浙江省绍兴市2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份浙江省绍兴市2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题（Word版附解析），文件包含浙江省绍兴市2024-2025学年高一上学期期末调测数学试题Word版含解析docx、浙江省绍兴市2024-2025学年高一上学期期末调测数学试题Word版无答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共19页， 欢迎下载使用。
注意事项：
1.请将学校、班级、姓名分别填写在答卷纸相应位置上.本卷答案必须做在答卷相应位置上.
2.全卷满分150分，考试时间120分钟.
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】由题意，根据补集的概念与运算直接得出结果.
【详解】由题意知，或.
故选：C
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意分别判断充分性，必要性从而可求解.
【详解】必要性：若，则，，故必要性不满足；
充分性：若，则，故充分性满足；
故“”是“”的充分不必要条件，故A正确.
故选：A.
3. 若扇形的面积为1cm2，周长为4cm，则扇形圆心角的弧度数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】设圆心角为，半径为，根据扇形面积公式及弧长公式得到方程组，解得即可.
【详解】解：设圆心角为，半径为，依题意可得，解得；
故选：B
4. 函数的图象大致形状是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意，判断的奇偶性，利用赋值法，结合选项即可求解.
【详解】的定义域为，关于原点对称，
，所以为奇函数，
奇函数的图象关于原点对称，故排除AB；
因，又，故排除C.
故选：D
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同角的商数、平方关系可得，结合诱导公式和二倍角的余弦公式计算即可求解.
【详解】由，得，
又，所以，解得.
所以.
故选：C
6. 已知函数，则（ ）
A. 在上单调递增且值域为
B. 在上单调递减且值域为
C. 在上单调递增且值域为
D. 在上单调递减且值域为
【答案】B
【解析】
【分析】利用指数函数，二次函数，复合函数的性质求解单调性和值域即可.
【详解】令，
则视为由和构成的复合函数，
由二次函数性质得在上单调递减，在上单调递增，
由指数函数性质得在上单调递增，
由复合函数性质得在上单调递减，
而，故，故B正确.
故选：B
7. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角函数的性质和对数函数的单调性可知，利用对数的运算性质可得，即可求解.
【详解】，
由，得，所以，
即，
所以.
故选：D
8. 若关于x的不等式在上恒成立，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用换元法（令），将原不等式转化为在上恒成立，结合对勾函数的单调性即可求解.
【详解】令，则，
则原问题转化为不等式在上恒成立，
即不等式在上恒成立，
又，
所以在上恒成立，
设，则函数在上单调递增，
所以，得，
所以.
故选：B
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将原问题转化为在上恒成立问题.
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列函数中，为奇函数且在上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据函数的性质逐项判断即可.
【详解】由可得偶函数，所以A错误；
由可得为奇函数，函数在上单调递增，即函数在上单调递增，所以B正确；
由可得为奇函数，函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，所以C正确；
函数为非奇非偶函数且在上单调递增，所以D错误.
故选：BC
10. 设函数.若，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】作出的图象，由题意，结合图形可知且，化简计算即可求解.
【详解】作出函数的图象，如图，
由图可知，，
由知，，即，
即，得，故A错误，B正确；
由，得，所以故C正确，
所以故D正确，.
故选：BCD.
11. 已知，则（ ）
A. 的最小正周期是
B. 在上单调递减
C. 直线是图象的一条对称轴
D. 在上的所有零点和为
【答案】ABC
【解析】
【分析】本题考查三角函数的性质.有函数周期的定义可得A正确；利用二倍角公式将函数化简为，利用“同增异减”判断复合函数的单调性可得B正确；由可得直线是图象的一条对称轴，C正确；令，可得，求得在上的所有零点分别为，，，，，所有零点之和为.D错误.
【详解】对于A，，所以函数的最小正周期为，A正确；
对于B，，令，，，当时，，根据复合函数单调性可得，在上单调递减，B正确；
对于C，，所以直线是图象的一条对称轴，C正确；
对于D，令，可得，即，化简得，可得或，求得在上的所有零点分别为，，，，，所有零点之和为，D正确.
故选：ABC.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. __________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据指数幂和对数的运算性质计算即可求解.
【详解】原式.
故答案为：2
13. 命题“，”的否定是__________.
【答案】，
【解析】
【分析】利用全称量词命题的否定直接写出结论.
【详解】命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以所求的否定是：，.
故答案为：，
14. 已知函数的图像关于点对称，且在上有且只有两条对称轴，则__________.
【答案】8
【解析】
【分析】由三角函数对称性求出，再由有且只有两条对称轴求出，最后结合三角函数的性质即可求出答案.
【详解】函数关于直线对称，
所以，所以，
要使函数在区间上有且只有两条对称轴，所以,
因为，所以，所以，所以或或；
当时，，则函数只有一个对称轴不合题意；
当时，，则函数有且只有两条对称轴符合题意；
当时，，则函数有三条对称轴不符合题意；
所以.
故答案为：.
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步㵵）
15. 已知函数.
（1）求的定义域；
（2）证明：在上单调递减.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据分式的意义计算即可求解；
（2）利用定义法即可证明.
【小问1详解】
因为，解得.
所以的定义域为.
【小问2详解】
，，且，
则.
因为，所以，，，，
所以，即，所以，
故在上的单调递减.
16. 声强级（单位：dB）由公式给出，其中I为声强（单位：），k，b为常数.研究发现正常人听觉能忍受的最高声强为，此时声强级为120dB；平时常人交谈时的声强约为，此时声强级为60dB.
（1）求k，b的值；
（2）实验结果表明，噪声可以降低人的视力敏感性，当噪声声强级达到90dB至115dB时，视网膜中的视杆细胞对光亮度的敏感性会下降，识别弱光反应的时间也会延长.某种型号的拖拉机声的声强约为，若司机长时间在这种噪音环境下驾驶，试判断是否会降低他的视力敏感性？
【答案】（1）
（2）司机长时间在这种噪音环境下驾驶，会降低他的视力敏感性.
【解析】
【分析】（1）由题意建立方程组，解之即可求解；
（2）由（1），将代入即可下结论.
【小问1详解】
由题意知，解得，
所以.
【小问2详解】
因为，将代入，
得，
所以司机长时间在这种噪音环境下驾驶，会降低他的视力敏感性.
17. 已知函数.
（1）求的最小正周期和单调递增区间；
（2）若在上有两个零点，求m取值范围.
【答案】（1）最小正周期为，，.
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据三角恒等变换的化简计算可得，利用和整体代换法计算即可求解；
（2）由（1），根据正弦函数的图象与性质可知的单调性，进而，解之即可求解.
【小问1详解】
因为
所以的最小正周期为.
令，，
得，，
所以的单调递增区间为，.
【小问2详解】
因为，
所以由（1）知在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递增，在上单调递减.
要使得在上有两个零点，
根据零点存在定理，得，即，解得.
所以.
18. 已知函数，，其中.
（1）判断与的奇偶性；
（2）证明：；
（3）若对任意，存在，恒有成立，求a的取值范围.
【答案】（1）为奇函数，为偶函数.
（2）证明见解析 （3）.
【解析】
【分析】（1）利用函数得奇偶性的定义求解，
（2）利用题目的函数的解析式证明题目给的等式即可，
（3）由小问（2）中得到的结论，将题目中的不等式转化成，接着转化成，进而求解结果.
【小问1详解】
因为与定义域均为，
且满足，
，
即为奇函数，为偶函数.
【小问2详解】
证明：
因为
【小问3详解】
由（2）知，
所以.
当时，不等式成立，
当时，即.
又因为，
所以，
即为.
因为，，所以，
所以，
.
所以，
解得，
又因为，
所以.
19. 已知集合，，记，.
（1）求集合S，T；
（2）对于只含有四个正整数，，，的集合P，若的最小值是k，则称集合P是“k阶积差四元集”.
（ⅰ）若，求“1阶积差四元集”C，且满足；
（ⅱ）若，是否存在“2阶积差四元集”M，N，使得？若存在，求出所有集合M，N；若不存在，说明理由.
【答案】（1），.
（2）存在，，或，，，，或，.
【解析】
【分析】（1）根据交集及并集得出集合；
（2）（ⅰ）先由得出，再分类讨论求解；（ⅱ）先由，得出和一定是同奇数或同偶数，最后分类讨论得出集合.
【小问1详解】
因为，解得，又，所以，
所以，.
【小问2详解】
（ⅰ）因为，
若，则，不满足题意；
若，则，满足题意；
若，则，不满足题意；
若，则，不满足题意；
若，则，不满足题意；
综上，.
（ⅱ）假设存在“2阶积差四元集”M，N，
因为，其必要条件是存在，所以和一定是同奇数或同偶数，则
①若，，则M，N均不合题意；
②若，，其中m，n，p，q是奇数，
则，即.
当时，得（舍），或（舍）；
当时，得，或（舍），此时，，
且M，N均符合；
当时，得，或（舍），此时，，N不合题意；
当时，得，或（舍），此时，，N不合题意；
③若，，其中m，n，p，q是奇数，则，即，此时m，n无解；
④若，，其中m，n，p，q是奇数，则，即
当时，得（舍），或（舍）；
当时，得，或（舍），此时，，且M，N均符合；
当时，得，或（舍），此时，，N不合题意；
当时，得（舍），或（舍）；
所以此时，或，，
同理，或，，也满足题意.
综上，存在，，或，
，，或，.