河北省石家庄市润德学校2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷（含答案与解析）

这是一份河北省石家庄市润德学校2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷（含答案与解析），共26页。
A．
B．
C．
D．
2．（3分）要使分式1x+3有意义，x应满足的条件是（ ）
A．x＞﹣3B．x＜﹣3C．x≠﹣3D．x＝﹣3
3．（3分）下列实数：3.1415926，39，0.1010010001…（每相邻两个1之间依次增加一个0），2-5，π3，2.1⋅5⋅中，无理数的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（3分）下列各式是最简二次根式的是（ ）
A．12B．8C．9D．30
5．（3分）将分式xy2x+y中的x，y的值都变为原来的2倍，则该分式的值（ ）
A．变为原来的2倍B．变为原来的4倍
C．不变D．变为原来的一半
6．（3分）如图，△ABC≌△ADE，BC与ED交于点O，若∠A＝50°，∠B＝25°，则∠BOD的度数为（ ）
A．100°B．105°C．110°D．120°
7．（2分）下列说法正确的是（ ）
A．﹣81的平方根是﹣9
B．平方根等于它本身的数是1和0
C．81的算术平方根是9
D．近似数5.2万精确到了千位
8．（2分）下列二次根式中，可以与2合并的是（ ）
A．20B．12C．83D．18
9．（2分）下列命题中，其逆命题是真命题的是（ ）
A．如果x＞0，那么x2＞0
B．全等三角形的面积相等
C．若a＝2，则a3＝8
D．如果a＝b，那么a2＝b2
10．（2分）已知1x-1y=3，则分式5x+xy-5yx-xy-y的值为（ ）
A．8B．72C．27D．4
11．（2分）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
12．（2分）若6-13的整数部分为x，小数部分为y，则（2x+13）y的值是（ ）
A．5-313B．3C．313-5D．﹣3
13．（2分）在数学课上，老师将一长方形纸片的长增加23cm，宽增加73cm，就成为了一个面积为192cm2的正方形，则原长方形纸片的面积为（ ）
A．18cm2B．20cm2C．36cm2D．48cm2
14．（2分）若关于x的方程4x-1+a1-x=4的解为正数，则a的取值范围是（ ）
A．a＜8且a≠2B．a＜8且a≠4C．a＜8且a≠1D．a＜8
15．（2分）如图是一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数是（用含n的代数式表示）（ ）
A．n2-1B．n2-2C．n2-3D．n2-4
16．（2分）如图，点C在线段BD上，AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，∠ACE＝90°，且AC＝5cm，CE＝6cm，点P从点A开始以2cm/s的速度沿AC向终点C运动，同时点Q以3cm/s的速度从点E开始，在线段EC上往返运动（即沿E→C→E运动），当点P到达终点时，P、Q同时停止运动．过P、Q分别作BD的垂线，垂足分别为M、N．设运动的时间为t s，当以P、C、M三点为顶点的三角形与△QCN全等时，t的值为（ ）s．
A．1B．1或2
C．1或115D．1或115或235
二.填空题（本大题共3个小题，共10分.17小题2分，18-19小题各4分，每空2分.）
17．（2分）若分式|x|-22-x的值为0，则x＝ ．
18．（4分）小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图，当输入x的值是64时，输出的y值是 ，分析发现，当输入一个可以使程序运行的实数x时，该程序无法输出y值，则x的值为 ．
19．（4分）综合与实践：数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
【发现问题】如图1，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝30°，连接BE，CF、延长BE交CF于点D．则∠BDC＝ °；
【类比探究】若∠BAC＝∠EAF＝α，其余条件不变，则∠BDC＝ °．
三.解答题（本大题共7个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（17分）（1）-23+27；
（2）354×(-89)÷7115；
（3）(23-1)2+13-2-(12)-1；
（4）4（x+1）2＝81；
（5）x-8x-7-17-x=8．
21．（6分）先化简：（a-3aa+1）÷a2-4a+4a+1，然后在﹣2，﹣1，2三个数中给a选择一个你喜欢的数代入求值．
22．（8分）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示-2，设点B所表示的数为m．
（1）m的值是 ；
（2）求|m+1|+(m-1)2的值；
（3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+6|与d-4互为相反数，求2c+3d的平方根．
23．（9分）如图，已知AB＝DC，AB∥CD，E、F是AC上两点，且AF＝CE．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若∠BCE＝30°，∠CBE＝70°，求∠CFD的度数．
24．（9分）某校在商场购进A、B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花30元．
（1）问购买一个A品牌、一个B品牌的篮球各需多少元？
（2）该校决定再次购进A、B两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3060元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？
25．（12分）阅读材料，然后解答下列问题：
在进行代数式化简与计算时，我们会碰到形如33，23-1，4-23这样的式子，（其实我们可以将其进一步化简与计算：
解：33=3×33×3=3；23-1=2(3+1)(3-1)×(3+1)=2(3+1)2=3+1；
4-23=3-23+1=(3)2-23+12=(3-1)2=3-1；
在学习上述解题过程后，小明和他的同学遇到一道题：已知a=12+3，求2a2﹣8a+1的值，他是这样解答的：12+3=2-3(2+3)(2-3)=2-3，∴a﹣2=-3，
∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
学会解决问题：
（1）化简25-3= ．
（2）计算二次根式5+26的值 ；
（3）比较大小：25-3 5+26（填“＞”，“＝”或“＜”）；
（4）计算：13+1+15+3+17+5+⋯+1361+359的值；
（5）若a=15-2，求a4﹣4a3﹣4a+3的值．
26．（11分）综合与实践：
（1）某学习小组在探究王角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1．已知：在△ABC中．∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．
（2）组员小刘对图2（∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．）进行了探究，他发现线段DE、BD、CE之间也存在着类似的数量关系，请你直接写出这个发现．
数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：
（3）如图3，已知△ABC，AH是BC边上的高，AH＝1．过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，延长HA交EG于点I，若AI＝2，请直接写出△AEG的面积．
（4）如图4，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB＝AC，∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，直线m与BC的延长线交于点F，若BC＝2CF，△ABC的面积是12，请直接写出△ABD与△CEF的面积之和．
2024-2025学年河北省石家庄市润德学校八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（本大题共16个小题，共38分.1-6题，每小题3分，7-16题，每小题3分。
1．（3分）下列各组图形中，属于全等图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】由全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．
【解答】解：根据全等图形的定义可得C是全等图形，
故选：C．
【点评】此题主要考查了全等形的概念，关键是掌握全等形的形状和大小都相同．
2．（3分）要使分式1x+3有意义，x应满足的条件是（ ）
A．x＞﹣3B．x＜﹣3C．x≠﹣3D．x＝﹣3
【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零可得答案．
【解答】解：由题意得：x+3≠0，
解得：x≠﹣3，
故选：C．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
3．（3分）下列实数：3.1415926，39，0.1010010001…（每相邻两个1之间依次增加一个0），2-5，π3，2.1⋅5⋅中，无理数的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：在实数：3.1415926，39，0.1010010001…（每相邻两个1之间依次增加一个0），2-5，π3，2.1⋅5⋅中，无理数有39，0.1010010001…（每相邻两个1之间依次增加一个0），2-5，π3，共4个．
故选：D．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001．
4．（3分）下列各式是最简二次根式的是（ ）
A．12B．8C．9D．30
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【解答】解：A.12=22，不是最简二次根式；
B.8=22，不是最简二次根式；
C.9=3，不是最简二次根式；
D.30是最简二次根式．
故选：D．
【点评】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
5．（3分）将分式xy2x+y中的x，y的值都变为原来的2倍，则该分式的值（ ）
A．变为原来的2倍B．变为原来的4倍
C．不变D．变为原来的一半
【分析】根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，求解即可．
【解答】解：2x⋅2y2⋅2x+2y=4xy2(2x+y)=2xy2x+y=2⋅xy2x+y，
故选：A．
【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
6．（3分）如图，△ABC≌△ADE，BC与ED交于点O，若∠A＝50°，∠B＝25°，则∠BOD的度数为（ ）
A．100°B．105°C．110°D．120°
【分析】根据全等三角形的性质和全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵∠A＝50°，∠B＝25°，
∴∠BCD＝∠A+∠B＝75°，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠D＝∠B＝25°，
∴∠BOD＝∠D+∠DCB＝75°+25°＝100°，
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
7．（2分）下列说法正确的是（ ）
A．﹣81的平方根是﹣9
B．平方根等于它本身的数是1和0
C．81的算术平方根是9
D．近似数5.2万精确到了千位
【分析】根据平方根、算术平方根、近似数的精确度分别计算判断即可．
【解答】解：A、﹣81没有平方根，故此选项不符合题意；
B、平方根等于它本身的数是0，故此选项不符合题意；
C、81=9，9的算术平方根是3，故此选项不符合题意；
D、近似数5.2万精确到了千位，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了平方根，算术平方根，近似数和有效数字，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
8．（2分）下列二次根式中，可以与2合并的是（ ）
A．20B．12C．83D．18
【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，再根据同类二次根式的概念判断即可．
【解答】解；A、20=4×5=25，不能与2合并，不符合题意；
B、12=23，不能与2合并，不符合题意；
C、83=236，不能与2合并，不符合题意；
D、18=9×2=32，能与2合并，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是同类二次根式，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
9．（2分）下列命题中，其逆命题是真命题的是（ ）
A．如果x＞0，那么x2＞0
B．全等三角形的面积相等
C．若a＝2，则a3＝8
D．如果a＝b，那么a2＝b2
【分析】根据逆命题的概念分别写出各个命题的逆命题，根据实数的乘方、全等三角形的判定、立方根判断即可．
【解答】解；A、如果x＞0，那么x2＞0，逆命题是如果x2＞0，那么x＞0，是假命题，不符合题意；
B、全等三角形的面积相等，逆命题是面积相等的三角形全等，是假命题，不符合题意；
C、若a＝2，则a3＝8，逆命题是若a3＝8，则a＝2，是真命题，符合题意；
D、如果a＝b，那么a2＝b2，逆命题是如果a2＝b2，那么a＝b，是假命题，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
10．（2分）已知1x-1y=3，则分式5x+xy-5yx-xy-y的值为（ ）
A．8B．72C．27D．4
【分析】把已知整理成x﹣y＝﹣3xy，再整体代入求解即可．
【解答】解：∵1x-1y=3，即y-xxy=3，
∴y﹣x＝3xy，即x﹣y＝﹣3xy，
5x+xy-5yx-xy-y
=5(x-y)+xy(x-y)-xy
=5×(-3xy)+xy(-3xy)-xy
=-14xy-4xy
=72．
故选：B．
【点评】本题考查了分式的化简求值，掌握整体思想并且将x﹣y＝﹣3xy整体代入是关键．
11．（2分）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长，进而得出答案．
【解答】解：∵用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，
∴大正方形的面积为：9+9＝18，
则大正方形的边长为：18，
∵16＜18＜4.52，
∴4＜18＜4.5，
∴大正方形的边长最接近的整数是4．
故选：B．
【点评】此题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的定义是解题关键．
12．（2分）若6-13的整数部分为x，小数部分为y，则（2x+13）y的值是（ ）
A．5-313B．3C．313-5D．﹣3
【分析】首先根据13的整数部分，确定6-13的整数部分x的值，则y即可确定，然后代入所求解析式计算即可求解．
【解答】解：∵9＜13＜16
∴3＜13＜4，
∴6-13的整数部分x＝2，
则小数部分是：6-13-2＝4-13，
∴y＝4-13，
则（2x+13）y＝（4+13）（4-13）
＝16﹣13
＝3．
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的运算，正确确定6-13的整数部分x与小数部分y的值是关键．
13．（2分）在数学课上，老师将一长方形纸片的长增加23cm，宽增加73cm，就成为了一个面积为192cm2的正方形，则原长方形纸片的面积为（ ）
A．18cm2B．20cm2C．36cm2D．48cm2
【分析】利用算术平方根求出正方形的边长，进而求出原矩形的边长，即可得出答案．
【解答】解：∵一个面积为192cm2的正方形纸片，边长为：83cm，
∴原矩形的长为：83-23=63（cm），宽为：83-73=3（cm），
∴原长方形纸片的面积为：63×3=18（cm2）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次根式的应用，根据题意得出原矩形的边长是解题关键．
14．（2分）若关于x的方程4x-1+a1-x=4的解为正数，则a的取值范围是（ ）
A．a＜8且a≠2B．a＜8且a≠4C．a＜8且a≠1D．a＜8
【分析】表示出分式方程的解，由解为正数确定出a的范围即可．
【解答】解：分式方程整理得：4x-1-ax-1=4，
去分母得：4﹣a＝4x﹣4，
解得：x=8-a4，
由分式方程的解为正数，得到8-a4＞0，且8-a4≠1，
解得：a＜8且a≠4．
故选：B．
【点评】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式的解集，解题关键是始终注意分母不为0这个条件．
15．（2分）如图是一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数是（用含n的代数式表示）（ ）
A．n2-1B．n2-2C．n2-3D．n2-4
【分析】观察数阵排列，可发现各数的被开方数是从1开始的连续自然数，行数中的数字个数是行数的2倍，求出n﹣1行的数字个数，再加上从左向右的第n﹣3个数，就得到所求数的被开方数，再写成算术平方根的形式即可．
【解答】解：由图中规律知，前（n﹣1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n﹣1）＝n（n﹣1），
所以第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数的被开方数是
n（n﹣1）+n﹣3＝n2﹣3，
所以第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣3）个数是n2-3．
故选：C．
【点评】本题考查了算术平方根．根据数据排列规律，计算前（n﹣1）行数据的个数是解决本题的关键．
16．（2分）如图，点C在线段BD上，AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，∠ACE＝90°，且AC＝5cm，CE＝6cm，点P从点A开始以2cm/s的速度沿AC向终点C运动，同时点Q以3cm/s的速度从点E开始，在线段EC上往返运动（即沿E→C→E运动），当点P到达终点时，P、Q同时停止运动．过P、Q分别作BD的垂线，垂足分别为M、N．设运动的时间为t s，当以P、C、M三点为顶点的三角形与△QCN全等时，t的值为（ ）s．
A．1B．1或2
C．1或115D．1或115或235
【分析】证明△CPM∽△QCN，分两种情况讨论，由全等三角形的判定和性质可求解．
【解答】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∠ACE＝90°，
∴∠ACB+∠ECD＝90°，∠ACB+∠CAB＝90°，
∴∠CAB＝∠ECD，
∵PM⊥BD，AB⊥BD，
∴PM∥AB∥QN∥ED，∠PMC＝∠CNQ＝90°，
∴∠CPM＝∠CAB，
∴∠CPM＝∠QCN，
∴△CPM∽△QCN，
当点P在AC上，点Q在CE上时，
∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，
∴PC＝CQ，
∴5﹣2t＝6﹣3t，
∴t＝1，
当点P在AC上，点Q第一次从点C返回时，
∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，
∴PC＝CQ，
∴5﹣2t＝3t﹣6，
∴t=115，
综上所述：t的值为1或115．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是本题的关键．
二.填空题（本大题共3个小题，共10分.17小题2分，18-19小题各4分，每空2分.）
17．（2分）若分式|x|-22-x的值为0，则x＝ ﹣2 ．
【分析】根据分式值为零的条件可得：|x|﹣2＝0，且2﹣x≠0，再解即可．
【解答】解：由题可得，|x|﹣2＝0，且2﹣x≠0，
解得x＝±2，且x≠2，
∴x＝﹣2，
故答案为：﹣2
【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
18．（4分）小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图，当输入x的值是64时，输出的y值是 2 ，分析发现，当输入一个可以使程序运行的实数x时，该程序无法输出y值，则x的值为 0或1 ．
【分析】当输入x的值是64时，根据程序框图列式计算即可；再根据题意求得x的值即可．
【解答】解：当输入x的值是64时，
则64的算术平方根为8，其立方根为2，
再取2的算术平方根为2，它是无理数，输出结果，
即输出的y值是2，
当x＝0时，0=0，30=0，一直计算下去不能得到无理数，无法输出y的值，
当x＝1时，1=1，31=1，一直计算下去不能得到无理数，无法输出y的值，
则x的值为0或1，
故答案为：2；0或1．
【点评】本题考查有理数的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键．
19．（4分）综合与实践：数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
【发现问题】如图1，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝30°，连接BE，CF、延长BE交CF于点D．则∠BDC＝ 30 °；
【类比探究】若∠BAC＝∠EAF＝α，其余条件不变，则∠BDC＝ α或（180﹣α） °．
【分析】（1）设AC交BD于点G，由∠BAC＝∠EAF＝30°，得∠BAE＝∠CAF＝30°+∠CAE，而AB＝AC，AE＝AF，即可根据“SAS”证明△ABE≌△ACF，所以∠ABE＝∠ACF，则∠BDC＝∠AGD﹣∠ACF＝∠AGD﹣∠ABE＝∠BAC＝30°，于是得到问题的答案；
（2）分两种情况讨论，一是点D在线段FC上，由∠BAC＝∠EAF＝α，得∠BAE＝∠CAF＝α+∠CAE，可证明△ABE≌△ACF，得∠ABE＝∠ACF，则∠BDC＝∠AGD﹣∠ACF＝∠AGD﹣∠ABE＝∠BAC＝α；二是点D在线段FC的延长线上，则∠BAE＝∠CAF＝α﹣∠CAE，可证明△ABE≌△ACF，得∠AEB＝∠AFC，由∠AEB+∠AED＝180°，得∠AFC+∠AED＝180°，所以∠BDC+∠EAF＝180°，则∠BDC＝180°﹣α，于是得到问题的答案．
【解答】解：（1）如图1，设AC交BD于点G，
∵∠BAC＝∠EAF＝30°，
∴∠BAE＝∠CAF＝30°+∠CAE，
在△ABE和△ACF中，
AB=AC∠BAE=∠CAFAE=AF，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴∠ABE＝∠ACF，
∴∠BDC＝∠AGD﹣∠ACF＝∠AGD﹣∠ABE＝∠BAC＝30°，
故答案为：30．
（2）如图1，点D在线段FC上，
∵∠BAC＝∠EAF＝α，
∴∠BAE＝∠CAF＝α+∠CAE，
在△ABE和△ACF中，
AB=AC∠BAE=∠CAFAE=AF，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴∠ABE＝∠ACF，
∴∠BDC＝∠AGD﹣∠ACF＝∠AGD﹣∠ABE＝∠BAC＝α；
如图2，点D在线段FC的延长线上，则∠BAE＝∠CAF＝α﹣∠CAE，
在△ABE和△ACF中，
AB=AC∠BAE=∠CAFAE=AF，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴∠AEB＝∠AFC，
∵∠AEB+∠AED＝180°，
∴∠AFC+∠AED＝180°，
∴∠BDC+∠EAF＝360°﹣180°＝180°，
∴∠BDC＝180°﹣∠EAF＝180°﹣α，
故答案为：α或（180﹣α）．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、四边形的内角和等于360°等知识，证明△ABE≌△ACF是解题的关键．
三.解答题（本大题共7个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（17分）（1）-23+27；
（2）354×(-89)÷7115；
（3）(23-1)2+13-2-(12)-1；
（4）4（x+1）2＝81；
（5）x-8x-7-17-x=8．
【分析】（1）化简各个二次根式再合并同类二次根式；
（2）根据二次根式的乘除法则计算即可；
（3）利用完全平方公式，分母有理化，负整数指数幂的性质计算即可；
（4）利用直接开方法解方程；
（5）去分母化为整式方程求解．
【解答】解：（1）原式＝﹣23+33
=3；
（2）原式＝﹣3×17×54×89×56
=-6710；
（3）原式＝12﹣43+1-3-2﹣2
＝9﹣53；
（4）4（x+1）2＝81；
（x+1）2=814，
x+1＝±92，
x1=72，x2=-112；
（5）x-8x-7-17-x=8，
x﹣8+1＝8（x﹣7），
x﹣7＝8x﹣56，
7x＝49，
x＝7，
经检验，x＝7是分式方程的增根．原方程无解．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，分式方程，解一元二次方程等知识，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
21．（6分）先化简：（a-3aa+1）÷a2-4a+4a+1，然后在﹣2，﹣1，2三个数中给a选择一个你喜欢的数代入求值．
【分析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再结合分式有意义的条件，先取合适的数进行运算即可．
【解答】解：（a-3aa+1）÷a2-4a+4a+1
=a(a+1)-3aa+1•a+1(a-2)2
=a2-2aa+1•a+1(a-2)2
=a(a-2)(a-2)2
=aa-2，
∵要使分式有意义，故a+1≠0且a﹣2≠0，
∴a≠﹣1且a≠2，
∴当a＝﹣2时，
原式=-2-2-2=12．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
22．（8分）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示-2，设点B所表示的数为m．
（1）m的值是 -2+2 ；
（2）求|m+1|+(m-1)2的值；
（3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+6|与d-4互为相反数，求2c+3d的平方根．
【分析】（1）根据两点间的距离公式求出m即可；
（2）把（1）中求出的m代入，然后根据绝对值的性质和二次根式的性质进行计算即可；
（3）根据已知条件和绝对值与偶次方的非负性，列出关于d，c的方程，解方程求出c，d，从而求出答案即可．
【解答】解：（1）∵点A表示-2，
∴m=-2+2，
故答案为：-2+2；
（2）由（1）可知：m=-2+2，
∴|m+1|+(m-1)2
=|-2+2+1|+(-2+2-1)2
=|-2+3|+(-2+1)2
=3-2+2-1
＝2；
（3）∵|2c+6|与d-4互为相反数，
∴|2c+6|+d-4=0，
2c+6＝0，d﹣4＝0，
解得：c＝﹣3，d＝4，
∴2c+3d
＝2×（﹣3）+3×4
＝﹣6+12
＝6，
∴2c+3d的平方根是：±6．
【点评】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握绝对值与偶次方的非负性、平方根的定义和二次根式的性质．
23．（9分）如图，已知AB＝DC，AB∥CD，E、F是AC上两点，且AF＝CE．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若∠BCE＝30°，∠CBE＝70°，求∠CFD的度数．
【分析】（1）由平行线的性质得出∠BAE＝∠FCD，根据SAS可得出△ABE≌△CDF；
（2）求出∠AEB＝∠BCE+∠CBE＝100°，可得出∠CFD＝∠AEB＝100°．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠FCD，
∵AF＝CE，
∴AE＝CF，
又∵AB＝CD，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
（2）解：∵∠BCE＝30°，∠CBE＝70°，
∴∠AEB＝∠BCE+∠CBE＝30°+70°＝100°，
∵△ABE≌△CDF，
∴∠CFD＝∠AEB＝100°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的外角和等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
24．（9分）某校在商场购进A、B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花30元．
（1）问购买一个A品牌、一个B品牌的篮球各需多少元？
（2）该校决定再次购进A、B两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3060元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？
【分析】（1）设购买一个A品牌的篮球需x元，则购买一个B品牌的篮球需（x+30）元，由题意：购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球数量是购买B品牌篮球数量的2倍，列出分式方程，解方程即可；
（2）设该校此次可购买a个B品牌篮球，则购进A品牌篮球（50﹣a）个，根据购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3060元，列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设购买一个A品牌的篮球需x元，则购买一个B品牌的篮球需（x+30）元，
由题意得：2500x=2×2000x+30，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，
则x+30＝80．
答：购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个B品牌的篮球需80元．
（2）设该校此次可购买a个B品牌篮球，则购进A品牌篮球（50﹣a）个，
由题意得：50×（1+8%）（50﹣a）+80×0.9a≤3060，
解得：a≤20，
答：该校此次最多可购买20个B品牌篮球．
【点评】此题考查分式方程的应用与一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
25．（12分）阅读材料，然后解答下列问题：
在进行代数式化简与计算时，我们会碰到形如33，23-1，4-23这样的式子，（其实我们可以将其进一步化简与计算：
解：33=3×33×3=3；23-1=2(3+1)(3-1)×(3+1)=2(3+1)2=3+1；
4-23=3-23+1=(3)2-23+12=(3-1)2=3-1；
在学习上述解题过程后，小明和他的同学遇到一道题：已知a=12+3，求2a2﹣8a+1的值，他是这样解答的：12+3=2-3(2+3)(2-3)=2-3，∴a﹣2=-3，
∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
学会解决问题：
（1）化简25-3= 5+3 ．
（2）计算二次根式5+26的值 3+2 ；
（3）比较大小：25-3 ＞ 5+26（填“＞”，“＝”或“＜”）；
（4）计算：13+1+15+3+17+5+⋯+1361+359的值；
（5）若a=15-2，求a4﹣4a3﹣4a+3的值．
【分析】（1）直接分母有理化得出答案；
（2）直接利用配方法得出答案；
（3）利用实数的大小比较即可；
（4）直接分母有理化得出答案；
（5）根据题意得出a的值，再得出a2﹣4a＝1，再把已知变形得出答案．
【解答】解：（1）原式=2(5+3)(5-3)×(5+3)
=2(5+3)2
=5+3；
故答案为：5+3；
（2）原式=3+26+2
=(3)2+26+(2)2
=(3+2)2
=3+2；
故答案为：3+2；
（3）∵25-3=5+3，5+26=3+2，
又∵5+3＞3+2，
∴25-3＞5+26；
故答案为：＞；
（4）原式=12×（3-1+5-3+7-5+...+361-359）
=12×（361-1）
=12×18
＝9；
（5）∵a=15-2=5+2，
∴a﹣2=5，
∴（a﹣2）2＝5，
即a2﹣4a+4＝5，
∴a2﹣4a＝1，
∴a4﹣4a3﹣4a+3
＝a2（a2﹣4a）﹣4a+3
＝a2﹣4a+3
＝1+3
＝4．
【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值以及分母有理化，正确化简二次根式是解题关键．
26．（11分）综合与实践：
（1）某学习小组在探究王角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1．已知：在△ABC中．∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．
（2）组员小刘对图2（∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．）进行了探究，他发现线段DE、BD、CE之间也存在着类似的数量关系，请你直接写出这个发现．
数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：
（3）如图3，已知△ABC，AH是BC边上的高，AH＝1．过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，延长HA交EG于点I，若AI＝2，请直接写出△AEG的面积．
（4）如图4，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB＝AC，∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，直线m与BC的延长线交于点F，若BC＝2CF，△ABC的面积是12，请直接写出△ABD与△CEF的面积之和．
【分析】（1）由题意可得∠BDA＝∠CEA＝90°，∠BAD+∠CAE＝90°可得出∠CAE＝∠ABD，证△ADB≌△CEA可得DA＝CE，AE＝BD，可得DE＝BD+CE；
（2）同（1）证△ADB≌△CEA可得BD＝AE，AD＝CE，可得出结论；
（3）过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N，由（1）和（2）的结论可知EM＝AH＝GN＝2，AM＝BH，AN＝HC，证△EMI≌△GNI得IM＝IN，S△EIM＝S△NGI，继而得出BC＝BH+HC＝AM+AN＝AI﹣IM+AI+IN＝2AI＝4，S△AEG＝S△AEI+S△AGI＝S△AEM+S△EIM+S△AGN﹣S△NGI＝S△AEM+S△AGN＝S△ABH+S△ACH＝S△ABC，据此求解可得答案；
（4）由∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∴∠CAE＝∠ABD，得出∠CAE＝∠ABD，由AAS证得△ADB≌△CEA，得出S△ABD＝S△CEA，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出S△ACF即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD，
在△ABD和△CEA中，
∠ABD=∠CAE∠BAD=∠CEAAB=AC，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
（2）解：DE＝BD﹣CE，理由如下：
∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD，
在△ADB和△CEA中，
∠ABD=∠CAE∠BDA=∠CEAAB=AC，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴BD＝AE，AD＝CE，
∴DE＝AE﹣AD＝BD﹣CE；
（3）解：如图3，过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N，
∴∠EMI＝∠GNI＝90°，
由（1）和（2）的结论可知EM＝AH＝GN＝1，AM＝BH，AN＝HC，
在△EMI和△GNI中，
∠EIM=∠GIN∠EMI=∠GNI=90°EM=GN，
∴△EMI≌△GNI（AAS），
∴IM＝IN，S△EIM＝S△NGI，
∴BC＝BH+HC＝AM+AN＝AI﹣IM+AI+IN＝2AI＝4，
则S△AEG＝S△AEI+S△AGI
＝S△AEM+S△EIM+S△AGN﹣S△NGI
＝S△AEM+S△AGN
＝S△ABH+S△ACH
＝S△ABC
=12BC•AH
=12×4×1
＝2；
（4）解：∵∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，
∴∠CAE＝∠ABD，
在△ABD和△CEA中，
∠ABD=∠CAE∠BAD=∠CEAAB=AC，
∴△ABD≌△CEA（AAS），
∴S△ABD＝S△CEA，
设△ABC的底边BC上的高为h，则△ACF的底边CF上的高为h，
∴S△ABC=12BC•h＝12，S△ACF=12CF•h，
∵BC＝2CF，
∴S△ACF＝6，
∵S△ACF＝S△CEF+S△CEA＝S△CEF+S△ABD＝6，
∴△ABD与△CEF的面积之和为6．
【点评】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，直角三角形的性质，不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
C
D
D
A
A
D
D
C
B
B
题号
12
13
14
15
16
答案
B
A
B
C
C