湖南省常德市汉寿县第一中学2024-2025学年高一下学期开学考试数学试题（Word版附解析）

这是一份湖南省常德市汉寿县第一中学2024-2025学年高一下学期开学考试数学试题（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合 则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知某个三角形的两条高长度分别为 5 和 10，该三角形的形状不变，请你构建不等关系，
求出它第三条高长度的取值范围（ ）
A． B． C． D．
3．已知 ，“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．已知 ，则以下关于 的大小关系正确的是
（ ）
A． B． C． D．
5．下列命题为假命题的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ， ，则
6．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．对于函数 的图象及性质的下列表述，正确的是（ ）
A．图像上的纵坐标不可能为 1 B．图象关于点（1,1）成中心对称
C．图像与 轴无交点 D．图像与垂直于 轴的直线可能有两个交点
8．已知函数 ，有 ，则实数 （ ）
A． 或 4 B． 或 2 C．2 或 9 D．2 或 4
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二、多选题
9．已知 a，b，c，d 均为实数，则下列命题正确的是（ ）
A．若 ， 则 B．若 ， 则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
10．下列四个命题是真命题的是（ ）
A．若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
B．函数 （其中 ，且 ）的图像过定点
C．函数 的值域为
D．已知 在 上是增函数，则实数 a 的取值范围是
11．已知函数 ，则（ ）
A．函数 有 3 个零点
B．若函数 有 2 个零点，则
C．若关于 的方程 有 4 个不等实根 ， ， ， ，则
D．关于 的方程 有 5 个不等实数根
三、填空题
12．若幂函数 在 上单调递增，则 .
13．将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到偶函数 的图
象，则 的最小值是 .
14．已知函数 ，则不等式 的解集是
为 .
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四、解答题
15．已知集合 ，若 ，求实数 m 的取值范围．
16．如图所示，某小区中心有一块圆心角为 ，半径为 的扇形空地，现计划将该区
域设计成亲子室外游乐区域，根据设计要求，需要铺设一块平行四边形的塑胶地面 EFPQ（其
中点 E，F 在边 OA 上，点 在边 OB 上，点 在 AB 上），其他区域地面铺设绿地，设
.
(1) 表示绿地的面积 ；
(2)若铺设绿地每平方米 100 元，要使得铺设绿地的出用 最低， 应取何值，并求出此时
的值．
17．春运是中国在农历春节前后发生的一种大规模全国性交通运输高峰期、高交通运输压力
现象．已知某火车站候车厅，候车人数与时间 相关，时间 （单位：小时）满足 ，
．经测算，当 时，候车厅处于满厅状态，满厅人数 5320 人，当 时，
候车人数相对于满厅状态时会减少，减少人数与 成正比，且时间为 6 点时，候车人
数为 4120 人，记候车厅候车人数为 ．
(1)求 的表达式，并求当天中午 12 点时，候车厅候车人数；
(2)若为了解决旅客的安全饮水问题，需要提供的免费矿泉水瓶数 ，则
一天中哪个时间需要提供的矿泉水瓶数最少？
18．已知函数 （ ）是偶函数．
(1)求 k 的值；
(2)若函数 （ ），是否存在实数 m，使得 的最小值为 0？
若存在，求出实数 m 的值；若不存在，请说明理由．
19．若函数 对定义域内的每一个值 ，在其定义域内都存在唯一的 ，使得
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成立，则称该函数是“依赖函数”．
(1)判断 是否是“依赖函数”，并说明理由；
(2)若 在定义域 上是“依赖函数”，求 的值；
(3)已知函数中 在定义域 上是“依赖函数”，记
，若 的解集中恰有两个整数，求实数 的取值范围．
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《湖南省常德市汉寿县第一中学 2024-2025 学年高一下学期开学考试数学试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C A D B A A D BC ABD
题号 11
答案 BCD
1．A
【分析】利用集合并集和补集概念求解.
【详解】因为 ,所以 ，
故选:A.
2．C
【分析】设 的面积为 ，第三条高为 ，根据三角形面积公式及高表示出三条边，根
据三角形三边关系列出不等式组，求解即可．
【详解】设 ， 边上的高为 ， 边上的高为 ， 边上的高为
， 的面积为 ，则 ，
所以 ，显然 ，
因为 ，
所以 ，即 ，解得 ，
故选：C．
3．A
【分析】解不等式，根据命题的充分必要性直接判断.
【详解】由 ，解得 或 ，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，
故选：A.
4．D
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【分析】根据零点存在性定理可求解 ，进而根据指数对数的运算性质结合基本不等
式求解 的范围，即可比较大小．
【详解】由 ，令 ，则 在定义域内单调性递增，且
，
由零点存在性定理可得 ，
，
又 ，因此 ，
，可得 ，
， ，
，
， ， ，
．
故选：D
【点睛】方法点睛：比较大小问题，常常根据：
（1）结合函数性质进行比较；
（2）利用特殊值进行估计，再进行间接比较；
（3）根据结构特征构造函数，利用导数分析单调性，进而判断大小.
5．B
【分析】根据不等式的性质即可判断.
【详解】对 A，若 ，因为 ，则 ，故 A 是真命题；
对 B，若 ，如 ，此时 ，故 B 是假命题；
对 C，若 ，则 ， ，即 ，故 C 是真命题；
对 D，若 ， ，则 或 ，则可得 ，故 D 是真命题.
故选：B.
6．A
【分析】根据同角三角函数的基本关系求出 ，再由两角差的余弦公式代入求值.
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【详解】 ， ， ，
， ，
故选：
7．A
【详解】函数 因为 所以图像上的纵坐标不可能为
1，故 A 对；图像关于（-1,1）中心对称，故 B 错；当 x=-2 时， 则图像与 轴有
交点，故 C 错； 是函数，所以对于任意一个 值有唯一一个 值对应，故 D 错，不
可能一个 x 对应两个 y 值；
故选 A
8．D
【分析】由分段函数求值运算可得方程 ，求解即可
【详解】 ， ，即 ，解得 或
.
故选：D
9．BC
【分析】利用特殊值、不等式的性质、差比较法等知识确定正确答案.
【详解】A 选项， ，
，但 ，所以 A 选项错误.
B 选项，由于 ， ，所以 ，所以 ，所以 B 选项正确.
C 选项，由于 ， ，所以， ， ，
所以 ，C 选项正确.
D 选项，由于 ， ，
所以 ，D 选项错误.
故选： BC
10．ABD
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【分析】由 得出定义域；由真数等于 1 判断 B；由单调性判断 C；由二次函数
以及反比例函数的单调性判断 D.
【详解】由 ，解得 ，即函数 的定义域为 ，故 A 正确；
由 ，解得 ， ，即函数 的图像过定点 ，故 B 正确；
函数 的定义域为 ，易知函数 在 上单调递增，即函
数 的值域为 ，故 C 错误；
由题意可得 ，解得 ，即实数 a 的取值范围是 ，故 D 正确；
故选：ABD
11．BCD
【分析】根据题意，由函数的解析式作出函数的图象，结合函数的零点与方程根的关系，依
次分析选项是否正确，综合可得答案．
【详解】根据题意，函数 ，
由此作出函数的草图：
依次分析选项：
对于 A：由图象易知曲线 与 y 轴有两个交点，故函数 有 2 个零点，故 A 错误；
对于 B：令 ，可得 ，
则函数 的零点个数即为 与 的图象的交点个数，
若函数 有两个零点，由图象可知 ，B 正确；
对于 C：若关于 的方程 有四个不等实根，则 与 的图象有四个交点.
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不妨设 ，
由图象可得： ，且 ， ，
所以 ，故 C 正确；
对于 D：因为 ，解得 或 ，
结合图象可知： 有一个根， 有四个根，
所以关于 的方程 有 5 个不等实数根，D 正确．
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数图像及应用，关键是利用图像并结合对称性解决 CD.
12．
【分析】由幂函数定义得 或 ，结合幂函数单调递增即可得解.
【详解】由 ，得 或 .
又 在 上单调递增，所以 .
故答案为： .
13．
【分析】利用三角函数的图像变换以及奇偶性的性质求解.
【详解】由题意可得： ，
∵ 为偶函数，则 ，
∴ ，
又∵ ，即 ，则 ，
∴当 时， 取到最小值为 5.
故答案为：5.
14．
【分析】构造函数 ，判断函数的奇偶性及单调性，据此原不等式可转化为
，利用单调性求解.
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【详解】 ，
由于 ，所以 的定义域为 ，
，
所以 是奇函数，
当 时， 为增函数， 为增函数，
所以 是增函数，由 是奇函数可知， 在 上单调递增，
由 得 ，
即 ，则 ，解得 ，
所以不等式 的解集是 .
故答案为：
15． 或 或
【分析】由 得 ，分类讨论 的情况即可.
【详解】由 ，得
，且 中至多一个元素，
或 或
（1）当 时，由 ，得 ；
（2）当 时，由 得 ；
（3）当 时，由 无解，得 .
或 或 .
16．(1) ， ．
答案第 1 页，共 2 页
(2) 时， 取得最小值 元．
【分析】（1）分别过 P，Q 作 于点 ， 于点 ，则四边形 MNPQ 为矩
形，表示出边长，根据绿地面积等于扇形面积减去平行四边形面积，求出解析式即可；
（2）设绿地的费用最低，即绿地面积最小，所以只需求出绿地面积的最小值，利用辅助角
公式及两角和的正弦公式化简，再根据正弦函数的性质计算可得．
【详解】（1）
如图，分别过 P，Q 作 于点 ， 于点 ，则四边形 MNPQ 为矩形．
因为 ，则 ， ，
，
由于 ，所以 ，
则 ，
设四边形 EFPQ 的面积为 ，
所以
，
所以 ， ．
（2）要使铺设绿地的费用最低，即绿地面积最小，所以只需求出绿地面积的最小值，
因为 ，则 ，所以 ，则 ，
因此 ，即 ，此时 ，即 ，
，
答案第 1 页，共 2 页
所以当 时， 取得最小值 元．
17．(1) ；4360 人
(2) 时，需要提供的矿泉水瓶数最少
【分析】（1）根据题意求得 的值，将 的表达式写成分段函数的形式，然后即可得到
的值.
（2）由题意得到 的表达式，然后结合基本不等式即可求得最值.
【详解】（1）当 时，设 ， ，解得
．
所以 ．
，
故当天中午 12 点时，候车厅候车人数为 4360 人．
（2） ，
①当 时， ，当且仅当 时等号成立；
②当 时， ；
又 ，所以 时，需要提供的矿泉水瓶数最少．
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据偶函数的定义 化简得 ，由 且不恒为 0
即可求得 的值；
（2）由（1）得到 从而推得 ，通过换元 将
其转化成关于 的二次函数 在 上有无最小值为 0 的情况，考虑其对称轴
与区间的位置关系分类讨论即得.
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【详解】（1）因函数 （ ）是偶函数，
故
因 且不恒为 0，故 得
.
（2）由（1）可得 则
，
设 因 ，则 ， 其对称轴为 ，
则①当 时， 在区间 上单调递减，则 解得 ，
不符题意，舍去；
②当 时， 在区间 上先减后增，故 解得
故 ；
③当 时， 在区间 上单调递增，则 解得 不符
题意，舍去.
故存在 ，使得 的最小值为 0.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了运用偶函数定义求解参数值和由指数式组成的函数式
在给定区间上的最值问题.解题关键在于对数的运算性质的运用，以及对同底的指数函数的
换元法处理思想，将其转化为二次函数在给定区间上的最值问题，需要数学化归意识和分类
讨论思想.
19．(1) 不是“依赖函数”，理由见解析；
(2)
(3) 或
【分析】（1）举出反例，得到 不是“依赖函数”；
（2）整体法得到 ， ， 在定义域 上单调递增，且
，从而得到 ，求出 ；
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（3）当 时， ，举出反例得到 在定义域 上不是“依赖
函数”，当 时， 在 上单调递增，要想 在定义域 上是“依赖函数”，
需满足 ，解得 ，再分 ， 和 三种情况，由 的解集中
恰有两个整数，得到 的取值范围.
【详解】（1） 不是“依赖函数”，理由如下：
当 时， ，则 ，
故 ，解得 ，
所以 不是“依赖函数”；
（2） 时， ，显然 ，
解得 ，
在定义域 上单调递增，且 ，
由题意得，当 时， ，
要想满足存在唯一的 使得 ，
则 ， ，解得 ；
（3）当 时， ，
故对于 ，不存在 ，使得 ，
在定义域 上不是“依赖函数”，
当 时， 在 上单调递增，
要想 在定义域 上是“依赖函数”，
需满足 ，即 ，
解得 （舍去）或 0，
故 ，
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若 ，则 的解集为 ，
的解集中恰有两个整数，故 ，
若 ，此时 的解集为 ，不合要求，
若 ，则 的解集为 ，
的解集中恰有两个整数，故 ，
综上，实数 的取值范围是 或 .
【点睛】新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理
解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解
的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么
情况下可以使用书上的概念.
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