新高考数学三轮冲刺练习回归教材重难点02 三角函数与解三角形（2份，原卷版+解析版）

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三角函数与解三角形是高考的重点考察内容，也一直是高中教学的重点。它在高考试题中是一道解答题，一般一道或者两道选填小题，但是它的知识还分布在选在、填空题与解答题中的方方面面，并且从多个角度考察学生对三角函数与解三角形知识的综合应用能力与问题分析能力。解答题多在17或者18题位置，新高考与数列和概率一起作为基础大题来考察，课标全国卷，则和数列大题交替进行考察。选填小题则考察三角函数定义、性质、恒等变形与解三角形的综合问题
三角函数与解三角形，涉及到三角函数的定义，同角三角函数的基本关系与诱导公式，以及和差角二倍角公式，考察三角函数的值域，最值，单调性，周期性，函数图像性质等等问题。解三角形以正弦定理，余弦定理为核心，考察三角形问题。试题有以下几方面的考察
诱导公式，同角三角函数基本关系
两角和与差的正余弦，倍角公式。
正余弦定理解三角形
三角函数图像与性质：单调性，奇偶性，周期性，对称性。
解三角函数方程与不等式，三角函数零点与恒成立求参
三角函数和三角形中的值域，最值范围。
三角函数恒等变形，化简，求值
8.与平面向量的综合应用

三角函数
三角函数辅助角公式：
辅助角范围满足：
2.三角函数图像平移题型
（1）方法一：提系数（就是直接换x，其余的都不懂）；2.周期变换；系数乘以1/r
正到余，余到正：方法一：诱导公式化为同名（尽量化正为余，因为余弦是偶函数，可以解决系数是负的）；
方法二：直接第一第二零点 法（快速画图，本方法是重点）
（2）如果平移对应的初始函数与最终函数名称不一致
方法一：诱导公式化同名。一般情况下，有正弦有余弦，可以利用诱导公式把正弦化为余弦。因为余弦是偶函数，所以能把x负系数直接化为正系数
方法二：五点画图法，观察“第一零点第二零点一致性”
3.三角函数“识图
已知的部分图象求其解析式时
比较容易看图得出，困难的是求待定系数和，常用如下两种方法：
(1)由即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标，则令(或)，即可求出.
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出和，若对，的符号或对的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
4.三角函数“零点”与求参
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
5.三角函数“对称性”
对称中心横坐标代入，三角函数那部分必为0；
对称轴代入，三角函数部分必为正负1，还可以理解为辅助角那个整体取得最大值或者最小值
解简单的三角函数方程与不等式
解三角形
正余弦定理恒等变形
对于sin（）与cs（） 简称为“正余余正，余余正正”
恒等变形和化简求角中，有如下经验：
(1).SinC=Sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB:正用。逆用；见A与B的正余或者余正，不够，找sinC拆
(2).边的齐次式，正弦定理转为角的正弦；
(3).csC=-cs(A+B)=-[csAcsB-sinAsinC]
解三角形边角互化问题，
多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的，其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；
第二步：定工具，根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的转换；
第三步：求结果.
解三角形最值与范围问题：
（1）可以用余弦定理+均值不等式来求解。
（2）可以利用正弦定理，结合角与角所对应的边，转化为角的形式，再进行三角恒等边形，化一，求解最值与范围，要主语三角形是否有“锐角、钝角”三角形的角度范围限制
4.三角形的中线处理
(1).向量法：
余弦定理法
如图设，
在中，由余弦定理得，①
在中，由余弦定理得，②
因为，所以
所以①+②式即可
（3）延伸补形法：如图所示，延伸中线，补形为平行四边形
（4）.中线分割的俩三角形面积相等
解三角形高的处理
三角形高的处理方法：
（1）.等面积法：两种求面积公式
如
（2）.三角函数法：
5.三角形内心：
6.外接圆：
三角形所在的外接圆的处理方法：
1.外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等。锐角三角形外心在三角形内部。直角三角形外心在三角形斜边中点上。
钝角三角形外心在三角形外。
2.正弦定理：eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R，其中R为 外接圆半径
一、单选题(共40分)
1．已知，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
2．已知（其中为常数且），如果，则的值为（ ）
A．B．3C．D．5
3．已知函数的图象是由的图象向右平移个单位长度得到的，若的最小正周期为，则图象的对称轴中与y轴距离最近的对称轴方程为（ ）
A．B．C．D．
4．函数恒有，且在上单调递增，则的值为（ ）
A．B．C．D．或
5．已知函数，且，则当时，（ ）
A．B．C．D．
6．若，，，，则（ ）
A．B．C．D．
7．在平面四边形中，，若点为线段上的动点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．已知的内角A，B，C满足，的面积S满足，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题(共20分)
9．下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．的最小正周期为
B．当时，的值域为
C．将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象
D．将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称
11．已知函数，下列关于该函数的结论正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称B．的一个周期是
C．在区间上单调递增D．的最大值为
12．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，且有两解，则b的取值范围为
C．若，且为锐角三角形，则c的取值范围为
D．若，且，O为的内心，则
三、填空题(共20分)
13．在中，点D在BC边上，.若，则___________.
14．在中，内角，，所对的边分别为，，，角的平分线交于点，且，则周长的最小值为______．
15．如图，已知锐角为圆O的内接三角形，圆O的半径为R，且，∠BAC的平分线交边BC于点D，且点D为边BC上靠近点B的三等分点，，则的面积为______．
16．若存在x使，则正数a的取值范围为___________.
四、解答题(共70分)
17．（10分）已知函数，.
(1)在用“五点法”作函数在区间上的图象时，列表如下：
将上述表格填写完整，并在坐标系中画出函数的图象；
(2)求函数的单调递增区间；
(3)求函数在区间上的最值以及对应的的值.
18．（12分）已知函数在一个周期的图象上有相邻的最高点和最低点.
(1)求A，的值；
(2)若存在，使成立，求实数m的取值范围.
19．（12分）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求证：；
(2)若的角平分线交BC于，且，求面积的取值范围．
20．（12分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若的面积为，求a的最小值；
(2)若，BC边上的中线长为，且的外接圆半径为，求的周长．
21．（12分）在中，角所对的边分别为，且.
(1)求证：；
(2)求的最小值.
22．（12分）请从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答（如未作出选择，则按照选择①评分.选择的编号请填写到答题卡对应位置上）
在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若___________，
(1)求角B的大小；
(2)若△ABC为锐角三角形，，求的取值范围.
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