浙江省杭州市八县区2024-2025学年高二上学期期末考试数学（乙卷）试题（Word版附解析）

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一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 复数 （i 为虚数单位）的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知 且 数列 各项均为正实数，设甲： 为等比数列；乙： 为等差数列，则
甲是乙的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 一个笔盒中装有 6 支笔，其中 3 支黑色，2 支红色，1 支蓝色．若从中任取 2 支，则“恰有 1 支黑色”的概
率是（ ）
A. B. C. D.
5. 设椭圆 与双曲线 的离心率分别为 ，双曲线渐近线的斜率小于
，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数 的定义域为 R 且 则 （ ）
A. B. C. 1 D.
7. 已知 则 （ ）
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A. 1 B. C. D.
8. 如图，曲线 C 这种造型被称为双纽线，在纺织中作为花纹得到广泛应用．已知曲线 C 上的点满足到点
与到点 的距离之积为 4，则曲线 C 上点的纵坐标的最大值为 （ ）
A. B. 1 C. D. 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选
对的得 6 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9. 下列函数的求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 在数列 和 中 的前 n 项和
则下列说法正确的有（ ）
A B.
C. 36 是 与 的公共项 D.
11. 一条动直线 与圆 相切，并与圆 相交于点 ，点 为定直线 ：
上动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 存在直线 ，使得以 为直径的圆与 相切
B. 的最小值为
C. 的最大值为
D. 的最小值为
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三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知空间向量 ， ， ，则向量 在坐标平面 上的投影向量是___________.
13. 已知抛物线 ： 的焦点为 ，过点 作斜率为 的直线在第一象限与 交于 、 两
点，且 为 的平分线，则 的值为_________.
14. 定义：已知一个点集 及一点 P，任取点集 中一点 Q，线段 PQ 长度的最小值称为点 P 到点集 的
距离，记作 现已知空间中一点 P，平面上一个长为 2、宽为 1 的矩形及其内部的所有点构成点集
则点的集合 所表示几何体的体积为_________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 在三角形 中，内角 所对边分别为 ，已知 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ，三角形 的面积为 ，求三角形 的周长.
16. 已知函数
（1）若 求 在点 处的切线方程；
（2）若 图象关于点 中心对称，求 的值．
17. 如图，多面体 ABCDEF 是由一个四棱锥 与一个三棱锥 拼接而成，底面 是棱
长为 2 的菱形
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 求平面 与平面 所成角 余弦值．
18. 已知椭圆 ： 左顶点 离心率 B 为第一象限内椭圆上一点，过
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B 作椭圆 切线交直线 于点
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过点 A 且平行于 BP 的直线与椭圆的另一个交点为 C，直线 AC 交 BO 延长线于点 M，记
的面积分别为
（i）证明： ；
（ii）当 时，求直线 AC 的方程．
19. 已知数列 是斐波那契数列 …… 这一数列以如下递推的方法定义：
N 数 列 对 于 确 定 的 正 整 数 k， 若 存 在 正 整 数 n， 使 得
成立，则称数列 为“k 阶可分拆数列”．
（1）已知数列 满足 若对 数列 为“1 阶可分拆数列”，求出
符合条件的实数 t 的值；
（2）已知数列 满足 若 为“k 阶可分拆数列”，记正整数 m 的最小值
为 求 ；
（3）若数列 满足 其前 n 项和为 求证：当 且 时，
成立．