第四章 数列（基础测评卷）-2020-2021学年高二数学单元复习全面过（人教A版2019选择性必修第二册）

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章末检测（四) 数列基础测评卷姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分150分，考试时间12分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．（2020·河南新乡市·高二期中（文））已知数列的前项依次为，，，，则数列的通项公式可能是（ ）A． B．C． D．【答案】C【解析】对于A，，故A错误.对于B，，故B错误.对于C，，故C正确.对于D，，故D错误.故选：C.2．（2021·河南信阳市·高二期末（理））已知均为等差数列，且，则（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】数列是以为首项，为公差的等差数列故选：C．3．（2021·江苏启东市·高二期末）在等比数列中，已知，则公比q=（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，解得故选：D4．（2021·江苏南京市·高二期末）中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十二斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十六，要将第八数来言”.题意是：把992斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多16斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（ ）A．174斤 B．184斤 C．180斤 D．181斤【答案】C【解析】设第8个儿子分到的绵是，第个儿子分到的绵是，则构成以为首项，为公比的等比数列，解得故选：C5．（2020·苏州市相城区陆慕高级中学高三期中）设为等比数列的前项和，若，，，则等比数列的公比的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】设等比数列的公比为，因为，，，所以，，因为，所以有，因为，所以，因此要想对于恒成立，只需，而，所以.故选：A6．（2021·陕西宝鸡市·高二期末（理））设等差数列前项和为，等差数列前项和为，若．则（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，因为是等差数列前项和，是等差数列前项和，所以，，则，，故选：B.7．（2021·江西高三其他模拟（文））在等差数列中，.记，则数列（ ）A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项【答案】C【解析】依题意可得公差，，所以当时，，当时，，因为，，，，，，又当时，，且，即，所以当时，数列单调递增，所以数列无最大项，数列有最小项.故选：C8．（2021·北京高二期末）已知数列的前n项和，若，恒成立，则实数的最大值是（ ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】因为数列的前n项和，当时，；当时，满足上式，所以，又，恒成立，所以，恒成立；令，则对任意，显然都成立，所以单调递增，因此，即的最小值为，所以，即实数的最大值是.故选：C二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．（2020·湖北省松滋市言程中学高二月考）等差数列的公差为，前项和为，当首项和变化时，是一个定值，则下列各数也为定值的有( )A． B． C． D．【答案】BC【解析】由等差中项的性质可得为定值，则为定值，为定值，但不是定值.故选：BC.10．（2020·全国高二）若数列对任意满足，下面选项中关于数列的命题正确的是（ ）A．可以是等差数列 B．可以是等比数列C．可以既是等差又是等比数列 D．可以既不是等差又不是等比数列【答案】ABD【解析】因为,所以或,即：或①当时,是等差数列或是等比数列.②或时,可以既不是等差又不是等比数列，故选ABD11．（2021·江苏高二）设是公比为的等比数列，下列四个选项中是正确的命题有（ ）A．是公比为的等比数列 B．是公比为的等比数列C．是公比为的等比数列 D．是公比为的等比数列【答案】AB【解析】由于数列是公比为的等比数列，则对任意的，，且公比为.对于A选项，，即数列是公比为的等比数列，A选项正确；对于B选项，，即数列是公比为的等比数列，B选项正确；对于C选项，，即数列是公比为的等比数列，C选项错误；对于D选项，，即数列是公比为的等比数列，D选项错误.故选：AB.12．（2020·全国高二）设为数列的前项和，若()等于一个非零常数，则称数列为“和等比数列”．下列命题正确的是（ ）．A．等差数列可能为“和等比数列”B．等比数列可能为“和等比数列”C．非等差等比数列不可能为“和等比数列”D．若正项数列是公比为的等比数列，且数列是“和等比数列”，则【答案】ABD【解析】若等差数列的公差为，则是非零常数，则此数列为“和等比数列”，A对若等比数列的公比为，则是非零常数，则此数列为“和等比数列”，B对若数列满足，则是非零常数，它既不是等差数列又不是等比数列，但它是“和等比数列”，C错正项数列是公比为的等比数列，∴，则故数列是首项为，公差为的等差数列，又数列是“和等比数列”，则又为非零常数，则，即，即，D对故选：ABD．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．（2021·河南平顶山市·高二期末（文））已知等比数列的前项和，则______.【答案】3【解析】时，，又，数列等比数列，∴，即，解得．∴.故答案为：3．14．（2021·南宁市邕宁高级中学高二期末）设数列中，，，则通项____________________.【答案】【解析】因为，所以，则；；.各式相加可得，所以，故答案为：.15．（2021·深圳实验学校高中部高二期末）数列满足：，，则数列的通项公式___________.【答案】【解析】因为①；当时，②；①减②得，即，所以，所以，所以所以，，，……，，所以，所以，又，所以，当时也成立，所以故答案为：16．（2020·江苏镇江市·高三期中）数列的前项和为，定义的“优值”为，现已知的“优值”，则______，______．【答案】 【解析】由题意，∴时，，两式相减得：，，又，满足，∴，．故答案为：；．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．（2021·河南高三月考（文））已知数列的前项和为，，（）.（1）求；（2）若，数列的前项和为，求.【解析】（1）因为，所以，又，所以数列是公差为2，首项为2的等差数列，所以.（2）由（1）可知，所以，所以.18．（2021·湖北宜昌市·高三期末）设数列的前n项和为，且，，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．【解析】（1）∵，∴∴是等差数列，设的公差为，∵，，∴，解得，∴．（2）∴．19．（2021·河南焦作市·高二期末（理））已知数列是递增的等差数列，数列的前项和（1）求的通项公式；（2）若等比数列的各项均为正数，且，求数列的前项和【解析】（1）设的公差为，则，即，所以，解得，所以.（2）设的公比为，由（1）知解得所以因此所以，所以20．（2021·山东威海市·高三期末）已知等差数列的前n项和为，且满足.（1）求数列的通项公式;（2）若数列满足，求数列的前项和.【解析】设公差为，依题意得解得 所以.，.21．（2021·云南昆明市·高二期末（理））已知为等差数列，数列的前和为，___________.在①，②这两个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并完成下面问题的解答(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分).（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和.【解析】选①解：（1）设等差数列的公差为，，，由，得，当时，，即，所以是一个以2为首项，2为公比的等比数列..（2）由（1）知，，，.选②解：（1）设等差数列的公差为，，.，令，得，即，.（2）解法同选①的第（2）问解法相同.22．（2021·山东泰安市·高二期末）“绿水青山就是金山银山”是时任浙江省委书记习近平同志于2005年8月15日在浙江湖州安吉考察时提出的科学论断，2017年10月18日，该理论写入中共19大报告，为响应总书记号召，我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方公里，其中是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造为绿洲，同时原有绿洲的被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第n年绿洲面积为万平方公里．（1）求第n年绿洲面积与上一年绿洲面积的关系；（2）判断是否是等比数列，并说明理由；（3）至少经过几年，绿洲面积可超过？【解析】（1）由题意得，所以；（2）由（1）得，∴， 所以是等比数列.（3）由（2）有，又，所以，∴，即；，即，两边取常用对数得：，所以∴．∴至少经过6年，绿洲面积可超过60%．