新高考数学二轮复习导数专项练习专题13 恒成立问题（2份，原卷版+解析版）

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①分离参数＋函数最值
②直接化为最值＋分类讨论；
③缩小范围＋证明不等式；
④分离函数＋数形结合（）。
通过讨论函数的单调性及最值，直接化为最值的优点是函数结构简单，是不等式恒成立的通性通法，高考参考答案一般都是以这种解法给出，缺点是一般需要分类讨论，解题过程较长，解题层级数较多，不易掌握分类标准。
一、分离参数法
1、参变分离：顾名思义，就是在不等式中含有两个字母时（一个视为变量，另一个视为参数），可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧，即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式.然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围
2、如何确定变量与参数：一般情况下，那个字母的范围已知，就将其视为变量，构造关于它的函数，另一个字母（一般为所求）视为参数.
3、参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则：
（1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行.但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法.例如：，等
（2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题.（可参见”恒成立问题——最值分析法“中的相关题目）
4、参变分离后会出现的情况及处理方法：（假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式）
（1）若的值域为
①，则只需要
，则只需要
②，则只需要
，则只需要
③，则只需要
，则只需要
④，则只需要
，则只需要
（2）若的值域为
① ，则只需要
，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）
② ，则只需要
，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）
③ ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）
，则只需要
④ ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）
，则只需要x/k-+w
5、多变量恒成立问题：对于含两个以上字母（通常为3个）的恒成立不等式，先观察好哪些字母的范围已知（作为变量），那个是所求的参数，然后通常有两种方式处理
（1）选择一个已知变量，与所求参数放在一起与另一变量进行分离.则不含参数的一侧可以解出最值（同时消去一元），进而多变量恒成立问题就转化为传统的恒成立问题了.
（2）将参数与变量进行分离，即不等号一侧只含有参数，另一侧是双变量的表达式，然后按所需求得双变量表达式的最值即可.
二、数形结合法
1、函数的不等关系与图象特征：
（1）若，均有的图象始终在的下方
（2）若，均有的图象始终在的上方
2、在作图前，可利用不等式的性质对恒成立不等式进行变形，转化为两个可作图的函数
3、要了解所求参数在图象中扮演的角色，如斜率，截距等
4、作图时可“先静再动”，先作常系数的函数的图象，再做含参数函数的图象（往往随参数的不同取值而发生变化）
5、在作图时，要注意草图的信息点尽量完备
6、什么情况下会考虑到数形结合？利用数形结合解决恒成立问题，往往具备以下几个特点：
（1）所给的不等式运用代数手段变形比较复杂，比如分段函数，或者定义域含参等，而涉及的函数便于直接作图或是利用图象变换作图
（2）所求的参数在图象中具备一定的几何含义
（3）题目中所给的条件大都能翻译成图象上的特征
不等式恒成立问题常见处理方法：① 分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）；② 数形结合(图象在 上方即可)；③ 最值法：讨论最值或恒成立；④ 讨论参数. 最值法求解恒成立问题是三种方法中最为复杂的一种，但往往会用在解决导数综合题目中的恒成立问题.此方法考查学生对所给函数的性质的了解，以及对含参问题分类讨论的基本功.是函数与导数中的难点问题，下面通过典型例题总结此类问题的解法----最值分析法.
三、最值分析法
1、最值法的特点：
（1）构造函数时往往将参数与自变量放在不等号的一侧，整体视为一个函数，其函数含参
（2）参数往往会出现在导函数中，进而参数不同的取值会对原函数的单调性产生影响——可能经历分类讨论
2、理论基础：设的定义域为
（1）若，均有（其中为常数），则
（2）若，均有（其中为常数），则
3、技巧与方法：
（1）最值法解决恒成立问题会导致所构造的函数中有参数，进而不易分析函数的单调区间，所以在使用最值法之前可先做好以下准备工作：
① 观察函数的零点是否便于猜出（注意边界点的值）
② 缩小参数与自变量的范围：
通过代入一些特殊值能否缩小所求参数的讨论范围（便于单调性分析）
观察在定义域中是否包含一个恒成立的区间（即无论参数取何值，不等式均成立），缩小自变量的取值范围
（2）首先要明确导函数对原函数的作用：即导函数的符号决定原函数的单调性.如果所构造的函数，其导数结构比较复杂不易分析出单调性，则可把需要判断符号的式子拿出来构造一个新函数，再想办法解决其符号.
（3）在考虑函数最值时，除了依靠单调性，也可根据最值点的出处，即“只有边界点与极值点才是最值点的候选点”，所以有的讨论点就集中在“极值点”是否落在定义域内.
一、二次函数的恒成立问题
1、一元二次不等式在实数集上的恒成立
（1）、不等式对任意实数恒成立⇔或
（2）、不等式对任意实数恒成立⇔或
【注意】对于二次不等式恒成立问题，
恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方；
恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方．
2、一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题求解方法
方法一：若在集合中恒成立，即集合是不等式的解集的子集，
可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值（或范围）；
方法二：转化为函数范围问题，即已知函数的范围为，
则恒成立⇒，即；恒成立⇒，即．
例1.（1）、（2022·吉林省实验中学高一阶段练习）“不等式在R上恒成立”的充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】不等式在R上恒成立 ，即，
因为，但不能推出成立，
故是不等式在R上恒成立的充分不必要条件，
故选：A
（2）、（2022·全国·高一课时练习）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】因为关于的不等式在上有解，
的最大值为4
所以，解得
故答案为：
【变式训练1-1】、（2022·上海市青浦区第一中学高一阶段练习）已知对于任意实数恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】当时，不恒成立；
当时，，所以；
综上，.
故选：
【变式训练1-2】、（2022·全国·高一课时练习）若关于的不等式有解，则实数的取值范围是
A．或B．
C．或D．
【答案】A
【解析】因为关于的不等式有解，所以，解得或.
故选A．
二、分离参数法
例2.已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】最大值,因为当时
令
因此,由因为为偶函数,所以最大值为, ,选C.
【变式训练2-1】、若函数（且）在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意，不妨设，则，由时为减函数，即，又在上为单调递增，所以，所以，而此时函数为增函数，一减一增为减，故不合题意；
同理由时为增函数，即，又在上为单调递增，所以，所以，而当时，函数为增函数，因此当时，同增为增，满足题意.故选D.
例3、（2020年高考全国Ⅰ卷文数20）已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
【答案】（1）减区间为，增区间为；（2）．
【分析】（1）将代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调增区间和减区间；
（2）若有两个零点，即有两个解，将其转化为有两个解，令，求导研究函数图像的走向，从而求得结果．
【解析】（1）当时，，，
令，解得，令，解得，
∴的减区间为，增区间为．
（2）若有两个零点，即有两个解，从方程可知，不成立，即有两个解．
令，则有，
令，解得，令，解得或，
∴函数在和上单调递减，在上单调递增，且当时，，而时，，当时，，∴当有两个解时，有，∴满足条件的的取值范围是：．
【变式训练3-1】、已知函数，．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当a=1时，若不等式恒成立，求m的取值范围．
【试题来源】河南省名校联盟2021-2022学年高三下学期2月大联考
【答案】（1）答案见解析，（2）
【解析】（1）的定义域为， ，
当时，，f（x）单调递减；
当a>0时，令，解得，
所以当时，，f（x）单调递减，
当时，，f（x）单调递增，
综上，当时，f（x）在上单调递减；当a>0时，f（x）在上单调递减，在上单调递增．
（2）当a=1时，，
所以不等式恒成立等价于在恒成立，
即只需，
记，则，
当时，，所以h（x）单调递减，当时，，所以h（x）单调递增，所以，所以，即，当且仅当x=0时取等号．
因为，当且仅当时取等号．
所以，从而，所以，
所以，所以m的取值范围为．
三、数形结合法
例4.（江西省萍乡市2021届高三上期数学期中复习试卷）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】作出函数的图象，利用数形结合的思想判断的范围，找出临界点即相切时的取值，进而得出的范围．
【详解】作出的图象，如图，
由图象可知：
要使恒成立，
只需函数的图象恒在图象的下方，
可得，
设与函数相切于点，
由的导数为，可得切线的斜率为，
即有，，
解得，
由图象可得，
综上可得的范围是，．
故选：A
【变式训练4-1】、已知函数在上不单调，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】已知函数定义域为，
，
，令，图象如图，
∵函数在上不单调，
∴区间在零点1或3的两侧，
或，
解得或.
即实数的取值范围是.
点睛：利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，注意单调函数的充要条件，尤其对于已知单调性求参数值(范围)时，隐含恒成立思想
【变式训练4-2】、若不等式对于任意的都成立，则实数的取值范围是___________
【答案】
【解析】本题选择数形结合，可先作出在的图象，扮演的角色为对数的底数，决定函数的增减，根据不等关系可得，观察图象进一步可得只需时，，即，所以
四、最值分析法
例5.（山东省泰安肥城市2021届高三高考适应性训练）已知函数，，若，且对任意恒成立，则的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】
由不等式，参变分离为，转化为求函数，的最小值，利用导数求函数的最小值.
【详解】
，即.由于对任意恒成立，
所以，即.令，，.
令，，
所以在上单调递增，所以，可得，所以在上单调递增.
所以.
又，所以.
故选：B.
【变式训练5-1】、（广西柳州市2021届高三摸底考试）已知函数，若存在，使得成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
分析函数的最小值，只需使成立即可．
【详解】
当时，，根据二次函数的性质可知，当时，有最小值；
当时，，由得
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以最小值为，则
若存在，使得成立，则
所以，解得
故选：A．
例6．（2022·山东临沂·三模）已知函数，其图象在处的切线过点．
(1)求a的值；
(2)讨论的单调性；
(3)若，关于x的不等式在区间上恒成立，求的取值范围．
【解】(1)解：因为函数，
所以，，
则，
所以函在处的切线方程为，
又因为切线过点，
所以，
即，解得；
(2)由（1）知；，则，
令，则，
当时，，当时，，
所以
即当时，，当时，，
所以在上递增，在上递增；
(3)因为x的不等式在区间上恒成立，
所以在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
因为在上递增，
所以在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
令，则，
当时，，当时，，
所以当时，取得最大值，
所以.
【变式训练6-1】、已知函数，其中为自然对数的底数．
（1）求函数的单调区间；
（2）记，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【试题来源】四川省南充高级中学2021-2022学年高三上学期月考四
【答案】（1）答案见解析，（2）
【解析】（1）函数的定义域为，．
①当时，，此时函数在上单调递增；
②当时，当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增．
综上所述，当时，函数的单调递增区间为，无递减区间；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）不等式恒成立，即恒成立，
若，则有对任意的恒成立，合乎题意；
当时，则，令，其中，，
令，其中，则，
所以，函数在上单调递减，且，
当时，，即，此时函数单调递增，
当时，，即，此时函数单调递减，
所以，，
因为函数的值域为，从而可知函数的值域为，
此时，，解得；
若，则，因为函数无最小值，不合乎题意．
综上所述，．
五、讨论参数
例7．（1）、（2022·江苏扬州·模拟预测）已知为正整数，若对任意，不等式成立，则的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】因为对恒成立，令，
当时，在上单调递减，时，，不满足题意；
当时，恒成立；
当时，，所以在上递增，在上递减，，设，，所以在上递减，在上递增，，而成立，成立，，．
故选：B.
（2）、（2022·广东广州·三模）对于任意都有，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】，令，
则，所以在上单调递减，在上单调递减，
所以，所以，
所以转化为：，令，，
①当时，，所以在上单调递增，所以
，所以.
②当时，您，所以，
（i）当即时，
，所以在上单调递增，，所以.
(ii)当即时，
在上单调递减，在上单调递增，，
所以，所以.
综上，的取值范围为：.
故选：B.
【变式训练7-1】、（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）已知且，若任意，不等式均恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题设，，令，则恒成立，
令，则，，
当时，递减；当时，递增；
所以，故递增，
当，即时，，不合题意；
当，即时，要使恒成立，则恒成立，
令且，则，，
当时，递减；当时，递增；
所以，故在上递增，而，
此时时，即恒成立.
综上，的取值范围为.
故选：A
例8．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，函数恒成立，求实数取值范围．
【试题来源】“四省八校”2022 届高三下学期开学考试
【答案】（1）答案见解析，（2）
【解析】（1）函数的定义域为，
①当时，则，所以在上单调递增；
②当时，则由知，由知，
所以在上单调递增，在上单调递减；
综上，当时，的单调递增区间为，
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）由题意知恒成立，
而，
由，得，
令，则．
①若，，则在上单调递增，故，
所以在上单调递增，所以，
从而，不符合题意；
②若，则，当时，，在上单调递增，
从而，所以在在单调递增，所以，不符合题意；
③若，则，在上恒成立，
所以在上单调递减，，
从而在上单调递减，所以，所以恒成立．
综上所述，的取值范围是．
【名师点睛】本题考查利用函数不等式恒成立求参数，本题涉及端点效应，一般的解题思路就是对参数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在定义域上的单调性，验证对应的不等式能否恒成，由此求解．
【变式训练8-1】、已知函数，e为自然对数的底数．
（1）求函数的极值；
（2）若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围．
【试题来源】2022年高三数学新高考测评卷（猜题卷三）
【答案】（1）当时，无极值；当时，的极小值为，无极大值；（2）
【解析】（1）因为，所以，
（点拨：导函数中含有参数，需要注意对参数分类讨论）
当时，，单调递增，函数无极值．
当时，令，得，得，易知当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以的极小值为，无极大值．
综上，当时，无极值；当时，的极小值为，无极大值．
（2）解法一 ： 由得，，
整理得．
令，则，，
当时，，单调递增，
且当时，，不满足题意．
当时，，满足题意．
当时，令，
则，所以函数在上单调递增，
而，且当时，，
所以在上存在唯一的，使得，即，（技巧：利用零点存在定理判断）
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以．
令，则，
所以函数在上单调递减，又，所以．
又，所以．
综上，实数a的取值范围为．（分类讨论后，注意整合结论）
解法二 由得，，
整理得．
令，
则，，
当时，，单调递增，
且当时，，不满足题意．
当时，，满足题意．
当时，得．（技巧：分离参数，构造函数）令，
则，
令，则，（点拨：一次求导之后，无法判断导函数的符号时，要构造函数，进行二次分析）
所以单调递减，又，
故当时，，即，单调递增，
当时，，即，单调递减，
所以，所以，得．
综上，实数a的取值范围为．
解法三 由得，，
整理得．
令，
则，，当时，，单调递增，
且当时，，不满足题意．
当时，，满足题意．
当时，由，得．
现在证明当时，．
因为，所以，
令，则，
易知单调递增，且，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，所以恒成立，
得恒成立．
综上，实数a的取值范围为．
1．（2022·全国·高一）已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】∵关于的不等式在上恒成立，
∴，
解得：.
故选：B．
2．（2022·全国·高一课时练习）若不等式在上有解，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以不等式化为，
又在上单调递减，所以当时，有最小值．所以a的取值范围是．
故选：B．
3．（2020辽宁省沈阳市2019届高三一模）已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先证明恒成立，得函数在上递减，即当时，恒成立，问题转化为恒成立，即可求出a的范围．
【详解】
设则，当时，
所以在上递增，得
所以当时，恒成立.
若不等式在上恒成立，得函数在上递减，
即当时，恒成立，所以
即，可得恒成立，因为,所以，
故选．
4．（黑龙江省大庆铁人中学2021届高三第三次模拟）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
将函数在区间内存在单调递增区间，转化在区间成立，再转化为，进而可求出结果.
【详解】
因为函数在区间内存在单调递增区间，
所以在区间上成立，
即在区间上成立，
又函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
故当时最小，且，
即，得.
故选：D
5．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为_______________ .
【答案】
【解析】不等式可化为： ，即.
记.
因为，所以当时，，所以在上单调递增函数，所以当时，，即.
记，则.
因为，所以只需在上递增，
所以，
只需恒成立.
因为在单调递减，所以当时，最大，
所以.
即实数的取值范围为.
故答案为：.
6．（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）已知.设实数，若对任意的正实数，不等式恒成立，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】因为仅在时取等号，
故为R上的单调递增函数，
故由设实数，对任意的正实数，不等式恒成立，
可得，恒成立，
，即恒成立，
当时，，恒成立，
当时，
构造函数，恒成立，
当时，递增，则不等式恒成立等价于恒成立，
即恒成立，故需，
设，，
在，上递增，在，递减，
，故的最小值为 ，
故答案为：
7．（山西省运城市2021届高三检测）当时，不等式恒成立，则实数k的取值范围是__．
【答案】
【分析】
由题意可得对恒成立，讨论，，，运用参数分离和构造函数，利用导数判断单调性，求最值，可得所求范围．
【详解】当时，不等式恒成立，
即为对恒成立，
①当即时，恒成立；
②当，即时，恒成立，
等价为，
设，
，
可得时，，递增；时，，递减，
可得在处取得最大值，且为，
则；
③当，即时，恒成立，
等价为，
设，，
可得时，，递减，
可得，
则，
综上可得，k的范围是．
【点睛】
本题考查不等式恒成立问题解法，参变分离是常用的解题方法，属于中档题．
方法点睛：（1）将参数和变量分离，转化为求最值问题；
（2）构造函数，求导数，分析单调性；
（3）求函数的最值，求出参数的范围.
8.（T8联考八校2020-2021学年高三上学期第一次联考）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为______.
【答案】
【分析】
根据恒成立，可得到含有的不等式，再进行分离变量，将“恒成立”’转化为求函数的最大值或最小值，最后得出的范围.
【详解】
，则，
两边加上得到，
单调递增，，即，
令，则，因为的定义域为
时，，单调递增，，，单调递减，
，
.
故答案为：
9.（浙江省百校2020-2021学年高三上学期12月联考）已知，若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为______.
【答案】
【分析】
不等式等价变形，利用同构函数的单调性得解
【详解】
令，，
∴在上单调递增.∵，，
∴，∴恒成立，
令，只需，，
∴单调递增，
∴单调递减，
时，的最大值为，
∴，∴的最小值为.
故答案为：
10.（河北省部分学校2022届高三上学期第一次月考）已知函数在上单调递增，则的取值范围是____________.
【答案】
【分析】
求出函数的导函数，再由恒成立即可得解.
【详解】
依题意：，因函数在上单调递增，
于是得对恒成立，则，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：
11.已知函数的定义域为，且.若对任意，，则的解集为__________.
【答案】
【分析】
构造函数，利用导数研究函数的单调性即可求解.
【详解】令，则，
因为对任意，，
所以，
所以在上为增函数，
又，
所以，
所以时，即， ，可得，
所以的解集为，
故答案为：.
12.（浙江省宁波市北仑中学2021-2022学年高三上学期返校考试）设函数，若不等式对任意恒成立，则的最大值为______________．
【答案】
【分析】
根据转化成两个函数比较大小的问题.
【详解】
不等式对任意恒成立,即，恒成立，
设
所以在单调递增，且，当时
当时
作出的图像如图，
再设，当可得表示过点，斜率为的一条射线（不含端点），要求的最大值且满足不等式恒成立，可求的最大值，由点在轴上方移动，只需找到合适的，且与图像相切于点，如图所示，此时
故答案为：
13.（贵州省铜仁市思南中学2021届高三第十次月考）已知函数存在极大值.
（1）求实数的值；
（2）若函数有两个零点，，求实数的取值范围，并证明：.
【答案】（1）；（2），证明见解析.
【分析】
（1）利用的极大值为方程，由此求得的值.
（2）根据的单调性求得的取值范围.由列方程，得到，将要证明转化为证明对恒成立，结合构造函数法以及导数证得结论成立.
【详解】
（1），
，令，，
此时，在上，递增；在上，递减，所以当时，取得极大值为符合题意，所以.
（2）由（1）知：在上递增，在上递减，极大值为.
，，当时，；当时，；当时，.
由于函数有两个零点，，
所以.
因为，是的两个零点，则.
所以，，，两边取对数得，
要证，只需证明，
即证，不妨设，令，则，
即证对恒成立.
令，，
所以在上递增，所以，即，
所以.从而成立.
【点睛】
根据极值求参数，要注意验证函数的单调性是否满足.
14．（一题多解）（2022·海南中学高三阶段练习）已知函数.
(1)若，求的单调区间；
(2)是否存在实数a，使对恒成立，若存在，求出a的值或取值范围；若不存在，请说明理由.
【解】(1)因为，
所以，
即.
当时，，
令，则，
所以在单调递增，因为，
所以，当时，，；当时，，，
所以的单调递减区间是，单调递增区间是.
(2)法一：设，则，
①当时，，，即，
故不符合题意.
②当时，
当时，.·
令，即，
取，则，即，.
故不符合题意.
③当时，令，，则，
故在单调递增.
因为，，
所以存在唯一的使得，
所以，时，，；时，，，
故在单调递减，在单调递增.
所以的最小值为，
因为，即，两边取对数得，
所以.
令，则，
所以在单调递增，在单调递减，
故，当且仅当时，等号成立，
故当且仅当时，在恒成立，
综上，存在a符合题意，.
法二：设，则，
设，易知在单调递增，
①当时，因为，，
所以存在唯一，使得，即，.
所以当，，即，单调递减；
当，，即，单调递增.
故，即，符合题意.
②当时，，，
所以存在唯一，使得，
所以当，，即，单调递减，
故，即，故不符合题意.
③当时，，，
所以存在唯一，使得，
所以当，，即.
所以在单调递增，故，即，
故不符合题意.
④当时，，不符合题意.
⑤当时，，不符合题意.
综上，存在a符合题意，.
法三：①当时，，故在上单调递增.
因为在单调递增，且，，
故存在唯一，使得，即，
即，故，
所以任意，都有.
故不符合题意.
②当时，，
对于函数，.
所以时，；时，.
所以在单调递减，在单调递增，
故，所以，
故，故符合题意.
③当且时，对于函数，
因为在单调递增，且，，
所以存在，使得，即，
所以.
令，则，
故在单调递增，在单调递减.
故，当且仅当时，“=”成立.
所以当时，，即，，
故不符合题意.
综上，存在a符合题意，.
法四：设，，易知在单调递增.又当时，，所以的值域为；
当时，的值域为.
所以的值域为.
故对于上任意一个值，都有唯一的一个正数，使得.
因为，即.
设，，所以要使，只需.
当时，因为，即，所以不符合题意.
当时，当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增.
所以.
设，，
则，当时，，在单调递增；
当时，，在单调递减.
所以，所以，，当且仅当时，等号成立.
又因为，所以，所以.
综上，存在a符合题意，.
15．已知，设函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若恒成立，求实数a的取值范围．
【试题来源】四川省树德中学2021-2022学年高三下学期开学考试
【答案】（1）答案见解析，（2）.
【解析】（1），且；
① ，，单调递增：
② ，，单调递减：
③ ，，
时，，单调递减；
时，，单调递增；
（2），由定义域可知，
即，令，
则，令，可得，
当时，，由于的定义域为，
，则在单调递减，
则只需满足，所以，解得，所以；
当时，时，，时，
可得在单调递增，在单调递减，
则，
整理可得，
令，则，
时，，时，
则可得在单调递增，在单调递减，
则，故时，恒成立，
综上，.
16．已知函数，．
（1）若在点处的切线与在点处的切线互相平行，求实数的值；
（2）若对，恒成立，求实数的取值范围．
【试题来源】百师联盟（山东省新高考卷）2021-2022学年高三下学期开年摸底联考
【答案】（1），（2）
【解析】（1）由题意，函数，可得，所以，
又由函数，可得，所以，
因为在点处的切线与在点处的切线互相平行，可得，
因为，所以．
（2）由得，即，
即，
设，则，，
由，设，可得，
所以时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
所以在上单调递增，所以对恒成立，
即对恒成立，
设，则，
当时， ，单调递增；
当时， ，单调递减，
所以，故，
所以实数的取值范围为．
【名师点睛】解决本题的关键是利用同构结合函数的单调性转化不等式为．
17．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，恒成立，求a的取值范围．
【试题来源】河南省名校联盟2021-2022学年高三下学期3月大联考
【答案】（1）答案见解析，（2）
【解析】（1）的定义域为，
．
当时，恒成立，则在上单调递增．
当时．令，得，则在上单调递减；
令，得，则在上单调递增．
（2）当时，恒成立等价于当时，恒成立．
当时，在上单调递增，则，恒成立．
当时，，则在上单调递增，则恒成立．
当时，，则在上单调速减，在上单调递增，
所以，这与恒成立矛盾，所以不合题意．
综上，a的取值范围为．
18．已知函数．
（1）若，求曲线在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若关于x的不等式在上恒成立，求a的取值范围．
【试题来源】河南省顶级中学2021-2022学年高三上学期阶段性测试（一）
【答案】（1），（2）
【解析】（1）依题意，故，
故，
而，故所求切线方程为．
（2）依题意，令，
则
令
则当时，
则在上单调弹增，因为，，
所以存在，则，
则，故，
令，，则，
所以在上单调递增，则，
因为当时，，当时，，
即函数在上单调递减，在上单调通增，
所以，
故a的取值范围为．
【名师点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的性质，考查数学运算，逻辑推理的核心素养，解答的关键在于能对函数式进行合理的变形，从而构造新函数，确定最值问题，从而最终解决问题．
19．已知函数．
（1）若，求证：函数在R上单调递增；
（2）若关于x的不等式恒成立，求实数m的最小值．
【试题来源】安徽省A10联盟2022届高三下学期开年考
【答案】（1）证明见解析，（2）．
【解析】（1）由题意得，，则，
令，则，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，所以函数在R上单调递增．
（2）由题意得，．，恒成立，
所以，可得；
令，，，
则在R上单调递增，
由，，
所以存在唯一的，使得，
且当时，，即；当时，，即，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以；
由，得，
由，得，
即，由，得，所以．
设，则，可知在上单调递增，
所以，即，所以实数m的最小值为；
故答案为．
【名师点睛】对于第2小问，直接参数分离是不行的，但可以在导数和最大值中进行分离，这是解题的关键．