浙江省台州市2023_2024学年高二数学上学期1月期末质量评估试题含解析

这是一份浙江省台州市2023_2024学年高二数学上学期1月期末质量评估试题含解析，共25页。试卷主要包含了 直线的斜率等于， 若双曲线的离心率为2，则实数， 已知等差数列的前项和为， 如图，在平行六面体中，记，则等内容，欢迎下载使用。
A. B. 1C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】由斜截式判定直线斜率即可.
【详解】由直线的斜截式可知的斜率为.
故选：C
2. 若双曲线的离心率为2，则实数（）
A. 2B. C. 4D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】根据离心率表示出方程，计算即可求解.
【详解】由题意得,,解得.
又，则.
​​​​​​​故选:A.
3. 若空间向量，则与的夹角的余弦值为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用空间向量夹角的坐标表示即可求解.
【详解】由题意，得.
故选:C.
4. 已知等差数列的前项和为.若，则其公差为（）
A. B. C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据等差数列前n项和公式，通项公式列式计算求解.
【详解】由，所以，又，
，解得.
故选：D.
5. 如图，在平行六面体中，记，则（）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意结合空间向量的线性运算求解.
【详解】由题意可得：.
故选：A.
6. 人们发现，任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述运算，必会得到1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”现给出冰雹猜想的递推关系如下：对于数列为正整数），若，则所有可能的取值的和为（）
A. 16B. 18C. 20D. 41
【答案】B
【解析】
【分析】由已知数列的递推式倒推得到m的值.
【详解】若，则由递推关系只能有，，有或，
当时，；当时，，
所以所有可能的取值为或，.
故选：B
7. 已知抛物线的焦点为,两点在抛物线上，并满足，过点作轴的垂线，垂足为，若，则（）
A. B. 1C. 2D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】分过的直线斜率不存在和存在两种情况，设出直线方程，联立抛物线，得到两根之积，根据向量比例关系得到方程，求出，，从而得到方程，求出答案.
【详解】由题意得，
当过的直线斜率不存在时，，不合要求，舍去，
当过的直线斜率存在时，设为，联立得，
，
设，则，
因为，所以，
又，故，解得，
故，解得，
故，解得.
故选：B
8. 在空间四边形中，，则下列结论中不一定正确的是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量线性运算判断A；利用空间向量数量积的应用判断B；利用给定等式结合垂直关系的向量表示推理判断CD.
【详解】依题意，，A正确；
显然，即，
因此，B正确；
由，同理得，
于是，由，得，
由，得，取中点，连接并延长至，
使，连接，取中点，连接，显然四边形为平行四边形，
则，，
于是，即有，则，
，而平面，则平面，又平面，
因此，，而为公共边，所以≌，C正确；
显然线段不一定相等，而，，
即直角三角形的两条直角边不一定相等，与不一定垂直，又，
所以不一定垂直，D错误.
故选：D
【点睛】结论点睛：首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．所以在求若干向量的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 已知数列和是等比数列，则下列结论中正确的是（）
A. 是等比数列
B. 一定不是等差数列
C. 是等比数列
D. 一定不是等比数列
【答案】AC
【解析】
【分析】AC可利用等比数列的定义进行判断，CD选项，可举出反例.
【详解】A选项，设数列的公比为，则，
故，所以是等比数列，A正确；
BD选项，设，满足数列和是等比数列，
所以，故此时是等差数列，也是等比数列，BD错误；
C选项，设数列的公比为，数列的公比为，
则，故是等比数列，C正确；
故选：AC
10. 已知且，曲线，则下列结论中正确的是（）
A. 当时，曲线是椭圆
B. 当时，曲线是双曲线
C. 当时，曲线的焦点坐标为
D. 当时，曲线的焦点坐标为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于AC，若，则，从而可判断；对于B，若，则，，从而可判断；对于D，时，曲线是焦点在轴上的双曲线，求出焦点坐标即可判断.
【详解】对于A，若，则，故曲线是焦点在轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若，则，，故曲线是焦点在轴上的双曲线，故B正确；
对于C，时，由A可得曲线是焦点在轴上的椭圆，故C错误；
对于D，时，由B可得曲线是焦点在轴上的双曲线，
曲线，可化为曲线，
双曲线的半焦距为，故焦点坐标为，故D正确.
故选:ABD.
11. 如图，在四面体中，分别是的中点，相交于点，则下列结论中正确的是（）
A. 平面
B.
C.
D. 若分别为的中点，则为的中点
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据线面平行的判定定理即可判断A；对于B，将与的位置关系转化为与的关系进行判断；根据空间向量的线性运算即可判断C；通过分析得到，即可判断D.
【详解】对于A，因为分别是的中点，所以.
又因为平面，平面，所以平面，故A正确；
由A可得，，因为分别是的中点，所以.
由题中条件得不到与垂直，所以也得不到与垂直，故B错误；
对于C，
,故C正确；
对于D，因为是的中点，所以.
又因为是的中点，所以，
所以,
所以为的中点，故D正确.
故选:ACD.
12. 已知，，则下列结论中正确的是（）
A. 当时，
B. 当时，有2个元素
C. 若有2个元素，则
D. 当时，有4个元素
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项，画出表示的部分图形，求出与轴的交点坐标，得到A正确；B选项，得到此时为，由圆心到的距离小于半径得到有两个交点，求出答案；C选项，举出反例；D选项，画出表示的部分图形，结合点到直线距离，数形结合得到答案.
【详解】A选项，时，
表示圆心为，半径为1的圆位于轴上方的部分（包括轴上的两点），
由得或，
故，
表示圆心为，半径为1的圆位于轴上方的部分（包括轴上的两点），
由，解得或，
同理可得，
故表示的部分如图所示，
表示轴，故，A正确；
B选项，当时，，由于圆心到轴的距离等于2，大于1，
整个圆位于轴上方，
，由于圆心到轴的距离等于2，大于1，整个圆位于轴下方，
故表示的部分如图所示，
由于圆心到的距离，
故直线与圆有两个交点，有2个元素，B正确；
C选项，当时，此时两圆圆心相同，半径相等，
此时表示部分如图所示，
此时直线与有两个交点，而，C错误；
D选项，当时，
，由于圆心到的距离为，
，由于圆心到的距离为
，
画出表示的部分如图所示，
此时直线分别与两圆交于两点，共4个交点，
所以有4个元素，D正确.
故选：ABD
【点睛】方法点睛：有关直线与圆的位置关系判断，可利用代数法或几何法进行求解，代数法即联立直线与圆的方程，根据根的判别式进行判断；几何法则使用点到直线距离，数形结合进行求解.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 点到直线的距离为______．
【答案】1
【解析】
【分析】直接利用点到直线的距离公式计算可得.
【详解】点到直线的距离.
故答案为：
14. 已知椭圆的左右焦点分别为，为椭圆上的点，若，，则椭圆的离心率等于______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据椭圆定义求出，由余弦定理求出方程，求出离心率.
【详解】由椭圆定义可得，又，
故，
由余弦定理得，
故，故，
解得，故离心率为
故答案为：
15. 已知数列的前项和为.当时，的最小值是______.
【答案】4
【解析】
【分析】将化为，利用裂项求和法求出，再结合数列的单调性，求解不等式，即可得答案.
【详解】由于，
故，
由，可得，
即，由于的值随n的增大而增大，
且时，，时，，
故n的最小值为：4，
故答案为：4
16. 已知抛物线和.点在上（点与原点不重合），过点作的两条切线，切点分别为，直线交于两点，则的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】设出直线方程，分别与抛物线，联立，结合判别式，韦达定理及弦长公式即可求解.
【详解】依题知直线的斜率存在且不为0，
设直线，，
联立，得，
则，
，
设过点的切线方程为，
则，得，
由，得，
故过点的切线方程为，即，
同理过点的切线方程为，
联立得，则点，
则，得，
设，
联立，得，
，
，
.
故答案为：.
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知圆经过原点及点.
（1）求圆的标准方程；
（2）过原点的直线与圆相交于两点，若，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）由，可知线段的中点为圆心，线段的长为圆的直径，得解；
（2）分直线的斜率是否存在进行讨论，在存在时，利用勾股定理求出弦心距，求解直线方程.
【小问1详解】
设原点为，易知，
线段的中点为圆心，圆心坐标为.
线段的长为圆的直径，，半径.
圆的标准方程为
【小问2详解】
①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
令，代入圆的标准方程，
解得或，则，不符合题意.
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
将其转化为一般式方程，
圆心到直线的距离为，则，
得，
化简得或，即直线的方程为或.
18. 已知数列是公比不为1的等比数列，其前项和为.已知成等差数列，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）应用等比数列的基本量运算及等差中项即可；
（2）应用错位相减法即可.
【小问1详解】
设等比数列的公比为，由题意得：
，即，
，得，解得或.
由于不符合题意，因此.
由得，，即.所以.
【小问2详解】
由题意得，，
则，
则，
则，
则，
.
19. 在长方体中，.从①②这两个条件中任选一个解答该题.
①直线与平面所成角的正弦值为；
②平面与平面的夹角的余弦值为.
（1）求的长度；
（2）是线段（不含端点）上的一点，若平面平面，求的值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出平面的法向量，借助二面角或线面角的向量法求解即可;
（2）设，求出平面的法向量与平面的法向量，利用法向量垂直，即可求出的值.
【小问1详解】
在长方体中，易知两两垂直，
如图，以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.
则，
设，则，
设平面的法向量.
取，则.
若选择条件①，，设直线与平面所成角为，
则，
解得，或（舍去），即.
若选择条件②，易知平面的法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
解得，或（舍去），即
【小问2详解】
由题（1）得:.
设，则.
设平面的法向量
所以，即
取，则,
又，
设平面的法向量.
令，则
平面平面，
即，
解得，所以.
20. 如图，圆的半径为4，是圆内一个定点且是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，点在圆上运动.
（1）求点的轨迹；
（2）当时，证明：直线与点形成的轨迹相切.
【答案】（1）点的轨迹是以为焦点，长轴长等于4的椭圆
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的定义可得答案；
（2）以线段的中点为坐标原点，以过点的直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，求出椭圆的标准方程，当时，点的坐标为和，求出直线的方程与椭圆方程联立利用判别式可得答案.
【小问1详解】
，
因为，所以与两个定点的距离的和等于常数（大于），
由椭圆的定义得，点的轨迹是以为焦点，长轴长等于4的椭圆；
【小问2详解】
以线段的中点为坐标原点，以过点的直线为轴，
以线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，
设椭圆的标准方程为，
由椭圆的定义得：，即，即，
则椭圆的标准方程为，
当时，点的坐标为和.
当点的坐标为时，已知点的坐标为，
线段的中点坐标为，直线的斜率为，
直线的方程，联立方程，得，
整理得，可得，
所以直线与点形成的轨迹只有1个交点，即直线与点形成的轨迹相切.
当点的坐标为时，已知点的坐标为，
线段的中点坐标为，直线的斜率为，
直线的方程，联立方程，
得，
整理得，可得，
所以直线与点形成的轨迹只有1个交点，即直线与点形成的轨迹相切.
综上，直线与点形成的轨迹相切.
21. 某游乐园中有一座摩天轮.如图所示，摩天轮所在的平面与地面垂直，摩天轮为东西走向.地面上有一条北偏东为的笔直公路，其中.摩天轮近似为一个圆，其半径为，圆心到地面的距离为，其最高点为点正下方的地面点与公路的距离为.甲在摩天轮上，乙在公路上.（为了计算方便，甲乙两人的身高、摩天轮的座舱高度和公路宽度忽略不计）
（1）如图所示，甲位于摩天轮的点处时，从甲看乙的最大俯角的正切值等于多少？
（2）当甲随着摩天轮转动时，从乙看甲的最大仰角的正切值等于多少？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设公路所在直线为，过点作的垂线，垂直为,由得答案;
（2）设甲位于圆上的点处, 直线垂直于且交圆于点，射线可以看成是射线绕着点按逆时针方向旋转角度得到. 过点正下方的地面点向作垂线，垂足为.取得最大值时，即为从乙看甲的最大仰角，,其中，表示点和点构成的直线的斜率，根据直线与圆的位置关系即可求解.
【小问1详解】
如图所示，设公路所在直线为，过点作的垂线，垂直为，m.
因为圆的半径为35m，圆心到地面的距离为40m，所以m.
从甲看乙的最大俯角与相等，由题意得，则.
【小问2详解】
如图所示，设甲位于圆上的点处，直线垂直于且交圆于点，射线可以看成是射线绕着点按逆时针方向旋转角度得到.
过点正下方的地面点向作垂线，垂足为.
当取得最大值时，即为从乙看甲的最大仰角.
题意得：,
其中，表示点和点构成的直线的斜率，
当直线的斜率取得最小值时，取最大值.
因为点在单位圆上，
所以当直线与单位圆相切时，斜率取得最大值或最小值
设过点的直线方程为：，
由相切可得，解得，
则直线的斜率最小值为，代入可得取最大值是.
【点睛】方法点睛：
求的最值时，可转化为求点与连线斜率的最值，
设出过点的直线方程，由点在单位圆上，根据直线与圆相切即可求解.
22. 已知双曲线的实轴长为，直线交双曲线于两点，.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知点，过点的直线与双曲线交于两点，且直线与直线的斜率存在，分别记为.问：是否存在实数，使得为定值？若存在，则求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；
（2）存在，.
【解析】
【分析】（1）由已知得，将代入方程可解得，故可得双曲线标准方程；
（2）设，则，再分直线的斜率不存在和直线的斜率存在讨论可得答案.
【小问1详解】
由已知得，故.
将代入方程，得，
由得，.
因此双曲线的标准方程为.
【小问2详解】
设，
则，则.
①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
则,,
则
.
联立方程可得，
因为过点的直线与双曲线交于两点，
所以，即.
则.
故.
令，
整理得.
要使得对任意的上式恒成立，
则，解得,
所以，当时，.
②当直线的斜率不存在时，由①得，为定值的必要条件是，即直线过定点，
此时直线的方程为，易知直线与双曲线没有交点，不符合题意的要求.
综上所述，当时，为定值6.
【点睛】求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．