新高考数学二轮复习导数专项练习专题02 导数之构造函数（双变量）（2份，原卷版+解析版）

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函数与导数是高考必考的知识点，考试形式有选择题也有填空题，并且都以压轴题为主。题目难度都偏大，对学生的思维能力考查都要求比较高。构造函数，是我们高中数学处理和研究函数与导数的一种有效方法，通过分离变量和参数，构造新的函数去研究其新函数的单调性，极值点，从而使问题得到解决。
双变量是函数构造中比较难的一种，同构式也是最近几年高考题目的重点与难点。
经验分享（常见函数构造类型）
★★★★★.双变量函数的变形
1.形如的函数，构造函数，令，求；
2.对于,形如 的函数，要结合图像构造函数的切线方程，求斜率；
3.形如或的函数不等式，
（1）.可以构造函数，然后求的最大值和最小值；
（2）.如果，我们也可以构造函数，求的最值 .
三、题型分析
(一) 与函数的基本性质有关的构造函数
例1（1）、已知，若对任意两个不等的正实数都有恒成立，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题意得：恒成立，恒成立
令，易得，
所以，所以
（2）、（2021·黑龙江鹤岗一中（理））已知函数，，且，，，恒成立，则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】
先由恒成立，得到恒成立，令，得到在上恒成立，所以函数在区间上单调递减，对函数求导，得到在上恒成立，推出在上恒成立，令，用导数的方法研究其单调性，求出最值，即可得出结果.
【详解】
解：，，恒成立，
即恒成立，
即恒成立，
令，则在上恒成立，
即函数在区间上单调递减，
又，
在上恒成立，
当时，不等式可化为显然成立；
当时，不等式可化为，
令，
则在区间上恒成立，
函数在区间上单调递减，
，
，
即实数a的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】
方法点睛：由不等式恒成立（或能成立）求参数时，一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构成函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.
【变式训练1-1】、（2021·江西南昌·高安中学高二月考）函数，若对任意两个不等的正实数，都有恒成立，则实数的取值范围是___________．
【答案】a≥4
【分析】
设,由题意得，令，且是增函数，原问题转化为恒成立，然后利用参变分离法，有在恒成立，求出函数在上的最大值即可．
【详解】
不妨设，由，得，
设，时，则单调递增，
由，则，
则即在上恒成立，
设，函数的对称轴为，
则当时，取最大值，最大值为，
所以.
故答案为：.
【变式训练1-2】、已知函数，则，的取值范围是（ ）
B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知得：函数表示的是焦点在y轴上的双曲线的上支，渐近线方程为，故此函数上任意两点的连线的斜率范围在上，
所以，
(二) 与双参数有关的构造函数
例2．（1）、（2022·广西玉林·模拟预测（理））已知，都是正整数，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意得，构造函数求解即可.
【详解】因为，所以，令，
所以，故在上单调递增，由已知得，
故，因为，都是正整数，即.
故选：A.
（2）、（2022·北京·北师大二附中高二阶段练习）已知函数，若且满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由函数的性质确定参数间的关系及范围，然后把目标式转化为一元函数，再引入函数，由导数确定其取值范围．
【详解】由题意时，是减函数，且，
时，是减函数，且，
由且得，，，，
，所以，
，
设，，
时，，是增函数，所以，即，
所以．
故选：C．
【变式训练2-1】、设椭圆的左右顶点为A,B.P是椭圆上不同于A,B的一点，设直线AP,BP的斜率分别为m,n，则当取得最小值时，椭圆C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设，点P在双曲线上，得，
，所以，，化简
原式
所以设，构造函数，求导可以得到：
时，函数取得最小值=，，。
【点评】（1）椭圆上关于原点对称的两点另一个动点，
则；（2）双曲线上关于原点对称的两点另一个动点
，则
【变式训练2-2】、设实数，满足则代数式（ ）
A.有最大值 B.有最小值 C有最大值1 D.有最大值
【答案】B
【解析】：由已知得：代数式，
设，原代数式，
两边同时除以，
故，
设，原代数式，
当，最大值为；当,最大值为
(三) 同构式
例3．（2021·广东·金山中学高二期中）（多选题）已知函数，，若，，则的取值可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】由已知条件可推得，即有，结合目标式化简可得，令，利用导函数研究其单调性并确定区间最小值，即为的最小值，根据最小值进行选择即可.
【详解】由题意，，得，
∴，即，
又，得
∵在上单调递增，
∴综上知：，
∴，
令，，则
∴，得；，得；
故在上单调递减，在上单调递增.
∴，
A：因为，所以本选项不符合题意；
B：因为，所以本选项符合题意；
C：显然符合题意；
D：因为，所以本选项不符合题意，
故选：BC
【点睛】关键点睛：根据条件的函数关系确定参数的等量关系，结合目标式化简并构造函数，应用导数研究函数的单调性，进而确定区间最小值.
【变式训练3-1】、（2021·内蒙古·阿拉善盟第一中学高三开学考试（理））已知函数，其中为自然对数的底数，若存在实数满足，且，则的取值范围为_____．
【答案】
【分析】分析函数单调性知，记，得到，利用导数求出最值．
【详解】解：记，
由，知在和单调，
所以有， 时，，，所以，
所以，即，故，
设，，，则，令，得，
当时，，单调递增，
当，时，，单调递减，
；
所以当时，取极大值也是最大值，即，所以最大值为．
故答案为：，．
【点睛】本题考查分段函数的应用，结合导数知识，关键理清不同区间上表达式的形式，求出对应的最值，属于中档题．
四、迁移应用
A组 基础巩固
1．（2022·陕西·长安一中高二期末（理））已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】通过构造函数，利用函数的单调性以及式子的结构特征进行分析.
【详解】因为，所以，
令，所以，对函数求导：
， 由有：，
由有：，所以在单调递增，在
单调递减，因为，由有：，
故A错误；
因为，所以，由有：，
故D错误；
因为，所以，
因为，所以，所以，故C正确；
令 有：
=，当，.所以
在单调递增，当时，，
即，又，所以，
因为，所以，因为在
内单调递减，所以，即，故B错误.
故选：C.
2．（2022·山东·邹城市第二中学高二阶段练习）已知函数，实数，满足，若，，使得成立，则的最大值为（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】B
【分析】利用导数法求出函数的最小值，再利用二次函数的性质求出最小值，结合已知条件及函数的图象即可求解.
【详解】因为，所以，
令，即，解得，
当时，；当时，；
所以在上单调递减；在上单调递增；
当时，取得最小值为，
，对称轴为，开口向下，
由二次函数的性质，
当时，取得最小值为.
令，即，解得或，
作两个函数的图象如图所示
由图可得：的最大值为
故选：B.
3．（2021·广东·新会陈经纶中学高三阶段练习）已知若对于任意两个不等的正实数、，都有恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，构造函数，分析可知函数在上为增函数，可知对任意的恒成立，利用参变量分离法可求得实数的取值范围.
【详解】不妨设，可得，可得，
令，则，
所以，函数在上为增函数，
对任意的恒成立，所以，，
当时，，当且仅当时，等号成立，
所以，.
故选：B.
4．（2022·安徽省舒城中学一模（理））已知函数．若对任意的，都存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先利用导数可求得的单调性及在，上的取值情况，再根据题意可得或，由此建立关于的不等式组，解出即可．
【详解】，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
且，
又对任意的，，都存在唯一的，，使得成立，
或，
又，，故，
，解得．
故选：C
5．（2022·全国·高三专题练习）若对于任意的，都有，则的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【分析】问题转化为，构造函数，易得在定义域上单调递增，所以在上恒成立，进而可求出的最大值．
【详解】解：，，
，
，
，
函数在定义域上单调递增，
在上恒成立，
由，解得，故的最大值是.
故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是将原式变形为，从而构造函数且在定义域上单调递增.
6．（2022·四川省资阳中学高二期中（理））已知函数，，若，t>0，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】首先由，，再结合函数函数的图象可知，，这样转化，利用导数求函数的最大值.
【详解】由题意得，，，即，，易得f(x)在(-∞，-1)上单调递减，在(-1，+∞)上单调递增，又当x∈(-∞，0)时，f(x)0，作函数的图象如图所示.由图可知，当t>0时，有唯一解，故，且，
∴.设，则，令解得t=e，易得在(0，e)上单调递增，在(e，+∞)上单调递减，∴，即的最大值为.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求函数的最值，本题的关键是观察与变形， ，并且由函数图象判断，只有一个零点，所以，这样后面的问题迎刃而解.
7．（2021·江苏·矿大附中高三阶段练习）已知函数，且有两个极值点，其中，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】的两个极值点是的两个根，根据韦达定理，确定的关系，用表示出，用表示出，求该函数的最小值即可.
【详解】解：的定义域，
，令，则必有两根，
，所以，
，
，
，
当时，，递减，
所以
的最小值为
故选：A.
【点睛】求二元函数的最小值通过二元之间的关系，转化为求一元函数的最小值，同时考查运算求解能力和转化化归的思想方法，中档题.
8．（2020·全国·高三专题练习（文））已知函数，若，，使得，且，则的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】C
【分析】首先利用导数分析函数的单调性，极大值和极小值，求出函数的极大值与极小值对应的值，即可求解.
【详解】 ，，
令，即，解得，，
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增.
在处取得极大值，极大值为；
在处取得极小值，极小值为.
令，即，即，解得（舍）或；
令，即，即，解得（舍）或；
的最大值为.
故选:C.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值问题，考查运算求解能力，求出函数的极大值与极小值是解决本题的关键，属于中档题.
9．（2020·广东东莞·高三阶段练习）已知函数满足对于任意，存在，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由函数在定义域单调递增，原不等式成立可转化为，通过研究函数的最值建立不等式求解即可得a的取值范围.
【详解】由函数在定义域单调递增，
对于任意，存在，使得成立，
即任意，存在，使得成立，
即满足，
令，
对称轴方程为，
在可得
令，
求导可得，
，可得，
在，，单调递增，
所以在，，
即，
解得，
故选C.
【点睛】本题为函数与导数的综合应用题，考查函数的单调性、导数的应用等知识点，解题的关键是将含有量词的不等式转化为求函数最值问题，再借助导数和函数的性质求解最值建立不等式即可，属于中等题.
10．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）若对任意的，，且，都有，则m的值可能是（ ）
A．B．C．D．1
【答案】BCD
【分析】将转化为，构造函数，利用导数求其单调递减区间即可.
【详解】，且，
则，整理得
设，则只需要在上单调递减即可，
，
令，解得，
则，
所以BCD符合，
故选：BCD.
B组 能力提升
11．（2022·全国·高二课时练习）若函数存在两个极值点，则的取值范围是__________．
【答案】
【分析】根据极值点定义可知为的两根，由可求得，并得到韦达定理的形式；结合韦达定理将化简为，令，利用导数可求得单调性，由此可得的范围，即为所求范围.
【详解】由题意知：的定义域为，，
有两个极值点，为的两根，
，又，解得：；，，
；
令，则，
当时，恒成立，在上单调递减，
，则的取值范围为.
故答案为：.
12．（2022·重庆市朝阳中学高二期中）已知函数，函数，若对任意的，存在，使得，则实数m的取值范围为______．
【答案】
【分析】理解题意，转化为最值问题求解
【详解】由题意得
，时，故在上单调递增，
，时，时
故在上单调递增，在上单调递减，
，解得
故答案为：
13．（2022·全国·高二）设函数，.若对任何，，恒成立，求的取值范围______.
【答案】14,+∞##k|k≥14
【分析】先把原不等式转化为恒成立，构造函数，利用恒成立，求出的取值范围.
【详解】因为对任何，，
所以对任何，，
所以在上为减函数.
，，
所以恒成立，即对恒成立，
所以，
所以.
即的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】恒（能）成立问题求参数的取值范围：
①参变分离，转化为不含参数的最值问题；
②不能参变分离，直接对参数讨论，研究的单调性及最值；
③特别地，个别情况下恒成立，可转换为（二者在同一处取得最值）.
14．（2022·江苏·常熟中学高二阶段练习）已知函数，若存在，，使得，则的取值范围是__________.
【答案】，．
【分析】由，得到，再研究函数的单调性，得到，将表示为的函数，然后利用换元法转化为二次函数求最值．
【详解】解：，，得，
，，
当时，，，
由，得，由，得，
在上单调递减，在上单调递增，
在处取得最小值，，
，
令，则，，
当时，取得最小值，当时，取得最大值0，
的取值范围是，．
故答案为：，．
15．（2021·江苏·高二专题练习）已知函数，，若对于任意，都有成立，则__________.
【答案】4
【分析】先求g(x)在上的最大值，再把题意转化为，f(x)≥2恒成立,再利用导数求f(x)在上的最小值建立不等式即可求解.
【详解】，
当时，，所以当x=1时，由，取得最大值.
因为对任意，都有成立，
所以，即，即对任意，恒成立，
所以，解得：.
，令解得：，
当时，有；当时，有；
当时，有；
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
于是，当时，
即，解得：a=4.
故答案为：4
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
(1)若，，总有成立，故；
(2)若，，有成立，故；
(3)若，，有成立，故；
(4)若，，有，则的值域是值域的子集 ．
16．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，当，恒成立，则的最大值为___________.
【答案】1
【分析】令，则，先由得，再由对恒成立得，，结合得，，往下证明时，存在实数使得对恒成立，即可说明的最大值为1.
【详解】令，则，，
当，恒成立，
则有，，
由得，
因为任意的，都有，所以，，
结合，得.
当时，，
令，，则，
由得，；由得，；
所以在上递减，在上递增，的最小值为，
由，得，对恒成立.
所以，
取，有恒成立.
综上可知，的最大值为1.
故答案为：1.
17．（2019·福建·莆田一中高三期中（文））已知函数，若且，则最大值为______.
【答案】2
【分析】先作出函数的图像如图，问题转化为到直线距离的最大值问题，此时需过点的切线与平行，然后利用导数可求出点的坐标，从而可求出结果
【详解】设，由，要使最大，即转化为求的最大值，问题转化为（如图所示）到直线距离的最大值问题，此时需过点的切线与平行，当时，，令，则，此时，所以的最大值为2
故答案为：2
【点睛】此题考查的是利用导数的几何意义求切线的切点，利用了数形结合的思想，属于中档题
18．（2020·江苏·模拟预测）已知函数，若有两个零点，则的取值范围______.
【答案】
【解析】先运用分段函数的解析式，得出的解析式，再利用导数求得函数的单调性区间,即可求得的取值范围.
【详解】当时,, , ,
当,
综上可知：,
则，有两个根，,(不妨设,
当时,，当时,,
令,则，，，，，,
设，, 所以, ，函数单调递减, ,
的值域为, 取值范围为,
故答案为：.
【点睛】本题考查分段函数的零点问题，关键在于讨论自变量的范围得出函数的表达式，再运用导函数得出函数的图象趋势，得出的函数解析式，属于难度题.
19．（2021·全国·高三专题练习）已知函数，对任意的，恒有成立，则的取值范围是_____．
【答案】
【分析】利用及函数的单调性求解两个函数的最值，然后结合已知条件列出不等式求解的范围即可
【详解】，当且仅当时取等号，因为，所以，由函数的单调性可得函数的最小值为：，
对任意的，求导可得，在上，，所以，该函数是减函数，所以函数的最大值为：，
函数，对任意的，恒有成立，可得，，
答案：
【点睛】本题考查利用函数的单调性求最值以及不等式恒成立问题，将不等式恒成立问题转化为求出函数的最值问题是解题的关键.
20．（2018·江苏·高三专题练习）函数，若对于区间上的任意，都有，则实数的最小值是_________．
【答案】20
【详解】试题分析：对于区间上的任意都有，等价于对于区间上的任意，都有，∵，∴，∵，∴函数在上单调递增，在上单调递减，∴∴，∴．
考点：利用导数求函数的单调性与最值．
【思路点睛】本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，对于区间上的任意都有，等价于对于区间上的任意，都有，利用导数确定函数的单调性，求最值，即可求出结果；本题正确求导，确定函数的最值是解题的关键．
21．（2017·内蒙古·赤峰二中高三阶段练习（文））已知函数，如果存在，使得对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是__________.
【答案】
【分析】利用导数判断函数在上的单调性，求出；直接求出.根据题意列不等式即可求出实数a的取值范围.
【详解】对于，求导可得.
当时，有，所以函数在上单调递减，
所以.
因为，
所以在上单调递增，
∴.
因为存在，使得对任意的，都有成立，
所以，解得： .
故答案为：