
（2）由椭圆定义，，两式相加，得
，因为成等差数列，
所以，
于是，即.
设，由解得，
所以，，直线l的方程为，
即，
圆O的方程为，圆心O到直线l的距离，
此时，弦PQ的长.
变式8．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知椭圆和圆（其中圆心为原点），过椭圆上异于上、下顶点的一点引圆的两条切线，切点分别为．
(1)求直线的方程；
(2)求三角形面积的最大值．
【解析】（1）因为，
所以以点为圆心，为半径的圆的方程为．
因为圆与圆两圆的公共弦所在的直线即为直线，
所以联立方程组，
由，得，
所以直线的方程为．
（2）由（1）知，直线的方程为，
所以点到直线的距离为．
因为，
所以三角形的面积．
因为点，在椭圆上，
所以，即．
设，
所以．
当且仅当时，等号成立；
当，即时，三角形的面积取得最大值；
当，即时，三角形的面积取得最大值.
变式9．（2022·全国·高三专题练习）如图，椭圆和圆，已知椭圆的离心率为，直线与圆相切．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)椭圆的上顶点为，是圆的一条直径，不与坐标轴重合，直线、与椭圆的另一个交点分别为、，求的面积的最大值及此时所在的直线方程．
【解析】（1）直线与圆相切，则，
由椭圆的离心率，解得：，
椭圆的标准方程：；
（2）由题意知直线，的斜率存在且不为0，，
不妨设直线的斜率为，则直线．
由，得，或，
所以.
用代替，
则，
，
，
设，则．
当且仅当即时取等号，
所以.
即，．
直线的斜率，
所在的直线方程：.
变式10．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆和圆，过椭圆上一点引圆的两条切线，切点分别为．
（Ⅰ）若圆过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率的值；
（Ⅱ）设直线与、轴分别交于点，问当点在椭圆上运动时，是否为定值？请证明你的结论．
【解析】（Ⅰ）∵ 圆过椭圆的焦点，圆：，
∴ ，
∴ ， ，∴．
（Ⅱ）设，
由得，则, 整理得
∴方程为：，
同理可得方程为：．
从而直线的方程为：．
令，得，令，得
∴，
∴为定值，定值是.
题型三：直径为圆问题
例7．（2024秋·湖南岳阳·高三校考阶段练习）已知椭圆经过点，左，右焦点分别为，，为坐标原点，且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设A为椭圆的右顶点，直线与椭圆相交于，两点，以为直径的圆过点A，求的最大值．
【解析】（1）根据题意可得解得，，
所以椭圆的方程为．
（2）
由(1)得，设直线的方程为，，，，
联立，得，
所以，
，,
，
，
因为以为直径的圆过点A，故，所以，
所以，所以，
所以，所以，
解得或舍去，
当时，，且，点A到MN的距离为，
所以，
化简得，
令，则，
，
由对勾函数的单调性知，在上单调递增，
即时取得最小值，此时.
例8．（2024秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知椭圆过和两点.

(1)求椭圆C的方程；
(2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A，B，当动点M在定直线上运动时，直线，分别交椭圆于两点P和Q.
（i）证明：点B在以为直径的圆内；
（ii）求四边形面积的最大值.
【解析】（1）依题意将和两点代入椭圆可得
，解得；
所以椭圆方程为
（2）（i）易知，由椭圆对称性可知，不妨设，；
根据题意可知直线斜率均存在，且；
所以直线的方程为，的方程为；
联立直线和椭圆方程，消去可得；
由韦达定理可得，解得，则；
联立直线和椭圆方程，消去可得；
由韦达定理可得，解得，则；
则，；
所以；
即可知为钝角，
所以点B在以为直径的圆内；
（ii）易知四边形的面积为，
设，则，当且仅当时等号成立；
由对勾函数性质可知在上单调递增，
所以，可得，
由对称性可知，即当点的坐标为或时，
四边形的面积最大，最大值为6.
例9．（2024·山西大同·统考模拟预测）已知椭圆的离心率为，且直线是抛物线的一条切线．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的动直线交椭圆于两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个定点，使得以为直径的圆恒过定点？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由得
直线是抛物线的一条切线．所以
，所以椭圆
（2）
当直线与轴平行时，以为直径的圆方程为
当直线与轴重合时，以为直径的圆方程为
所以两圆的交点为点猜想：所求的点为点．
证明如下．当直线与轴垂直时，以为直径的圆过点
当直线与轴不垂直时，可设直线为：
由得，设，则
则
所以，即以为直径的圆过点
所以存在一个定点，使得以为直径的圆恒过定点．
变式11．（2024秋·福建福州·高三闽侯县第一中学校考阶段练习）已知椭圆的离心率是，上、下顶点分别为，.圆与轴正半轴的交点为，且.
(1)求的方程；
(2)直线与圆相切且与相交于，两点，证明：以为直径的圆恒过定点.
【解析】（1）由已知得，，.
则，，，所以.
因为，又，所以，.
故的方程为.
（2）当直线的斜率存在时，设的方程为，即.
因为直线与圆相切，所以，即.
设，，则，.
由化简，得，
由韦达定理，得
所以，
所以，
故，即以为直径的圆过原点.
当直线的斜率不存在时，的方程为或.
这时，或，.
显然，以为直径的圆也过原点.综上，以为直径的圆恒过原点.
变式12．（2024秋·广东广州·高三广州市第六十五中学校考阶段练习）已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为，为坐标原点，线段的中点为，且．
(1)求方程；
(2)已知点、均在直线上，以为直径的圆经过点，圆心为点，直线、分别交椭圆于另一点、，证明直线与直线垂直．
【解析】（1）由题意知：，，则，而，
∴，即，又，
∴，解得或（舍去），故，
∴的方程.
（2）令，，则，而，
∴，，
联立椭圆方程，整理得，显然，
若，则，得，则，即，
同理，整理得，显然，
若，可得，则，即.
∴，
又，则，所以，故，而，
∴，则直线与直线垂直，得证.
变式13．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，A，B分别是C的右、上顶点，且，D是C上一点，周长的最大值为8.
(1)求C的方程；
(2)C的弦过，直线，分别交直线于M，N两点，P是线段的中点，证明：以为直径的圆过定点.
【解析】（1）依题意，，
周长，当且仅当三点共线时等号成立，故，
所以，所以的方程；
（2）设，直线，代入，整理得，
，，
易知，令，得，同得，
从而中点，
以为直径的圆为，
由对称性可知，定点必在轴上，
令得，，
，
所以，即，因为，
所以，即，
解得，所以圆过定点.
变式14．（2024秋·全国·高三校联考开学考试）在平面直角坐标系中，已知分别为椭圆的左、右焦点.为椭圆上的一个动点，的最大值为，且点到右焦点距离的最小值为，直线交椭圆于异于椭圆右顶点的两个点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若以为直径的圆恒过点，求证：直线恒过定点，并求此定点的坐标.
【解析】（1）因为的最大值为，
所以为短轴的顶点时，，此时易得.
又点到右焦点距离的最小值为，即，
解得.
又由，可得.
所以椭圆的标准方程为；
（2）证明：当直线的斜率不存在时，
设，联立，
解得，
所以或.
又，
所以或，
因为以为直径的圆恒过点，
所以.
所以，
解得或（舍去），
此时直线的方程为.
当直线的斜率存在时，易知直线的斜率不为0，设，
联立，
消去得：.
由，得，
由根与系数的关系，知.
因为，
所以，
将代入上式，
整理得，
即，所以或.
当时，直线为，此时直线过点，不符合题意，舍去；
当时，直线为，此时直线过定点.
综上所述，直线恒过定点.
变式15．（2024秋·重庆·高三统考开学考试）已知、是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知，两点的坐标分别是，，若过点的直线与椭圆交于，两点，且以为直径的圆过点，求出直线的所有方程.
【解析】（1）因为，
所以椭圆的左焦点的坐标是，
所以
解得
所以椭圆的方程为.
（2）若直线与轴垂直，则直线与椭圆的交点，的坐标分别是，，
以为直径的圆显然过点，此时直线的方程是；
若直线与轴不垂直，设直线的方程是，
与椭圆的方程联立，消去并整理，得.
设，，则，
，，
.
因为以为直径的圆过点，
所以，即，，
所以，，
，解得.
显然满足，
所以直线与轴不垂直时，直线的方程是，即.
综上所述，当以为直径的圆经过点时，直线的方程是或.
变式16．（2022秋·广东梅州·高三大埔县虎山中学校考阶段练习）如图，椭圆的左焦点为，右焦点为，离心率，过的直线交椭圆于、两点，且的周长为.

(1)求椭圆的方程；
(2)设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点，则在轴上一定存在定点，使得以为直径的圆恒过点，试求出点的坐标.
【解析】（1）由椭圆的定义可知的周长为，即，
因为，所以，，
又因为，所以，，
故椭圆的方程为：.
（2）联立可得，
因为动直线与椭圆有且只有一个公共点，
所以，，
所以，，
此时，，
故点，
由可得，即点，
假设在轴上存在定点，使得以为直径的圆恒过点，
设，则，且，，
所以，，
整理得对任意实数、恒成立，则，
故在轴上存在定点，使得以为直径的圆恒过点.
题型四：四点共圆问题
例10．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知，，动点P满足，且.设动点P形成的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的标准方程；
(2)过点的直线l与曲线C交于M，N两点，试判断是否存在直线l，使得A，B，M，N四点共圆.若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.
【解析】（1）设，则，，，
因为，所以，
所以，，所以，，
又，整理得，
即曲线C的标准方程为；
（2）易知当l的斜率不存在时，直线l与曲线C没有两个交点，所以直线l的斜率存在，
设l：，将直线l与曲线C联立，得，
消去y，整理得，
因为且，
所以且，
设，，
则，，
所以MN的中点，
且，
将，代入上式，
整理得，
当时，线段MN的中垂线方程为：，
令y＝0，解得，即与x轴的交点坐标为，
当k＝0时，线段MN的中垂线为y轴，与x轴交于原点，符合Q点坐标，
因为AB的中垂线为x轴，所以若A，B，M，N共圆，则圆心为，
所以，
所以，
整理得，即，
因为且，
所以上述方程无解，即不存在直线l符合题意.
例11．（2024秋·新疆乌鲁木齐·高三乌鲁木齐市十二中校考阶段练习）已知抛物线上的点到其焦点的距离为．
(1)求和的值；
(2)若直线交抛物线于、两点，线段的垂直平分线交抛物线于、两点，求证：、、、四点共圆．
【解析】（1）抛物线的焦点为，准线方程为，
点到其焦点的距离为，则，可得，故抛物线的方程为．
将点的坐标代入抛物线方程可得，解得.
（2）由中垂线的性质可得，，，，所以，，
设、，联立消去并整理，得，
则，，且，即，
则．
设线段的中点为，则点的纵坐标为，
所以，点的横坐标为，则．
直线为线段的垂直平分线，所以，直线的方程为．
设、，联立，
消去并整理得，，可得，
则，，
故．
设线段的中点为，则．
，
，，
故，所以，，，
故，故，
所以，点、都在以为直径的圆上，故、、、四点共圆．
例12．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，左顶点为，且离心率为．
(1)求C的方程；
(2)直线交C于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N，求证：M，，N，四点共圆．
【解析】（1）由题意知，解得，，，所以C的方程为．
（2）证明：设点（不妨设，则点，
由，消去y得，所以，，
所以直线AE的方程为．
因为直线AE与y轴交于点M，令得，
即点，同理可得点．
所以，，
所以，所以，同理．
则以MN为直径的圆恒过焦点，，即M，，N，四点共圆．
综上所述，M，，N，四点共圆．
变式17．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的右顶点为点A，直线l交C于M，N两点，O为坐标原点．当四边形AMON为菱形时，其面积为．
(1)求C的方程；
(2)若；是否存在直线l，使得A，M，O，N四点共圆？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）因为四边形AMON为菱形，所以MN垂直平分OA，
所以点M（x轴上方）的横坐标为，代入椭圆方程，
得M的纵坐标为，所以，菱形AMON的面积为，所以，
所以C的方程为．
（2）设直线，，
联立方程，得，
，
，，
因为O，M，N，A四点共圆，则∠MON＝∠MAN＝90°，
所以，即，
得，即
由（i）得，即，
由（ii）得，
即，
联立，解得，（此时直线l过点A，舍去），
将代入，解得，即，
所以直线l的方程为．
变式18．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，左顶点为，且过点．
(1)求C的方程；
(2)过原点O且与x轴不重合的直线交C于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N，求证：M，，N，四点共圆．
【解析】（1）由题意知
解得，，
所以C的方程为．
（2）证明：当直线EF的斜率不存在时，E，F为短轴的两个端点，则，或，所以，，则以MN为直径的圆恒过焦点，即M、，N，四点共圆．
当EF的斜率存在且不为零时，设直线EF的方程为，
设点（不妨设，则点．
由消去y得，所以，，
所以直线AE的方程为．
因为直线AE与y轴交于点M，令得，
即点，
同理可得点．
所以，，
所以，所以，同理．
则以MN为直径的圆恒过焦点，，即M，，N，四点共圆．
综上所述，M，，N，四点共圆．
变式19．（2024·山东青岛·山东省青岛第五十八中学校考一模）椭圆的离心率为，右顶点为A，设点O为坐标原点，点B为椭圆E上异于左、右顶点的动点，面积的最大值为．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设直线交x轴于点P，其中，直线PB交椭圆E于另一点C，直线BA和CA分别交直线l于点M和N，若O、A、M、N四点共圆，求t的值．
【解析】（1）由题意，设椭圆半焦距为c，则，即，得，
设，由，所以的最大值为，
将代入，有，解得，
所以椭圆的标准方程为；
（2）设，因为点B为椭圆E上异于左、右顶点的动点，则直线BC不与x轴重合，
设直线BC方程为，与椭圆方程联立得，
，可得，
由韦达定理可得，
直线BA的方程为，令得点M纵坐标，
同理可得点N纵坐标，
当O、A、M、N四点共圆，由相交弦定理可得，即，
，
由，故，解得．
变式20．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆E：的离心率为，且经过点(-1，).
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设椭圆E的右顶点为A，点O为坐标原点，点B为椭圆E上异于左､右顶点的动点，直线l：交x轴于点P，直线PB交椭圆E于另一点C，直线BA和CA分别交直线l于点M和N，若O､A､M､N四点共圆，求t的值.
【解析】（1）依题意：，解得：，，
故椭圆C的方程为；
（2）设B(，)，C(，)，∵点B为椭圆E上异于左､右顶点的动点，
则直线BC不与x轴重合，则可设BC为，
与椭圆方程联立得，
则，可得，
由韦达定理可得．
直线BA的方程为，令得点M纵坐标
同理可得，点N纵坐标
当O､A､M､N四点共圆时，由割线定理可得，即，
∵
．
由，故，解得．
变式21．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线：，是上位于第一象限内的动点，它到点距离的最小值为，直线与交于另一点，线段AD的垂直平分线交于E，F两点.
(1)求的值；
(2)若，证明A，D，E，F四点共圆，并求该圆的方程.
【解析】（1）设，则，
令，则，
对于二次函数，其对称轴为，
当时，，在上单调递增，其最小值为9，即的最小值为3，不满足题意，
当时，，所以当时取得最小值，即
所以，解得或（舍）
所以
（2）由（1）可得，当时，，点，
所以，直线的方程为，
由可得，解得或，所以，
所以的中点为，所以直线的方程为，即，
设，由可得，所以
所以线段的中点为，
因为，所以A，D，E，F四点共圆，圆心为，半径为8，
所以该圆的方程为
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3、寒暑假预习讲义（wrd+PDF）
4、专题分类汇编（纯wrd解析版）
5、全国名校期中期末考试卷（纯wrd解析版）
6、期中期末考试串讲（wrd+PDF）
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高三资料群内容：
1、高三大一轮复习讲义（wrd+PDF）
2、高三二轮冲刺讲义（wrd+PDF）
3、高三三轮押题（纯wrd解析版）
4、高考真题分类汇编（纯wrd解析版）
5、专题分类汇编（纯wrd解析版）
6、圆锥曲线专题（wrd+PDF）
7、导数专题（wrd+PDF）
8、全国名校期中期末一模二模（纯wrd解析版）
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