2025年高考数学核心考点归纳第81讲、圆锥曲线拓展题型一特训(学生版+解析)

这是一份2025年高考数学核心考点归纳第81讲、圆锥曲线拓展题型一特训(学生版+解析)，共41页。试卷主要包含了椭圆方程，平面上有一点，阅读材料，两点等内容，欢迎下载使用。
题型一：定比点差法
例1．已知椭圆（）的离心率为，过右焦点且斜率为（）的直线与相交于，两点，若，求
例2．已知，过点的直线交椭圆于，（可以重合），求取值范围．
例3．已知椭圆的左右焦点分别为，，，，是椭圆上的三个动点，且，若，求的值．
变式1．设，分别为椭圆的左、右焦点，点，在椭圆上，若，求点的坐标
变式2．已知椭圆，设过点的直线与椭圆交于，，点是线段上的点，且，求点的轨迹方程．
题型二：齐次化
例4．已知抛物线，过点的直线与抛物线交于P，Q两点，为坐标原点．证明：．
例5．如图，椭圆，经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点P，Q（均异于点，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2．
例6．已知椭圆，设直线不经过点且与相交于A，B两点．若直线与直线的斜率的和为，证明：直线过定点．
变式3．已知椭圆，，，为上的两个不同的动点，，求证：直线过定点．
题型三：极点极线问题
例7．（2024·全国·高三专题练习）椭圆方程，平面上有一点．定义直线方程是椭圆在点处的极线．已知椭圆方程．
(1)若在椭圆上，求椭圆在点处的极线方程；
(2)若在椭圆上，证明：椭圆在点处的极线就是过点的切线；
(3)若过点分别作椭圆的两条切线和一条割线，切点为，，割线交椭圆于，两点，过点，分别作椭圆的两条切线，且相交于点．证明：，，三点共线．
例8．（2024·全国·高三专题练习）阅读材料：
（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G：，则称点P(，)和直线l：是圆锥曲线G的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换x(另一变量y也是如此)，即可得到点P(，)对应的极线方程.特别地，对于椭圆，与点P(，)对应的极线方程为；对于双曲线，与点P(，)对应的极线方程为；对于抛物线，与点P(，)对应的极线方程为.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.
（二）极点与极线的基本性质､定理
①当P在圆锥曲线G上时，其极线l是曲线G在点P处的切线；
②当P在G外时，其极线l是曲线G从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）；
③当P在G内时，其极线l是曲线G过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹.
结合阅读材料回答下面的问题：
(1)已知椭圆C：经过点P(4，0)，离心率是，求椭圆C的方程并写出与点P对应的极线方程；
(2)已知Q是直线l：上的一个动点，过点Q向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由.
例9．（2024秋·北京·高三中关村中学校考开学考试）已知椭圆M：（a＞b＞0）过A（－2，0），B（0，1）两点．
（1）求椭圆M的离心率；
（2）设椭圆M的右顶点为C，点P在椭圆M上（P不与椭圆M的顶点重合），直线AB与直线CP交于点Q，直线BP交x轴于点S，求证：直线SQ过定点．
变式4．（2024·全国·高三专题练习）若双曲线与椭圆共顶点，且它们的离心率之积为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若椭圆C的左、右顶点分别为，，直线l与椭圆C交于P、Q两点，设直线与的斜率分别为，，且．试问，直线l是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．
变式5．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，且过点，A，B分别为椭圆E的左，右顶点，P为直线上的动点（不在x轴上），与椭圆E的另一交点为C，与椭圆E的另一交点为D，记直线与的斜率分别为，．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）证明：直线过一个定点，并求出此定点的坐标．
题型四：蝴蝶问题
例10．（2003·全国·高考真题）如图，椭圆的长轴与x轴平行，短轴在y轴上，中心为．
(1)写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；
(2)直线交椭圆于两点；直线交椭圆于两点，．求证：；
(3)对于（2）中的中的在，，，，设交轴于点，交轴于点，求证：（证明过程不考虑或垂直于轴的情形）
例11．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆（），四点，，，，中恰有三点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）蝴蝶定理：如图1，为圆的一条弦，是的中点，过作圆的两条弦，.若，分别与直线交于点，，则.
该结论可推广到椭圆.如图2所示，假定在椭圆中，弦的中点的坐标为，且两条弦，所在直线斜率存在，证明：.
例12．（2021·全国·高三专题练习）（蝴蝶定理）过圆弦的中点M，任意作两弦和，与交弦于P、Q，求证：.
变式6．（2024·全国·高三专题练习）蝴蝶定理因其美妙的构图，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代数学名家蜂拥而证，正所谓花若芬芳蜂蝶自来.如图，已知圆的方程为，直线与圆交于，，直线与圆交于，.原点在圆内.
（1）求证：.
（2）设交轴于点，交轴于点.求证：.
变式7．（2024·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）已知椭圆的左､右顶点分别为点，，且，椭圆离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的右焦点，且斜率不为的直线交椭圆于，两点，直线，的交于点，求证：点在直线上.
变式8．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，离心率为，点P为椭圆上一点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）如图，过点C(0，1)且斜率大于1的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM的斜率为k1，直线BN的斜率为k2，若k1＝2k2，求直线l斜率的值．
变式9．（2021秋·广东深圳·高二校考期中）已知椭圆的右焦点是，过点F的直线交椭圆C于A，B两点，若线段AB中点Q的坐标为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知是椭圆C的下顶点，如果直线y=kx+1（k≠0）交椭圆C于不同的两点M，N，且M，N都在以P为圆心的圆上，求k的值；
(3)过点作一条非水平直线交椭圆C于R、S两点，若A，B为椭圆的左右顶点，记直线AR、BS的斜率分别为k1、k2，则是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
变式10．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左、右顶点，右焦点，，过且斜率为的直线与椭圆相交于，两点，在轴上方．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)记，的面积分别为，，若，求的值；
(3)设线段的中点为，直线与直线相交于点，记直线，，的斜率分别为，，，求的值．
变式11．（2024秋·福建莆田·高二莆田华侨中学校考期末）已知点在椭圆：上，为坐标原点，直线：的斜率与直线的斜率乘积为
（1）求椭圆的方程；
（2）不经过点的直线：（且）与椭圆交于，两点，关于原点的对称点为（与点不重合），直线，与轴分别交于两点，，求证：.
变式12．（2022·全国·高三专题练习）极线是高等几何中的重要概念，它是圆锥曲线的一种基本特征.对于圆，与点对应的极线方程为，我们还知道如果点在圆上，极线方程即为切线方程；如果点在圆外，极线方程即为切点弦所在直线方程.同样，对于椭圆，与点对应的极线方程为.如上图，已知椭圆C：，，过点P作椭圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB的方程为 ；直线AB与OP交于点M，则的最小值是 .
本资料陈飞老师主编，可联系微信：renbenjiayu2 ,加入陈老师高中数学永久QQ资料群下载（群内99%以上资料为纯wrd解析版），群内资料每周持续更新！
高一资料群内容：
1、高一上学期同步讲义（wrd+PDF）
2、高一下学期同步讲义（wrd+PDF）
3、寒暑假预习讲义（wrd+PDF）
4、专题分类汇编（纯wrd解析版）
5、全国名校期中期末考试卷（纯wrd解析版）
6、期中期末考试串讲（wrd+PDF）
…………………………………………
更多内容不断完善
高二资料群内容：
1、高二上学期同步讲义（wrd+PDF）
2、高二下学期同步讲义（wrd+PDF）
3、寒暑假预习讲义（wrd+PDF）
4、专题分类汇编（纯wrd解析版）
5、全国名校期中期末考试卷（纯wrd解析版）
6、期中期末考试串讲（wrd+PDF）
…………………………………………
更多内容不断完善
高三资料群内容：
1、高三大一轮复习讲义（wrd+PDF）
2、高三二轮冲刺讲义（wrd+PDF）
3、高三三轮押题（纯wrd解析版）
4、高考真题分类汇编（纯wrd解析版）
5、专题分类汇编（纯wrd解析版）
6、圆锥曲线专题（wrd+PDF）
7、导数专题（wrd+PDF）
8、全国名校期中期末一模二模（纯wrd解析版）
…………………………………………
更多内容不断完善
第81讲 圆锥曲线拓展题型一
必考题型全归纳
题型一：定比点差法
例1．已知椭圆（）的离心率为，过右焦点且斜率为（）的直线与相交于，两点，若，求
【解析】由，可设椭圆为（），
设，，，由，
所以，．
又
由（1）-（3）得，
又．
又．
例2．已知，过点的直线交椭圆于，（可以重合），求取值范围．
【解析】设，，，由，
所以．
由
由（1）-（3）得：
，又，
又，从而．
例3．已知椭圆的左右焦点分别为，，，，是椭圆上的三个动点，且，若，求的值．
【解析】设，，，，由，得
①满足
满足
②由
③由（1）-（3）得：
，又
，同理可得
．
变式1．设，分别为椭圆的左、右焦点，点，在椭圆上，若，求点的坐标
【解析】记直线反向延长交椭圆于，由及椭圆对称性得，
设，，．
①由定比分点公式得
．
②又
③由（1）-（3）得，
又．
变式2．已知椭圆，设过点的直线与椭圆交于，，点是线段上的点，且，求点的轨迹方程．
【解析】设，，
由
，记，
即，．
①，由定比分点得：
，由定比分点得
②又
③由（1）-（3）得：
，即．
题型二：齐次化
例4．已知抛物线，过点的直线与抛物线交于P，Q两点，为坐标原点．证明：．
【解析】直线
由，得
则由，得：，
整理得：，即：．
所以，
则，即：．
例5．如图，椭圆，经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点P，Q（均异于点，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2．
【解析】设直线
则．
由，
得：．
则，
故．
所以．
即．
例6．已知椭圆，设直线不经过点且与相交于A，B两点．若直线与直线的斜率的和为，证明：直线过定点．
【解析】设直线．．．．．．（1）
由，得
即：．．．．．．（2）
由（1）（2）得：
整理得：
则，
则，代入直线，得：
显然，直线过定点．
变式3．已知椭圆，，，为上的两个不同的动点，，求证：直线过定点．
【解析】设直线方程为：
则
即，又因为
化简得或（舍去）．
即直线为，即直线过定点．
题型三：极点极线问题
例7．（2024·全国·高三专题练习）椭圆方程，平面上有一点．定义直线方程是椭圆在点处的极线．已知椭圆方程．
(1)若在椭圆上，求椭圆在点处的极线方程；
(2)若在椭圆上，证明：椭圆在点处的极线就是过点的切线；
(3)若过点分别作椭圆的两条切线和一条割线，切点为，，割线交椭圆于，两点，过点，分别作椭圆的两条切线，且相交于点．证明：，，三点共线．
【解析】（1）由题意知，当时，，所以或．
由定义可知椭圆在点处的极线方程为，
所以椭圆在点处的极线方程为，即
点处的极线方程为，即
（2）因为在椭圆上，所以，
由定义可知椭圆在点处的极线方程为，
当时，，此时极线方程为，所以处的极线就是过点的切线．
当时，极线方程为．
联立，得．
．
综上所述，椭圆在点处的极线就是过点的切线；
（3）设点，，，
由（2）可知，过点的切线方程为，
过点N的切线方程为．
因为，都过点，所以有，
则割线的方程为；
同理可得过点的两条切线的切点弦的方程为．
又因为割线过点，代入割线方程得．
所以，，三点共线，都在直线上．
例8．（2024·全国·高三专题练习）阅读材料：
（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G：，则称点P(，)和直线l：是圆锥曲线G的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换x(另一变量y也是如此)，即可得到点P(，)对应的极线方程.特别地，对于椭圆，与点P(，)对应的极线方程为；对于双曲线，与点P(，)对应的极线方程为；对于抛物线，与点P(，)对应的极线方程为.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.
（二）极点与极线的基本性质､定理
①当P在圆锥曲线G上时，其极线l是曲线G在点P处的切线；
②当P在G外时，其极线l是曲线G从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）；
③当P在G内时，其极线l是曲线G过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹.
结合阅读材料回答下面的问题：
(1)已知椭圆C：经过点P(4，0)，离心率是，求椭圆C的方程并写出与点P对应的极线方程；
(2)已知Q是直线l：上的一个动点，过点Q向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）因为椭圆过点P(4,0)，
则，得，又，
所以，所以，
所以椭圆C的方程为.
根据阅读材料，与点P对应的极线方程为，即；
（2）由题意，设点Q的坐标为(,)，
因为点Q在直线上运动，所以，
联立，得，
，该方程无实数根，
所以直线与椭圆C相离，即点Q在椭圆C外，
又QM，QN都与椭圆C相切，
所以点Q和直线MN是椭圆C的一对极点和极线.
对于椭圆，与点Q(,)对应的极线方程为，
将代入，整理得，
又因为定点T的坐标与的取值无关，
所以，解得，
所以存在定点T(2,1)恒在直线MN上.
当时，T是线段MN的中点，
设，直线MN的斜率为，
则，两式相减，整理得，即，
所以当时，直线MN的方程为，即.
例9．（2024秋·北京·高三中关村中学校考开学考试）已知椭圆M：（a＞b＞0）过A（－2，0），B（0，1）两点．
（1）求椭圆M的离心率；
（2）设椭圆M的右顶点为C，点P在椭圆M上（P不与椭圆M的顶点重合），直线AB与直线CP交于点Q，直线BP交x轴于点S，求证：直线SQ过定点．
【解析】（1）因为点，都在椭圆上，
所以，．
所以．
所以椭圆的离心率．
（2）由（1）知椭圆的方程为，．
由题意知：直线的方程为．
设（，），，．
因为三点共线，所以有，，
所以．
所以．
所以．
因为三点共线，
所以，即．
所以．
所以直线的方程为，
即．
又因为点在椭圆上，所以．
所以直线的方程为．
所以直线过定点．
变式4．（2024·全国·高三专题练习）若双曲线与椭圆共顶点，且它们的离心率之积为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若椭圆C的左、右顶点分别为，，直线l与椭圆C交于P、Q两点，设直线与的斜率分别为，，且．试问，直线l是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．
【解析】（1）由已知得双曲线的离心率为，又两曲线离心率之积为，所以椭圆的离心率为；
由题意知，所以，．
所以椭圆的标准万程为．
（2）当直线l的斜率为零时，由对称性可知：
，不满足，
故直线l的斜率不为零．设直线l的方程为，
由，得：，
因为直线l与椭圆C交于P、Q两点，
所以，
整理得：，
设、，则
，，，．
因为，
所以，
整理得：，
，
将，代入整理得：
要使上式恒成立，只需，此时满足，
因此，直线l恒过定点．
变式5．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，且过点，A，B分别为椭圆E的左，右顶点，P为直线上的动点（不在x轴上），与椭圆E的另一交点为C，与椭圆E的另一交点为D，记直线与的斜率分别为，．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）证明：直线过一个定点，并求出此定点的坐标．
【解析】（1）由条件可知：且，解得，所以椭圆的方程为；
（2）因为，设，
所以，所以；
（3）设，所以，
因为，所以，
所以，所以，所以，所以，
又因为，所以，
所以，所以，所以，所以，
所以，所以，
所以，所以，
所以直线过定点.
题型四：蝴蝶问题
例10．（2003·全国·高考真题）如图，椭圆的长轴与x轴平行，短轴在y轴上，中心为．
(1)写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；
(2)直线交椭圆于两点；直线交椭圆于两点，．求证：；
(3)对于（2）中的中的在，，，，设交轴于点，交轴于点，求证：（证明过程不考虑或垂直于轴的情形）
【解析】（1）椭圆的长轴与轴平行，短轴在轴上，中心，
椭圆方程为
焦点坐标为，
离心率
（2）证明：将直线的方程代入椭圆方程，得
整理得
根据韦达定理，得，，
所以①
将直线的方程代入椭圆方程，同理可得②
由 ①、②得
所以结论成立.
（3）证明：设点，点
由、、共线，得
解得
由、、共线，同理可得
由变形得
所以
即
例11．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆（），四点，，，，中恰有三点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）蝴蝶定理：如图1，为圆的一条弦，是的中点，过作圆的两条弦，.若，分别与直线交于点，，则.
该结论可推广到椭圆.如图2所示，假定在椭圆中，弦的中点的坐标为，且两条弦，所在直线斜率存在，证明：.
【解析】（1）由于，两点关于轴对称，
故由题设知经过，两点，
又由知，不过点，所以点在上，
因此，解得，
故椭圆的方程为；
（2）因点的坐标在轴上，且为的中点，
所以直线平行于轴，
设，，，，
设直线的方程为，代入椭圆，
得：，
根据韦达定理得：，，①
同理，设直线的方程为，代入椭圆，
得：，
根据韦达定理得：，，②
由于、、三点共线，得，，
同理，由于、、三点共线，得：，结合①和②可得：
即，所以，即.
例12．（2021·全国·高三专题练习）（蝴蝶定理）过圆弦的中点M，任意作两弦和，与交弦于P、Q，求证：.
【解析】如图所示，以为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系，设圆方程为
设直线、的方程分别为，.
将它们合并为，于是过点C、D、E、F的曲线系方程为
.
令，得，即过点C、D、E、F的曲线系与交于点P、Q的横坐标是方程的两根.
由韦达定理得，即是的中点，故.
变式6．（2024·全国·高三专题练习）蝴蝶定理因其美妙的构图，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代数学名家蜂拥而证，正所谓花若芬芳蜂蝶自来.如图，已知圆的方程为，直线与圆交于，，直线与圆交于，.原点在圆内.
（1）求证：.
（2）设交轴于点，交轴于点.求证：.
【解析】（1）已知圆的方程为，
直线与圆交于，，联立，
化简得，
则，，所以，
同理线与圆交于，，
联立 化简得，
则，，所以，
故有，所以成立；
（2）不妨设点，点，
因为、、三点共线，所以，化简得，
因为点在直线上，所以，点在直线上，所以，
则，
同理因为、、三点共线，所以，化简得，
因为点在直线上，所以，点在直线上，所以，
则，
又由，可得，，
即，所以，则，
所以，所以成立.
变式7．（2024·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）已知椭圆的左､右顶点分别为点，，且，椭圆离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的右焦点，且斜率不为的直线交椭圆于，两点，直线，的交于点，求证：点在直线上.
【解析】（1）因为，椭圆离心率为，
所以，解得，.
所以椭圆的方程是.
（2）①若直线的斜率不存在时，如图，
因为椭圆的右焦点为，所以直线的方程是.
所以点的坐标是，点的坐标是.
所以直线的方程是，
直线的方程是.
所以直线，的交点的坐标是.
所以点在直线上.
②若直线的斜率存在时，如图.
设斜率为.所以直线的方程为.
联立方程组
消去，整理得.
显然.不妨设，，
所以，.
所以直线的方程是.
令，得.
直线的方程是.
令，得.
所以
分子
.
.
所以点在直线上.
变式8．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，离心率为，点P为椭圆上一点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）如图，过点C(0，1)且斜率大于1的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM的斜率为k1，直线BN的斜率为k2，若k1＝2k2，求直线l斜率的值．
【解析】(1)因为椭圆的离心率为，所以a＝2c.
又因为a2＝b2＋c2，所以b＝c.
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
又因为点P为椭圆上一点，所以＋＝1，解得c＝1.
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2) 由椭圆的对称性可知直线l的斜率一定存在，设其方程为y＝kx＋1.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
联立方程组
消去y可得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0.
所以由根与系数关系可知x1＋x2＝－，x1x2＝－.
因为k1＝，k2＝，且k1＝2k2，所以＝.
即＝. ①
又因为M(x1，y1)，N(x2，y2)在椭圆上，
所以＝ (4－)，＝ (4－)． ②
将②代入①可得：＝，即3x1x2＋10(x1＋x2)＋12＝0.
所以3＋10＋12＝0，即12k2－20k＋3＝0.
解得k＝或k＝，又因为k>1，所以k＝.
变式9．（2021秋·广东深圳·高二校考期中）已知椭圆的右焦点是，过点F的直线交椭圆C于A，B两点，若线段AB中点Q的坐标为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知是椭圆C的下顶点，如果直线y=kx+1（k≠0）交椭圆C于不同的两点M，N，且M，N都在以P为圆心的圆上，求k的值；
(3)过点作一条非水平直线交椭圆C于R、S两点，若A，B为椭圆的左右顶点，记直线AR、BS的斜率分别为k1、k2，则是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
【解析】（1）设，，直线AB的斜率显然存在，则，
因为线段AB中点Q的坐标为，所以，，
直线AB的斜率，
A，B两点在椭圆椭圆C上，
所以，，两式相减得
，
即，
所以，整理得，①
又且，②
由①②可解得，，
所以椭圆C的方程为.
（2）由得，
则，，，
设M，N中点为，
则，，
因为M，N都在以P为圆心的圆上，所以，则点P在线段MN的垂直平分线上，
依题意，所以线段MN的垂直平分线方程为，
M，N中点为在此直线上，
所以有，即，解得.
所以k的值为.
（3）依题意有，，，
设直线的方程为，
由得，
则，，
，
所以为定值.
变式10．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左、右顶点，右焦点，，过且斜率为的直线与椭圆相交于，两点，在轴上方．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)记，的面积分别为，，若，求的值；
(3)设线段的中点为，直线与直线相交于点，记直线，，的斜率分别为，，，求的值．
【解析】（1）设椭圆的焦距为．
依题意可得，，
解得，．
故．
所以椭圆的标准方程为．
（2）设点，，，．
若，则，即有，①
设直线的方程为，与椭圆方程，
可得，
则，，②
将①代入②可得，解得，
则；
（3）由（2）得
，，
所以直线的方程为，
令，得，即．
所以．
所以，
，
，
.
变式11．（2024秋·福建莆田·高二莆田华侨中学校考期末）已知点在椭圆：上，为坐标原点，直线：的斜率与直线的斜率乘积为
（1）求椭圆的方程；
（2）不经过点的直线：（且）与椭圆交于，两点，关于原点的对称点为（与点不重合），直线，与轴分别交于两点，，求证：.
【解析】（Ⅰ）由题意，，
即① 又②
联立①①解得
所以，椭圆的方程为：.
（Ⅱ）设，，，由，
得，
所以，即，
又因为，所以，，
，，
解法一：要证明，可转化为证明直线，的斜率互为相反数，只需证明，即证明.

∴

∴，∴.
解法二：要证明，可转化为证明直线，与轴交点、连线中点的纵坐标为，即垂直平分即可.
直线与的方程分别为：
，，
分别令，得，
而，同解法一，可得
，即垂直平分.
所以，.
变式12．（2022·全国·高三专题练习）极线是高等几何中的重要概念，它是圆锥曲线的一种基本特征.对于圆，与点对应的极线方程为，我们还知道如果点在圆上，极线方程即为切线方程；如果点在圆外，极线方程即为切点弦所在直线方程.同样，对于椭圆，与点对应的极线方程为.如上图，已知椭圆C：，，过点P作椭圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB的方程为 ；直线AB与OP交于点M，则的最小值是 .
【答案】 （或）； .
【解析】（1）由题得AB：，即，
（2），，∴的方向向量，
所以
，
即.
故答案为：；
本资料陈飞老师主编，可联系微信：renbenjiayu2 ,加入陈老师高中数学永久QQ资料群下载（群内99%以上资料为纯wrd解析版），群内资料每周持续更新！
高一资料群内容：
1、高一上学期同步讲义（wrd+PDF）
2、高一下学期同步讲义（wrd+PDF）
3、寒暑假预习讲义（wrd+PDF）
4、专题分类汇编（纯wrd解析版）
5、全国名校期中期末考试卷（纯wrd解析版）
6、期中期末考试串讲（wrd+PDF）
…………………………………………
更多内容不断完善
高二资料群内容：
1、高二上学期同步讲义（wrd+PDF）
2、高二下学期同步讲义（wrd+PDF）
3、寒暑假预习讲义（wrd+PDF）
4、专题分类汇编（纯wrd解析版）
5、全国名校期中期末考试卷（纯wrd解析版）
6、期中期末考试串讲（wrd+PDF）
…………………………………………
更多内容不断完善
高三资料群内容：
1、高三大一轮复习讲义（wrd+PDF）
2、高三二轮冲刺讲义（wrd+PDF）
3、高三三轮押题（纯wrd解析版）
4、高考真题分类汇编（纯wrd解析版）
5、专题分类汇编（纯wrd解析版）
6、圆锥曲线专题（wrd+PDF）
7、导数专题（wrd+PDF）
8、全国名校期中期末一模二模（纯wrd解析版）
…………………………………………
更多内容不断完善