高中第四章 数列4.3 等比数列学案

这是一份高中第四章 数列4.3 等比数列学案，共9页。学案主要包含了典例解析等内容，欢迎下载使用。
1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用．
2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.
重点：等比数列的前n项和公式及其应用
难点：运用等比数列解决实际问题
等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q表示(显然q≠0 )．
符号语言： anan-1=q(n≥2,n∈N*)
2.等差与等比数列
3.等比数列的前n项和公式
eq \f(a11－qn,1－q);eq \f(a1－an,1－q); na1
一二PAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXX、典例解析
例10. 如图，正方形ABCD 的边长为5cm ，取正方形ABCD 各边的中点E,F,G,H, 作第2个正方形 EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I,J,K,L，作第3个正方形IJKL ，依此方法一直继续下去.
(1) 求从正方形ABCD 开始，连续10个正方形的面积之和；
(2) 如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？
典例解析
例11. 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请你测算一下从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）.
解决数列应用题时
一是：明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题；
二是：明确是求an，还是求Sn.细胞繁殖、利率、增长率等问题一般为等比数列问题．
跟踪训练1. 某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上一年减少15，本年度当地旅游业收入估计为400万元．由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增长14.求n年内的总投入与n年内旅游业的总收入．
例12. 某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8% ，且在每年年底卖出100头牛。设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1,c2,c3,…
（1）写出一个递推公式，表示cn+1与cn之间的关系；
（2）将（1）中的递推公式表示成cn+1 -k=r(cn-k)的形式，其中k, r为常数；
（3）求S10=c1+c2+c3+…+c10的值（精确到1）.
1．等比数列{an}的公比为q(q≠1)，则数列a3，a6，a9，…，a3n，…的前n项和为( )
A.eq \f(a11－q2n,1－q) B.eq \f(a11－q3n,1－q3)
C.eq \f(a31－q3n,1－q3) D.eq \f(a21－q2n,1－q)
2．(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝________.
3．数列eq \f(1,2)，eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)，eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)＋eq \f(1,8)，…，eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)＋…＋eq \f(1,2n)的前n项和为________.
4. 为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2018年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.
(1)以2018年为第一年，设第n年出口量为an吨，试求an的表达式；
(2)国家计划10年后终止该矿区的出口，问2018年最多出口多少吨？(0.910≈0.35，保留一位小数)
（1）掌握用等比数列知识解决增长率等问题的数学模型，尤其要注意公比与项数的选取；
（2）根据实际问题，先分清等比数列与等差数列, 再建立不同的数学模型；
（3）通过实际问题，发现等差数列与等比数列的不同特点.
参考答案：
知识梳理
学习过程
一、典例解析
例10. 分析：可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可知，这是一个等比数列。
解：设正方形的面积为a1，后续各正方形的面积依次为a2, a3, …,an,…，
则a1=25,
由于第k+1个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点，
所以ak+1=12ak,
因此{an}，是以25为首项，12为公比的等比数列.
设{an}的前项和为Sn
（1）S10=25×1-1210 1 -12=50×1-1210=25575512
所以，前10个正方形的面积之和为25575512cm2.
(2)当无限增大时，无限趋近于所有正方形的面积和
a1+a2+a3+…+an+…，
而
Sn=25×1-12n 1 -12=50×1-12n,
随着n的无限增大，12n将趋近于0，Sn将趋近于50.
所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于50.
典例解析
例11. 分析：由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理
的垃圾量构成等差数列。因此，可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算。
解：设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列{an} ，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列{bn} ， n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为 Sn （单位：万吨），则an=20(1+5%)n, bn=6+1.5 n ,
Sn=a1-b1+a2-b2+…+an-bn
=a1+a2+…+an-b1+b2+…+bn
=20×1.05+20×1.052+…+20×1.05n-(7.5+9+…6+1.5n)
=(20×1.05)×(1-1.05n) 1 -1.05-n2(7.5+6+1.5n)
=420×1.05n-34n2-274n-420
当n=5时，S5 ≈63.5
所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为 63.5万吨.
跟踪训练1. 解：由题意知第1年投入800万元，
第2年投入800×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,5)))万元，
……
第n年投入800×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,5)))n－1万元，
所以每年的投入资金数构成首项为800，公比为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,5)))的等比数列．
所以n年内的总投入Sn＝800＋800×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,5)))＋…＋800×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,5)))n－1＝4 000×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))n))(万元)．
由题意知，第1年旅游业的收入为400万元，
第2年旅游业的收入为400×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,4)))万元，
……
第n年旅游业的收入为400×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,4)))n－1万元，
所以每年的旅游业收入资金数构成首项为400，
公比为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,4)))的等比数列．
所以n年内旅游业的总收入
Tn＝400＋400×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,4)))＋…＋400×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,4)))n－1＝1 600×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)))n－1))(万元)．
故n年内的总投入为4 000×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))n))万元，
n年内旅游业的总收入为1 600×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)))n－1))万元．
例12. 分析：（1）可以利用“每年存栏数的增长率为8%”和“每年年底卖出100头”建立cn+1与cn的关系；（2）这是待定系数法的应用，可以将它还原为（1）中的递推公式形式，通过比较系数，得到方程组；（3）利用（2）的结论可得出解答。
解（1）由题意，得c1=1200,并且
cn+1=1.08cn-100. ①
（2）将cn+1 -k=r(cn-k)化成
cn+1=rcn-rk+k. ②
比较①②的系数，可得
r=1.08,k-rk=-100.
解这个方程组，得
r=1.08,k=1250.
所以（1）中的递推公式可以化为
（3）由（2）可知，数列{cn-1250}是以-50为首项，1.08为公比的等比数列，则
(c1-1250)+(c2-1250)+(c3-1250)+…+ (cn-1250)
=-50×1-1.08101 -1.08≈-724.8.
所以S10=c1+c2+c3+…+c10≈1250×10-724.8=11775.7≈11776.
达标检测
1．【答案】C [等比数列中，序号成等差数列，则项仍成等比数列，则a3，a6，…，a3n是等比数列，且首项为a3，公比为eq \f(a6,a3)＝q3，再用等比数列的前n项和公式求解，即Sn＝eq \f(a31－q3n,1－q3)，故答案为C项．]
2．【答案】－63 [通解 因为Sn＝2an＋1，所以当n＝1时，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1；
当n＝2时，a1＋a2＝2a2＋1，解得a2＝－2；
当n＝3时，a1＋a2＋a3＝2a3＋1，解得a3＝－4；
当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝2a4＋1，解得a4＝－8；
当n＝5时，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝2a5＋1，解得a5＝－16；
当n＝6时，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝2a6＋1，解得a6＝－32.
所以S6＝－1－2－4－8－16－32＝－63.
优解 因为Sn＝2an＋1，所以当n＝1时，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)，所以an＝2an－1，所以数列{an}是以－1为首项，2为公比的等比数列，所以an＝－2n－1，所以S6＝eq \f(－1×1－26,1－2)＝－63.]
3． 【答案】n－1＋eq \f(1,2n) [通项an＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)＋…＋eq \f(1,2n)＝eq \f(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2n))),1－\f(1,2n))＝1－eq \f(1,2n)
∴前n项和Sn＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)))＋…＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2n)))＝n－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋\f(1,4)＋…＋\f(1,2n)))＝n－1＋eq \f(1,2n).]
4. 解：(1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a1＝a，公比q＝1－10%＝0.9，
∴an＝a·0.9n－1.
(2)10年的出口总量S10＝eq \f(a1－0.910,1－0.9)＝10a(1－0.910)．
∵S10≤80，∴10a(1－0.910)≤80，
即a≤eq \f(8,1－0.910)，
∴a≤12.3.故2018年最多出口12.3吨．
已知量
首项a1、公比q(q≠1)与项数n
首项a1、末项an与公比q(q≠1)
首项a1、
公比q＝1
求和公式
Sn＝
Sn＝
Sn＝