2024-2025学年甘肃省武威市高一上册第一次月考数学学情检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年甘肃省武威市高一上册第一次月考数学学情检测试题（含解析），共18页。试卷主要包含了答卷前等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1、答卷前、考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
考试时间120分钟，满分150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列关系中正确个数为（ ）
①，②，③④
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
2. 集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知命题p：有些实数的相反数是正数，则是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
4. 若集合，，则集合B的真子集个数为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
5. 若不等式的解集是，则实数a、b的值分别是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
6. 已知，，，则的最大值是（ ）
A. B. C. D. 1
7. 若关于的方程的一个实根小于，另一个实根大于1，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8. 若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知A，B为集合，定义，则下列命题中为真的有（ ）
A. 若，则
B 若，则
C. 若，则
D. 若，则
10. 已知a，b为正实数，且，，，则（ ）
A. 的最大值为4B. 的最小值为
C. 的最小值为D. 的最小值为2
11. （多选）不等式的解集是，对于系数a,b,c，下列结论正确的是（ ）
A. a>0B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若集合，则实数a的值的集合为____________．
13. 中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为________．
14. 实数a，b满足．若不等式的解为一切实数是真命题，则实数c的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合，.
（1）用区间表示集合，；
（2）已知集合，若集合，求实数的取值范围.
16. 已知集合，.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围；
（3）若将题干中集合改为，是否有可能使命题：“，都有”为真命题，请说明理由.
17. 若关于x的不等式的解集为．
（1）当时，求的值；
（2）若，求的值及的最小值．
18. 如图，动物园要以墙体为背面，用钢筋网围成四间具有相同面积矩形虎笼．
（1）现有可围长钢筋网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼的面积最大？
（2）若每间虎笼的面积为，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
19. 设．
（1）若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围；
（2）在（1）的条件下，求的最小值；
（3）解关于x不等式．
2024-2025学年甘肃省武威市高一上学期第一次月考数学学情
检测试题
注意事项：
1、答卷前、考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
考试时间120分钟，满分150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列关系中正确的个数为（ ）
①，②，③④
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【正确答案】C
【分析】正确理解常用数集的定义，并正确表达元素与集合之间的关系即得.
【详解】对于①，显然正确；
对于②，是无理数，故②正确；
对于③，是自然数，故③正确；
对于④，是无理数，故④错误.
故正确个数为3.
故选：C.
2. 集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据并集定义计算即可.
【详解】集合，，则.
故选：D.
3. 已知命题p：有些实数的相反数是正数，则是（ ）
A. ，B. ，
C ，D. ，
【正确答案】B
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可直接写出答案.
【详解】已知命题：有些实数的相反数是正数，即，
则，
故选：B.
4. 若集合，，则集合B的真子集个数为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【正确答案】C
【分析】先用列举法求出集合，在根据真子集的公式求解.
【详解】由题意可知，所以集合的真子集个数为个.
故选：C
5. 若不等式的解集是，则实数a、b的值分别是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【正确答案】D
【分析】借助解集是可得，计算即可得解.
【详解】由不等式的解集是，故，
且，
即，.
故选：D.
6. 已知，，，则的最大值是（ ）
A. B. C. D. 1
【正确答案】A
【分析】根据题意可得，，，利用基本不等式求最值.
【详解】因为，，，则，，
可得，当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值是.
故选：A.
7. 若关于的方程的一个实根小于，另一个实根大于1，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
分析】
作出函数大致的图象，由图象得出和处对应的函数值小于0，列出不等式求解即可.
【详解】令，作出函数大致的图象如图所示，
.由图象知，当时；，解得；
当时，，解得.
综上可得，，故选D.
本题主要考查了一元二次不等式的根分布问题，属于中档题.
8. 若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】利用一元二次函数的图象与性质分析运算即可得解.
【详解】由题意，对于都有成立，
∴，解得：，
即实数的取值范围是.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知A，B为集合，定义，则下列命题中为真的有（ ）
A 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【正确答案】BD
【分析】举例否定A;举例否定C;根据定义，利用几何相等的定义进行论证，可判定B正确；根据空集的定义，结合新定义，可以证明D正确.
【详解】当时，,故错误；
当时，,故错误；
由定义可知时，,故B正确；
当时，故D正确.
故选：BD.
10. 已知a，b为正实数，且，，，则（ ）
A. 的最大值为4B. 的最小值为
C. 的最小值为D. 的最小值为2
【正确答案】BD
【分析】A.利用基本不等式判断；B.利用基本不等式结合“1”的代换判断；C.利用基本不等式结合“1”的代换判断；D.利用基本不等式判断.
【详解】对于A，因为，则，，
当且仅当时取“＝”，所以ab的最小值为4，A错误；
对于B，由，得，，
当且仅当，时取“＝”，B正确；
对于C，，
当且仅当时，取“＝”，C错误；
对于D，因为，所以，
则，当且仅当时，取“＝”，D正确.
故选：BD.
11. （多选）不等式的解集是，对于系数a,b,c，下列结论正确的是（ ）
A. a>0B.
C. D.
【正确答案】BCD
【分析】由不等式的解集为得，且方程的两根为，计算可得，再根据即可判断.
【详解】因为不等式的解集为，
所以，解得.
所以.
即.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若集合，则实数a的值的集合为____________．
【正确答案】
【分析】分与两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案.
【详解】当时，满足题意；
当时，应满足，解得；
综上可知，a的值的集合为．
故．
13. 中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为________．
【正确答案】12
【分析】算得，直接由基本不等式即可求解.
【详解】依题意，
所以
当且仅当，时等号成立．
故12．
14. 实数a，b满足．若不等式的解为一切实数是真命题，则实数c的取值范围是______．
【正确答案】
【分析】先求出的值，再转化为对一切实数恒成立进行处理即可.
【详解】因为实数，满足，
所以，得，，
因为不等式的解为一切实数为真命题，
所以对一切实数恒成立，等价于对一切实数恒成立，
所以△，解得，
所以实数的取值范围为．
故
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合，.
（1）用区间表示集合，；
（2）已知集合，若集合，求实数的取值范围.
【正确答案】（1），；
（2）.
【分析】（1）解不等式化简集合，并用区间表示.
（2）由（1）求出，再利用包含关系按否为空间分类求解即得.
【小问1详解】
解不等式，得，所以；
解不等式，得，所以.
【小问2详解】
由（1）知，而，，
当，即时，，满足，于是；
当时，，解得，因此.
所以实数的取值范围是.
16. 已知集合，.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围；
（3）若将题干中的集合改为，是否有可能使命题：“，都有”为真命题，请说明理由.
【正确答案】（1）
（2）
（3）不可能，理由见解析
【分析】（1）先得到，再根据包含关系列不等式求解；
（2）直接根据列不等式求解；
（3）先得到，再根据包含关系列不等式求解.
【小问1详解】
若，则，
又，
所以，
解得；
【小问2详解】
因为，
所以或或，
解得或或，
所以；
【小问3详解】
若，，
对，都有，则，
所以，该不等式无解，
故命题：“，都有”为真命题不可能.
17. 若关于x的不等式的解集为．
（1）当时，求的值；
（2）若，求的值及的最小值．
【正确答案】（1）；
（2）；.
【分析】（1）根据一元二次不等式解集的性质，结合一元二次方程根与系数的关系、根的判别式进行求解即可；
（2）根据一元二次不等式解集的性质，结合一元二次方程根与系数的关系、基本不等式进行求解即可.
【小问1详解】
由题可知关于x的方程有两个根，
所以
故．
【小问2详解】
由题意关于x的方程有两个正根，
所以有解得；
同时，由得，
所以，
由于，所以，
当且仅当，即，且，解得时取得“=”，
此时实数符合条件，
故，且当时，取得最小值．
18. 如图，动物园要以墙体为背面，用钢筋网围成四间具有相同面积的矩形虎笼．
（1）现有可围长钢筋网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼的面积最大？
（2）若每间虎笼的面积为，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
【正确答案】（1）长为，宽为
（2）长为，宽为
【分析】（1）设每间老虎笼的长为，宽为，则每间老虎笼的面积为，可得出，利用基本不等式可求得的最大值，利用等号成立的条件求出、的值，即可得出结论；
（2）设每间老虎笼的长为，宽为，则，利用基本不等式可求得钢筋网总长的最小值，利用等号成立的条件求出、的值，即可得出结论.
【小问1详解】
解：设每间老虎笼的长为，宽为，则每间老虎笼的面积为，
由已知可得，
由基本不等式可得，
当且仅当，即当时，等号成立，
因此，每间虎笼的长为，宽为时，可使得每间虎笼的面积最大.
【小问2详解】
解：设每间老虎笼的长为，宽为，则，
钢筋网总长为，
当且仅当，即当时，等号成立，
因此，每间虎笼的长为，宽为时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小.
19. 设．
（1）若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围；
（2）在（1）的条件下，求的最小值；
（3）解关于x的不等式．
【正确答案】（1）
（2）4 （3）答案见解析
【分析】（1）分和讨论，当时，根据相应二次函数开口方向和判别式列不等式组即可求解；
（2）变形为，利用基本不等式求解可得；
（3）整理得，根据二次系数是否为0、相应二次函数开口分析、两根的大小关系分类讨论即可.
【小问1详解】
由恒成立得：对一切实数x恒成立.
当时，不等式为，不合题意；
当时，，解得：；
综上所述：实数m的取值范围为．
小问2详解】
，，
，
（当且仅当，即时取等号），的最小值为4．
【小问3详解】
由得：；
①当时，，解得：，即不等式解集为；
②当时，令，解得：，；
1）当，即时，不等式解集为；
2）当，即时，不等式解集为；
3）当，即时，不等式可化为，
，不等式解集为；
4）当，即时，不等式解集为；
综上所述：当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为．