新高考数学三轮冲刺练习回归教材重难点04 立体几何（2份，原卷版+解析版）

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立体几何在高考中始终占据着重要地位，是高考历年来考察不变的考点，考试试卷位置也相对稳定，每年是一道大题，1-3道小题，分值高，考察难度多为中等题，是高考学生相对容易拿分的题型。考察空间线面的平行，垂直问题，考察空间角度，空间距离，几何体体积，空间几何体存在性问题，考察空间几何体探索性问题，考察几何体外接球，内切球，组合体的表面积体积等等。
立体几何涉及到点线面的位置关系，线线，线面，面面的平行关系，三种关系互相依存，还可以借助对应的判定定理与性质定理互相转化，其中线线平行与线面垂直是处理与判定几何体的关键突破点，在实际处理试题时，也要运用逆向思维来分析问题解决问题。
几何体点线面的平行与垂直
几何体表面积、体积的计算
几何体点到面的距离
几何体中异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的角度问题
几何体的截面问题
几何体的折叠与展开问题
几何体的外接球问题
几何体的内切球问题
几何体的翻折问题
几何体上动点的平行垂直动态问题
1平行关系的判定及性质定理：
(1)线∥面的判定定理和性质定理
(2)面∥面的判定定理和性质定理
注意：面面平行性质公理：两个平面平行，其中一个平面内的任意直线与另一个平面平行，(简记为“面面平行⇒线面平行”)
2．垂直关系的判定及性质定理：
(1)线⊥面的判定定理及性质定理
(2)面⊥面的判定定理与性质定理
注意：线面垂直性质定理：一条直线垂直于一个平面，则垂直该平面内的任意直线，(简记为“线面垂直⇒线线垂直”)
3.空间向量与立体几何的求解公式：
(1)异面直线成角：设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则l1与l2所成的角θ满足：cs θ＝eq \f(|a·b|,|a||b|)；
(2)线面成角：设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，a与n的夹角为β，
则直线l与平面α所成的角为θ满足：sin θ＝|cs β|＝eq \f(|a·n|,|a||n|).
(3)二面角：设n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，
则两面的成角θ满足：cs θ＝cs〈n1，n2〉＝eq \f(n1·n2,|n1|·|n2|)；
注意：二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角或是向量n1与n2的夹角的补角，具体情况要判断确定．
(4)点到平面的距离：如右图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，
则点B到平面α的距离为：|eq \(BO,\s\up6(→))|＝eq \f(|\(AB,\s\up6(→))·n|,|n|)，即向量eq \(BO,\s\up6(→))在法向量n的方向上的投影长.
4.求截面方法：
平行线法：
（1）利用两条平行线确定一个平面，
（2）一个平面与两个平行平面相交，交线平行
相交线法：
两条相交直线确定一个平面
若两个相交平面中一条直线与棱不平行，则与棱的交点，也在另一个平面内
5．几个与球有关的内切、外接常用结论：
(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，则：①若球为正方体的外接球，则2R＝eq \r(3)a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；③球与正方体的各棱相切，则2R＝eq \r(2)a.
(2)长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则外接球直径＝长方体对角线，即：2R＝eq \r(a2＋b2＋c2).
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为：3∶1.
6.几种常见角的取值范围：
①异面直线成角∈(0，eq \f(π,2)] ②二面角∈[0，π]
③线面角∈[0，eq \f(π,2)] ④向量夹角∈[0，π] ⑤直线的倾斜角∈[0，π)
7.内切球、外接球常用方法：
①将几何体补成长方体或正方体，则球直径=体对角线；
②过两个三角形的外接圆圆心作圆面垂线，则垂线交点即为外接球球心，找到球心即可求半径.
8.线面垂直型：
存在一条棱垂直一个底面（底面是任意多边形，实际是三角形或者四边形（少），它的外接圆半径是r，满足正弦定理）
1.模板图形原理
图1 图2
2.计算公式
9.特殊三角形定球心型
当几何体表面图形为特殊图形时，则过该表面的外接圆圆心做表现所在平面的垂线，该垂线必过球心
10.定义法列方程计算型求球心
利用球的定义：球面上一点到球心的距离相等，是球的半径。可以列方程计算求解。在列方程时，尽量和线面垂直型求法配合使用
11.内切球
内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等，正多面体的内切球和外接球的球心重合，正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合.其中锥体与内切球的关系：(V为几何体的体积，S为多面体的表面积，r为内切球的半径)
（1）三角形内切圆
（2）类比：三棱锥
一、单选题
1．如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（ ）.
A．直线AA1B．直线A1B1
C．直线A1D1D．直线B1C1
2．（2021·全国·统考高考真题）在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·江西宜春·统考模拟预测）在Rt中，.以斜边为旋转轴旋转一周得到一个几何体，则该几何体的内切球的体积为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·江西·统考模拟预测）如图，直三棱柱中，，点分别是棱的中点，点在棱上，且，截面内的动点满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．2
5．（2023·江西吉安·统考一模）在正方体中，E､F分别为的中点，G为线段上的动点，则异面直线与所成角的最大值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·安徽黄山·统考二模）如图1，将一块边长为20的正方形纸片剪去四个全等的等腰三角形，，再将剩下的部分沿虚线折成一个正四棱锥，使与重合，与重合，与重合，与重合，点重合于点，如图2.则正四棱锥体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）在矩形ABCD中，已知，E是AB的中点，将沿直线DE翻折成，连接，当二面角的平面角的大小为时，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·北京丰台·统考一模）如图，在直三棱柱中，，，，，点在棱上，点在棱上，给出下列三个结论：
①三棱锥的体积的最大值为；
②的最小值为；
③点到直线的距离的最小值为．
其中所有正确结论的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、多选题
9．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考一模）已知正方体中，E，F，G，H，I分别是线段，，，AB，的中点，则（ ）
A．B．C．D．
10．（2023·山东青岛·统考一模）下列说法正确的是（ ）
A．若直线a不平行于平面，，则内不存在与a平行的直线
B．若一个平面内两条不平行的直线都平行于另一个平面，则
C．设l，m，n为直线，m，n在平面内，则“”是“且”的充要条件
D．若平面平面，平面平面，则平面与平面所成的二面角和平面与平面所成的二面角相等或互补
11．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知点P是正方体侧面（包含边界）上一点，下列说法正确的是（ ）
A．存在唯一一点P，使得
B．存在唯一一点P，使得面
C．存在唯一一点P，使得⊥
D．存在唯一一点P，使得⊥面
12．（2023·吉林长春·校联考一模）已知异面直线与直线，所成角为，平面与平面所成的二面角为，直线与平面所成的角为，点为平面、外一定点，则下列结论正确的是（ ）
A．过点且与直线、所成角均为的直线有3条
B．过点且与平面、所成角都是的直线有4条
C．过点作与平面成角的直线，可以作无数条
D．过点作与平面成角，且与直线成的直线，可以作3条
三、填空题
13．（2020·海南·统考高考真题）已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．
14．（2023·安徽滁州·统考二模）如图，正方体的棱长为2，点E，F在棱AB上，点H，G在棱CD上，点，在棱上，点，在棱上，，则六面体的体积为________.
15．（2023·北京·北师大实验中学校考模拟预测）如图，在棱长为1的正方体中，点P是线段上一动点（不与，B重合），则下列命题中：
①平面平面；
②一定是锐角；
③；
④三棱锥的体积为定值．
其中真命题的有__________．
16．（2023·北京门头沟·统考模拟预测）在正方体中，棱长为，已知点、分别是线段、上的动点（不含端点）.
①与垂直；
②直线与直线不可能平行；
③二面角不可能为定值；
④则的最小值是.
其中所有正确结论的序号是___________.
四、解答题
17．（2023·河南·郑州一中校联考模拟预测）如图，在四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，∠BAD=60°，平面平面ABCD，，，E为上的一点．
(1)求证：平面；
(2)若平面BDE，求三棱锥的体积．
18．（2023·贵州·统考模拟预测）矩形ABCD中，（如图1），将沿AC折到的位置，点在平面ABC上的射影E在AB边上，连结（如图2）.
(1)证明：；
(2)过的平面与BC平行，作出该平面截三棱锥所得截面（不要求写作法）.记截面分三棱锥所得两部分的体积分别为，求.
19．（2023·河南·许昌实验中学校联考二模）在四棱锥中，四边形ABCD为等腰梯形，，，，．
(1)证明：平面平面PBC．
(2)若，，求点D到平面PBC的距离．
20．（2023·黑龙江大庆·铁人中学校考二模）如图所示的几何体为一个正四棱柱被两个平面AEH与CFG所截后剩余部分，且满足平面，，，.
(1)当BF多长时，，证明你的结论：
(2)当时，求平面与平面所成角的余弦值.
21．（2023·上海·统考模拟预测）正四棱锥中，，，其中为底面中心，为上靠近的三等分点.
(1)求四面体的体积；
(2)是否存在侧棱上一点，使面与面所成角的正切值为？若存在，请描述点的位置；若不存在，请说明理由.
22．（2023·湖北·校联考模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，点M是正方体的中心，将四棱锥绕直线逆时针旋转后，得到四棱锥．
(1)若，求证：平面平面；
(2)是否存在，使得直线平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行． (简记为“线线平行⇒线面平行”)
∵l∥a，a⊂α，l⊄α
∴l∥α
性质定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行． (简记为“线面平行⇒线线平行”)
∵l∥α，l⊂β，α∩β＝b
∴l∥b
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行． (简记为“线面平行⇒面面平行”)
∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α ∴α∥β
性质定理
两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行 (简记为“面面平行⇒线线平行”)
∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b
∴a∥b
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． (简记为“线线垂直⇒线面垂直”)
∵l⊥a，l⊥b，a、b⊂α，a∩b＝O
∴l⊥α
性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行．
∵a⊥α，b⊥α
∴a∥b
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．
(简记为“线面垂直⇒面面垂直”)
∵l⊂β，l⊥α ∴α⊥β
性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． (简记为“面面垂直⇒线面垂直”)
∵α⊥β，l⊂β，α∩β＝a，l⊥a
∴l⊥α