新高考数学二轮复习导数专项练习专题05 函数与方程（零点问题、嵌套函数）（2份，原卷版+解析版）

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零点问题涉及到函数与方程，但函数与方程是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系,方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标,函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0通过方程进行研究.就中学数学而言,函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：
①是借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：②是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性
质,达到化难为易,化繁为简的目的.
许多有关方程的问题可以用函数的方法解决,反之,许多函数问题也可以用方程的方法来解决.函数与方程的思想是中学数学的基本思想,也是各地模考和历年高考的重点.
二、考点梳理
1.确定函数f(x)零点个数(方程f(x)＝0的实根个数)的方法：
(1)判断二次函数f(x)在R上的零点个数，一般由对应的二次方程f(x)＝0的判别式Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0来完成；对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数，则要结合二次函数的图象进行判断．
(2)对于一般函数零点个数的判断，不仅要用到零点存在性定理，还必须结合函数的图象和性质才能确定，如三次函数的零点个数问题．
(3)若函数f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又f(a)·f(b)＜0，则y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一零点．
2.导数研究函数图象交点及零点问题
利用导数来探讨函数的图象与函数的图象的交点问题，有以下几个步骤：
①构造函数；
②求导；
③研究函数的单调性和极值（必要时要研究函数图象端点的极限情况）；
④画出函数的草图，观察与轴的交点情况，列不等式；
⑤解不等式得解.
探讨函数的零点个数，往往从函数的单调性和极值入手解决问题，结合零点存在性定理求解.
三、题型突破
重难点题型突破1 二分法
例1．（1）、（新疆疏勒县八一中学2018-2019学年高二上期末）
函数的一个零点所在的区间是( )
A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)
【答案】B
【解析】由题得，
，
所以
所以函数的一个零点所在的区间是.
故选：B
（2）、（2015·辽宁朝阳·一模（理）） 方程的解所在的区间为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】试题分析：因为方程的解就是函数的零点，
又因为
所以函数在区间内有零点，
又因为函数为定义域上的单调函数，所以函数的唯一零点在区间内，
所以方程的解所在的区间为
故选B.
考点：1、函数的零点与方程的根；2、对数函数.
【变式训练1-1】．（2019·浙江湖州高一期中）函数的零点所在的区间是（ ）
A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)
【答案】B
【解析】
函数是上的增函数,是上的增函数,
故函数是上的增函数.
,,
则时,;时,,
因为,所以函数在区间上存在零点.
故选:B.
【变式训练1-2】、（2010·黑龙江哈尔滨·一模（理））用二分法求函数的一个零点，根据参考数据，可得函数的一个零点的近似解（精确到）为（参考数据： ）
A．2.4B．2.5C．2.6D．2.56
【答案】C
【分析】根据零点存在性定理求解．
【详解】由题意可知：f（2.5）=lg2.5+2.5-3=0.398-0.50上单调递增，
，
函数f（x）零点所在的大致区间是；
故选B
【点睛】本题考查利用函数零点存在性定义定理求解函数的零点的范围，属于基础题；解题的关键是首先要判断函数的单调性，再根据零点存在的条件：已知函数在（a，b）连续，若 确定零点所在的区间.
2．（2017·河南·息县第一高级中学模拟预测（文））用二分法求方程在区间内的实根，取区间中点，则下一个有根区间是
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】试题分析：设，
f（2）=-1＜0，f（3）=16＞0，
f（2.5）=＞0，
f（x）零点所在的区间为[2，2.5]，
方程有根的区间是[2，2.5]，
考点：二分法求方程的近似解
3．（2022·黑龙江·大庆外国语学校高一开学考试）函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】结合函数的单调性，利用零点存在定理可判断出函数的零点所在的区间.
【详解】∵函数，
∴函数在上单调递增，
又，，，
故函数的零点所在区间为．
故选：C.
4．（2022·全国·模拟预测）已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】D
【分析】转化为两个函数图象的交点个数，作图求解
【详解】当时，，则；以此类推，当时，；…；
在平面直角坐标系中作出函数与的部分图象如图所示.
由图可知，与的图象有7个不同的交点
故选：D
5．（2021·陕西·安康市教学研究室一模（理））已知函数，若函数恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先将问题转化为曲线与恰有3个交点，然后利用导函数求与相切时的值，最后结合图像即可求解.
【详解】令，可得，
若函数恰有3个零点，则曲线与恰有3个交点，
函数的图象如图所示，易知，
由题意可知，，
当时，若函数与相切，且此时原点为切点，
由可知，，
当时，若函数与在处相切，
由可知，，
因为曲线与恰有3个交点，
所以结合图象可知，．
故选：A.
6．（2022·全国·模拟预测）已知函数，实数，是函数的零点，若，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由题意作出直线和函数的大致图象，得到，利用对称性得到，
把转化为，令，得到，利用对勾函数求出值域，得到答案.
【详解】由题意，作出直线和函数的大致图象如图所示，
易得，
且，（易错：注意，的范围不是）
由，即，
得，则，
所以，
令，则，，
所以.
因为在上单调递减函数，所以.
即.
故选：D
【点睛】数形结合法解决零点问题：
(1)零点个数：几个零点；
(2)几个零点的和通常利用对称性解决；
(3)几个零点的积 .
7．（2022·河北·模拟预测）已知函数若方程恰有四个不同的实数解，分别记为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】当时利用辅助角公式化简函数解析，再画出函数图象，不妨令，则，且与关于对称，再根据对数的运算得到，最后转化为关于的函数，结合对勾函数的性质计算可得；
【详解】解：，
当时
令，解得，当时，
当时，令，解得或，
令，解得或，
函数的图象如下所示：
因为方程恰有四个不同的实数解，即与恰有四个交点，所以，
不妨令，则，且与关于对称，所以，
又，即，所以，即，
所以，
所以，
因为在上单调递增，所以，
所以；
故选：A
8．（2022·贵州·贵阳一中模拟预测（文））已知函数则方程的根___________.
【答案】或2##2或-1
【分析】利用导数判断函数在上的单调性，结合零点存在性定理确定在上的解，再求方程的正根即可.
【详解】当时，，所以，
令，得，
当时，，
当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
故当时，有唯一根，
当时，，
令，解得（舍去）或2，
故当时，的根为2，
综上，根为或2.
故答案为：或2.
9．（2022·山西临汾·二模（理））已知函数有2个不同的零点，则k的取值范围是____________．
【答案】
【分析】将问题转化为关于的方程在区间内有两个不等的实根，于是画出曲线与直线的图象，结合图象求解即可
【详解】因为函数有2个不同的零点，
所以关于的方程在区间内有两个不等的实根，
即曲线（圆的上半部分）与经过定点的直线有两个不同的交点，如图
过作圆的切线，则点到切线的距离，
解得（舍去）或，
所以，得，
即k的取值范围是，
故答案为：
10．（2022·湖南益阳·一模）已知函数，若且，则的最小值为_________.
【答案】##
【分析】根据函数解析式画出函数图形，即可得到，再根据将转化为，再构造函数，，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最大值，即可得解；
【详解】解：由，可得函数图象如下所示：
因为且，所以，且，所以，令，，则，所以当时，当时，即在上单调递增，在上单调递减，所以；
故答案为：
11．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）设，，若关于的方程恰有三个不同的实数解、、，且，则的值为________．
【答案】##
【分析】分析可知，函数为偶函数，可得出，然后分、、解方程，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得解.
【详解】设，该函数的定义域为，
，故函数为偶函数，
所以，关于的方程的三个实数解必关于数轴的坐标原点对称分布，
必有，以下求方程的实数解.
当时，，
当且仅当时，等号成立；
当时，单调递增，
且当时，；
因为函数为上的偶函数，当时，单调递减，
当时，.
从而方程恰有三个实数解，，，
由条件知，解得，，因此，.
故答案为：.
B卷 能力提升
12．（2022·贵州·贵阳一中模拟预测（文））已知函数则方程的根___________.
【答案】或2##2或-1
【分析】利用导数判断函数在上的单调性，结合零点存在性定理确定在上的解，再求方程的正根即可.
【详解】当时，，所以，
令，得，
当时，，
当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
故当时，有唯一根，
当时，，
令，解得（舍去）或2，
故当时，的根为2，
综上，根为或2.
故答案为：或2.
13．（2022·山西临汾·二模（理））已知函数有2个不同的零点，则k的取值范围是____________．
【答案】
【分析】将问题转化为关于的方程在区间内有两个不等的实根，于是画出曲线与直线的图象，结合图象求解即可
【详解】因为函数有2个不同的零点，
所以关于的方程在区间内有两个不等的实根，
即曲线（圆的上半部分）与经过定点的直线有两个不同的交点，如图
过作圆的切线，则点到切线的距离，
解得（舍去）或，
所以，得，
即k的取值范围是，
故答案为：
14．（2021·四川省绵阳南山中学模拟预测（理））已知函数，若方程有四个不同的根，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】在时，求出的范围，再将方程的根转化为直线与函数图象交点横坐标，然后分段计算即可得解.
【详解】依题意，当时，在上单调递减，，当时，在上单调递增，，而，
当时，，，
方程有四个不同的根，即直线与函数图象有4个交点，如图，
其交点横坐标为，不妨令，观察图象知，，，
由得，即，则，
由，即得：是方程的两个不等实根，
于是得，，则，而在上是递增的，，
因此，，
所以的取值范围是.
故答案为：
15．（2021·全国·模拟预测（文））已知函数的定义域为，为单调函数且对任意的都有，若方程有两解，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】由题意得，方程化简得，变形得，构造函数，利用导数研究函数的单调性及最值，作出图像，数形结合可得解.
【详解】令，则，所以，
又，所以，解得，可得
方程化简得，变形得
令，求导，令，解得
当时，，函数是单调增函数；
当时，，函数是单调减函数；
所以当时，函数有最大值，当时，；当时，
作出函数的图像，如图所示
由图可知，实数的取值范围是
故答案为：
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
16．（2021·全国·模拟预测（文））方程的实数根的个数为___________.
【答案】
【分析】转化为函数的图象与函数的图象的交点个数，画出函数与的大致图象可得答案.
【详解】显然不是方程的实数根，所以方程的实数根的个数等于函数的图象与函数的图象的交点个数，画出函数与的大致图象，如下图所示，所以函数的图象与函数的图象的交点个数为，所以方程的实数根的个数为，
故答案为：.
【递减】本题的关键点是转化为函数的图象与函数的图象的交点个数，考查了学生转化与数形结合的能力.
17．（2021·江西萍乡·二模（理））已知函数，若存在三个互不相同的实数，，，满足，则的取值范围是__________．
【答案】
【分析】利用图像法作出a、b、c对应位置，计算出ab=1，即可求出的取值范围.
【详解】如图示：
记，在坐标系内作出和的图像，三个交点的横坐标从左到右依次记为a、b、c，则有，且，
所以，所以，即，所以.
所以
故答案为：
【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
18．（2021·贵州毕节·模拟预测（理））已知函数，关于x的方程恰有5个不同实数解，则实数____.
【答案】
【分析】首先画出函数的图象，根据题设条件和函数的图象，令，转化为关于的方程有一个根为1，另外一个根为0或大于1，分类讨论，即可求解.
【详解】由题意，函数，画出函数的图象，如图所示，
当时，方程有2个实数根；
当时，方程有3个实数根；
当时，方程有2个实数根；
当时，方程有4个实数根，
令，则关于 的方程，
转化为关于的方程有一个根为1，另外一个根为0或大于1，
令，可得，解得或；
当时，方程即为，此时或，不合题意；
当时，方程即为，此时或，满足题意，
综上可得：.
故答案为：
19．（2021·贵州毕节·模拟预测（文））已知函数关于x的方程恰有5个不同实数解，则实数b=___________.
【答案】-1
【分析】先画出的图像，令，分析的根的情况，由题意分析关于x的方程恰有5个不同实数解，只需关于t的一元二次方程的一个根为t=1，另一个根为0或另一个根大于1， 分类讨论，求出b的值.
【详解】
作出的图像如图所示：
令，
当时，由2个实数根；
当时，由3个实数根；
当时，由2个实数根；
当时，由4个实数根，
可化为，
要使关于x的方程恰有5个不同实数解，
只需关于t的一元二次方程的一个根为t=1，另一个根为0或另一个根大于1.
把t=1代入，解得：或.
当时，方程即为，此时，或，不合题意；
当时，方程即为，此时，或，满足题意；
综上所述：
故答案为：-1.
【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
20．（2020·全国·模拟预测（文））已知函数若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】把函数的零点问题转化为方程的根的问题，变换方程的形式，转化为两条曲线的交点问题，研究两条曲线的特征，确定实数的取值范围.
【详解】解：函数有两个不同的零点，等价于方程有两个不同的根，即方程有两个不同的根，等价于函数与函数的图象有两个不同的交点.
因为所以，
作出函数与的大致图象如图所示.数形结合可知，
当时，两个函数的图象有两个不同的交点，即函数有两个不同的零点，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解决此类问题需注意以下几点：（1）会转化，即会将函数的零点问题转化为方程的根的问题，再转化为曲线的交点问题；（2）会作图，即会根据基本初等函数的图象或利用导数画出相关函数的大致图象；（3）会观察，即会利用数形结合思想观察得到参数的取值范围.
21．（2018·湖北·二模（文））已知函数，若关于的方程有两个不等实数根，则的取值范围为__________．
【答案】
【详解】，易知的图象如下：
，
令，则，得，
当有两个不等实根是，则，
所以，即的取值范围是．