新高考数学二轮复习导数专项练习专题16 函数与导数压轴小题专题训练（2份，原卷版+解析版）

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A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据导数的几何意义,求出导函数,令结合切线的斜率求出,再将点坐标代入切线方程求出即可得到结果.
【详解】根据导数的运算公式
,
当时,,
,即.
满足方程,
即,
.
故选:A.
2．（2022·河北·模拟预测）已知，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】原式整理化简为，可构造函数，使用函数的单调性求解.
【详解】∵
∴原式
令，
则，
当时，，在区间上单调递增，
当时，，在区间上单调递减，
又∵，，
，
∴当时，，
∴当，的取值范围是.
故选：D.
3．（2022·全国·安阳市第二中学模拟预测（文））已知关于x的不等式在上恒成立，则正数m的最大值为（ ）
A．B．0C．eD．1
【答案】C
【分析】将不等式变形得到，构造，研究其单调性得到，取对数后参变分离得到，构造，求导后得到，从而得到，求出，得到答案.
【详解】变形为，
即，
其中，，故，
令，则有，
因为在上恒成立，故在上单调递增，
故，两边取对数得：，则，
令，则，故当时，，
当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
在处取得极大值，也是最大值，，
所以，解得：，故正数m的最大值为.
故选：C
【点睛】导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现与，通常使用同构来进行求解，本题难点是变形得到，从而构造进行求解.
4．（2022·浙江台州·模拟预测）水平放置的碗口朝上的半球形碗内，假设放入一根粗细均匀的筷子，在力的作用下，筷子在碗内及碗沿可无摩擦自由活动直到筷子处于平衡（即筷子质心最低）.此时若经过筷子作与水平面垂直的轴截面如图，其中半圆（表示半球碗截面）半径为1，线段（表示筷子）长为3，则线段的中点离碗口平面距离最大时，直线与水平面夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】令线段与半球碗的右侧交于点，设直线与水平面的夹角为，线段的中点离碗口平面距离为，根据题意可知：，利用导数研究最值即可求解
【详解】令线段与半球碗的右侧交于点，
设直线与水平面的夹角为，线段的中点离碗口平面距离为，
根据题意可知：，则，
此时，
，
令，解得，设
当时，取得最大值，
线段的中点离碗口平面距离最大时，直线与水平面夹角的余弦值为，
故选：B
5．（2022·内蒙古·满洲里市第一中学模拟预测（理））已知，若函数有三个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先利用导数求出函数的单调区间和极值，再画出函数图象，结合函数图象求解即可.
【详解】由题意，得，
当，时，，单调递增，
当，时，，单调递减，
易知当时，有极大值，极大值；
当时，有极大值，极大值，
，画出函数的大致图象与直线如图所示，则由图像可得，
当或时，的图象与直线有三个交点，
所以实数的取值范围为.
故选：A
6．（2022·浙江台州·模拟预测）函数的零点个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】先求导研究函数的单调性，再结合零点的存在性定理即可求解
【详解】，
所以在上恒成立，
所以函数在上单调递增，
所以函数至多一个零点
又，，
即函数在上有一个零点，
所以函数的零点个数是1，
故选：B.
7．（2022·贵州·模拟预测（理））设点是函数图象上的任意一点，点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出，令后可求，再根据导数的取值范围可得的范围，从而可得的取值范围.
【详解】∵，∴，
∴，∴，∴，
∴，∴或.
故选：B.
8．（2023·广西·模拟预测（文））已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，构造出函数，对函数进行求导判断其单调性，进而比较大小.
【详解】令，则.
因为在上单调递减，在上单调递减，
所以在上单调递减.
而，，
所以在上有.
所以在上单调递减.
所以，即.故.
故选：D.
【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
9．（2022·四川省绵阳南山中学模拟预测（理））已知命题，，命题函数在区间上是减函数，则，下列结构中正确的是（ ）
A．命题“”是真命题B．命题“”是真命题
C．命题“”是真命题D．命题“”是真命题
【答案】C
【分析】先判断命题的真假性，然后结合逻辑连接词的知识求得正确答案.
【详解】对于命题，当时，，，所以为假命题，
对于命题，在区间上是减函数，
即，在上恒成立，
，所以，所以命题为真命题.
所以、、为假命题，
是真命题.
故选：C
10．（2022·海南·模拟预测）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将问题转化为在上恒成立，由此可得，根据二次函数最值的求法可求得结果.
【详解】在上单调递减，在上恒成立，
即在上恒成立，
又，，实数的取值范围为.
故选：C.
【点睛】思路点睛：本题考查根据函数在区间内的单调性求解参数范围的问题，本题解题的基本思路是将问题转化为恒成立的问题，进而采用参变分离的方法将问题转化为二次函数最值的求解问题.
11．（2022·四川·盐亭中学模拟预测（文））已知定义在上的函数满足，，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】构造函数，得到函数的单调性，根据单调性解不等式即可.
【详解】令，则，所以在单调递减，
不等式可以转化为，即，所以.
故选：D.
12．（2022·四川省绵阳南山中学模拟预测（理））已知函数的零点为，零点为，则的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】根据和的零点求得的关系式，由此化简，再结合导数求得的最大值.
【详解】由题意，可得，所以
则，所以.
，得，
则，
对于函数，，
所以在区间上，函数单调递增，所以，
所以，令，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以．
故选：B
【点睛】本题中，和的零点与之间的关系是求解问题的突破口，解题过程中，需要根据零点、对数运算以及结合导数来进行求解.
13．（2021·陕西·安康市教学研究室一模（理））已知函数，若函数恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先将问题转化为曲线与恰有3个交点，然后利用导函数求与相切时的值，最后结合图像即可求解.
【详解】令，可得，
若函数恰有3个零点，则曲线与恰有3个交点，
函数的图象如图所示，易知，
由题意可知，，
当时，若函数与相切，且此时原点为切点，
由可知，，
当时，若函数与在处相切，
由可知，，
因为曲线与恰有3个交点，
所以结合图象可知，．
故选：A.
14．（2019·陕西·安康市教学研究室三模（理））已知函数，关于的方程有三个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用导数研究的单调区间、极值，画出的图象，结合二次函数零点分布的知识求得的取值范围.
【详解】，
所以在区间递增；
在区间递减.
所以有极大值，有极小值.
结合，可画出的大致图象如下图所示.
依题意，关于的方程有三个不相等的实数根，
令，则，，
方程有两个不相等的实数根，设为，，
则，所以方程有一正根和一负根，
无解，
当为正时，根据图象可知，，
即方程的正根在区间上，
令，故，
解得.
故选：C
15．（2021·陕西·安康市教学研究室一模（文））若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将函数在单调递减转化为在上恒成立，再分离常数转化为求函数的最值问题，再利用基本不等式求最值.
【详解】因为在上单调递减，
所以在上恒成立，
即在上恒成立．
因为
（当且仅当，即时等号成立），
所以．
故选：B.
16．（2019·陕西·安康市教学研究室一模（理））若函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由题意可得对恒成立，从而将问题转化为对恒成立，然后由可求得结果.
【详解】依题意可得对恒成立，
即对恒成立，
∴，解得．
故选：D
17．（2022·全国·模拟预测（文））已知函数是定义域为的奇函数，且当时，．若函数在上的最小值为3，则实数a的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】由已知结合奇函数定义先求出当时的函数解析式，然后利用导数对进行分类讨论，确定函数单调性，进而可求．
【详解】因为是定义域为的奇函数，且当时，．
当时，，则，
所以当时，，此时
当时，在，上恒成立，函数在，上单调递增，当时，函数取得最小值，解得（舍，
当时，，，函数单调递减；，，函数单调递增，时，函数取得最小值，解得，
综上，．
故选：D．
18．（2022·山东济南·模拟预测）定义在上的函数满足，，当时，，则方程在上解的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】首先将问题转化为与在上的交点个数，然后根据的对称性和周期性以及已知条件作出的图像，再利用导函数作出的大致图像，结合图像即可求解.
【详解】由题意可知，方程在上解的个数可转化为与在上的交点个数，
因为，所以的图像关于对称；
又由，故，
从而是周期为2的周期函数，
又由可得，，
从而；，
故在上单调递增，在单调递减，且，
当时，，
故与在上的图像如下：
从而与在上的交点个数为4，
故方程在上解的个数为4.
故选：B.
19．（2022·四川·模拟预测（文））已知函数，若，且，则的最大值是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】A
【分析】作出的图象，设，然后表示出，从而可求出，再构造函数，利用导数求出其最大值即可.
【详解】设，则，
由，得，
所以．
设，则，
在上单调递减，故．
故选：A
20．（2022·安徽蚌埠·一模）已知函数的定义域是，若对于任意的都有，则当时，不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】构造函数，求导得在上是减函数，由题知，所以，计算得解.
【详解】令，则在上是减函数.，
所以
得，又，所以.
故选：A.
21．（2022·吉林·抚松县第一中学一模）若函数，给出下面结论：①为奇函数，②时有极大值，③在单调递减，④．其中正确的结论个数（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】由奇函数的定义即可判断①；求导得出时的单调性，进而得出极值即可判断②；直接由导数得出在上的单调性即可判断③；利用单调性比较函数值大小即可判断④.
【详解】易得定义域为，对于①，，则为奇函数，①正确；
对于②，当时，，，当时，，单增，
当时，，单减，则时，有极大值，②正确；
对于③，当时，，，单增，③错误；
对于④，由上知，在单调递增，则，又，则，④正确.
则正确的结论有3个.
故选：D.
22．（2022·全国·模拟预测（理））已知函数（k，n为正奇数），是的导函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】依题意求出，再求出函数的导函数，根据二项式系数的特征求出，即可得解；
【详解】解：因为，
所以，
所以，
则，
其中，
所以，
所以；
故选：D
23．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数，若有且仅有两个正整数，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】将转化为，再分别求导分析和的图象，再分别求得，，到的斜率，分析临界情况即可
【详解】由且，得，设，，
，已知函数在（0，2）上单调递增，在上单调递减，
函数的图象过点，，，，结合图象，因为，所以．
故选：C
24．（2022·青海·模拟预测（理））若，分别是函数的零点和极值点，且在区间上，函数存在唯一的极大值点，使得，则下列数值中，的可能取值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由函数的零点和极值点的概念结合正弦函数图象的性质对各个选项进行判断即可.
【详解】设函数的最小正周期为T,由题意得则其中在区间上，
函数存在唯一的极大值点，使得，
所以解得即解得
对于D.若，则由且可知可使成立，
当时当或时，都成立，
故不符合；
对于C. 若，则，且可知
可使成立，当时，当时，存在唯一的极大值点，使得，故符合条件；
对于B. 若，则由且可知
可使成立，当时，
当或时，都成立，故不符合；
对于A. 若，则由 且可知
可使成立，当时，，
当或时，都成立，故不符合；
故选：C
25．（2022·内蒙古·乌兰浩特一中模拟预测（文））已知函数的最小值分别为，则（ ）
A．B．C．D．的大小关系不确定
【答案】A
【分析】首先证明，然后利用赋值法求得和的最小值，从而确定正确选项.
【详解】令，则，
∵当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递减，
所以，
所以，
∴
（当且仅当时“”成立），，
，
所以，.
所以
故选：A
26．（2022·河南河南·三模（理））已知函数（），若在上有零点，则实数的取值范围为______．
【答案】
【分析】将条件转化为在上有解，令、并利用导数研究它们在上的单调性和最值，注意最值对应的自变量，结合即可求m的范围.
【详解】若，则，
令且，则，故上，上，
所以在上递增，在上递减，故；
令且，则，故上，上，
所以在上递减，在上递增，故；
要使在上有零点，只需，可得.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：将问题转化为求、在上的单调性及最值，根据能成立求参数范围.
27．（2022·新疆昌吉·二模（理））已知函数，则下列结论正确的有___________.
①，
②，恒成立
③关于的方程有三个不同的实根，则
④关于的方程的所有根之和为
【答案】①③
【分析】根据已知递推可判断①，根据函数变化的规律，只需要证明，成立，作差求导可判断②，作图可判断③，数形结合，根据每个区间上的对称轴可判断④.
【详解】由，故A对.
由A可知，要使，恒成立，只需要满足，成立即可.即，即成立，令，则，得，当时，有最大值，故B不正确.
作出的图像，
由图可知，要使方程有三个不同的实根，则，即，故C对.
由可知，函数在上的图像可以由上的图像向右平移一个单位长度，再将所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍得到，由于的对称轴为，故的两根之和为，同理，的两根之和为的两根之和为，故所有根之和为，故D错.
故选：①③
28．（2022·江西萍乡·二模（理））若函数的最小值为，则函数的最小值为__________．
【答案】
【分析】首先利用导数求得，再利用二次函数的性质求得的最小值.
【详解】令，，
，
令，
，所以在上递增，
由于有最小值，所以有唯一零点，使①，
所以在区间递减；在区间递增.
所以的最小值为，
即，
所以当时，取得最小值，
由①得，
所以的最小值为.
故答案为：
【点睛】利用导数求函数的最小值，当一次求导无法求解时，可考虑利用二次求导来进行求解.由于进行了两次求导，所以要注意导函数和原函数之间的关系.
29．（2022·浙江温州·二模）已知，函数有且仅有两个不同的零点，则的取值范围是_________.
【答案】
【分析】根据零点的定义，运用转化法，结合导数的性质，利用数形结合思想进行求解即可.
【详解】因为函数有且仅有两个不同的零点，
所以方程有且仅有两个不同的实数根，
由，
设，
问题转化为函数的图象与直线有两个不同的交点，
，显然，
由，
当时，单调递减，当时，单调递增，
当时，单调递增，而，
所以当时，单调递减，当时，单调递增，，
因为，所以直线的斜率为负值且恒过横轴负半轴上一点，
如图所示：
设函数的切点为，过该切点的斜率为，
切线方程为，
当该切线方程为时，有，消去得：
，或（舍去），或，
当时，，此时方程的切线方程为：，
当时，，不符合，
因此要想函数的图象与直线有两个不同的交点，
所以有，
故答案为：
【点睛】关键点睛：利用导数求出曲线的切线方程，运用转化法进行求解是解题的关键.
30．（2022·安徽安庆·二模（文））若函数在内单调递增，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】求出函数的导数，由给定条件可得恒成立，再分类讨论作答.
【详解】因函数在内单调递增，则，，
即，整理得，
当时，则成立，，
当时，，而，
当且仅当，即时取“=”，则有，
当时，，而，
当且仅当，即时取“=”，则有，
综上得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以探讨函数的最值，借助函数最值转化解决问题.
31．（2022·海南·模拟预测）在空间直角坐标系O－xyz中，三元二次方程所对应的曲面统称为二次曲面．比如方程表示球面，就是一种常见的二次曲面．二次曲而在工业、农业、建筑等众多领域应用广泛．已知点P(x，y，z)是二次曲面上的任意一点，且，，，则当取得最小值时，的最大值为______．
【答案】
【分析】由题设有，利用基本不等式求得并求对应x、y的数量关系，进而得到，令构造，应用导数求最大值即可.
【详解】由题设，，故，当且仅当时等号成立，
所以，此时，
令，则，故，
所以，当时，当时，即在上递增，在上递减.
故，且时等号成立，
综上，的最大值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：应用基本不等式求的最小值及对应x、y的关系，再把目标式转化为关于x的函数式，构造函数结合导数求最值.
32．（2020·四川遂宁·二模（文））已知是定义在上的函数，且；其导函数为.若时，，则不等式的解集是__________.
【答案】
【分析】题设不等式可化为，构造，结合条件判断的区间单调性及奇偶性，进而利用其奇偶性、单调性解不等式即可.
【详解】由可得：，
令，又，即，
所以在上为减函数，
因为，易知为偶函数，
所以，故也为偶函数，
所以在上为增函数，
综上，，解得，故不等式解集为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：根据题设条件，将问题转化为利用的单调性、奇偶性求解集.
33．（2022·全国·模拟预测）已知函数的反函数为函数，函数在上有且仅有3个零点，则实数k的取值范围是______．
【答案】
【分析】题意说明方程和方程共有三个根，在同一坐标系内画出，与的示意图，设，AB为的切线，B为切点，，由图可知，当位于切线AB和割线AC之间时满足题意．由导数求出切线斜率，再求得斜率即可得．
【详解】∵函数的反函数为函数，∴，∴
∵函数在上有且仅有3个零点，∴方程和方程共有三个根，在同一坐标系内画出，与的图象(示意图)如图所示．
设，AB为的切线，B为切点，，由图可知，当位于切线AB和割线AC之间时，图象与图象，共有三个交点，设，由，可得切线AB为，又过，∴，解得，故．又，∴函数在上有且仅有3个零点时，实数k的取值范围为．
故答案为：．
【点睛】本题考查用导数研究函数的零点个数问题，解题关键是问题转化为方程解的个数，再转化为直线与函数图象交点个数，利用数形结合思想寻找思路，由导数求解，本题属于难题．
34．（2022·安徽淮北·一模（理））已知，函数在有极值，设，其中为不大于的最大整数，记数列的前项和为，则___________.
【答案】615
【分析】根据给定条件探求出，再借助的意义分析的前100项的各个值，再求和作答.
【详解】函数，求导得：，
因，函数在有极值，则存在，有，解得，
于是得，即，而，
因此，数列的前100项中有1个0，3个1，5个2，7个3，9个4，11个5，13个6，15个7，17个8，19个9，
而，
所以.
故答案为：615
【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.
35．（2021·全国·模拟预测）若函数与函数的图象有两个不同的交点，则实数a的取值范围为______．
【答案】
【分析】将原问题转化为方程有两个不同的解，进而转化为直线与函数的图象有两个不同的交点求解作答.
【详解】函数与函数的图象有两个不同的交点，即关于x的方程有两个不同的解，
而，令，则直线与函数的图象有两个不同的交点，
又，当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，
于是当时，，而，当时，，函数的图象，如图，
观察图象得：当时，直线与函数的图象有两个不同的交点，
所以a的取值范围是.
【点睛】思路点睛：研究方程根的情况，可以通过转化，构造函数，利用导数研究函数的单调性、最值等，
再借助数形结合思想分析问题，使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.
36．（2021·云南昆明·模拟预测（文））已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【分析】有两个不同的零点即y=a与g(x)=图像在(0，+∞)有两个交点，研究g(x)的单调性和值域，画出近似图象即可数形结合得a的范围﹒
【详解】，
令，
则有两个不同的零点即y=a与g(x)图象在(0，+∞)有两个交点﹒
，
令，
∵
∴单调递增，
单调递减，
又时，结合，
单调递增，
单调递减，
，
又，，
故g(x)图象近似如图：
∴当a∈(0，时，y=a与g(x)有两个交点﹒
故答案为：(0，﹒
【点睛】研究函数零点常用的方法：利用参变分离构造新函数，将零点问题转化为函数交点问题，进而转化为用导数研究新函数的单调性、极值、最值等问题，画出新函数的近似图象，数形结合求参数的范围﹒
37．（2021·河北唐山·三模）关于不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围是__________．
【答案】##
【分析】根据题意，构造函数，通过讨论的范围可得函数的单调性，再结合图像与已知条件即可求解.
【详解】①当时，原不等式不成立；
②当时，由恰有一个整数解，得恰有一个整数解.
令，则，因此函数在区间上单调递减，易得不可能只有一个整数解，故不满足；
③当时，由恰有一个整数解，得恰有一个整数解.
由②可知，易得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故.
又因，且恰有一个整数解，所以，即.
综上，.
故答案为：.
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
38．（2021·安徽·安庆一中三模（理））已知函数有三个零点，，，且，其中，为自然对数的底数，则的范围为______．
【答案】
【分析】通过换元法将方程变为，其中；利用导数可求得的大致图象，从而确定其与的交点个数，将所求式子化为，利用韦达定理可求得结果.
【详解】由，两边同时除以变形为，
有
设即，所以
令，则，所以在上单调递增，在上单调递减，
且，，当时，其大致图像如下．
要使关于x的方程有三个不相等的实数解，，，且．
结合图像可得关于t的方程一定有两个不等的实数根，
且，从而．
，，则，．
所以
.
故答案为：
【点睛】方法点睛：已知函数零点(方程根)个数求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
39．（2021·广东·模拟预测）已知函数，若方程有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是___________．
【答案】
【分析】原方程化为，得或，对函数求导分析单调性求取最值，并作出图象进而求解问题．
【详解】因为，所以，
所以或，当时，
所以在上单调递增，在上的最大值为，
且当趋向于0时，趋向于负无穷；当时，，
当时，单调递减；当时，单调递增，
所以在处取得极小值，即在上的最小值为且，
作出函数的大致图象如图所示，方程有1个实数根，
所以方程要有4个不同的实数根，则有3个不同的实数根，
又当时，；当时，，
所以，即，所以a的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
40．（2021·福建厦门·三模）已知函数，若，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【分析】先根据分段函数解析式画出函数图象，利用数形结合的思想结合利用导数求函数斜率从而求出答案.
【详解】因为，
当时，，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，,
当时，，当时，，此时单调递增．
图象如图所示:
令，将向右平移至与相切，此刻取最大值，即，得到，，
将代入
∴，（舍去）；
将向左平移至与相切，此刻取最小值，即，得到，，
将代入，
∴，（舍去）；
∴.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查由分段函数解不等式，在解题中尤为注重数形结合思想的应用何利用导数求函数某点的斜率，以及答案的取舍.
B组 能力提升
41．（2022·四川省遂宁市教育局模拟预测）已知向量的夹角为60°，，若对任意的、，且，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据向量数量积的定义求得，于是由数量积的应用可得，对任意的、，且，则将转化为，即，则构造函数得函数在上单调递减，求导判断单调性，即可得的取值范围.
【详解】解：已知向量的夹角为60°，，则
所以
所以对任意的、，且，，则
所以，即，设，即在上单调递减
又时，，解得，
所以，，在上单调递增；，，在上单调递减，所以.
故选：A.
42．（2022·浙江·模拟预测）已知函数，对于任意的、，当时，总有成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，可知函数为上的增函数，可知，对任意的，，利用导数求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围.
【详解】不妨设，由可得出，
即，
令，其中，
则，所以，函数在上为增函数，
则，则，
令，其中，，
令，其中，所以，，
所以，函数在上单调递增，
因为，，
所以，存在，使得，则，
令，其中，则，故函数在上为增函数，
因为，，所以，，
由可得，所以，，可得，
且当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，
所以，.
故选：A.
【点睛】思路点睛：本题关键点在处理函数的极值点时，根据零点存在定理得出其极值点满足，通过利用指对同构结合函数的单调性转化为，，利用整体代换法可求得的取值范围.
43．（2022·河南濮阳·模拟预测（理））已知函数，则方程在区间上的实根个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用导数分析函数在上的单调性与极值，作出函数在上的图象，由可得或，数形结合可得结果.
【详解】由可得或，
当时，，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
且当时，，
由题意可知，函数在区间上的图象可在在上的图
象先向右平移个单位，再将所得图象的纵坐标伸长为原来的倍得到，
作出函数在的图象如下图所示：
由图可知，方程、在区间上的根的个数分别为、，
因此，方程在区间上的实根个数为.
故选：C.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
44．（2022·河南濮阳·模拟预测（理））若函数满足：对任意非零实数，均有，则我们称函数为“倒数偶函数”．若是倒数偶函数，则的所有极值点的乘积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用可得出关于、的方程组，解出、的值，可得出函数的解析式，利用导数求出，根据极值点的定义可得结果.
【详解】因为，
由于，即，
整理可得
，
所以，，即，解得或，
当，或，时，
则，
由，可得，，
故方程有两个不等的实根、，不妨设，易知，
且当或时，；当或时，.
因此，函数的极值点之积为.
故选：C.
【点睛】易错点点睛：已知极值点求参数的值，先计算，求得的值，再验证极值点．由于导数为的点不一定是极值点，因此解题时要防止遗漏验证导致错误．
45．（2022·江苏·苏州外国语学校模拟预测）设函数，不等式对恒成立，则实数a的最大值为（ ）
A．B．1C．D．0
【答案】D
【分析】先由定义证为奇函数，结合均值不等式可证，得在R上单调递增，故结合奇偶性与单调性，恒成立转化为对恒成立．
令，用导数法求最小值，即有.
【详解】因为，所以，所以为R上的奇函数．
因为，所以在R上单调递增．
不等式可转化为，
所以，即对恒成立．
令，则，
令，则．
当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减．
所以，即，
所以，且当时，取最小值0，
故，即实数a的最大值为0．
故选：D.
【点睛】1.通常函数不等式恒成立问题涉及奇偶性与单调性可先进行转化；
2.含参不等式恒成立问题，一般通过构造函数解决.
一般将参数分离出来，构造函数用导数法讨论不含参数部分的最值；或者包含参数一起构造函数，用导数法对参数分类讨论.
当参数不能分离出来时，也可尝试将不等式左右变形成一致形式，即可将该形式构造成函数，通过导数法分析单调性，将问题等价成对应自变量的不等式.
46．（2022·河南·南阳中学模拟预测（文））已知关于的不等式有且仅有两个正整数解（其中为自然对数的底数），则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】问题转化为（）有且仅有两个正整数解，讨论、并构造、，利用导数研究单调性，进而数形结合列出不等式组求参数范围.
【详解】当时，由，可得（），
显然当时，不等式在恒成立，不合题意；
当时，令，则在上单调递增，
令，则，故上，上，
∴在上递增，在上递减，
又且趋向正无穷时趋向0，故，
综上，图象如下：
由图知：要使有两个正整数解，则，即，解得．
故选：D
【点睛】关键点点睛：问题转化为（）有且仅有两个正整数解，根据不等式两边的单调性及正整数解个数列不等式组求范围.
47．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）意大利画家列奥多·达芬奇(1452.4-1519.5)的画作《抱银貂的女人》中，女士脖颈上悬挂的黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达芬奇提出，固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”．后人给出了悬链线的函数解析式：，其中是悬链线系数，称为双曲余弦函数，其表达式为，相应地双曲正弦函数的表达式为下列结论正确的是（ ）
A．
B．若直线与双曲余弦函数图像和双曲正弦函数图像共有三个交点，则
C．双曲余弦函数图像总在双曲正弦函数图像下方
D．双曲正弦函数导函数的图像与双曲余弦函数图像重合
【答案】D
【分析】对于A，直接计算判断即可；对于B，作出图像，通过图像判断即可；对于C，由B中结论即可判断；对于D，求导计算即可.
【详解】
对于A：
，故A错误；
对于B，当时 ，，故在时为增函数，
当时，，故在时为减函数，
因此的最小值在时取到，最小值为1；
又，故在上为增函数，
又因为，
由此作出，的大致图像，如图示，
由图像可知，当时，直线与双曲余弦函数图像和双曲正弦函数图像共有2个交点，故B错误；
对于C，由对B的分析可知，双曲余弦函数图像总在双曲正弦函数图像上方，C错误；
对于D，由于，故双曲正弦函数导函数的图像与双曲余弦函数图像重合，D正确，
故选:D.
48．（2022·辽宁·东北育才双语学校一模）已知定义在上的函数满足为的导函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】构造函数，由条件判断其奇偶性，单调性，利用单调性解不等式即可.
【详解】令，所以，因为，所以，化简得，
所以是上的奇函数；
，
因为当时，，
所以当时，，从而在上单调递增，又是上的奇函数，所以在上单调递增；
考虑到，由，
得，即，
由在上单调递增，得解得，
所以不等式的解集为，
故选：B.
49．（2022·四川·模拟预测（理））偶函数满足，当时，，不等式在上有且只有个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，得到的周期，利用导数可得的单调性，即可作出在内的图象，根据周期性、对称性可得在内有个整数解，分别讨论、和三种情况下在一个周期内的整数解的个数，综合分析，即可得答案.
【详解】因为为偶函数，所以，所以，
所以是周期函数，且周期为，且关于直线对称，
又当时，，
则，令，解得，
所以当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
作出在内图象，如图所示：
因为为偶函数，且不等式在上有且只有个整数解，
所以不等式在内有个整数解，
因为周期为，所以在内有个周期，
所以不等式在有个整数解，
（1）若，由，可得或，
由图象可知不等式在内有个整数解，
不等式在内无整数解，不符合题意；
（2）若，则，由图象可知不等式在有个整数解，不合乎题意；
（3）若，由，可得 或，
由图象可得在内无整数解，不符合题意，
所以在内有个整数解，
因为在内关于直线对称，所以在内有个整数解，
因为，，，则，
所以在的整数解为和，
所以，解得.
故选：C.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
50．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（理））已知函数，若对任意实数，不等式总成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】将所求不等式变形为，构造函数，可知该函数在上为增函数，由此可得出，其中，利用导数求出的最大值，即可求得实数的取值范围.
【详解】当时，由可得，
即，
构造函数，其中，则，
所以，函数在上为增函数，
由可得，
所以，，即，其中，
令，其中，则.
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以，，.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数，解题的关键就是将所求不等式进行转化，通过不等式的结构构造新函数，结合新函数的单调性来求解.
51．（2022·湖南·安仁县第一中学模拟预测）的两个极值点满足，则的最小值为________.
【答案】
【分析】由已知函数求导，令则可得，代入极值点后两式作商，可得到的关系，作商得到的结果指对互换，便可解出，根据题目所求，代入后便可构造新的函数，通过求导可求得最小值.
【详解】由函数，，则，因为函数两个极值点，则
①，②，得③，设，则且，代入③得，
设，则，
设，则
，在单调递减，，从而，在单调递减，，故的最小值为.
故答案为：
【点睛】求函数最值，通常是对所求函数求导，当一阶导数不能确定极值点时，可二阶求导确定导函数的单调性和零点，可得到原函数的单调区间，进而求得原函数的最值.
52．（2022·河北·模拟预测）若存在，，满足，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是___________．
【答案】,
【分析】根据题意可得，当时不合题意，当时，原式为，令，则，，只需与有交点，即可得出答案．
【详解】解：因为，
所以，
当时，上式变为，与矛盾，
当时，上式为，
令，则，，
，
令，，
，
所以在上单调递增，又，
所以在上，，，单调递减，
在上，，，单调递增，
所以，趋向于0或时，均趋向于，
所以，即，
所以或，故的取值范围为,．
故答案为：,．
【点睛】关键点点睛：将双变量的方程转化为单变量方程，还需结合参变分离即得到，这样就能整体代换令，从函数的单调性出发转化为函数与有交点即可解决问题.
53．（2022·吉林长春·模拟预测）已知函数的图象关于点中心对称，若，，使得，则的最大值是______．
【答案】##
【分析】结合的对称性、单调性以及导数求得正确答案.
【详解】关于点中心对称，
所以，
，
所以，解得，
，
，令解得，
，
所以在区间递减；
在区间递增，
所以的极大值是，极小值是，
依题意，，使得，
所以是的单调递减区间，
所以的最大值是
.
故答案为：
【点睛】本题的关键点有两点，一个是根据的对称中心求得的值，另一个是函数单调性的“定义”的变型“，，使得”，这个条件给出的是的单调性.
54．（2022·江苏·盐城中学模拟预测）设函数，设的最小值为M，若至少有一个零点，且命题成立，则的取值范围是__________．
【答案】
【分析】根据题意转化为时，恒成立，结合与圆相切时，利用点到直线的距离公式和导数，求得的最小值为，即可求解.
【详解】由题意，函数，
因为的最小值为，即，即表示圆及其外部的部分，
又因为命题成立，即时，恒成立，
当直线与圆相切时，
可得
设，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，取得最小值，最小值为，
可得的最小值为，所以的最大值为，
所以的最小值为，所以，
即实数的取值范围是.
故答案为：.
55．（2022·山东师范大学附中模拟预测）已知函数，若存在一条直线同时与两个函数图象相切，则实数a的取值范围__________．
【答案】
【分析】分与两种情况进行讨论，当时，转化为时，有解，构造函数，求出单调性及极值，最值情况，求出a的取值范围.
【详解】数形结合可得：当，存在一条直线同时与两函数图象相切；
当，若存在一条直线同时与两函数图象相切，
则时，有解，
所以，
令，因为，
则当时，，为单调递增函数；
当时，，为单调递减函数；
所以在处取得极大值，也是最大值，
最大值为，且在上恒成立，
所以，即．
故答案为：
56．（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）已知.设实数，若对任意的正实数，不等式恒成立，则的最小值为___________.
【答案】##
【分析】利用函数的单调性，可得，恒成立，即恒成立，构造函数，不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立，然后设，求出的最大值，从而确定的最小值．
【详解】因为仅在时取等号，
故为R上的单调递增函数，
故由设实数，对任意的正实数，不等式恒成立，
可得，恒成立，
，即恒成立，
当时，，恒成立，
当时，
构造函数，恒成立，
当时，递增，则不等式恒成立等价于恒成立，
即恒成立，故需，
设，，
在，上递增，在，递减，
，故的最小值为 ，
故答案为：
【点睛】本题综合考查了函数的单调性的应用以及利用导数解决不等式恒成立问题，综合性强，要注意将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，解答的关键是要对不等式进行恰当的变式，进而构造函数，利用其导数判断单调性，从而求得最值.
57．（2022·浙江·杭州高级中学模拟预测）已知函数，若存在，使得，则的最小值为__________.
【答案】
【分析】根据分段函数解析式画出函数的简图，设，根据图像确定的取值范围，将化成只含有一个变量的二次函数，由定区间内二次函数的性质，从而确定的最小值.
【详解】当时，，，
当时，，当时，，
即当时，取得极小值为.
当时，为增函数，且，
函数的图像如图：
设，由题可知，由得，则，
则，
，所以当时，取得最小值为.
故答案为：.
【点睛】本题重点是根据函数解析式做出函数图像，然后根据换元的思想，把双变量问题转化为单变量问题，然后就可以轻松求解.
58．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）已知正实数，满足，则的最大值为______．
【答案】
【分析】把已知等式变形为，利用函数（）的单调性得的关系，这样把转化为的函数，再利用导数求得最大值．
【详解】由得，所以，，
因为，所以，
设（），则，递增，
所以由得，所以，
，
设，则，
所以时，，递增，时，，递减，
所以．
故答案为：．
【点睛】本题考查了导数的单调性的应用，考查用导数求函数的最大值．解题关键是已知等式进行同构变形：，然后利用函数的单调性得出变量间的关系．考查了学生的逻辑思维能力，属于较难题．
59．（2022·辽宁大连·二模）若对任意恒成立，则实数k的取值范围是___________.
【答案】
【分析】先证明结论，然后将对任意恒成立变形为恒成立 ，构造函数，利用结论求得，即可求得答案.
【详解】先证明一个结论： ，
设 ，
当 时，递减，当 时，递增，
故 ，即；
对于对任意恒成立，分离参数得恒成立 ，
令，则，
当且仅当时取等号，而是增函数，且，
故存在,使得，故等号能够成立，
故 ，
故答案为：
【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，解答时要注意分离参数，构造函数，将不等式恒成立问题转化为函数最值问题,其中关键的地方是巧妙变形，利用结论求得函数的最值.
60．（2022·湖北·模拟预测）在空间直角坐标系中，三元二次方程所对应的曲面统称为二次曲面．比如方程表示球面，就是一种常见的二次曲面．二次曲面在工业、农业、建筑等众多领域应用广泛．已知点是二次曲面上的任意一点，且，，，则当取得最小值时，不等式恒成立，则实数的取值范围是________．
【答案】
【分析】先通过取得最小值这个条件找出当的关系，带入后一个不等式，利用对数恒等式变型，此后分离参数求最值即可.
【详解】根据题意，带入可得：，而，，利用基本不等式，当，即取得等号，此时，即，综上可知，当取得最小值时，，带入第二个式子可得，，即，于是，设，，故当时，递增，时，递减，；于是原不等式转化为时，恒成立，即在时恒成立，设，于是，故在时单调递增，，故，即可.
故答案为：
【点睛】本题恒成立的处理用到了对数恒等式，若直接分离参数求最值，会造成很大的计算量.
0
递增
极大值
递减