浙江省嘉兴市2024-2025学年高一上学期期末测试数学试卷（Word版附解析）

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题目要求的.
1. 是（ ）
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
【答案】C
【解析】
【分析】根据象限角结合弧度制分析判断.
【详解】因为 ， 且 ，
所以 是第三象限角，即 是第三象限角．
故选：C.
2. 已知全集 ，集合 ， ，则 Venn 图中的阴影部分 如图 表示的集合是
（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据图中表示的集合，利用集合间的运算可得结果.
【详解】集合 ，集合 ，
易知 图中阴影部分表示的集合是 ，
故选：A
3. 设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
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【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，分别验证充分性以及必要性即可得到结果.
【详解】由 可得 ，故充分性满足；
由 不一定得到 ，比如 ，故必要性不满足，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选:A
4. 设 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对数函数的性质得到 ， ，即可判断.
【详解】因为 ， ， ，
所以
故选：B
5. 已知 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据诱导公式可得.
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【详解】由 可得，
对于 A， ，A 错误；
对于 B， ，B 错误；
对于 C， ，C 错误；
对于 D， ，D 正确.
故选：D
6. 已知函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用复合函数的单调性分析出 在 上单调递减，且 在 上恒
成立后，再求解即可.
【详解】因为 在 单调递增，所以要使函数 在 上单调递减，
则 在 上单调递减，且 在 上恒成立，
故 且 在 上恒成立，又 时， ，
所以 且 ，故 ，
故选：B.
7. 已知函数 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. 0 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】构造函数，利用函数的奇偶性和单调性即可求得
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【详解】由 ，
令 为奇函数，且 在 上单调递增，
则 ，
由 可得， ，
即 ，
所以 ，即 ，
故选：
8. 已 知 函 数 ， 若 存 在 实 数 、 、 且 ， 使 得
，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作出图形，利用正弦型函数的对称性得出 ，可得出
，求出 的取值范围，利用二次函数的基本性质可求得所求代数式的取值范围.
详解】如下图所示：
令 ，解得 ，
故当 时，对称轴 直线 ，则 ，
因为 ，所以， ，
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又因为 ，
，
由 可得 ，则 ，则 ，
所以， .
故选：D.
【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于结合正弦型函数的对称性以及函数解析式将所求代数式转化为关
于某个量的函数，求出变量范围后，转化为值域问题求解.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选
对的得 6 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9. 已知幂函数 为常数 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数 的图象都经过点
B. 若 ，则
C. 若 ，则函数 为偶函数
D. 若函数 的图象经过点 ，则函数 在其定义域上单调递减
【答案】AB
【解析】
【分析】利用幂函数图象性质判断 A；求出函数解析式判断 BCD.
【详解】对于 A， ，A 正确；
对于 B，当 时， ，则 ，B 正确；
对于 C，当 时， ，为奇函数，C 错误；
对于 D，若函数 的图象经过点 ，则 ，函数 在其定义域上单调递增 ，D 错误.
故选：AB
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10. 已知函数 ，则（ ）
A. 若函数 的周期为 ，则
B. 若 ，则函数 的图象可由函数 的图象向左平移 个单位得到
C. 若 且直线 是函数 的一条对称轴，则 在 上单调递增
D. 若函数 在区间 上没有零点，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用倍角公式及两角和的正弦公式化简函数 的解析式，逐项判断即可确定正确答案.
【详解】 ，
对于 A，若函数 的周期为 ，则 ，故 A 错误；
对于 B，若 ，则 ，
故函数 的图象可由函数 的图象向左平移 个单位得到，故 B 正确；
对于 C，若 且直线 是函数 的一条对称轴，
则 且 ，解得 ，则 ，
由 ，得 ，故 在 上单调递增，故 C 正确；
对于 D，当 时， ，
若函数 区间 上没有零点，则 ，
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又 ，则 ，故 D 正确.
故选：BCD.
11. 已知定义在 上的函数 的图象是一条连续不断的曲线，满足 ， ，且
在区间 上单调递增，则（ ）
A. 若 是偶函数，则 是周期为 2 的周期函数
B. 若 是偶函数，且函数 的最大值为 3，则
C. 若 是奇函数，则函数 在 上 所有零点之和为 18
D. 若 是奇函数，则方程 在 上有四个不同的实数根
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用偶函数定义以及 可判断 A 正确，结合单调性可得 ，再由周期性
可知 B 正确，由奇函数性质可求得 是周期为 4，再结合对称轴可得 C 错误；利用图像平移规则即可判
断 D 正确.
【详解】对于 A 选项，若 是偶函数，则 ，又 ，
可得 ，所以 是周期为 2 的周期函数；
对于 B 选项，因为 的最大值为 3， ，
又 在区间 上单调递增，所以 ，由周期性可知 ；
对于 C 选项，因为 是奇函数，则 ，又 ，
可得 ，即 ，所以 是周期为 4，且为过原点的连续函数，
由 可知函数 关于 对称，再由周期性可得也关于 对称；
故函数 在 上有 4 个零点，它们的和为 ；
对于 D 选项，由 ，由图象平移可知， 与 在 上有四
个不同的交点.
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故选：ABD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. __________.
【答案】
【解析】
【分析】利用对数的运算性质进行化简，即可得解
【详解】
故答案为：
13. 若正数 x，y 满足 ，则 的最小值为__________.
【答案】16
【解析】
【分析】根据“ ”的代换以及基本不等式来求得正确答案.
【详解】 正数 x，y 满足 ， ，
则 ，
当且仅当 时， 时等号成立.
所以 的最小值为
故答案为：16
14. 已知奇函数 的定义域为 ，当 时， .若 ， 的值域是
，则 __________.
【答案】 ##
【解析】
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【分析】根据奇函数先得到 ，做出函数的图象，根据图象可得 ， ，
进而可得.
【详解】解：由已知可得当 时， ，则 ，
所以 ，
令 ，则 ，0，1；令 ，则
作出函数 的图象，
若 ， 的值域是 ，可得 ， ，所以
故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知集合 ， .
（1）若 ，求
（2）若 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
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【分析】（1）首先解一元二次不等式求出集合 ，再根据交集的定义计算可得；
（2）依题意可得 ，分 与 两种情况讨论.
【小问 1 详解】
由 ，解得 ，
所以 ，
当 时， ，
【小问 2 详解】
， ，
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ；
综上可得 ，即实数 的取值范围为 .
16. 如图，角 ， 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆交于点
，
（1）求 的值;
（2）求扇形 阴影部分 的面积.
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【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角函数的定义和两角和的正弦公式求解即可；
（2）先利用三角函数的定义和两角差的余弦公式求出 ，再根据扇形面积公式计算即可.
【小问 1 详解】
由三角函数定义可知 ， ，
所以 ；
【小问 2 详解】
由三角函数定义可知 ， ，
，
所以 或
又 ，所以
故扇形 阴影部分 的面积
17. 2024 年政府工作报告中提出，加快新质生产力，积极打造低空经济.某市积极响应国家号召，不断探索
低空经济发展新模式，引进新型无人机开展物流运输.该市现有相距 100km 的 A，B 两集散点到海岸线 为
直线 距离均为 如图 ，计划在海岸线 l 上建造一个港口 C，在 A，B 两集散点及港口 C 间开展无
人机物流运输.由于该无人机最远运输距离为 ，需在 A，B，C 之间设置补能点 无人机需经过补
能点 M 更换电池 ，且 ， 设
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（1）当 时，求无人机从 A 到 C 运输航程 的值;
（2）求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【 分 析 】 根 据 解 三 角 形 求 出 ， 故 从 A 到 C 运 输 航 程
；
由 已 知 ， ， ，
根据无人机的最远距离，列不等式求出 ，令 ，
，因为 ，所以 ，求解即可.
【小问 1 详解】
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当 时， ，作 ，
则 ，所以 ，
故从 A 到 C 运输航程 ；
【小问 2 详解】
由已知 ， ，
， ，
因为无人机最远运输距离为 ，
所以 ，
所以 ，
，
令 ， ，
因为 ，所以 ，
，
当 时， ，
当 时， ，
故 的范围是
18. 已知函数
（1）若 ，求 的值;
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（2）根据函数单调性的定义证明函数 在 上单调递增;
（3）若存在 ，使得不等式 成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）先求得 ，然后求得 .
（2）根据函数单调性的定义进行证明.
（3）根据函数的单调性化简题目所给不等式，分离常数 ，然后利用换元法以及函数的单调性来求得 的
取值范围.
【小问 1 详解】
， ，
【小问 2 详解】
证明：任取 ， ，且 ，
则
， ， ， ，
故 ，即 ，所以 在 上单调递增.
【小问 3 详解】
，
由（2）可知， 在 上单调递增，
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要存在 ，使得不等式 成立，
只要存在 ，使得 成立，
， ，令
只要存在 ，使得 成立，
即 ， ，函数 在 上单调递增，
，
【点睛】思路点睛：
小问 1：遇到此类问题，先根据已知对数等式求出自变量的值，再将其代入函数，利用对数性质计算函数
值.
小问 2：证明函数单调性，按照定义，先设出两个自变量，作差并化简变形，再根据函数性质判断差的正
负，得出函数单调性结论.
小问 3：对于存在性不等式问题，先利用函数表达式化简不等式，再根据函数单调性去掉函数符号，通过
换元转化为常见函数的最值问题，最后利用函数单调性求出最值，进而得到参数的取值范围.
19. 已知函数 和 的定义域分别为 和 ，若对任意 ，恰好存在 n 个不同的实数
其中 ，2， ，n， ，使得 ，则称 为 的“n 重覆盖函数”，
其中 ， ， ， 为一组关于 的“覆盖点”.
（1）判断 是否为 的“n 重覆盖函数”，如果是，求出 n 的值;如果不是，请说明理
由；
（2）若 为 ， 的“3 重覆盖函数”，求实数 a 的取值范
围；
（3）若 ， 为 的“n 重覆盖函数”，求 的最小值.
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【答案】（1）是，
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用题中给出的“n 重覆盖函数”的定义分析判断即可；\
（2）利用数形结合列不等式求解即可；
（3）根据“n 重覆盖函数”的定义可得 与 在 上有交点，然后根据方程根
的分布和韦达定理可得 ， ，代入 化简，再利用基本不等式求出最值即可
【小问 1 详解】
由 ，
得对任意 ， ，
令 ，解得 ，
所以存在在 2 个不同的实数 ， ，使得 ，
是 的“n 重覆盖函数”，且
【小问 2 详解】
由 ， ，所以
为 的“3 重覆盖函数”，
故 与 ， 恒有三个交点，
由 图象可知，所以 ，可得
【小问 3 详解】
由已知 与 在 上有交点，
设方程 的两根为 ， ，其中必有一根在 上，不妨设 ，
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则 ， ，
，
令 ， ，则 ，
当且仅当 ， 时取到等号.
此时 ， ， ，满足条件.
【点睛】关键点点睛：若对任意 ，恰好存在 n 个不同的实数 其中 ，2， ，n，
，使得 ，由于 不是同一个变量，所以只需要 的值域，再用这个值域中
的值去判定 中的 有几个满足，从而可得 为 的“n 重覆盖函数”.然后可利用数
形结合，根据 n 的值来确定参数的范围