2024-2025学年广西壮族自治区南宁市高一上册10月月考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年广西壮族自治区南宁市高一上册10月月考数学检测试题（含解析），共18页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回，测试范围， 设，，则下列不等式中正确的是， 设集合，，则， 定义集合运算， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
4.测试范围：人教A版2019必修第一册第一章～二章第二节.
第一部分（选择题共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列关系中正确的个数为（ ）
①，②，③④
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
2. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
3. 高一共50名学生参加100米和400米两项体育测试并且每人至少有一项合格，100米和400米两项测试成绩合格分别有29人和25人，则这两项成绩都合格的人数是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 9
4. 设命题，则的否定为（ ）
A. B.
C. D.
5. 设，，则下列不等式中正确的是（ ）
A B.
C. D.
6. 设集合，，则（ ）
A. B. 
C. D.
7. 设，，若，求实数组成的集合的子集个数有（ ）个
A. 2B. 4C. 6D. 8
8. 定义集合运算.若集合，则（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知集合，则下列式子表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. “”是“”的充分不必要条件
B. . 是必要不充分条件
C. 若，，，则“”的充要条件是“”
D. 若，，则“”是“”的充要条件
11. 下列结论中，错误的结论有（ ）
A. 取得最大值时的值为
B. 若，则的最大值为
C. 函数的最小值为
D. 若，，且，那么的最小值为
第二部分（非选择题共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合，则___________．
13. 已知，则的取值范围是__________.
14. 中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知全集，，，或.
（1）求，；
（2）求.
16. 已知非空集合，．
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围．
17 已知集合．
（1）若A是空集，求的取值范围；
（2）若A中只有一个元素，求的值，并求集合A；
（3）若A中至少有一个元素，求的取值范围．
18. 已知x，y都正数，且，求证
（1）
（2）
19. 学习了不等式的内容后，老师布置了这样一道题：
已知，，且，求的最小值.
李雷和韩梅梅两位同学都“巧妙地用了”，但结果并不相同.
李雷的解法：由于，所以，而，.那么，则最小值为.
韩梅梅的解法：由于，所以，而，则最小值为.
（1）你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？（错误的需说明理由）
（2）为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决：
（i）设，，都是正数，求证：；
（ii）已知，，且，求的最小值.
2024-2025学年广西壮族自治区南宁市高一上学期10月月考数学检测试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
4.测试范围：人教A版2019必修第一册第一章～二章第二节.
第一部分（选择题共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列关系中正确的个数为（ ）
①，②，③④
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【正确答案】C
【分析】正确理解常用数集的定义，并正确表达元素与集合之间的关系即得.
【详解】对于①，显然正确；
对于②，是无理数，故②正确；
对于③，是自然数，故③正确；
对于④，是无理数，故④错误.
故正确个数为3.
故选：C.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据给定条件，利用并集的定义直接求解即得.
【详解】集合，，则.
故选：A
3. 高一共50名学生参加100米和400米两项体育测试并且每人至少有一项合格，100米和400米两项测试成绩合格的分别有29人和25人，则这两项成绩都合格的人数是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 9
【正确答案】B
【分析】设两项都合格的人数为，然后根据题意列方程求解即可.
【详解】设两项都合格的人数为，则由题意得
，解得，
即这两项成绩都合格的人数是4.
故选：B
4. 设命题，则的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】由存在量词命题的否定为全称量词命题，即可得答案.
【详解】因为命题是存在量词命题，
所以其否定是全称量词命题，即为．
故选：C.
5. 设，，则下列不等式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】由幂函数的单调性可得A错误；由的单调性可得B错误；作差可得C正确，取可得D错误；
【详解】对于A，由在上是增函数可得，故A错误；
对于B，由在上是减函数可得，故B错误；
对于C，，所以，故C正确；
对于D，当时，，故D错误；
故选：C.
6. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据已知通分两集合的式子，比较分子即可判断两集合的关系.
【详解】由题知，，，
因为时，为奇数，为所有整数，
所以.
故选：B
7. 设，，若，求实数组成的集合的子集个数有（ ）个
A. 2B. 4C. 6D. 8
【正确答案】D
【分析】先解出集合，再由得到，最后根据包含关系求出实数即可；
【详解】，
因为，所以，
所以，
对应实数的值分别为，
其组成集合的子集个数为个.
故选：D.
8. 定义集合运算.若集合，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】首先根据集合中的元素球集合，再求.
【详解】，
当，或，或，或，解得或或 或，
所以，，
所以.
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知集合，则下列式子表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】ACD
【分析】利用集合与集合，集合与元素之间的关系判断即可.
【详解】因为，
所以，
A：，故A正确；
B：是集合，不是元素，不能用，故B错误；
C：，故C正确；
D：，故D正确；
故选：ACD.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. “”是“”的充分不必要条件
B. . 是的必要不充分条件
C. 若，，，则“”的充要条件是“”
D. 若，，则“”是“”的充要条件
【正确答案】BD
【分析】根据充分必要条件的定义判断即可得解．
【详解】A 选项：当时，满足1a>1b，但是不能推出；
反之当时，满足，但是不能推出1a>1b，所以两者既不充分也不必要，故 A 错误；
B选项：当，,但是不能推出A=∅
当A=∅时，，故 B 正确；
C选项：当时，不能由推出,故 C 错误；
D选项：等价于等价于，故 D正确；
故选：BD.
11. 下列结论中，错误的结论有（ ）
A. 取得最大值时的值为
B. 若，则的最大值为
C. 函数的最小值为
D. 若，，且，那么的最小值为
【正确答案】ABC
【分析】根据二次函数的性质判断A，利用基本不等式判断B、C、D.
【详解】对于A，因为，则函数的对称轴为，
所以取得最大值时的值为，故A错误；
对于B，令，
若，，，，当时取等号，
所以，则，则的最大值为，故B错误；
对于C，函数，
令，当时，解得，不满足题意，故C错误；
对于D，若，，且，
所以，
当时，即时取等号，
所以的最小值为，故D正确.
故选：ABC.
第二部分（非选择题共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合，则___________．
【正确答案】
【分析】根据集合相等的定义求解即可．
【详解】由题意得，，解得或，
当时，集合为，不满足集合中元素的互异性，舍去，
当时，集合为，满足题意，
故．
13. 已知，则的取值范围是__________.
【正确答案】
【分析】先设出，求出，再结合不等式的性质解出即可；
【详解】设，
所以，解得，
所以，
又，所以，
又
所以上述两不等式相加可得，
即，
所以的取值范围是，
故答案.
14. 中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为________．
【正确答案】12
【分析】算得，直接由基本不等式即可求解.
【详解】依题意，
所以
当且仅当，时等号成立．
故12．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知全集，，，或.
（1）求，；
（2）求.
【正确答案】（1）；
（2）或
【分析】（1）直接利用集合的交集和并集运算求解即可；
（2）直接利用集合的交集和补集运算求解即可.
【小问1详解】
因为全集，，，
所以，.
小问2详解】
由题知，或，
所以或.
16. 已知非空集合，．
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）将代入集合求解，利用集合间的关系可求；
（2）利用充分不必要条件的定义，分类讨论集合可求实数的取值范围．
【小问1详解】
已知集合，．
当时，，或
又，
；
【小问2详解】
因为“”是“”充分不必要条件，所以是的真子集，
又，，
所以，
所以；
当时，是的真子集；
当时，也满足是的真子集，
综上所述：．
17. 已知集合．
（1）若A是空集，求的取值范围；
（2）若A中只有一个元素，求的值，并求集合A；
（3）若A中至少有一个元素，求的取值范围．
【正确答案】（1）
（2）当时，集合，当时，集合；
（3）
【分析】（1）利用是空集，则即可求出的取值范围；
（2）对分情况讨论，分别求出符合题意的的值，及集合即可；
（3）分中只有一个元素和有2个元素两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解．
【小问1详解】
解： 是空集，
且，
，解得，
所以的取值范围为：；
【小问2详解】
：①当时，集合，
②当时，，
，解得，此时集合，
综上所述，当时，集合，当时，集合；
【小问3详解】
中至少有一个元素，则当中只有一个元素时，或；
当中有2个元素时，则且，即，解得且；
综上可得，时中至少有一个元素，即.
18. 已知x，y都是正数，且，求证
（1）
（2）
【正确答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【分析】（1）由基本不等式证明即可.
（2）利用基本不等式结合不等式的性质证明即可.
【小问1详解】
证明：因为x，y都是正数，所以，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
由于，所以
【小问2详解】
因为x，y都是正数，且，所以，
又，所以，
即.
19. 学习了不等式的内容后，老师布置了这样一道题：
已知，，且，求的最小值.
李雷和韩梅梅两位同学都“巧妙地用了”，但结果并不相同.
李雷的解法：由于，所以，而，.那么，则最小值为.
韩梅梅的解法：由于，所以，而，则最小值为.
（1）你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？（错误的需说明理由）
（2）巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决：
（i）设，，都正数，求证：；
（ii）已知，，且，求的最小值.
【正确答案】（1）韩梅梅解法正确，李雷解法错误，理由见解析
（2）（i）证明见解析；（ii）
【分析】（1）李雷解法错误，根据基本不等式的取等条件可知，两次用基本不等式的取等条件不能同时成立，可知其解法错误；
（2）（i）利用基本不等式可知，，，即可得证；（ii）根据，可知，代入即可得，再利用基本不等式可得最值.
【小问1详解】
韩梅梅解法正确，李雷解法错误，理由如下：
对于，，
当且仅当，即时取等号，
此时，不满足题意，
所以该解法错误；
【小问2详解】
（i）由已知，，都是正数，
则，，，
所以，即，
当且仅当，即时等号成立；
（ii）由已知，，且，
则，即，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立