湖南省长沙市第一中学2025届高三上学期月考（五）数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖南省长沙市第一中学2025届高三上学期月考（五）数学试卷（Word版附解析），共21页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时量：120 分钟 满分：150 分
一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1. 在复平面内，向量 对应的复数为 ，向星 对应的复数为 ，则向量 对应的复数为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的几何意义结合复数的加法运算即可得解.
【详解】因为 ，所以向量 对应的复数为 .
故选：D．
2. “ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据对数函数的单调性化简，即可根据充要条件的定义求解.
【详解】因为 ，等价于 即 ，解得 ，
所以 是 的充要条件.
故选：C.
3. 在平面直角坐标系内，原点到直线 的距离为 ，且点 到直线 的距离为 ，则满足条件的直线
共有（ ）
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
【答案】D
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【解析】
【分析】易知直线 与圆 ，圆 均相切，判断两圆位置关系，进而确定公
切线条数.
【详解】与原点距离为 的点的集合是以原点为圆心， 为半径的圆 ，即 ；
与点 距离为 的点的集合是以 为圆心， 为半径的圆 ，即 ；
因为圆心距 ，
所以圆 与圆 外离，这两圆共有 条公切线，
所以适合条件的直线 共有 条，
故选：D.
4. 将函数 （其中 ）的图像向右平移 个单位长度，所得图像关于直线 对称，则
的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平移 性质可得平移后的表达式，即可根据对称得 得解.
【详解】由题意知，图像平移后的函数的解析式为 ，
因为该图像关于直线 对称，
所以 ， ，解得 ， ，
因为 ，所以当 时， 取得最小值 ．
故选：B．
5. 已知球 的表面积为 ，若球 与正四面体 的六条棱均相切，则此四面体的体积为（ ）
A. B. C. D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】将正四面体放到正方体中，正方体的内切球即与正四面体的六条棱均相切，再利用割补法求出体
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积.
【详解】由球 的表面积为 ，得 ，球半径 ，
以正四面体的棱为正方体的面对角线，将该正四面体放到正方体中，则正方体的内切球即与正四面体的六
条棱均相切，
正方体的棱长为 ，所以此四面体的体积为 .
故选：B
6. 已知 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由条件 ，再利用基本不等式求最值.
【详解】因为 ，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ，
当且仅当 ， 时等号成立，
所以 的最小值为 .
故选：B.
7. 已知集合 ，若集合 A、B 满足： ，则集合对 共有（ ）个．
A. 36 B. 48 C. 64 D. 81
【答案】D
【解析】
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【分析】利用子集的意义分类讨论可求得集合对 的个数.
【详解】因为 ， ，
当 时，又 ，故 ，
当集合 中有一个元素时，又 ，这样的集合对有 ，
当集合 中有两个元素时，又 ，这样的集合对有 ，
当集合 中有三个元素时，又 ，这样的集合对有 ，
当集合 中有四个元素时，又 ，这样的集合对有 ，
所以集合对 共有 .
故选：D.
8. 已知函数 若过点 存在 条直线与曲线 相切，则实数 的取值范围是
（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设切点坐标为 ，由导数的几何意义求出切线方程，转化为 有三个不等实
根，利用导数分析单调性最值，画出图象求参数的取值范围即可.
【详解】设切点坐标为 .
由题意得 ，
所以函数 的图像在点 处的切线的斜率为 ，
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所以切线方程为 ，
因为切线过点 ，所以 ，
则 ，由题意可知，这个方程有三个不等实根.
设 ，则 ，
由 得 ，由 得 或 .
所以函数 在 和 上单调递减，
在 上单调递增，又当 趋近于正无穷时， 趋近于 ；
当 趋近于负无穷， 趋近于正无穷，且 ，
所以 的大致图象如图，
所以要使直线 与函数 的图象有三个交点，
则 .
故选：C
二、选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，至少有两项
符合题目要求，若全部选对得 6 分，部分选对得部分分，选错或不选得 0 分）
9. 已知 ， 均为锐角， ，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 的最小值为
【答案】ACD
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【解析】
【分析】对 A、B 选项，将已知条件代入消元，即可求解；对于 D 选项，将角 进行分离，得到
，然后构造函数，用判别式法即可求得 的最小值，从而得解，C 选项可以借助 D 选
项的结论，即可得解.
【详解】对于 A 选项，若 ，由 得，
即
又 为锐角，所以 ，故 A 正确
对于 B 选项，若 ，则 ，
由 得，
所以 ，故 B 错误
对于 D 选项，由 ，得
，
令 ，则 ，两边平方得：
，
由判别式法可得 ，解得 ，即 ，
又 为锐角，所以 的最小值为 ，当 时， 取最小值,故 D 正确，
对于 C 选项，由 D 选项可知， ，而 ，所以 ，故 C 正确，
故选：ACD
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10. 设椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，坐标原点为 O.若椭圆 C 上存在一点 P，使得
，则下列说法正确的有（ ）
A. B. 的面积为 2
C. D. 的内切圆半径为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据已知求出 P 点坐标，根据两点间距离公式分布求出 ，在 中利用余弦定理可
判定 A，三角形面积公式可判定 B，利用向量数量积公式可判定 C，根据等面积法可判定 D.
【详解】由题意得 ， ，则 ， ．
由对称性可设 （ ， ）， ， ， ，
由 ，解得 ，又 ， ，
所以 ， ，
所以 ．
由椭圆的定义得 ，
对于 A，在 中，设 ，由余弦定理，得 ，
即 ，
解得 ，故 A 正确；
对于 B， 的面积为 ，故 B 正确；
对于 C， ，故 C 错误；
对于 D，设 的内切圆半径为 r，由 的面积相等，得 ，
即 ，解得 ，故 D 正确．
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故选：ABD．
11. 已 知 数 列 ， 其 前 项 和 为 ， 若 存 在 常 数 ， 对 任 意 的 ， 恒 有
，则称 为 －数列．则下列说法正确的是（ ）
A. 若 是以 1 为首项， 为公比的等比数列，则 为 －数列
B. 若 为 数列，则 也为 数列
C. 若 为 数列，则 也为 数列
D. 若 均为 数列，则 也为 数列
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据给定条件，利用 －数列的定义逐项分析判断.
【详解】对于 A， ， ，
，A 正确；
对于 B，若 ，则数列 是 数列， ，
但 ，数列 不 数列，B 错误；
对于 C，数列 是 数列，即存在正数 ，对于任意的 ，
有 ，即 ，
则
，数列 是 －数列，C 正确；
对于 D，若数列 是 －数列，则存在正数 ，对任意的 ，
有 ， ，
则 ，
同理 ，记 ，则有
，
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，因此数列 也是 数列，D 正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于读懂题目，准确把握 数列的定义.
三、填空题（本大题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 已知单位向量 满足 ，则 与 的夹角为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由向量数量积的运算律代入计算，即可得到结果.
【详解】由 可得 ，即 ，
即 ，解得 ，
又 ，则
故答案为：
13. 若函数 有 个零点，则正数 的取值范围是____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据一次函数与对数函数的图象，得到 时，函数 只有一个零点，结合题意，得到
时，函数 有三个零点，利用正弦函数的性质，得出不等式，即可求解.
【详解】当 时，令 ，即 ，即 ，
因为函数 与 的图象有且仅有一个公共点，如图所示，
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所以 时，函数 只有一个零点，
又由函数 有 个零点，
所以 时，函数 有三个零点，
因为 ，可得 ，则满足 ，
解得 ，即实数 的取值范围为 .
故答案为： .
14. 已知双曲线 ，若双曲线不存在以点 为中点的弦，则双曲线离心率
的取值范围是__________________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意知点 必在双曲线外部或在双曲线上.若存在以 为中点的弦，根据点差法可得
弦的斜率为 ，要使弦不存在，则弦与双曲线至多一个交点，弦的斜率 大于等于渐近线斜率 ，如
此即可得到 的取值范围，进而求出离心率的范围﹒
【详解】由题意得点 在双曲线外部或在双曲线上，则 ，得 .
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假设存在以 为中点的弦，设弦与双曲线交于点 ，则 ，
由点 在双曲线上得， ，
两式作差得， ，
∴ .
∵不存在该中点弦，∴直线 与双曲线至多一个交点，则 ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，即 .
故答案 ： .
【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于分析出点 在双曲线外部或在双曲线上，在这个前提下确定
当直线与双曲线至多一个交点时直线斜率与渐近线斜率的关系即可得到结果.
四、解答题（本大题共 5 个小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 记 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ．
（1）求 A；
（2）若 的面积为 ， ，求 的周长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理及和差角公式结合题意可得 ，最后由辅助角公式可得答案；
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（2）由面积公式可得 ，结合 及（1）分析可得 a，最后由余弦定理可得 ，即
可得答案.
【小问 1 详解】
由正弦定理及 ，
可得
，因 ，则 ，
则 ，结合 ，
则 ；
【小问 2 详解】
因 的面积为 ，则 ，
则 ，由正弦定理 及 ，
则 ，则 .
由余弦定理， ，
则 ，
则三角形周长为 .
16. 如图所示，在研究某种粒子的实验装置中，有 三个腔室，粒子只能从 室出发经 室到达 室．粒
子在 室不旋转，在 室、 室都旋转，且只有上旋和下旋两种状态，粒子间的旋转状态相互独立．粒子
从 室经过 1 号门进入 室后，等可能的变为上旋或下旋状态，粒子从 室经过 2 号门进入 室后，粒子
的旋转状态发生改变的概率为 ．现有两个粒子从 室出发，先后经过 1 号门、2 号门进入 室，
记 室两个粒子中，上旋状态粒子的个数为 ．
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（1）求 的分布列和数学期望；
（2）设 ，若两个粒子经过 2 号门后都为上旋状态，求这两个粒子通过 1 号门后都为上旋状态的概率．
【答案】（1）分布列见解析，1
（2）
【解析】
【分析】（1）利用分类思想来研究这两个室内的粒子旋转状态，从而可求相应概率，从而可得分布列；
（2）利用全概率公式和贝叶斯公式来求相应概率即可.
【小问 1 详解】
由题知 的所有可能取值为 ， 时分 3 类情形，
①两个粒子通过 1 号门后均处上旋状态，通过 2 号门后均不改变状态；
②两个粒子通过 1 号门后一个上旋状态一个下旋状态，通过 2 号门后上旋状态粒子不改变状态，下旋状态
粒子改变状态；
③两个粒子通过 1 号门后两个均为下旋状态，通过 2 号门后均改变状态，
所以 ，
同理 ，
，
所以所求的分布列为
0 1 2
所求数学期望 .
【小问 2 详解】
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设事件 “两个粒子通过 1 号门后处于上旋状态的粒子个数为 个”， ，
事件 “两个粒子通过 2 号门后处于上旋状态 粒子个数为 2 个”，
则 ， ，
， ， ，
由（1）得 ．
故 ．
17. 如图，在圆柱 中，点 为底面圆周上四点， 为圆柱的一条母线， 为 的中点，
．
（1）若 ， ，证明： 平面 ；
（2）若 ， ，且二面角 的余弦值为 ，求 ．
【答案】（1）证明见解析
（2） ．
【解析】
【分析】（1）添加辅助线，构造平行四边形，利用平行四边形的性质得线线平行，再根据线面平行的判定
定理证明线面平行；
（2）根据垂直关系建立空间直角坐标系，写出相关向量的坐标，利用二面角 的余弦值为 列方
程，求解即可.
【小问 1 详解】
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如图，取 的中点 ，连接 ．
因为 分别为 的中点，所以 ， ．
因为 ， ，所以 ， ．
所以四边形 为平行四边形，所以 ．
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
【小问 2 详解】
因为 ，所以 为底面圆的直径，所以 ．
因为 ， ，所以 ， ．
由圆柱的特征可知 平面 ，则 ，
故以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴， 轴，垂直于 的直线为 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系 ．
设 ，则 ， ， ， ，
所以 ， ．
连接 ，则 ，易知 ，
又 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
故平面 的一个法向量为 ．
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设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，
取 ，则 ， ，即 ．
则 ，
解得 （负值舍去），故 ．
18. 如图所示，已知抛物线 ，点 是抛物线上的四个点，其中 在第一象限， 在
第四象限，满足 ，线段 与 交于点 .记线段 与 的中点分别为 .
（1）求拋物线 的焦点坐标；
（2）求证：点 三点共线；
（3）若 ，求四边形 的面积.
【答案】（1）
（2）证明见解析； （3）
【解析】
【分析】（1）由抛物线方程可直接得焦点坐标；
（2）当直线 AB，CD 斜率不存在时，由对称性可证明结论；当直线 AB，CD 斜率存在时，设直线 MN 与线
段 AC，BD 交点为 P，Q，证明 P，Q 重合即 P，Q 为 H 时可证明结论；
（3）由（2）结合 ，可得 ，后由 ，可得 与四边形
面积组成部分的比例关系，即可得答案.
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【小问 1 详解】
因抛物线方程为 ，则焦点坐标为 ；
【小问 2 详解】
证明：设 .
若 ，则直线 AB，CD 斜率不存在，
由对称性，可知 M，N，H 均在 x 轴上，则 三点共线；
若 ，则直线斜率存在，
直线 方程为： ，结合 ，
则 ，
同理可得 方程： ， 方程： ，
BD 方程： .设 ，
因 ，则 .
则直线 MN 与 x 轴平行，设直线 MN 与线段 AC，BD 交点为 .
将 代入直线 AC 方程，
则 ；
将 代入直线 BD 方程，
则 .
注意到
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，又 ，则 P，Q 两点重合，
即 P，Q 为线段 与 交点 H，且点 三点共线；
【小问 3 详解】
由（2），直线 MN 与 x 轴平行，
则 .
又 ，同理可得 ，
又由（2） ，
则 ，
由 ，则 ，
即 .
则
.
如图，过 B 作 MN 平行线，交 CD 为 E，则四边形 MBEN 为平行四边形，
结合 ，则 ， .
因 ，则 ，结合 ，
则 ，又 M 为 AB 中点，则 N 为 DE 中点.
则 ，
则四边形 的面积 .
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【点睛】关键点睛：对于所涉点较多的圆锥曲线综合问题，常不设直线，而改为设点，并用点的坐标结合
曲线方程化简直线方程；对于不规则图形面积，常分割为多个三角形求面积.
19. 已知 ．
（1）若 ，恒有 ，求实数 的取值范围；
（2）当 时，将 在区间 上的零点从小到大依次排列，设第 个零点为 ．
证明：（ⅰ） ；
（ⅱ） ．
【答案】（1）
（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析
【解析】
【分析】（1）依题意 且 在区间 上单调递增，分 、 、 三种情况讨
论，结合函数的单调性计算可得；
（2）（ⅰ）首先可得 的单调性，从而得到 在区间 上存在唯一零点，即为
，记 ，则 ，且 ，则只需证明 ，即证
，最后构造函数，结合函数的单调性证明即可；
（ⅱ）由（ⅰ）可得 ，则 ，结合（1）可得 ，从而得
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到 ，再结合对勾函数的性质得到 ，即可得证.
【小问 1 详解】
因为 ，所以 ， ，
又 在区间 上单调递增，
当 时， ， ，因此 ，符合题意；
当 时， ，当 ， ，故存在唯一零点 ，使得 ，
此时当 时， ，所以 单调递减，故 ，不符合题意；
当 时， ，所以 单调递增，则 ，符合题意．
综上可知， ．
【小问 2 详解】
（ⅰ）当 时 ，所以 在定义域上恒成立，
所以 在区间 上单调递增，且 ，
当 ， ，
所以 在区间 上存在唯一零点，即为 ，
即 ， ， ，记 ，则 ，且 ，
故 ，
要证明 ，即证明 ，
只需证明 ，
构造函数 ， ， ，
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由（1）可知， 在区间 上单调递增，而 ，故 ， 单调递增，
从而 ，故 ，即 ，也即 ．
（ⅱ）由（ⅰ）可知 ， ，
又 ，故 ，故 ，
结合（1）可得： ，
故 ，因此 ，
又 ，函数 在 上单调递增，
因此 ，
故 ．
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤
（1）作差或变形；
（2）构造新的函数 ；
（3）利用导数研究 的单调性或最值；
（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值
问题．
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