浙江省宁波市2024届高三数学上学期期末试题2含解析

这是一份浙江省宁波市2024届高三数学上学期期末试题2含解析，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
全卷共4页，考试时间120分钟.
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合的交集运算，即可求得答案.
【详解】由题意知集合，
则，
故选：C
2. 设为虚数单位，且，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的除法运算求，进而可得共轭复数.
【详解】由题意可得：，
所以.
故选：D.
3. 已知非零向量满足，向量在向量方向上的投影向量是，则与夹角的余弦值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据投影向量可得，再结合向量夹角公式运算求解.
【详解】因为向量在向量方向上的投影向量是，
可知，即，且
可得，
所以与夹角的余弦值为.
故选：A.
4. 体育课上，老师让2名女生和3名男生排成一排，要求2名女生之间至少有1名男生，则这5名学生不同的排法共有（）
A. 24种B. 36种C. 72种D. 96种
【答案】C
【解析】
【分析】利用间接法，先让5名学生排成一排，再让2名女生相邻，即可得结果.
【详解】让2名女生和3名男生排成一排，不同的排法共有种，
让2名女生相邻，不同的排法共有种，
所以符合题设的不同的排法共有种.
故选：C.
5. 已知是奇函数，则（）
A. 1B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称,得到,即可求出的值,求出函数的定义域，再由奇函数的性质,求出的值,即可得到结果。
【详解】因为是奇函数，可知定义域关于原点对称，
由，可得，
显然，则且，可得，解得，
所以函数的定义域为，
则，解得,
此时,
且，
即，符合题意，
所以.
故选：D.
6. 已知，则下列选项中，能使取得最小值25的为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】A选项，利用基本不等式直接进行求解；B选项，利用基本不等式“1”的妙用求解；C选项，可以举出反例；D选项，设，，利用三角恒等变换得到.
【详解】A选项，，
当且仅当，即时，等号成立，A错误；
B选项，因为，所以，
故，
当且仅当，即时，等号成立，B正确；
C选项，当时，满足，此时，C错误；
D选项，，设，其中，
则，
因为，所以，故，
显然取不到最小值25，D错误.
故选：B
7. 已知椭圆的左、右焦点分别为是椭圆的上顶点，线段的延长线交椭圆于点．若，则椭圆的离心率（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出直线的方程，与椭圆方程联立，求得点B的坐标，再根据求解.
【详解】由题意得，
则直线的方程为，
联立方程，消去y得，
则，
所以，
因为，则，
因为，化简得，
即，可得，所以.
故选：B.
8. 在平行四边形中，已知，将沿翻折得四面体．作一平面分别与交于点．若四边形是边长为的正方形，则四面体外接球的表面积为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意首先得均为各边的中点，所以，进一步由，由此即可将四面体放入长方体中，即可顺利的外接球半径，进而求解.
【详解】
因为为正方形，则且，
又面，面，
所以面，
又因为面面，
所以，同理可知，
所以，且均为各边的中点，
所以，
因为四边形是边长为的正方形，
所以，
首先求对棱四面体的外接球的半径，将其放在长方体内，如图所示：
，
所以四面体外接球的半径为，
所以四面体外接球的表面积为.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：关键是发现此题是对棱相等模型，由此可将该四面体放入长方体中，由此即可顺利得解.
二、选择题：本题共4小题，在每小題给出的四个选项中，有多项符合题目要求.
9. 数字经济是继农业经济、工业经济之后的主要经济形态．近年来，在国家的大力推动下，我国数字经济规模增长迅猛，《“十四五”数字经济发展规划》更是将数字经济上升到了国家战略的层面．某地区2023年上半年月份与对应数字经济的生产总值（即GDP）（单位：亿元）如下表所示．
根据上表可得到回归方程，则（）
A.
B. 与正相关
C. 若表示变量与之间的相关系数，则
D. 若该地区对数字经济的相关政策保持不变，则该地区7月份的生产总值约为亿元
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，先算出代入验算即可；对于B，由判断即可；对于C，由的公式对比即可求解；对于D，代入预测模型表达式验算即可.
【详解】对于A，，，
所以，故A正确；
对于B，因为，所以与正相关，故B正确；
对于C，相关系数，故C错误；
对于D，当时，，故D正确.
故选：ABD.
10. 已知函数的部分图象如图所示，，则（）
A.
B. 在区间上单调递增
C. 在区间上既有极大值又有极小值
D. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位
【答案】AB
【解析】
【分析】由题意根据函数图象变换规律，即正弦函数的图象和性质，逐一判断每一选项即可得解.
【详解】由题意在函数的部分图象上，
所以，即，所以，
再根据，即，
结合图象可得，所以，，
对于A，由于为函数的最大值，所以，故A正确；
对于B，当时，，由复合函数单调性可知在区间上单调递增，故B正确；
对于C，当时，，所以没有极大值，故C错误；
对于D，为了得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位，故D错误.
故选：AB.
11. 已知圆，抛物线的焦点为为抛物线上一点，则（）
A. 以点为直径端点的圆与轴相切
B. 当最小时，
C. 当时，直线与圆相切
D. 当时，以为圆心，线段长为半径圆与圆相交公共弦长为
【答案】AD
【解析】
【分析】选项A，求出圆的半径与圆心，比较圆心横坐标和半径即可知是否与轴相切；选项B，根据条件得，从而得出时，最小，即可求出结果；选项C，根据条件，得到，再利用直线与圆的位置关系的判断方法，即可判断出选项C的正误；选项D，先求以为圆心，线段长为半径的圆，再求出两圆的公共弦，再利用弦长公式即可求出结果.
【详解】如图，设，中点为，又，所以，
由抛物线定义知，又到轴的距离为，所以选项A正确，
对于选项B，因为，则，
当时，取到最小值，此时，所以选项B错误，
对于选项C，当时，，，不妨取，
则，直线，
所以圆心到直线的距离为，又圆的半径为，所以，
即直线与圆相离，所以选项C错误，
对于选项D，当时，，，不妨取，
故以为圆心，线段长为半径的圆为①，
又圆②，由①②得两圆的共公弦方程，
到的距离为，故公共弦长为，所以选项D正确，
故选：AD.
12. 已知函数满足：对，都有，且，则以下选项正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于选项A:进行三次赋值;;;即可判断；对于选项B:讨论，，结合条件，即可判断；对于选项C:分别令即可判断；对于选项D:由的奇偶性和对称性进行赋值，可得周期性，即可判断.
【详解】对于选项A:令，则
令，则所以
因为，所以，
令，则，故选项A正确；
对于选项B:结合选项A可得，所以或，
若，则，
所以，此时与矛盾，舍去；
若，则，解得，
因为，所以，故选项B错误；
对于选项C:令则，
因为，，所以，所以为偶函数，
令则，
所以，令，则，
即，故选项C正确；
对于选项D:由为偶函数，所以，
令,则，
令,则,
所以，故选项D正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：抽象函数求值问题，一般是通过赋值法，即在已知等式中让自变量取特殊值求得一些特殊的函数值，解题时注意所要求函数值的变量值与已知的量之间的关系，通过赋值还可能得出函数的奇偶性、周期性，这样对规律性求值起到决定性的作用．
三、填空题：本题共4小题.
13. 的展开式中的系数为____________．（用数字作答）．
【答案】40
【解析】
【分析】运用二项式的通项公式进行求解即可.
【详解】展开式的通项，令，得.
所以的系数为.
故答案为：40
14. 某校元旦文艺汇演中，有八位评委对一舞蹈节目评分，该节目得分依次为，则这组数据的第70百分位数为____________．
【答案】92
【解析】
【分析】利用百分位数的定义规则计算.
【详解】这组数据从小到大排列为，
，所以这组数据的第70百分位数是第6个数据，即92.
故答案为：92
15. “PVC”材质的交通路障因其便携、耐用、易塑形等优点被广泛应用于实际生活中．某厂家设计的一款实心交通路障模型如下图所示，该几何体的底部是一个正四棱柱（底面是正方形的直棱柱），上部是一个圆台，结合图中所给的数据（单位：），则该几何体的体积为____________．
【答案】
【解析】
【分析】分别求正四棱柱和圆台的体积，即可求解.
【详解】由图可知，底部正四棱柱底面正方形的对角线长为，高为，
所以正四棱柱的体积为，
圆台上底面的直径为，下底面的直径为，高为，
所以圆台的体积为，
所以该几何体的体积为.
故答案为：
16. 已知成公比为2的等比数列，且．若成等比数列，则所有满足条件的的和为____________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意首先得，利用二倍角公式将方程转换为，进一步通过换元法以及三角函数的对称性即可求解.
详解】由已知得，
由成等比数列，且成公比为2的等比数列，
得，所以，
所以，
令，得到，恰好有两个根，
而满足的的值有，满足的的值之和为，
故所有满足条件的的和为.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：关键是首先得到，进一步通过换元即可顺利得解.
四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在中，内角所对的边分别为．已知．
（1）求A的大小；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理和正弦和角公式得到，求出；
（2）由同角三角函数关系得到，由正弦定理得到，求出，利用三角形面积公式求出答案.
【小问1详解】
由，结合正弦定理，
得，
即，
即，
即，
因为，所以，即．
【小问2详解】
因为，所以．
利用正弦定理得．
而，
故的面积为．
18. 已知函数，其中．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）记为的导函数，若对，都有，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出表达式，当时代入即可求解；
（2）原不等式等价于，据此分情况利用导数求解即可.
【小问1详解】
由题知，，当时，，
所以曲线在处的切线方程为；
【小问2详解】
由题意，原不等式等价于，
即，
当时，对任意，不等式恒成立，
当时，原不等式等价于，
设，则，
设，因为，
所以存在唯一，使得，即，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
故，即．
综上所述，的取值范围为．
19. 如图，在四棱锥中，底面，，点在上，，过点作的垂线交于点．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意结合线面垂直的判定定理和性质定理分析证明；
（2）建系，利用空间向量求线面夹角.
【小问1详解】
因为平面平面，所以．
又因为，且，所以平面，
且平面，所以，
而，且，平面，
所以平面．
【小问2详解】
如图，以为原点，方向分别为轴正向，建立空间直角坐标系，
则，
由（1）知，平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
因为，则，
令，可得，可得，
设平面与平面的夹角为，
则，
即平面与平面的夹角余弦值为．
20. 已知等差数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为．问：是否存在，使得，成等比数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由题意求出等差数列的首项和公差，即可求得答案；
（2）由（1）可得的表达式，利用错位相减法求出的表达式，由此可得到的表达式，结合二项式定理说明，即可得结论.
【小问1详解】
设等差数列的公差为d，
由，取，得，即，
由，得，即，
解得，则．
【小问2详解】
由（1）得，
故，
即，
则，
两式相减，得到
，
即．
则
，
因为，
，
即，
所以，故不存在正整数，使得成等比数列.
21. 某次高三数学测试中选择题有单选和多选两种题型组成．单选题每题四个选项，有且仅有一个选项正确，选对得5分，选错得0分，多选题每题四个选项，有两个或三个选项正确，全部选对得5分，部分选对得2分，有错误选择或不选择得0分．
（1）若小明对其中5道单选题完全没有答题思路，只能随机选择一个选项作答，每题选到正确选项的概率均为，且每题的解答相互独立，记小明在这5道单选题中答对的题数为随机变量．
（i）求；
（ii）求使得取最大值时的整数；
（2）若小明在解答最后一道多选题时，除发现A，C选项不能同时选择外，没有答题思路，只能随机选择若干选项作答．已知此题正确答案是两选项与三选项的概率均为，问：小明应如何作答才能使该题得分的期望最大（写出小明得分的最大期望及作答方式）．
【答案】21. （i）；（ii）
22. 小明选择单选B或单选D的得分期望最大，最大值为分.
【解析】
【分析】（1）（i）易知X服从二项分布，据此计算；（ii）结合先增大后减少的性质，列出不等式解得k的值或范围；
（2）算出单选、双选和三选条件下的数学期望，比较大小即可.
【小问1详解】
（i）因为，所以．
（ii）因为．
．
令，解得，所以当时，最大，
此时．
【小问2详解】
由题知，选项不能同时选择，故小明可以选择单选、双选和三选．
正确答案是两选项的可能情况为，每种情况出现的概率均为．
正确答案是三选项的可能情况为，每种情况出现的概率为．
若小明做出的决策是单选，则:
（分），
（分），
若小明做出的决策是双选，则
（分），
（分）．
若小明做出的决策是三选，则
（分）．
经比较，小明选择单选B或单选D的得分期望最大，最大值为分.
【点睛】方法点睛：
根据正确答案的所有可能结果，对答题情况进行分类讨论，计算每种答题情况的得分期望值，选择最优方案.
22. 已知双曲线的中心为坐标原点，右焦点为，且过点．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，直线与双曲线交于另一点，设直线的斜率分别为．
（i）求证：为定值；
（ii）求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析，
【解析】
分析】（1）设出双曲线方程，结合，将点代入，求解即可；
（2）（i）由题意易得直线l的斜率存在,设，直线l的方程为，联立直线与双曲线方程，化简的式子，结合韦达定理即可求出结果.
（ii）求出直线方程，利用根与系数的关系以及定值探究直线过哪个定点．
【小问1详解】
设双曲线的方程为，
因为双曲线的右焦点为，且过点，
所以其中，解得
双曲线的方程为．
【小问2详解】
（i）设直线的方程为，
由得，
因为直线与双曲线的左、右支分别交于点，
所以得，
即．
（ii）设直线的方程为，
由得，
，
由，结合（i）可知，
由，得，
即，或，
当时，直线过点，不符合题意，舍去，
当时，直线的方程为，过定点．
月份
1
2
3
4
5
6
生产总值
30
33
35
38
41
45