浙江省台州市2023_2024学年高一数学上学期1月期末试题含解析

这是一份浙江省台州市2023_2024学年高一数学上学期1月期末试题含解析，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若幂函数的图象过点，则的值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】代入点可求出解析式，即可求出答案.
【详解】由幂函数的图象过点，所以，
解得，故，所以.
故选：D.
2. 函数的定义域是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对数函数定义域即可得出结论.
【详解】由题意，在中，
即，所以的定义域为.
故选：A.
3. 下列函数在其定义域上单调递增的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用基本初等函数的单调性逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】反比例函数在和上单调递增，在定义域上不单调，A选项不满足条件；
指数函数在定义域上单调递减，B选项不满足条件；
对数函数在其定义域上单调递增，C选项满足条件；
正切函数在定义域上不单调，D选项不满足条件.
故选：C
4. 若，，则（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合已知条件，利用基本不等式判断各选项中的结论是否成立.
【详解】若，，
，当且仅当等号成立，A选项错误；
，当且仅当等号成立，B选项正确；
，得，当且仅当等号成立，C选项错误；
，得，当且仅当等号成立，D选项错误.
故选：B
5. 下列四组函数中，表示同一函数的是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】逐项判断选项中两个函数的定义域与对应法则是否相同，即可得出结果.
【详解】A选项中，函数与，定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；
B选项中，函数定义域为，函数定义域为，定义域不同，不是同一函数；
C选项中，函数定义域为，函数定义域为R，定义域不同，不是同一函数；
D选项中，函数与函数，对应关系不同，不是同一函数.
故选：A
6. 已知，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】，利用两角和的正切公式求解.
【详解】已知，，
则.
故选：A
7. 已知，若是10位数，则的最小值是（）
A. 29B. 30C. 31D. 32
【答案】B
【解析】
【分析】由，求满足条件的最小自然数即可.
【详解】若是10位数，则取最小值时，应满足，
则有，，
由，则的最小值是30.
故选：B
8. 已知函数部分图象如图所示，则（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析函数的单调性、对称性，确定对称轴及最大值与的关系，求解即可.
【详解】由函数，令，由
二次函数性质可知：图象关于对称，时，单调递增，时，单调递减，在处达到最大值，
由图象得：，则，
根据复合函数的性质可得：图象关于对称，
时，单调递增，时，单调递减，
在处达到最大值，则，且最大值为，
结合图象可知，所以.
故选：C
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知，则（）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据给定条件，利用不等式的性质，结合幂函数性质逐项判断即得.
【详解】由，得，，AB正确；
显然，即，C正确；
函数在上单调递增，则，D错误.
故选：ABC
10. 已知函数，则（）
A. 函数的最小正周期为B. 点是函数图象的一个对称中心
C. 函数在区间上单调递减D. 函数的最大值为1
【答案】BC
【解析】
【分析】利用二倍角公式及辅助角等公式化简得到，借助三角函数的性质逐一判断即可.
【详解】结合题意：，
即.
对于选项A: 由可得，所以故选项A错误；
对于选项B:将代入得：
，所以点是函数图象的一个对称中心，故选项B正确；
对于选项C:对于，令，则，
因为，所以，而在上单调递减，
所以函数在区间上单调递减，故选项C正确；
对于选项D: 对于，当，
即,，故选项D错误.
故选：BC.
11. 定义域均为的奇函数和偶函数，满足，则（）
A. ，使得B. ，使得
C，都有D. ，都有
【答案】ACD
【解析】
【分析】由两函数的奇偶性列方程组可求出两函数的解析式，对于选项A: 利用函数在上单调递增，且值域为，即可判断；对于选项B:借助基本不等式及三角函数的最值即可判断；对于选项C:利用函数的值域求出即可判断；对于选项D:利用函数的奇偶性即可判断.
【详解】因为，则，
因为为奇函数和为偶函数，所以，
所以，
联立，
可得，，
对于选项A: 由，易判断函数在上单调递增，
且值域为，故，使得，故选项A正确；
对于选项B: 由，因为,
所以，当且仅当，即时，取得最小值,
而，当且仅当时取到，
故（不能同时取等），
故不存在，使得，故选项B错误；
对于选项C: 由，，
可得，而，，
所以，故，都有，故选项C正确；
对于选项D: 因为为奇函数和为偶函数，
所以，
，
故，都有，故选项D正确.
故选：ACD.
12. 设是正整数，集合. 对于集合中任意元素和，记，
. 则（）
A. 当时，若，则
B. 当时，的最小值为
C. 当时，恒成立
D. 当时，若集合，任取中2个不同的元素，，则集合中元素至多7个
【答案】BD
【解析】
【分析】根据的计算公式即可求解AB，举反例即可求解C，根据所给定义，即可求解D.
【详解】对于A，当时，，故A错误，
对于B，，而，故当时，
此时取最小值，
比如时，，故B正确，
对于C，时，，
,
,不符合，故C错误，
对于D，不妨设中一个元素，
由于，则中相同位置上的数字最多有两对互为相反数，
其他相同位置上的数字对应相同，
若中相同位置中有一对的数字互为相反数，其他相同位置上的数字对应相同，
不妨设此时，
那么与相同位置中有一对的数字互为相反数，
其他相同位置上的数字对应相同的元素有
此时，其中，，
而，与中相同位置上的数字有两对是不相同的，此时，满足，
若与相同位置中有2对的数字互为相反数，
那么就与有3对相同位置上的元素互为相反数，不符合，
因此此时中满足条件的元素有7个，
若中相同位置中有两对的数字互为相反数，其他相同位置上的数字对应相同，
不妨设，
此时与元素重复，
综上可知中元素最多7个，D正确，
故选：BD
【点睛】方法点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.
对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 角是第_____________象限角.
【答案】二
【解析】
【分析】直接由象限角的概念得答案．
【详解】由象限角的定义可知，的角是第二象限角．
故答案：二.
14. 已知函数（，且）的图象过定点，则该定点的坐标是_________.
【答案】
【解析】
【分析】借助指数函数令，代入函数式可得定点纵坐标．
【详解】在函数（，且）中，
令，则，所以该定点的坐标是.
故答案为：.
15. 已知，的值为_________.
【答案】2
【解析】
分析】利用诱导公式化简，结合齐次式代入计算即可.
【详解】因为，
所以.
故答案为：2.
16. 若函数在上的最小值为1，则正实数的值为_________.
【答案】
【解析】
【分析】对参数进行分类讨论，根据分段函数的单调性和最值，即可求得结果.
【详解】由题可得,
因为函数在上的最小值为1，
当时，在上，在单调递减，单调递增，
所以，解得（舍）；
当时，在上在单调递减，单调递增，
所以，解得（舍）；
当时，在上，在单调递减，单调递增，
所以，解得.
故答案为：
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 计算：
（1）；
（2）.
【答案】（1）
（2）0
【解析】
【分析】（1）根据根式的性质及分数指数幂的运算法则计算可得；
（2）根据对数运算性质及换底公式计算可得.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
18. 已知，.
（1）若，求；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由交集的定义直接求解；
（2）由题意，利用集合的包含关系求的取值范围.
【小问1详解】
若，则，，
所以.
【小问2详解】
若是的充分不必要条件，则，
得，故的取值范围是.
19. 已知函数的最大值为2.
（1）求常数的值；
（2）先将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，由函数最大值求常数的值；
（2）求出图象变换后的函数解析式，然后利用正弦函数的性质求值域.
【小问1详解】
.
因为的最大值为2，所以，
故.
【小问2详解】
，函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），
得函数的图象，再将所得图象向右平移个单位长度，
得，
由，得，
所以，，
故在区间上的取值范围是.
20. 从①；②函数为奇函数；③的值域是，这三个条件中选一个条件补充在下面问题中，并解答下面的问题.问题：已知函数，且 .
（1）求函数的解析式；
（2）若对任意恒成立，求实数的最小值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，分别选择①②③，结合函数的性质，求得实数的值，即可求解；
（2）根据函数的单调性的定义判定方法，得到在上单调递减，再由为奇函数，把不等式转化为恒成立，结合指数函数与二次函数的性质，即可求解.
【小问1详解】
解：若填①：由，
可得，解得，所以.
若填②：由函数，
因为函数为奇函数，故，可得，
解得，所以，即，
经验证：，符合题意，所以.
若填③：由，可得，
则，即，
又由的值域是，可得，故，所以.
【小问2详解】
解：，且，则，
所以函数在上单调递减，
又因为，满足，
所以为奇函数，
由不等式，可得，
则，所以，
令，记，
所以，所以，所以的最小值为.
21. 如图是一种升降装置结构图，支柱垂直水平地面，半径为1的圆形轨道固定在支柱上，轨道最低点，，.液压杆、，牵引杆、，水平横杆均可根据长度自由伸缩，且牵引杆、分别与液压杆、垂直.当液压杆、同步伸缩时，铰点在圆形轨道上滑动，铰点在支柱上滑动，水平横杆作升降运动（铰点指机械设备中铰链或者装置臂的连接位置，通常用一根销轴将相邻零件连接起来，使零件之间可围绕铰点转动）.
（1）设劣弧的长为，求水平横杆的长和离水平地面的高度（用表示）；
（2）在升降过程中，求铰点距离的最大值.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）轨道圆心为，圆的半径为1，劣弧的长为时，有，由三角函数表示出和的长；
（2）证明出，则，通过换元利用基本不等式求出最大值.
【小问1详解】
记轨道圆心为，则，
设劣弧的长为，则，
得，
.
【小问2详解】
由已知，，，，
则，又，所以，
则，
令，有，.
则，，
因为，当且仅当时，取到等号，
所以铰点距离的最大值为.
【点睛】方法点睛：
求的最大值时，证明，由已知的和，有，通过换元，有，借助基本不等式可求最大值.
22. 已知函数 .
（1）用单调性定义证明：在上单调递增；
（2）若函数有3个零点，满足，且 .
①求证：；
②求的值（表示不超过的最大整数）.
【答案】（1）证明见解析
（2）①证明见解析；②14
【解析】
【分析】（1）根据函数单调性的定义即可求解，
（2）根据函数的图象，结合二次函数的对称性即可求解①，构造函数，由单调性的定义求解其单调性，即可结合零点存在定理求解②.
【小问1详解】
，且
有，
由，得，
所以，得，
又由，得.于是，
即.所以，函数在上单调递增.
【小问2详解】
①要使有3个零点，由（1）知，函数在
上存在一个零点，在上存在两个零点，且，
代入，得，于是，
因为，所以
②由，代入式，得，
令，且，
有，
由于，所以，而，
则，
故，
故函数在上单调递增，
又因为，，