湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高一下学期入学考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高一下学期入学考试数学试卷（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了 已知集合 ，则， 是 的， 方程 的解所在的区间为， 函数 的部分图象如图所示，则， 已知函数 ，则， 若实数 满足 ，则等内容，欢迎下载使用。
时量：120 分钟 满分：150 分
得分__________
一､选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合要求的）
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据根式、分式的性质求定义域，再由集合的交运算求结果.
【详解】由 ，得 ，
由 ，则 ，
故 .
故选：B
2. 是 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件举反例即可判断.
【详解】当 时， ， ， 不是 的
充分条件，
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当 时， ， ， 也不是 必要条件，
所以 是 的既不充分也不必要条件.
故选：D.
3. 方程 的解所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】令 ，由函数单调递增及 即可得解.
【详解】令 ，易知此函数为增函数，
由
.
所以 在 上有唯一零点，即方程 的解所在的区间为 .
故选 B.
【点睛】本题主要考查了函数的零点和方程根的转化，考查了零点存在性定理的应用，属于基础题.
4. 设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数 在 R 上单调递增，而函数 在区间 上单调递减，
则有函数 在区间 上单调递减，因此 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
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故选：D
5. 为得到函数 的图象，只需将函数 的图象（ ）
A. 向左平移 个单位长度 B. 向左平移 个单位长度
C. 向左平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度
【答案】C
【解析】
【分析】首先将 化简为 ，将 化简为
，即可得到答案.
【详解】因为 ，
，
所以只需将函数 的图象向左平移 个单位长度，
得到 的图象.
故选：C
（寒假作业）
6. 函数 的部分图象如图所示，则（ ）
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A.
B. 图象的一条对称轴方程是
C. 图象的对称中心是
D. 函数 的单调减区间为
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数图象求得 ，再由正弦函数的对称性、单调性求对称中心、递减区
间，代入验证对称轴判断各项的正误.
【详解】由函数 的图象，知 ，
所以 ，解得 ，即 ，
又 ，可得 ，即 ，
又 ，可得 ，所以 ，故 A 错误.
取到最小值，故 B 正确.
令 ，解得 ，
因此 的对称中心是 ，故 C 错误.
令 ，可得 ，
函数 的单调减区间为 ，即 D 错误.
故选：B
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（教材改编）
7. 已知函数 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据解析式、对数复合函数的单调性判断 的定义域和单调性，再应用对数运算、基本不等式
判断 的大小，进而判断函数值的大小.
【详解】因为 ，所以定义域为 ，且 ，
易知 为减函数， 为增函数，所以 为减函数.
，
又 ，所以 ，则 .
故选：A
8. 已知函数 ，若方程 f（x）＝a 有四个不同的解 x1，x2，x3，x4，且 x1
＜x2＜x3＜x4，则 的取值范围为（ ）
A. （﹣1，+∞） B. （﹣1，1] C. （﹣∞，1） D. [﹣1，1）
【答案】B
【解析】
【分析】由方程 f（x）＝a，得到 x1，x2 关于 x＝﹣1 对称，且 x3x4＝1；化简
，利用数形结合进行求解即可．
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【详解】作函数 f（x）的图象如图所示，∵方程 f（x）＝a 有四个不同的解 x1，x2，x3，x4，且 x1
＜x2＜x3＜x4，
∴x1，x2 关于 x＝﹣1 对称，即 x1+x2＝﹣2，0＜x3＜1＜x4，则|lg2x3|＝|lg2x4|，
即﹣lg2x3＝lg2x4，则 lg2x3+lg2x4＝0，即 lg2x3x4＝0，则 x3x4＝1；
当|lg2x|＝1 得 x＝2 或 ，则 1＜x4≤2； ≤x3＜1；
故 ；
则函数 y＝﹣2x3+ ，在 ≤x3＜1 上为减函数，则故当 x3＝ 取得 y 取最大值 y＝1，
当 x3＝1 时，函数值 y=﹣1．即函数取值范围是（﹣1，1]．
故选 B．
【点睛】本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用
数形结合的思想方法是解题的关键，属于中档题．
二､多选题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多个选
项是符合要求的，三个选项的每个选项 2 分，两个选项的每个选项 3 分，选错得 0 分）
9. 若实数 满足 ，则（ ）
A. 有最大值为 B. 有最小值为
C. 有最大值为 D. 有最小值为
【答案】AD
【解析】
【分析】根据 可分析出 的最值；根据 结合 的范围可求
的最值.
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【详解】因为 ，所以 ，所以 ，
当 ，此时 ，当 ，此时 或 ，
所以 的最大值为 ，最小值为 ，故 A 正确，B 错误；
因为 ，所以 ，所以 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 的最大值为 ，最小值为 ，故 C 错误，D 正确；
故选：AD.
10. 如图，一圆形摩天轮的直径为 100 米，圆心 到水平地面的距离为 60 米，最上端的点记为 .现在摩天
轮开始逆时针方向匀速转动，30 分钟转一圈，以摩天轮的中心为原点建立平面直角坐标系，则下列说法正
确的是（ ）
A. 点 距离水平地面的高度与时间 （分钟）的函数为
B. 点 距离水平地面的高度与时间的函数的对称中心坐标为
C. 经过 10 分钟点 距离地面 35 米
D. 摩天轮从开始转动一圈，点 距离水平地面的高度不超过 85 米的时间为 20 分钟
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意，由条件求得 ，然后根据正弦型函数的性质，对选项逐一判断，即可得到结果.
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【详解】由题意可知 ， 在 分钟转过的角度为 ，
所以以 为终边的角为 ，
所以点 距离水平地面的高度与时间的关系为 ，故 A 正确；
由 ，得 ，所以 不是对称中心，故 B 错误；
经过 10 分钟， ，故 C 正确；
由 ，解得 ，得 ，解得 ，
共 20 分钟，故 D 正确.
故选:ACD
11. 已知函数 ，则下列结论正确的有（ ）
A. 为偶函数
B. 的最小值为
C. 在 上共有 4 个零点
D. 在区间 上单调递减
【答案】AB
【解析】
【分析】利用奇偶函数定义可判断 A；由 可判断 B；令
，由 得 ，结合图形可判断 C；由 B 可知，存在 ，使得
，此时 取到最小值 ，可判断 D.
【详解】对于 A， ，故 A 正确；
对于 B，令| ，则 ，当 时， ，故 B 正确；
对于 C，令 ，则 ， ，令 ，则 ，即 ，
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所以 在 上共有 5 个零点，故 C 错误；
对于 D，由 B 可知，存在 ，使得 ，此时 取到最小值 ，
而 ，故 D 错误.
故选：AB.
三､填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. __________.
【答案】1
【解析】
【分析】应用对数的运算性质，结合对数的换底公式化简求值即可.
【详解】
.
故答案为：1
13. 若函数 的值域是 ，则实数 a 的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】结合对数函数、一次函数的知识求得正确答案.
【详解】当 时， ，
而 值域为 ，
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所以 ，
解得 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为：
14. 设函数 ，若对于任意实数 ， 在区间 上至少有 2 个零
点，至多有 3 个零点，则 的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】原问题转化为 在区间 上至少有 2 个，至多有 3 个 t，使得
，求 得取值范围，作出可知，满足条件可最短区间长度为 ，最长区间长度为
，由此建立关于 的不等式，解出即可．
【详解】令 ，则 ，令 ，则 ，
则原问题转化为 在区间 上至少有 2 个，至多有 3 个 t，使得 ，求
得取值范围，
作出 与 的图象，如图所示，
由图可知，满足条件可最短区间长度为 ，最长区间长度为 ，
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∴ ，解得 ．
故答案为： ．
四､解答题（本大题共 5 小题，第 15 题 13 分，第 16，17 题 15 分，第 18，19 题 17 分，共 77
分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15. 已知角 且 .求下列各式的值.
（1）求 的值；
（2）先化简 ，再求值.
【答案】（1） ；（2） ； .
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式将 化为 ，可求出 ，再求
出 ，将 展开即可代值求解；
（2）由（1）求出 ，将 化为与 相关即可求出.
【详解】（1） ，
，
舍 ，
，
；
（2）由（1）知 ,
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,
.
【点睛】本题考查和的正弦公式的应用，以及求齐次式分式的值，属于基础题.
（高一月考题）
16. 已知函数 .
（1）若 对一切实数 恒成立，求实数 取值范围；
（2）解关于 的不等式 .
【答案】（1） ；
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式恒成立，讨论 、 ，结合二次函数的性质列不等式求参数范围；
（2）由题设有 ，应用分类讨论求对应解集.
【小问 1 详解】
由题意， 对一切实数 恒成立，
当 时，不等式可化为 ，不满足题意；
当 时，则有 ，解得 ；
故实数 的取值范围是 .
【小问 2 详解】
不等式 等价于 ，即 ，
当 时，不等式可化为 ，解集为 ；
当 时，与不等式对应的一元二次方程的两根为 .
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当 时， ，此时不等式解集为 ；
当 时， ，此时不等式解集为 或 ；
当 时， ，此时不等式解集为 ；
当 时， ，此时不等式解集为 或 .
综上所述，
当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ；
当 时，解集为 或 ；
当 时，解集为 ；
当 时，解集为 或 .
17. 已知函数 是定义在 上的奇函数，且 ．
（1）求函数 的解析式；
（2）判断 在 上的单调性，并用单调性定义证明；
（3）解不等式 ．
【答案】（1） ，
（2）减函数；证明见解析；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的性质和 求解即可.
（2）利用函数单调性定义证明即可.
（3）首先将题意转化为解不等式 ，再结合 的单调性求解即可.
【小问 1 详解】
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函数 是定义在 上的奇函数，
； ，解得 ，
∴ ，而 ，解得 ，
∴ ， ．
【小问 2 详解】
函数 在 上为减函数；
证明如下：任意 且 ，则
因为 ，所以 ，又因为 ，
所以 ，所以 ，
即 ，所以函数 在 上为减函数．
【小问 3 详解】
由题意， ，又 ，所以 ，
即解不等式 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
所以该不等式的解集为 ．
18. 本市某路口的转弯处受地域限制，设计了一条单向双排直角拐弯车道，平面设计如图所示，每条车道宽
为 4 米，现有一辆大卡车，在其水平截面图为矩形 ，它的宽 为 2.4 米，车厢的左侧直线 与
中间车道的分界线相交于 、 ，记 ．
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（1）若大卡车在里侧车道转弯的某一刻，恰好 ，且 、 也都在中间车道的直线上，直线 也恰
好过路口边界 ，求此大卡车的车长．
（2）若大卡车在里侧车道转弯时对任意 ，此车都不越中间车道线，求此大卡车的车长的最大值．
（3）若某研究性学习小组记录了这两个车道在这一路段的平均道路通行密度（辆/km），统计如下：
时间 7:00 7:15 7:30 7:45 8:00
里侧车道通行密度 110 120 110 100 110
外侧车道通行密度 110 117.5 125 117.5 110
现给出两种函数模型：①
② ，请你根据上表中的数据，分别对两车道选择最合适的一种函数来描述早七点以后的
平均道路通行密度（单位：辆/km）与时间 （单位：分）的关系（其中 为 7:00 后所经过的时间，例如 7:30
即 分），并根据表中数据求出相应函数的解析式．
【答案】（1）
（2）
（3） ；
【解析】
【分析】（1）通过解直角三角形，分别求出 ，即可求得本题答案；
（2）用 表示 ，利用换元法并结合函数的单调性，求出 的最小值，即可得到大卡车车长的最大值；
（3）先判断里外车道对应的模型，分别求出相应的解析式即可.
【小问 1 详解】
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作 ，垂足为 ，作 ，垂足为 ，
因为 ，所以 ，
在 中， ，在 中， ，
在 中， ，在 中， ，
所以
【小问 2 详解】
因为 ，所以 ， ， ， ，
所以
令 ，则 ，
所以 ， ，
所以 ，
设 ，则 ，
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所以 ，
易知 在 单调递增，且 ，
所以 在 单调递减，
所以，当 ，即 时， 取最小值 ，
所以，若大卡车在里侧车道转弯时对任意 ，此车都不越中间车道线，求此大卡车的车长的最大值为
.
【小问 3 详解】
由表可得，里侧车道通行密度有最大值和最小值，适用模型 ，
易得 ，所以 ，又 , ，所以
；
而外侧车道通行密度关于 对称，左侧递增，右侧递减，适用模型 ，
易知 ，代入 ，得 ，
所以 .
【点睛】方法点睛：对于含有 和 的三角函数值域问题，可以通过换元转化为熟悉的
函数，如二次函数，分式函数来解答.
19. 对于两个定义域相同的函数 和 ，若存在实数 ，使 ，则称函数
是由“基函数 和 ”生成的.
（1）若 是由“基函数 和 ”生成的，求 的值；
（2）试利用“基函数 和 ”生成一个函数 ，满足 为偶函数，
且 .
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①求函数 的解析式；
②已知 ，对于 上的任意值 ，记
，求 的最大值.（注： .）
【答案】（1）1 （2）① ；②
【解析】
【分析】（1）根据题意，由 求解 即可；
（2）①设 ，利用 为偶函数得到 ，再由 即可求
出 ；②化简 ，判断在 上的单调性，利用单调性，设
，
则 ，
化简 ，再求出最大值即可
【小问 1 详解】
由已知，可得 ，
则 ，
则 ，解得 ，
所以实数 的值为 1.
【小问 2 详解】
①设 ，
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因为 为偶函数，所以 ，
由 ，可得 ，
整理可得 ，即 ，所以 ，
所以 对任意 恒成立，所以 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，
故函数 解析式为 .
②由①知 .
在 内任取 ，且 ，
则 ，
因为
，
所以 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以函数 在 上是增函数，同理可证，函数 在 上是减函数.
设 ，
则 ，
所以
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，
当且仅当 或 时， 有最大值 ，
故 的最大值为 .
【点睛】“新定义”主要是指新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问
题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解，但是，透过现象看本质，
它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜
法宝.
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