新高考数学二轮复习导数专项练习专题10 分类讨论法（2份，原卷版+解析版）

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【函数与导数解题策略】：
①分离参数＋函数最值； ②直接化为最值＋分类讨论；
③缩小范围＋证明不等式；④分离函数＋数形结合。
通过讨论函数的单调性及最值，直接化为最值的优点是函数结构简单，是不等式恒成立的通性通法，高考参考答案一般都是以这种解法给出，缺点是一般需要分类讨论，解题过程较长，解题层级数较多，不易掌握分类标准。
重难点题型突破1 基本类型（）
例1、（2022·江西省丰城中学高三开学考试（理））已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)时，设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围.
例2、（2021·辽宁·高三月考）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若曲线的一条切线的斜率为，求与曲线的公共点的坐标.
例3、（2021·河北·高三月考）设函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若直线与函数的图象交于、两点，线段的中点为，求证：．
例4、（2022·江西赣州·高三期中（理））已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若对任意的，都有，求实数的取值范围．
重难点题型突破2 函数零点的大小情况分类
例5、（2019·北京市顺义区第一中学高三期中）已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）当时，求证：在上是增函数；
（3）求证：当时，对任意，．
例6、（2022·重庆八中高三阶段练习）已知函数.
(1)若函数在定义域内单调递增，求a的取值范围；
(2)若，在上恒成立，求整数k的最大值.（参考数据：，）
例7、（2021·河南中原·模拟预测）已知函数.
(1)求函数的单调区间和极值；
(2)若函数满足，且过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围.
例8、（2021·安徽·合肥一中高三月考（理））已知函数，，…为自然对数的底数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，，求实数的取值范围.
重难点题型突破3 二次函数类型（）
例9、（2022·江西·萍乡市第二中学高三阶段练习（理））已知函数.
(1)当时，求在上的最值；
(2)曲线与轴有且只有一个公共点，求的取值范围.
例10．（2021·陕西渭南·高三月考）已知函数.
（1）当时，求的图象在点处的切线方程.
（2）讨论的单调性；
（3）若，证明：.
例11、（2021·湖南·临澧县第一中学高三月考）已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）设 有两个不同的零点，且，证明：.
例12、（2023·全国·模拟预测（理））已知函数．
(1)求的极值；
(2)当时，总有，求实数a的取值范围．
重难点题型突破4 其他综合情况
例13．（2022·甘肃·高台县第一中学高三阶段练习（文））已知实数满足，设函数．
(1)当时，求的极小值；
(2)若函数与的极小值点相等，证明：的极大值不大于．
例14．（2021·河南许昌·高三月考（文））已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若在区间上恒成立，求实数的取值范围.
例15、（2021·全国·高二单元测试）已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）设有两个极值点，，若恒成立，求实数m的取值范围．
例16、（2022·全国·高三阶段练习（文））已知且.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，求证：.
1．（2021·广西南宁·模拟预测（理））已知函数．
（1）讨论的单调性．
（2）设，若恒成立，求a的取值范围．
2．（2021·贵州·贵阳一中高三月考（理））已知函数（其中e为自然对数的底数，a为常数）．
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：当函数有极大值，且极大值为a时，若方程（m为常数）有两个不等实根则.
3．（2021·贵州·贵阳一中高三月考（文））已知函数（其中e为自然对数的底数，a为常数）.
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：当函数有极大值，且极大值为a时，恒成立.
4．（2021·云南·曲靖一中高三月考（理））已知函数.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）是否存在实数a 使得f（x）≥0恒成立，若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.
5．（2021·河南·高三月考（理））已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，且当时恒成立，求的最大值.
6．（2021·江苏·苏州市相城区陆慕高级中学高三月考）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求a的取值范围；
（3）满足（2）的条件下，记两个零点分别为，证明：
7．（2021·河南·高三月考（理））已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若有两个极值点，，设点，，直线与的交点在曲线上，求实数的值.
8．（2021·黑龙江·哈尔滨市第六中学校模拟预测（理））已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若恒成立，求正实数的取值范围.
9．（2021·云南五华·模拟预测（理））已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若恰有三个零点，求的取值范围.
10．（2021·福建·模拟预测）记函数，，其导函数为．
（1）讨论的单调性．
（2）当时，设，，．点在线段上（不含端点）且．证明：．
11．（2022·广西北海·一模（文））已知函数，其中.
(1)当时，求在处的切线方程：
(2)当且时，存在一个极小值点，若.求实数的取值范围.
12．（2022·四川雅安·模拟预测（文））已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)若时，求证：．
13．（2018·全国·高考真题（理））已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点，证明：．
14．（2019·全国·高考真题（理））已知函数，为的导数．证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有2个零点．