湖北省公安县第三中学2024-2025学年高一下学期开学考试数学试题（Word版附解析）

这是一份湖北省公安县第三中学2024-2025学年高一下学期开学考试数学试题（Word版附解析），共14页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。）
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2． 的值是（ ）
A． B． C． D．
3．函数 的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
4．已知 ， ， ，则 、 、 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在扇形 中， ， ，则下列说法正确的个数是（ ）
① ； ② 的长等于 ；
③扇形 的周长为 ； ④扇形 的面积为 .
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
6．已知函数 是定义在 上的偶函数，且 在 上单调递减，若
，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．幂函数 在区间 上单调递增，且 ，则
的值（ ）
A．恒大于 0 B．恒小于 0 C．等于 0 D．无法判断
8．已知函数 ， ， 的零点分别为 ， ， ，
则（ ）
A． B． C． D．
1
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分。）
9．下列说法错误的有（ ）
A．命题“ ”的否定是“ ”
B． 是 的必要不充分条件
C． 的单调递减区间为
D．函数 且 的图象恒过定点 ．
10．下列结论中正确的是（ ）
A．若角 的终边过点 ，则
B．若 是第二象限角，则 为第一象限或第三象限角
C．若 ， ，则
D．对任意 ， 恒成立
11．已知函数 ，则（ ）
A． 的定义域为
B． 在区间 上单调递增
C． 的图象关于点 对称
D．
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。）
12．计算： ．
13．已知 ， ，则 的值为 .
14．设函数 ，若关于 的函数 恰好有
五个零点，则实数 的取值范围是 ．
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
2
15．（13 分）已知角 以 轴的非负半轴为始边，点 在角 的终边上，且
，
(1)求 及 的值；
(2)求 的值．
16．（15 分）已知幂函数 是定义在 R 上的偶函数．
(1)求函数 的解析式；
(2)当 时，求函数 的最大值，并求对应的自变量
的值．
17．（15 分）已知函数 ．
(1)若 在区间 上单调递减，求 的取值范围．
(2)求关于 的不等式 的解集．
3
18．（17 分）已知函数 （ 且 ）．
(1)求 的定义域；
(2)若当 时，函数 在 有且只有一个零点，求实数 的范围；
(3)是否存在实数 ，使得当 的定义域为 时，值域为 ，若存在，
求出实数 的范围；若不存在，请说明理由．
19．（17 分）已知偶函数 和奇函数 的定义域均为 ，且 ．
(1)求函数 和 的解析式；
(2)若 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
(3)若 ，且 在 上的最小值为 ，求
的值．
4
《公安三中 2024 级高一下学期开学考试（数学）试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D C B D C A B CD BD
题号 11
答案 BCD
1．A
【分析】先求 ，再结合交集的定义求结论.
【详解】因为集合 ，
所以 ，
所以 .
故选：A.
2．D
【分析】由题意利用诱导公式求解即可.
【详解】 .
故选： .
3．C
【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可.
【详解】因为函数 在 上单调递减，
又 ， ， ，
所以 ，
所以函数 有唯一零点，且在 内.
故选：C
4．B
【分析】由指对函数的单调性得到 、 、 与 0 和 1 的大小关系即可得结论.
【详解】∵ ，即 在定义域上单调递增，且 ，∴
，
∵ ，即 在定义域上单调递增，且 ，∴ ，
5
∵ ，即 在定义域上单调递减，且 ，∴
∴ .
故选：B.
5．D
【分析】根据题意，结合角度制与弧度制的互化，以及扇形的弧长与面积公式，逐项判定，
即可求解.
【详解】因为 ，根据角度制与弧度制的互化，可得 ，所以①正确；
由扇形的弧长公式，可得 的长度为 ，所以②正确
所以扇形的周长为 ，所以③正确；
由扇形的面积公式，可得扇形的面积为 ，所以④正确.
故选：D.
6．C
【分析】由偶函数的单调性可得 在 上单调递增，然后将不等式化简，结合对数
函数的单调性求解，即可得到结果.
【详解】因为定义在 R 上的偶函数 在 上单调递减，则 在 上单调递
增，
所以不等式 即 ，即 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 ．
故选：C
7．A
【分析】根据题意求出函数解析式，再由奇偶性与单调性判断即可．
【详解】由函数 是幂函数，可得 ，解得 或
.
当 时， ；当 时， .
因为函数 在 上是单调递增函数，故 .
又 ，所以 ，所以 ，则 .
6
故选：A.
8．B
【分析】根据零点的定义及指数函数对数函数幂函数的性质直接判断.
【详解】易知函数 ， ， 在定义域内都是增函数，
又 ，即 ，可得 ；
且 中 ，
令 ，即 ，
， ， 的大小顺序为： ，
故选：B.
9．CD
【分析】根据全称量词的命题的否定求法求所给命题的否定判断 A，根据充分条件和必要条
件的定义判断 B，根据反比例函数的单调性判断 C，根据指数函数的性质判断 D.
【详解】对于 A，易知命题“ ”的否定是“ ”，故 A
正确；
对于 B， 不能推出 ，充分性不成立， 能推出 ，必要性成立，
故 是 的必要不充分条件，故 B 正确；
对于 C， 的单调减区间为 ，不能用并集符号，故 C 错误；
对于 D，由 且 可令 ，解得 ，
又 ，故函数 的图象恒过定点 ，故 D 不正确．
故选：CD.
10．BD
【详解】对于 A，当 时， ，而 ，故 A 错
误；
对于 B，若 是第二象限角，则 为第一象限或第三象限角，故 B 正确；
对于 C，由 两边取平方， ，
7
可得 ，
因 ，则 ，故 ，
由 可得 ，故 C 错误；
对于 D，因 ，则 ，故 .
故选：BD.
11．BCD
【分析】首先求出函数的定义域判断 A，根据对数型复合函数的单调性判断 B，根据
判断 C，根据函数的对称性及单调性判断 D.
【详解】对于函数 ，则 ，解得 且 ，
所以函数的定义域为 ，故 A 错误；
当 时， ，
因为 在 上单调递增，且 ，
又 在定义域上单调递增，
所以 在区间 上单调递增，故 B 正确；
因为
，
所以 的图象关于点 对称，故 C 正确；
因为 ，所以 ，
又 ，
所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，即 ，故 D 正
确.
故选：BCD
8
12．1
【分析】利用换底公式、对数的运算性质及指数幂的运算性质计算可得.
【详解】
．
故答案为：1．
13．
【分析】由题意可得可得 ， ，再根据
，计算求得结果．
【详解】由 ， ，可得 ， ，
．
.
故答案为： .
14．
【分析】画出 的图象，利用换元法，结合二次函数的知识来求得正确答案.
【详解】作出函数 的图象，如图，
9
令 ，则方程 化为
，则 或
若关于 的函数 恰好有五个零点，
则方程 和 ，分别有 2 和 3 个根，结合图象可知， 有两个根，
则此时
.
故答案为： ．
【点睛】方法点睛：
对于复杂函数的零点问题，通过换元法将其转化为二次函数问题是一种常用方法.同时，结
合函数图象来分析根的分布情况，能更直观地解决问题.
15．(1) ； ； (2)
【分析】（1）根据正弦函数的定义可求 的值，再根据定义可求 ；
（2）利用诱导公式和弦切互化法可求三角函数式的值.
【详解】（1）因为点 角 的终边上，且 ，
根据三角函数定义 ，则 ，
解得 或 （舍），
所以 ．
（2）则
，
16．(1) (2)当 时，函数 的最大值为 7
【分析】（1）由幂函数的定义和函数的奇偶性，求出 的值，得函数解析式；
（2）求出函数 的解析式，由定义域结合解析式，利用配方法求最值.
【详解】（1）根据题意可得 ，即 ，
10
所以 ，解得 ，又函数 是定义在 上的偶函数，
所以 ，即函数 的解析式为 ．
（2）由（1）可知
因 ，所以 ，当 时， ，函数 的最大值为 7．
17．(1) (2)答案见解析．
【分析】（1）讨论当 和 时，函数 在 上单调递减的情况即可得出结论；
（2）解 ，即解不等式 ，分类讨论当 和 的情况，在
的情况下，再讨论 ， ， ，以及 时的解集，从而得出结论.
【详解】（1）当 时， 的单调递减区间为 ，满足题意；
当 时，由 在 上单调递减可得 ，解得 ．
综上， ．
（2） ，
1）当 时，由 解得 ；
2）当 时，方程 的两根为 ，
当 时， ，解不等式 得 ；
当 时， ，解不等式 得 或 ；
当 时， ，解不等式 得 或 ；
当 时，由 得 ．
综上，当 时，不等式解集为 ；
当 时，不等式解集为 ；
当 时，不等式解集为 ；
11
当 时，不等式解集为 ；
当 时，不等式解集为 ．
18．(1) ； (2) (3)存在，
【分析】（1）根据对数函数的真数大于 0 求解即可；
（2）先判断函数的单调性，再利用单调性求出函数的值域即可得解；
（3）假设存在，由复合函数单调性法则确定函数单调性，利用单调性计算值域，根据方程
有两不等根建立不等式组求参数取值范围.
【详解】（1）由 ，得 或 ．
的定义域为 ；
（2）令 ，
因函数 在 上单调递减，则 在 上为增函数，
又 ， 在 上为减函数；
函数 在 有且只有一个零点，
即 在 上有且只有一个解，
函数 在 上的值域为 ，
的范围是 ．
（3）假设存在这样的实数 ，使得当 的定义域为 时，值域为
，
由 且 ，可得 ．
又由（2）知 在 上为增函数， 在 上为减函数．
则 在 上为减函数，得 ．
即 在 上有两个互异实根，
因 ，
12
即 ，有两个大于 3 的相异零点．
则 ．
结合 ，故存在这样的实数 符合题意．
19．(1) (2) (3)2
【分析】（1）根据函数的奇偶性得到 ，结合题目条件得到方程组，求出答
案；
（2）由题意得到 ，令 ，由基本不等式得 ，分
和 两种情况，参变分离，得到 ，变形后，由基本不等式得到
，求出 ；
（3） ，令 ，由单调性得到 ，故
在 上的最小值为 ，分 和 两种情况，根据函
数单调性得到最小值，从而得到方程，求出 .
【详解】（1）由题， ，则有 ，
又因为偶函数 和奇函数 ，所以 ，
所以联立 ，解得 ．
（2）因为 ，
由 ，
可得 ，即 ，
令 ，其中 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 ，故 恒成立，其中 ，
13
当 时， ，此时 ，恒成立，
当 时， ， ，
令 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立， ；
（3）
，
令 ，显然其在 上单调递增，故 ，
由题意得 在 上的最小值为 ，
当 时， 在 上单调递增，
故当 ，即 时， 取得最小值，最小值为 ，
令 ，解得 ，不成立，
当 时， 在 上单调递减，
在 上单调递增，
故当 时， 取得最小值，最小值为 ，
令 ，解得 或 （舍去），综上： .
14