人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念教学设计

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念教学设计，共12页。教案主要包含了典例解析，达标检测，小结，课时练等内容，欢迎下载使用。

本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习等比数列的概念
数列是高中代数的主要内容，它与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系，又是今后学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要地位。
学生在已学习等差数列的基础上，引导学生类比学习等比数列，让学生经历定义的形成、通项公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思，进一步培养学生灵活运用公式的能力。发展学生逻辑推理、直观想象、数学运算和数学建模的的核心素养。
重点：等比数列及等比中项的概念
难点：等比数列的函数特征及综合运用
多媒体
由于教师不仅是知识的传授者，而且也是学生学习的引导者、组织者和合作者。所以我采用“问题情景---建立模型---求解---解释---应用”的教学模式，启发引导学生通过对问题的亲身动手探求、体验，获得不仅是知识，更重要的是掌握了在今后的发展中用这种手段去获取更多的知识的方法。这是“教师教给学生寻找水的方法或给学生一杯水，使学生能找到一桶水乃至更多活水”的求知方式。多媒体可以使教学内容生动、形象、鲜明地得到展示。
课程目标
学科素养
A. 理解等比数列及等比中项的概念．
B．掌握等比数列的通项公式，能运用公式解决相关问题．
1.数学抽象：等比数列的定义
2.逻辑推理：等比数列通项公式的推导
3.数学运算：等比数列的运用
4.数学建模： 等比数列的函数特征
教学过程
教学设计意图
核心素养目标
新知探究
我们知道，等差数列的特征是“从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数” 。类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的？
1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列:
9,92,93,…,910; ①
100,1002,1003,…,10010; ②
5, 52,53,…,510. ③
2.《庄子·天下》中提到：“一尺之锤，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之锤”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，每天得到的“锤”的长度依次是
12,14,18,116,132,… ④
3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20 min 就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是
2,4,8,16,32,64,… ⑤
4.某人存入银行a元，存期为5年，年利率为 r ，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是
a1+r,a(1+r)2,a(1+r)3,a(1+r)4,a(1+r)5 ⑥
如果用 {an} 表示数列①，那么有 a2a1=9,a3a2=9,…a10a9=9
其余几个数列也有这样的取值规律吗？，请你试着写一写。
探究1 类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？你发现了什么规律？
等差数列的概念
文字语言
如果一个数列从第__项起，每一项与它的______的差都等于__________，那么这个数列就叫做等差数列，这个____叫做等差数列的公差，公差通常用字母__表示
符号语言
an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)
2 ；前一项 ；同一个常数 ；常数 ；d
探究2 类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出等比数列的概念吗？
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q表示(显然q≠0 )． 符号语言： anan-1=q(n≥2,n∈N*) ．
探究3：在等差数列中，我们学习了等差中项的概念，通过类比，我们在等比数列中有什么相应的概念？如何定义？
1．下列数列为等比数列的是( )
A．m，m2，m3，m4，…
B．22,42,62,82，…
C．q－1，(q－1)2，(q－1)3，(q－1)4，…
D．eq \f(1,a)，eq \f(1,a2)，eq \f(1,a3)，eq \f(1,a4)，…
D 解析：当m＝0，q＝1时，A，C均不是等比数列；eq \f(62,42)≠eq \f(42,22)，
所以B不是等比数列．
2．方程x2－5x＋4＝0的两根的等比中项是( )
A．eq \f(5,2) B．±2 C．±eq \r(5) D．2
B 解析：设方程的两根分别为x1，x2，由根与系数的关系，得x1x2＝4，∴两根的等比中项为±eq \r(x1x2)＝±2.
探究3. 你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？
设一个等差数列an的首项为a1,公差为d,根据等差数列的定义，可得an+1-an= d
所以a2-a1= d, a3-a2= d, a4-a3= d,…
于是 a2=a1+ d,
a3=a2+ d=(a1+ d) + d=a1+ 2d,
a4=a3+ d=(a1+ 2d) + d=a1+ 3d,……
归纳可得an=a1+(n-1) d (n≥2)
当n=1时，上式为a1=a1+(1-1) d=a1，这就是说,上式当时也成立。
因此，首项为a1,公差为d的等差数列an的通项公式为an=a1+(n-1) d
请你回忆一下，等差数列通项公式的推导过程，类比猜想，等比数列如何推导通项公式？
设一个等比数列an的为q,根据等比数列的定义，可得
an+1=an∙q
所以a2=a1 q,
a3=a2 q=(a1 q) q=a1q2,
a4=a3q=(a1q2) q=a1q3
……
归纳可得an=a1qn-1(n≥2)
又a1=a1q0=a1q1-1，这就是说，当n=1时，上式也成立。
因此，首项为a1,公比为q的等比数列an的通项公式为
an=a1qn-1
探究4. 在等差数列中，公差d≠0的等差数列可以与相应的一次函数建立联系，那么对于等比数列，公比 q 满足什么条件的数列可以与相应的函数建立类似的联系？
an=a1qn-1= a1qqn
当q>0且q≠1时 , f(x)= a1qqx(x ∈R)
当x=n时, f(n)= a1qqn(n ∈N*)
即指数型函数f(x)=kax
（为k, a常数， k ≠0, a>0且a≠1 ）构成一个等比数列kan，
f1=ka，f2=ka2，⋯，fn=kan，⋯
其首项为ka ，公比为a
探究5：类比指数函数的性质，你能说说公比q>0的等比数列的单调性吗？
f(x)= a1qqx(x ∈R)
二、典例解析
例1. 若等比数列an的第4项和第6项分别为48和12，求an的第5项.
分析：等比数列an由唯一确定，可利用条件列出关于的方程（组），进行求解。
解法1：由a4=48，a6=12，得
a1q3=48， ① a1q5=12. ②
②的两边分别除以①的两边，得q2=14. 解得q=12或-12.
把q=12 代入①，得a1 =384.
此时 a5=a1q4 =384×(12)4=24.
把q=-12 代入①，得a1 =-384.
此时 a5=a1q4 =384×(-12)4=-24.
因此an的第5项是24或-24.
解法2：因为 a5 是 a4 与 a6 的等比中项，所以a52=a4a6=48×12=576.
所以a5=±576=±24.
因此，an的第5项是24或-24.
例2 已知等比数列an的公比为q，试用an的第m项am表示an.
解：由题意，得am=a1qm-1，①
an=a1qn-1. ②
②的两边分别除以①的两边，得anam=qn-m
所以 an=amqn-m.
1．在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项．
2．等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示.
跟踪训练1 在等比数列{an}中，
(1)若a2＝4，a5＝－eq \f(1,2)，求an；
(2)若a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
解：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q.
(1)由题意可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝a1q＝4，,a5＝a1q4＝－\f(1,2)，))
∴q＝－eq \f(1,2)，a1＝－8，
∴an＝a1qn－1＝－8×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))n－1＝(－2)4－n.
(2)∵a3＋a6＝(a2＋a5)q，即9＝18q，
∴q＝eq \f(1,2).
由a1q＋a1q4＝18得a1＝32，
由an＝a1qn－1＝1知n＝6.
例3. 数列an共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132，求这个数列.
分析：先利用已知条件表示出数列的各项，再进一步根据条件列出方程组求解.
解：设前三项的公比为 q,后三项的公差为d，则数列的各项依次为80q2, 80q,80,80+d, 80+2d,
于是得80q+(80+d)=136,80q2+80+2d=132.
解方程组，得q=2d=16或 q=23d=-64
所以这个数列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，-48.
跟踪训练2.有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数.
解法1：设这四个数依次为a-d,a,a+d,(a+d)2a,
于是得a-d+(a+d)2a=16,a+a+d=12. 解方程组，得a=4d=4或 a=9d=-6
所以当a＝4，d＝4时，所求的四个数为0,4,8,16；
当a＝9，d＝－6时，所求的四个数为15,9,3,1.
故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
解法2：设这四个数依次为2aq-a,aq,a,aq,
于是得2aq-a+aq=16,aq+a=12. 解方程组，得a=8q=2或 a=3q=13,
所以当a＝8，q＝2时，所求的四个数为0,4,8,16；
当a＝3，q=13时，所求的四个数为15,9,3,1.
故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
通过与等差数列进行类比，引导学生通过观察、分析、归纳出等比数列的定义。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。
通过与等差数列中项性质的类比，获得等比数列中项的性质。发展学生逻辑推理、数学抽象和数学建模的核心素养。
通过典型例题，加深学生对等比数列及其函数特征的理解。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素。
通过典型例题，加深学生对等比数列综合运用能力。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素
三、达标检测
1．已知{an}是等比数列，a1＝4，公比q＝eq \f(1,2)，则a5＝( )
A．eq \f(1,4) B．eq \f(1,5) C．eq \f(1,2) D．eq \f(1,3)
A 解析： ∵等比数列的通项公式an＝a1qn－1，
∴a5＝a1×q4＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))4＝eq \f(1,4)，故选A．
2．设an＝(－1)n(n∈N*)，则数列{an}是( )
A．等比数列 B．等差数列
C．递增数列 D．递减数列
A 解析：由已知数列an＝(－1)n(n∈N*)的前5项为－1,1，－1,1，－1，
明显数列{an}不是等差数列，也不是单调递增数列，
也不是单调递减数列，排除BCD．
又当n≥2，n∈N*时，eq \f(an,an－1)＝eq \f(－1n,－1n－1)＝－1为常数，
故数列{an}是等比数列．故选A．
3．若各项均为正数的等比数列{an}满足a3＝3a1＋2a2，则公比q＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
C 解析：因为a3＝3a1＋2a2，所以a1q2＝3a1＋2a1q.又a1≠0，
所以q2－2q－3＝0.又q>0，解得q＝3.故选C．
4.若数列－1，a，b，c，－9成等比数列，则实数b的值为( )
A．－3 B．3 C．±3 D．不能确定
A 解析：∵－1，a，b，c，－9成等比数列，
∴－1，a，b成等比数列，a，b，c成等比数列，
b，c，－9成等比数列，
∴a2＝－b，b2＝ac，c2＝－9b.
∴b4＝a2c2＝(－1)×(－9)b2.∴b2＝9.
又a2＝－b>0，∴b